圓的切線證明和圓中計(jì)算附詳解(2024年中考數(shù)學(xué)真題匯編)

圓的切線證明和圓中計(jì)算附詳解(2024年中考數(shù)學(xué)真題匯編)1.(24年江西中考)如圖,是半圓O的直徑,點(diǎn)D是弦延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接,．（1)求證:是半圓O的切線.（2)當(dāng)時(shí),求的長(zhǎng)．2.(24年山東棗莊中考)如圖,在四邊形中,,,．以點(diǎn)為圓心,以為半徑作交于點(diǎn),以點(diǎn)為圓心,以為半徑作所交于點(diǎn),連接交于另一點(diǎn),連接．（1)求證：為所在圓的切線（2)求圖中陰影部分面積．（結(jié)果保留)

3.(24年安徽中考)如圖,是的外接圓,是直徑上一點(diǎn),的平分線交于點(diǎn),交于另一點(diǎn)(1)求證(2)設(shè),垂足為,若,求的長(zhǎng).4.(24年揚(yáng)州中考)在綜合實(shí)踐活動(dòng)中,“特殊到一般”是一種常用方法,我們可以先研究特殊情況,猜想結(jié)論,然后再研究一般情況,證明結(jié)論．如圖,已知,,是的外接圓,點(diǎn)在上（),連接,,．【特殊化感知】（1)如圖1,若,點(diǎn)在延長(zhǎng)線上,則與的數(shù)量關(guān)系為________【一般化探究】（2)如圖2,若,點(diǎn),在同側(cè),判斷與的數(shù)量關(guān)系并說明理由【拓展性延伸】（3)若,直接寫出,,滿足的數(shù)量關(guān)系．（用含的式子表示)

5.(24年蘇州中考)如圖,中,,D為中點(diǎn),.是的外接圓．（1)求的長(zhǎng)（2)求的半徑．6.(24年湖北中考)中,,點(diǎn)在上,以為半徑的圓交于點(diǎn),交于點(diǎn).(1)求證:是的切線。(2)連接交于點(diǎn),若,求弧的長(zhǎng).

7.(24年武漢中考)如圖,為等腰三角形,是底邊的中點(diǎn),腰與半圓相切于點(diǎn),底邊與半圓交于,兩點(diǎn)．（1)求證:與半圓相切（2)連接．若,,求的值．8.(24年深圳中考)如圖,在中,,為的外接圓,為的切線,為的直徑,連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E．（1)求證:（2)若,,求的半徑．

9.(24年河北中考)已知的半徑為3,弦,中,．在平面上,先將和按圖1位置擺放（點(diǎn)B與點(diǎn)N重合,點(diǎn)A在上,點(diǎn)C在內(nèi)),隨后移動(dòng),使點(diǎn)B在弦上移動(dòng),點(diǎn)A始終在上隨之移動(dòng),設(shè)．（1)當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)N重合時(shí),求劣弧的長(zhǎng).（2)當(dāng)時(shí),如圖2,求點(diǎn)B到的距離,并求此時(shí)x的值.（3)設(shè)點(diǎn)O到的距離為d．①當(dāng)點(diǎn)A在劣弧上,且過點(diǎn)A的切線與垂直時(shí),求d的值.②直接寫出d的最小值．10.(24年廣西中考)如圖,已知是的外接圓,．點(diǎn)D,E分別是,的中點(diǎn),連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,使,連接．（1)求證:四邊形是平行四邊形（2)求證:與相切（3)若,,求的半徑．

11.(24年青海中考)如圖,直線經(jīng)過點(diǎn)C,且,．（1)求證:直線是的切線;（2)若圓的半徑為4,,求陰影部分的面積．12.(24年長(zhǎng)沙中考)對(duì)于凸四邊形,根據(jù)它有無外接圓(四個(gè)頂占都在同一個(gè)圓上)與內(nèi)切圓(四條邊都與同一個(gè)圓相切),可分為四種類型,我們不妨約定既無外接圓,又無內(nèi)切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形只有外接圓,而無內(nèi)切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形只有內(nèi)切圓,而無外接圓的四邊形稱為“內(nèi)切型單圓”四邊形既有外接圓,又有內(nèi)切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形請(qǐng)你根據(jù)該約定,解答下列問題(1)請(qǐng)你判斷下列說法是否正確(在題后相應(yīng)的括號(hào)中,正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形;()②內(nèi)角不等于90°的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形()③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合,外接圓半徑為,內(nèi)切圓半徑為,則有()(2)如圖1,已知四邊形內(nèi)接于四條邊長(zhǎng)滿足:.①該四邊形是“_______”四邊形(從約定的四種類型中選一種填入);②若的平分線交于點(diǎn)的平分線交于點(diǎn),連接,求證:是的直徑.(3)已知四邊形是“完美型雙圓”四邊形,它的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)①如圖2,連接交于點(diǎn)P.求證:.②如圖3,連接,若,求內(nèi)切圓的半徑及的長(zhǎng).

