初中數(shù)學函數(shù)圖像與性質(zhì)的教學研究

初中數(shù)學函數(shù)圖像與性質(zhì)的教學研究初中數(shù)學“函數(shù)圖象與性質(zhì)”的教學研究孫曉佳（清華附中、高級教師）一、對函數(shù)圖象與性質(zhì)知識的深層次理解（一）函數(shù)圖象與性質(zhì)的知識結(jié)構(gòu)與框架圖初中數(shù)學中，函數(shù)專題包含四部分內(nèi)容．具體如下：（1）函數(shù)的概念及圖象：函數(shù)的概念，函數(shù)的表示方法，函數(shù)的定義域，函數(shù)的圖象；（2）一次函數(shù)：一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的性質(zhì)，直線與坐標軸的交點，一次函數(shù)與一次方程、不等式，實際問題與一次函數(shù)；（3）反比例函數(shù)：反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的性質(zhì)，實際問題與反比例函數(shù)；（4）二次函數(shù)：二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與坐標軸的交點，二次函數(shù)與二次方程、不等式，實際問題與二次函數(shù)．函數(shù)的圖象與性質(zhì)貫穿著這個專題的每個內(nèi)容，是每種函數(shù)都要著重研究的對象，通過對函數(shù)的圖象與性質(zhì)的研究，可以讓學生更好的理解函數(shù)的概念，更好的應用函數(shù)解決相關(guān)問題．（二）函數(shù)圖象與性質(zhì)在中學數(shù)學中的地位與作用例1，畫出函數(shù)y=-6x與y=-6x+5的圖象．并比較兩個函數(shù)圖象，探究他們的聯(lián)系及解釋原因．列表——描點——連線．引導學生從圖象形狀，傾斜程度及與y軸交點坐標上比較兩個圖象，從而認識兩個圖象的平移關(guān)系，進而了解解析式中k、b在圖象中的意義，體會數(shù)形結(jié)合在實際中的表現(xiàn)．比較兩個函數(shù)的圖象的相同點與不同點．結(jié)論：一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線，我們稱它為直線y=kx+b，它可以看作由直線y=kx平移b絕對值個單位長度而得到（當b＞0時，向上平移；當b＜0時，向下平移）．通過活動，可以讓學生加深對一次函數(shù)與正比例函數(shù)關(guān)系的理解，認清一次函數(shù)圖象特征與解析式聯(lián)系規(guī)律．例2，畫出函數(shù)y=x+1、y=-x+1、y=2x+1、y=-2x+1的圖象．由它們聯(lián)想：一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）中，k的正負對函數(shù)圖象有什么影響？通過活動，熟悉一次函數(shù)圖象畫法．經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)圖象的規(guī)律，并根據(jù)它歸納總結(jié)出關(guān)于數(shù)值大小的性質(zhì)．體會數(shù)形結(jié)合的探究方法在數(shù)學中的重要性，進而認識理解一次函數(shù)圖象特征與解析式聯(lián)系．引導學生從函數(shù)圖象特征入手，尋求變量數(shù)值變化規(guī)律與解析式中k值的聯(lián)系．發(fā)現(xiàn)性質(zhì)：形的角度：當k>0時，直線y=kx+b由左至右上升；當k<0時，直線y=kx+b由左至右下降．數(shù)的角度：當k>0時，y隨x增大而增大；當k<0時，y隨x增大而減?。?．反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)讓學生會畫反比例函數(shù)的圖象，并知道該圖象與正比例函數(shù)、一次函數(shù)圖象的區(qū)別，能從反比例函數(shù)的圖象上分析出簡單的性質(zhì)．能用反比例函數(shù)的定義和性質(zhì)解決實際問題．通過畫圖象，進一步培養(yǎng)“描點法”畫圖的能力和方法，并提高對函數(shù)圖象的分析能力．同時嘗試用類比和特殊到一般的思路方法，歸納反比例函數(shù)一些性質(zhì)特征．例1．我們已知道，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象是一條直線，那么反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)且k≠0）的圖象是什么樣呢？要求學生用描點法來畫出反比例函數(shù)的圖象．畫出反比例函數(shù)y=和y=-的圖象．解：列表x…-6-5-4-3-2-1123456…y=

-1

-1.5-2

-6

3

1

y=-

11.2

36

-1.5

（請把表中空白處填好）描點，以表中各對應值為坐標，在直角坐標系中描出各點．連線，用平滑的曲線把所描的點依次連接起來．

探究：反比例函數(shù)y=和y=-的圖象有什么共同特征？它們之間有什么關(guān)系？若把y=和y=-的圖象放到同一坐標系中，觀察一下，看它們是否對稱．發(fā)現(xiàn)性質(zhì)：反比例函數(shù)y=和y=-的圖象的共同特征：（1）它們都由兩條曲線組成；（2）隨著x的不斷增大（或減?。€越來越接近坐標軸（x軸、y軸）；（3）反比例函數(shù)的圖象屬于雙曲線．此外，y=的圖象和y=-的圖象關(guān)于x軸對稱，也關(guān)于y軸對稱．（4）y=的圖象和y=-的圖象關(guān)于原點對稱，也關(guān)于直線y=x,y=-x對稱．

