初中數(shù)學(xué)競方程部分強(qiáng)化練習(xí)2

初中數(shù)學(xué)競方程部分強(qiáng)化練習(xí)2

學(xué)校:姓名：班級:考號：

一、單選題

1.含有絕對值的方程|2x-l卜岡=2的不同實(shí)數(shù)解共有（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.在方程組中，X,y,z是互不相等的整數(shù)，那么此方程組的解的

[X+y+Z=-36

組數(shù)為（）

A.6B.3C.多于6D.少于3

3.已知都是實(shí)數(shù)，則下列命題中，錯(cuò)誤的是（）.

A.a1+h2+c2=ah+bc+ca,則。=b=c

B.+b3+c3=3abc,則。=^=c

C.^a4+h4+c4+d4=2（a2b2+c2d2）,則〃=人=0=]

D.a4+b4+c4+d4=4abcd,則。=方=。=1

2

4.設(shè)二次函數(shù)了=產(chǎn)+2辦+、的圖象的頂點(diǎn)為A,與x軸的交點(diǎn)為8,C.當(dāng)AABC

為等邊三角形時(shí)，其邊長為（）

A.76B.272C.25/3D.372

5.從1分、2分、5分3種硬幣中取出100枚，總計(jì)3元，其中2分硬幣枚數(shù)的可能

情況有（）種.

A.13B.16C.17D.19

6.八年級二班的同學(xué)參加社區(qū)公益活動(dòng)——收集廢舊電池，其中，甲組同學(xué)平均每人

收集17個(gè)，乙組同學(xué)平均每人收集20個(gè)，丙組同學(xué)平均每人收集21個(gè).若這三個(gè)小

組共收集了233個(gè)廢舊電池，則這三個(gè)小組共有學(xué)生（）人.

A.12B.13C.14D.15

7.口袋中有20個(gè)球，其中白球9個(gè)，紅球5個(gè)，黑球6個(gè).現(xiàn)從中任取10個(gè)球，使

得白球不少于2但不多于8個(gè)，紅球不少于2個(gè)，黑球不多于3個(gè)，那么上述取法的

種數(shù)是（）.

A.14B.16C.18D.20

8.把三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)mb,c按任意次序（次序不同視為不同組）填入

口Y+口%+口=（）的三個(gè)方框中，作為一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)

項(xiàng).使所得方程至少有一個(gè)整數(shù)根的a，b,c（）.

A.不存在B.有一組C.有兩組D.多于兩組

二、填空題

9.已知方程。米2-(3/-8a)x+2/_13a+15=0(其中a為非負(fù)整數(shù))至少有一個(gè)整

數(shù)根，那么。=.

10.若x為整數(shù)，3Vx<200,且x2+(x+l>是一個(gè)完全平方數(shù)，則整數(shù)x的值等于

x=6-3y,

11.實(shí)數(shù)x,y,z,滿足則”的值為________

x+3y-2xy+2z2=0,

7

12.［幻表示不大于1的最大整數(shù)，方程［2幻+［3幻=也-5的所有實(shí)數(shù)解為.

13.若實(shí)數(shù)x,丫滿足爐+：/+*+)')=墨則x+y的最大值為.

14.已知一個(gè)矩形的長、寬分別為正整數(shù)mh,其面積的數(shù)值等于它的周長的數(shù)值的

2倍，貝lja+匕=或________.

15.m,"為自然數(shù)，且滿足『+9?+9?+2?+W=/,則及=.

16.不同的3個(gè)質(zhì)數(shù)a,h,c滿足R/c+a=2000,貝1」。加=.

三、解答題

17.已知a、b均為非負(fù)數(shù)，且滿足3a+?-2c=0,4a+6-6c=-10,己知

S=3a+b7c,設(shè)為S的最大值和的最小值分別為x、y.求個(gè)的值.

x2+5xy+6y2=0

18.解方程組:

x+y=2

19.解方程：j3x-5-Jx+2=l.

20.如果一個(gè)四位自然數(shù)M的千位數(shù)字和百位數(shù)字相等，十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字之和為

8,我們稱這樣的數(shù)為“等合數(shù)”，例如：對于四位數(shù)5562,?；5=5且6+2=8,...5562為

“等合數(shù)”，又如：對于四位數(shù)4432,???4=4但3+2邦，所以4432不是“等合數(shù)”

(1)判斷6627、1135是否是“等合數(shù)”，并說明理由；

(2)已知M為一個(gè)“等合數(shù)”，且〃能被9整除.將M的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和記為P

(M),將M的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的差的絕對值記為Q(M),并令G(M)=P

(M)x。(M),當(dāng)G(M)是完全平方數(shù)(0除外)時(shí)，求出所有滿足條件的M.