13.(24年包頭中考)如圖,是的直徑,是的兩條弦,點(diǎn)與點(diǎn)在的兩側(cè),是上一點(diǎn)（),連接,且．（1)如圖1,若,,求的半徑;（2)如圖2,若,求證:．（請(qǐng)用兩種證法解答)14.(24年廣州中考)如圖,在菱形中,．點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn),點(diǎn)重合),關(guān)于的軸對(duì)稱圖形為．（1)當(dāng)時(shí),試判斷線段和線段的數(shù)量和位置關(guān)系,并說明理由（2)若,為的外接圓,設(shè)的半徑為．①求的取值范圍②連接,直線能否與相切？如果能,求的長(zhǎng)度:如果不能,請(qǐng)說明理由．

15.(24年遼寧中考)如圖,是的外接圓,是的直徑,點(diǎn)在上,,在的延長(zhǎng)線上,．（1)如圖1,求證:是的切線（2)如圖2,若,,求的長(zhǎng)．

圓的證明和計(jì)算詳解1.(24年江西中考)【答案】（1)見解析（2)【小問1詳解】證明:是半圓O的直徑.....是半圓O的切線.【小問2詳解】解:如圖,連接.為等邊三角形.,..．2.(24年山東棗莊中考)【答案】（1)見解析（2)【小問1詳解】解：連接如圖根據(jù)題意可知：,.又∵.∴.∵∴.∵.∴四邊形是平行四邊形.∴.∵.∴是等邊三角形.∴.∴∴在以為直徑的圓上.∴.∴為所在圓的切線．【小問2詳解】過作于點(diǎn)由圖可得：.在中,,∴.∴由題可知：扇形和扇形全等∴等邊三角形的面積為：∴.3.(24年安徽中考)【答案】(1)證明:因?yàn)?所以又與都是所對(duì)的圓周角,故由于,則因?yàn)槠椒?所以又是直徑,所以于是故,即.(2)解:由(1)知,,所以又,故,從而圓的半徑,于是在中,所以即的長(zhǎng)為.4.(24年揚(yáng)州中考)【答案】（1).（2)（3)當(dāng)在上時(shí),.當(dāng)在上時(shí),【解析】解:∵,.∴是等邊三角形,則∵是的外接圓.∴是的角平分線,則∴.∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形.∴.∴設(shè)交于點(diǎn),則.設(shè),則.在中,∴.∴∵是直徑,則.在中,.∴∴（2)如圖所示,在上截取∵.∴.∴是等邊三角形.∴,則∴.∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形.∴.∴∵,.∴是等邊三角形,則.∴又∵.∴.在中.∴.∴.∴即（3)解:①如圖所示,當(dāng)在上時(shí)在上截取∵∴.又∵.∴,則∴即.又∵∴.∴∴.∵.∴如圖所示,作于點(diǎn)在中,.∴∴.∴,即②當(dāng)在上時(shí),如圖所示,延長(zhǎng)至,使得,連接∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形.∴.又∵∴,則.∴即又∵∴.∴.∴∵同①可得.∴.∴綜上所述,當(dāng)在上時(shí),.當(dāng)在上時(shí),．5.(24年蘇州中考)【答案】（1)（2)的半徑為【小問1詳解】解:,.．,即,D為AB中點(diǎn).∴.．【小問2詳解】解:過點(diǎn)A作,垂足為E,連接CO,并延長(zhǎng)交⊙O于F,連接AF在中,．又.．∴在中,．.．設(shè),則,．∵在中,.,即解得,（舍去)．,．∵.．CF為⊙O的直徑.．．,即⊙O的半徑為．6.(24年湖北中考)【答案】（1)見解析（2)弧的長(zhǎng)為．【小問1詳解】證明:連接在和中,.∴.∴.∵為的半徑.∴是的切線.【小問2詳解】解:∵.∴.設(shè)的半徑為.在中,,即.解得∴,,.∴.∵∴.∴弧的長(zhǎng)為．7.(24年武漢中考)【答案】（1)見解析（2)【小問1詳解】證明:連接,,作交于,如圖為等腰三角形,是底邊的中點(diǎn).,平分.與半圓相切于點(diǎn)..由..是半圓的切線.【小問2詳解】解:由（1)可知,.,.,..又,在中,,..解得:8.(24年深圳中考)【答案】（1)見解析（2)【小問1詳解】證明:連接并延長(zhǎng),交于點(diǎn),連接∵,,∴垂直平分.∴,.∵為的切線,∴.∵為的直徑.∴.∴四邊形為矩形.∴【小問2詳解】由(1)知四邊形為矩形,,.∴.∴.設(shè)的半徑為,則:在中,由勾股定理,得:,解得:即:的半徑為．9.(24年河北中考)【答案】（1)（2)點(diǎn)B到的距離為;（3)①;②【小問1詳解】解:如圖,連接,∵的半徑為3,,∴.∴為等邊三角形.∴∴的長(zhǎng)為.【小問2詳解】解:過作于,過作于,連接∵.∴.∴四邊形是矩形∴,.∵,.∴,而.∴∴點(diǎn)B到的距離為.∵,.∴.∴.∴.【小問3詳解】解:①如圖,∵過點(diǎn)A的切線與垂直.∴過圓心過作于,過作于,而.∴四邊形為矩形.∴.∵,.∴.∴.∴∴,即.②如圖,當(dāng)為中點(diǎn)時(shí).過作于,過作于.∴.∴,此時(shí)最短.如圖,過作于,而∵為中點(diǎn),則.∴由（2)可得.∴.∴.∵.∴.∴∴.∴設(shè),則,∴,解得:（不符合題意的根舍去)∴的最小值為．10.(24年廣西中考)【答案】（1)證明見解析（2)證明見解析（3)【小問1詳解】證明:∵點(diǎn)D,E分別是,的中點(diǎn).∴,.又∵,∴.∴,.∴,∴四邊形是平行四邊形【小問2詳解】證明:如圖,連接∵,為中點(diǎn).∴∴過圓心.∵.∴.而為半徑∴為的切線【小問3詳解】解:如圖,過作于,連接∵.∴.設(shè),則.∴.∴.∴.∴.∴.∴.∵,,.∴∴設(shè)半徑為.∴,∴,解得:.∴的半徑為．11.(24年青海中考)【答案】（1)詳見解析（2)【小問1詳解】證明:連接∵在中,,.∴.又∵是的半徑.∴直線是的切線;【小問2詳解】解:由（1)知.∵.∴.∴在中,,.∴∴.∴．12.(24年長(zhǎng)沙中考)【答案】(1)①(×);②(?);③(?)(2)①該四邊形ABCD是“外接型單圓”四邊形;②證法1:如圖1,因?yàn)槠椒制椒炙?.所以,即所以與均為半圓.所以是的直徑.證法2:如圖1,連接因?yàn)樗倪呅蝺?nèi)接于,所以因?yàn)槠椒制椒炙?所以由同弧所對(duì)的圓周角相等可得所以,即.所以是的直徑...證法3:如圖2,連接因?yàn)樗倪呅蝺?nèi)接于,所以由題意,得由同弧所對(duì)的圓周角相等可得:所以,所以(3)①證明:如圖3,連接因?yàn)槭撬倪呅蔚膬?nèi)切圓所以所以.所以在四邊形中,同理可證因?yàn)樗倪呅问恰巴昝佬碗p圓”四邊形所以四邊形有外接圓所以所以所以又因?yàn)樗运?即②方法1:如圖4,連接因?yàn)槭撬倪呅蔚膬?nèi)切圓所以.所以.所以在四邊形中,同理可證.因?yàn)樗倪呅问恰巴昝佬碗p圓”四邊形所以四邊形有外接圓.又因?yàn)樗?所以,即2方法1:如圖4,連接.因?yàn)樗倪呅问恰巴昝佬碗p圓”四邊形所以}.又因?yàn)榕c分別相切于點(diǎn)又因?yàn)?所以.又因?yàn)?所以.所以即,解得.在中,有,即解得在,.同理可證所以即,解得.方法2:如圖4,由,得即,解得.由,得即,解得13.(24年包頭中考)【答案】（1)3（2)見解析【小問1詳解】解∶∵.∴.∵∴,即∴.∴.∴.解得.即的半徑為3.【小問2詳解】證明:法一:過O作于F∴.∵.∴.又,.∴.∴.∴;法二:連接∵是直徑.∴∴.∴.∴.∴.∴．14.(24年廣州中考)【答案】（1),（2)①:②【小問1詳解】解:,:理由如下∵在菱形中,.∴,∵.∴.∴由對(duì)折可得:.∴【小問2詳解】解:①如圖,設(shè)的外接圓為,連接交于．連接,,,∵四邊形為菱形,.∴,,∵為等邊三角形.∴∴共圓,,在上.∵.∴.過作于.∴,.∴.當(dāng)時(shí),最小,則最