21.甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)相向勻速前進(jìn)，第一次相遇在距A點(diǎn)4km處，

然后繼續(xù)前進(jìn)，甲到8地，乙到A地后都立即返回，第二次相遇在距8點(diǎn)2km處，求

A、8兩地間的距離.

22.判斷下列方程是不是二項(xiàng)方程，如果是二項(xiàng)方程，求出它的根.

(1)X3-64=0

(2)%4+x=0

(3)/=-9

(4)x3+x=1

參考答案:

1.B

【解析】

【分析】

【詳解】

解若xN；,則原方程化為2x-l-x=2,解出x=3；若0<x<g,則原方程化為

-（2x-l）-x=2,

解出X=-；這與0<x<；矛盾、方程無解；當(dāng)X40時(shí)，原方程化為一（2x-l）+x=2,解出

X——1.

綜上知原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解：x=3或x=-1.故選B.

2.A

【解析】

【分析】

【詳解】

利用Y+y3+z3-3xyz=（x+y+z）（x?+y2+z2-xy-xz+yz^=O,把原方程組轉(zhuǎn)化為解不

定方程3盯z=-36.

因?yàn)閐+y3+z3一3xyz

=(x+y+z)(^x2+y2+z2-xy-yz-zx)

=0,

所以J+y'+z?=3盯z,從而得3盯z=-36,

g|Jxyz=-12.

因此x,y,z中一定是兩正一負(fù)，且x+y+z=0.

X12=1x1x12=1x2x6=Ix3x4=2x2x3,

則上述兩種組合中，只有12=1x3x4符合條件.

=卜

X1,X=1,=3,x=3,1x=-4,x=-4,

卜=1，

所以y=3,或＜y=_4,或或，y=-4，或,y=1,或，y=3,

z=-4,z=3,[z=-4,z=1,z=3,z=1.

共有6個(gè)解.故選A.

答案第1頁，共12頁

3.C

【解析】

【分析】

【詳解】

222

對A,H2(a+b-^c)-2(ab+bc+ca)=Q9

BP(a-b)2+(/?-c)2+(c-a)2=0,所以a-/?="一c=c-a=0,即a=〃=c,故A成立.

對B,因+瓜+/-3abe=(a+b+c)(a2+b?+c2+ab+bc+ca)

T?+c)[(j)2+(j)2+(…)2]=0,

所以a+Z?+c=0,或a=b=c,不一定有a=6=c,故B不成立.

對C,因a4+"+c4+/—2//一2C21=0,BP(a2-h2)2+(c2-d2)2=0,

所以a2=〃,°2=/,即0=±0,?=土"，不一定有a=b=c=",故C不成立.

對D,因(/—+2,)+(c4-2c2d②+d4)+2a2b2+Ic'd2-4abcd=0,

即(a?-b2)2+(c2-d2)2+2(ah-cd)2=0,故a?=b2,c2=d',ab=cd,

由此可推出a=8=c=d或a=-6=c=-4,不一定有a=6=c=4成立，故D不成立，所

以本題應(yīng)選B、C、D.

(注：若限定a,。,c,d都為正數(shù)，則B和D成立，答案應(yīng)選C.)

4.C

【解析】

【分析】

【詳解】

由題設(shè)知A卜,-1].設(shè)5(不0),C(x2,0),二次函數(shù)的圖象的對稱軸與無軸的交點(diǎn)為

2

則BC=-x2\=+々)2—4%]工2=卜〃2—4x]=ha.

又AO=與BC，則閭考"，解得〃2=6或"=0(舍去).

答案第2頁，共12頁

所以，AABC的邊長8C=J5/=26?

5.C

【解析】

【分析】

【詳解】

x+y+z=100①

設(shè)1分、2分和5分的硬幣分別取了x枚、y枚和z枚，依題意得

x+2y+5z=300②

__fx+z=100-4Z:

妙①得y+4z=2。。，可見是4的倍數(shù)，設(shè)…，則.=3。。-弘,解得

x=50-3k

<y=4k

z=50-k

因?yàn)閤為非負(fù)整數(shù),故50—3女20,即04416枚可取0,1,2,…,16中任何一個(gè),有17種取

法，從而y可取0,4,8,…,64中任何一個(gè)，也有17種取法，故選C.

6.A

【解析】

【分析】

【詳解】

解選4理由：設(shè)甲、乙、丙三個(gè)小組的學(xué)生人數(shù)分別為x,y,z.由題意得

17x+20y+21z=233.

因233=17x+20y+21z>17x+17y+17z,則

x+y+z〈空=13”

1717

又233=17]+20y+21z<21x+21y+21z,則

233一2

V+z>-----=11—

2121

212

于是，11—<x+y+z<13—.

2117

由于x,y,z均為正整數(shù)，則

/+y+z=12或尤+y+z=13.

(i)當(dāng)x+y+z=13時(shí)，由方程組

答案第3頁，共12頁

X17+二V+2。Z"=132,心233消去得3y+4ZM,此方程無正整數(shù)解.

(ii)當(dāng)x+y+z=12時(shí)，由方程組

x+y+z=12,

消去Z,得4x+y=19,此方程有正整數(shù)解.

17x+20y+21z=233

故x+y+z=12,即三個(gè)小組共有學(xué)生12人.

y+z=12,人

實(shí)際上，由于x,y,z均為正整數(shù)，并結(jié)合方程組4-9,可解得

(x,y,z)=(3,7,2),(4,3,5).

7.B

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)取出的球中白球、紅球、黑球的個(gè)數(shù)分別為X,y,Z,則x+y+z=10,24x48,

2<y<5,0<z<3.按z=0,1,2,3依次枚舉可得(x,y,z)等于(5,5,0),(6,4,0),

(7,3,0),(8,2,0)；(4,5,1),(5,4,1),(6,3,1),(7,2,1)；(3,5,2),(4,4,2),(5,3,2),

(6,2,2)；(2,5,3),(3,4,3),(4,3,3),(5,2,3)共16組解.故選B.

8.C

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)分別為〃，“+1(〃為大于1的整數(shù)).當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)是或

〃時(shí)，4均小于零，方程無實(shí)數(shù)根；當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)是〃+11時(shí)，

A=(n+1)2-4n(n-1)=-3(n-1)2+4.

因?yàn)椤榇笥?的整數(shù)，所以，要使ANO,w只能取2.

當(dāng)〃=2時(shí)，方程/+3》+2=0,2/+3%+1=0均有整數(shù)根，故滿足要求的(a,b,c)只有

兩組：(1,3,2)、(2,3,1).

9.1,3,5

【解析】

答案第4頁，共12頁

【分析】

【詳解】

解若。=0,則15=0,矛盾，故原方程化為

a2x2-（3a2-8a）x+（2a-3）（<2-5）=0,即卬-（2。-3）］卬-（。-5）］=0,

a-（2a-3）

_（2”2-3a）］+［-（/-"）］=_（3/-84）

故當(dāng)a=L3或5時(shí)，原方程至少有一個(gè)整數(shù)根，所以應(yīng)填：1,3,5.

10.20或119

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)/+*+1)2=巴則(2X+1)2=2/_I.

令”=2x+l,則I?-2V2=-1.

其為佩爾方程，其基本解為(%％)=(1,1).

其全部正整數(shù)解可由““+v?V2=(%+%血丁用得到.

其中，(%,甘)=(7,5),(的,%)=(41,29),(%,匕)=(239,169),%>400.

故》=20或119.

11.9

【解析】

【分析】

【詳解】

解卜=6-3%①

[x+3y-2xy+2z2=0.②

答案第5頁，共12頁

①代入②得(6-3y)+3y-2(6-3y)y+2z2=0,

即6y2-i2y+6+2z2=0,

即6(y-l)2+2z2=0,

所以y=l,z=0,代入①得x=6-3=3,于是談心=32*=9.故填9.

13"

⑵12日市

【解析】

【分析】

【詳解】

由2x-1v[2x]<2x,3x-\<[3x]W3x及己知方程得

7171735

5x-2<8x——W5xo—<xW—=—<8x——<—.

226226

7

因?yàn)?X-Q=[2幻+[3幻為整數(shù)，所以，

7

8x—=1,2,3,4,5.

2

及”曰911131517

解得工二一，一，一，一，一.

1616161616

經(jīng)檢驗(yàn)，只有13?17是已知方程的解.

1616

13.3

【解析】

【分析】

【詳解】

由丁+丫3+；（X+丫）=_^可得（犬+田卜2-孫+力+（（_￥+〉）=日，

即。+小2-孫+9+￡）端.①

令x+y=Z,注意到》2_孫+/+!=卜_怖）+2/+1>0,故x+y=Z>0.

又因?yàn)?一個(gè)+y'!=（x+y）2—3個(gè)+?故由①式可得二一3孫人》

所以

孫

3k

答案第6頁，共12頁

,31tI。

于是，x,y可看作關(guān)于，的一元二次方程及出1a2一（）的兩根，

3k~

731,15

r-r-txlkT--k---

所以△=（-?—4?—4―2.>0?

3k

化簡得二+"30W0,即伏-3冷2+3々+10）V0,所以0<&〈3.

故x+y的最大值為3.

14.2518

【解析】

【分析】

【詳解】

根據(jù)題意,得必=2（2〃+26）,

即ab-4。=4。，

,4b16

則n。=---=4A+-----.

b-4b-4

因?yàn)樾?均為正整數(shù)，且。>〃，所以6-4一定是16的正約數(shù).

當(dāng)匕-4分別取1,2,4,8,16時(shí)，代入上式得：

匕-4=1時(shí)，b-5,a-20；

。_4=2時(shí)，人=6,4=12；

萬_4=4時(shí)，b=S,a=8（舍去）；

。一4=8時(shí)，〃=12,。=6（舍去）；

6一4=16時(shí)，b=20,a=5（舍去）.

因此a+6=25或18.

故應(yīng)填25,18.

15.84

【解析】

【分析】

【詳解】

原方程可化為“2_帚=167,

即（〃-ni）（n+m）=1x167.

因?yàn)?-機(jī)與〃+加奇偶性相同，Hn-m<n+m,所以

答案第7頁，共12頁

\n—m=\,

[n+m=167,

解得〃=84.

16.222

【解析】

【分析】

【詳解】

由ab'c+a=2000，得a(/，'c+1)=2000,

所以2000能被a整除.

又因?yàn)?。是質(zhì)數(shù)，所以a只能取2或5.

當(dāng)a=2時(shí)，氏=999,

即氏=3,x37.

所以匕=3,c=37.

當(dāng)a=5時(shí)，63c=399.

因?yàn)?99=3x7x19,所以b,c無整數(shù)解.

所以赤'=2x3x37=222.

17.180

【解析】

【分析】

【詳解】

f3a+28-2c=0K①

解-4

6c=-10K②

由(2)x2-(1)得a=2c—4(3)

把(3)代入(2)得b=6-2c

a=2c-4>0

因?yàn)閍、b、c均為非負(fù)數(shù)，所以b=6—2c?N0,2<c<3.

c>0

S=3。+b—7c=-3c—6

Sg=T2,Smin=-15,Ay=180

答案第8頁，共12頁

%=4X=3

18.2

X=-2必=-1

【解析】

【分析】

先把方程組中的第一個(gè)方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元一次方程，再和方程組中的第二個(gè)方程組成二

元一次方程組，求解即可.

【詳解】

x2+5孫+6y之=0①

解：＜

x+y=2(2)

由①得：(x+2y)(x+3y)=0,

.,.x+2y=0③或x+3)，=0④，

卜+3y=0

由②⑨②④聯(lián)立得方程組

[x+y=2

x+2y=0

解方程組

x+y=2

柳右產(chǎn)組卜+3y=o俎尸2=3

解萬桂組1c，得11,

[x+y=2，2=-1

所以原方程組的解為：[*=；，

E=-2[y2=-l

【點(diǎn)睛】

本題考查了二元二次方程組的解法，把二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次方程，是解決此類題目常

用的辦法.解決本題亦可變形組中的一次方程，代入二次方程先求出其中一個(gè)未知數(shù)的

值，再求另一個(gè)未知數(shù)的值.

19.x=7

【解析】

【分析】

令1)+2=1可化原方程為產(chǎn)_11一/=1，兩邊平方解方程，驗(yàn)根即可；

【詳解】

由方程，3x-5-Jx+2=1,

答案第9頁，共12頁

x+2>05____

可得1°un,令JX+2=t，貝卜20,則f2=x+2,x=F-2,3x-5=3凡11,所以原

[3x-5>03

方程可化為13t271T=1,

即折-1=，+1,平方可得3『-ll=『+2f+l,

即r-f-6=0,求得f=-2(舍去)，或￡=3,

即Jx+2=3,求得x=7,故原方程的解為x=7.

【點(diǎn)睛】

本題考查了無理方程的解法，注意方法的靈活運(yùn)用.

20.⑴6627不是“等合數(shù)”，1135是“等合數(shù)”，理由見解析

(2)5580,5508,5535,5553

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)“等合數(shù)”的定義判斷，即可求解；

(2)設(shè)"的千位和百位數(shù)為m十位數(shù)為b,則個(gè)位數(shù)為8/,其中。為0<姓9的整數(shù)，

〃為0W后8的整數(shù)，可得P(M)=為+8,。(M)=|8—如|,從而得到G(M)=

(2?+8)x|8-2*|,0<|8-2^|<8,再由M能被9整除.可得2〃+8能被9整除，從而得到

〃=5,再由G(M)是完全平方數(shù)(0除外)可得到|8-?|=8或2,即可求解.

(1)

解：6627不是“等合數(shù)”，1135是“等合數(shù)”，理由如下：

V6=6,但2+7邦,

??.6627不是“等合數(shù)”，

V1=1且3+5=8,

All35是“等合數(shù)”；

⑵

解：：例為一個(gè)“等合數(shù)”，

.?.可設(shè)M的千位和百位數(shù)為。，十位數(shù)