例3，在平面直角坐標系中畫出反比例函數(shù)y=和y=-的圖象．解析：由y=和y=-的圖象及y=和y=-的圖象知道，（1）它們有什么共同特征和不同點？（2）每個函數(shù)的圖象分別位于哪幾個象限？（3）在每一個象限內(nèi)，y隨x的變化而如何變化？猜想：反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象在哪些象限由什么因素決定？在每一個象限內(nèi)，y隨x的變化情況如何？它可能與坐標軸相交嗎？發(fā)現(xiàn)性質(zhì)：（1）反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線．（2）當k>0時，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內(nèi)，y值隨x值的增大而減?。?）當k<0時，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內(nèi)，y值隨x值的增大而增大．3．二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)圖象是二次函數(shù)的重點內(nèi)容，它的的圖象是性質(zhì)的直觀體現(xiàn)，函數(shù)圖象是函數(shù)的直觀表示，圖象法也是表示函數(shù)的基本方法．函數(shù)圖象對于了解和掌握二次函數(shù)的性質(zhì)具有形象直觀的優(yōu)勢，二次函數(shù)作為初中階段學習的重要函數(shù)模型，對理解函數(shù)的性質(zhì)，掌握研究函數(shù)的方法，體會函數(shù)的思想是十分重要的，因此本章的重點是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的理解與掌握，要使學生畫二次函數(shù)圖象，學會觀察函數(shù)圖象，借助函數(shù)圖象來研究函數(shù)性質(zhì)并解決相關(guān)的問題．函數(shù)圖象的特征是函數(shù)性質(zhì)的幾何體現(xiàn)，教科書通過變換的觀點，強調(diào)變與不變的辨證關(guān)系，重點是同一坐標系中具有相同二次項系數(shù)的二次函數(shù)圖象間的位置關(guān)系的變換規(guī)律．利用配方法研究二次函數(shù)解析式與二次函數(shù)圖象的開口方向，對稱軸和頂點坐標之間的關(guān)系，使學生認識二次函數(shù)的本質(zhì)．活動1：用描點法畫出二次函數(shù)y=x2和y=-x2的圖象(1)填空：拋物線y=x2y=-x2頂點坐標

對稱軸

位置

開口方向

(2)在同一坐標系內(nèi)，拋物線y=x2和拋物線y=-x2的位置有什么關(guān)系？如果在同一個坐標系內(nèi)畫二次函數(shù)y=ax2(a>0)和y=-ax2(a>0)的圖象怎樣畫更簡便？拋物線y=x2與拋物線y=-x2關(guān)于x軸對稱，只要畫出y=ax2(a>0)和y=-ax2(a>0)中的一條拋物線，另一條可利用關(guān)于x軸對稱來畫．從而探究二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象性質(zhì)：二次函數(shù)的y=ax2圖象形如物體拋射時所經(jīng)過的路線，我們把它叫做拋物線，這條拋物線關(guān)于y軸對稱，y軸就是拋物線的對稱軸．對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點．注意：頂點不是與y軸的交點．當a>0時，拋物線的開口向上，頂點是拋物線上的最低點，圖象在x軸的上方(除頂點外)；當a<0時，拋物線的開口向下，頂點是拋物線上的最高點圖象在x軸的下方(除頂點外)．活動2：畫出函數(shù)，的圖象通過上述圖象探究二次函數(shù)y=ax2和y=a(x+m)2圖象之間的關(guān)系．總結(jié)二次函數(shù)y=a(x+m)2的圖象和性質(zhì).y=ax2（a≠0）的圖象向左或向右平移|m|個單位可得到函數(shù)y=a(x+m)2的圖象，頂點坐標是（-m,0）,對稱軸是直線x=-m．活動3：畫出二次函數(shù)，的圖象．探究二次函數(shù)和圖象之間的關(guān)系．（）的圖象向左或向右平移|m|個單位可得到函數(shù)的圖象，再向上或向下平移|k|個單位得到的圖象．的圖象的對稱軸是直線x=-m，頂點坐標是（-m，k）．（m左加右減k上加下減）活動4：探索二次函數(shù)的圖象特征．=由此可見函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的形狀、開口方向均相同，只是位置不同，可以通過平移得到．二次函數(shù)的圖象特征：（1）二次函數(shù)(a≠0)的圖象是一條拋物線；（2）對稱軸是直線x=，頂點坐標是為（，）；（3）當a>0時，拋物線的開口向上，頂點是拋物線上的最低點；當a<0時，拋物線的開口向下，頂點是拋物線上的最高點．（二）怎樣進行函數(shù)圖象與性質(zhì)概念的教學函數(shù)是兩個變量之間的一種對應關(guān)系：對于每一個x，都有唯一的y與它對應．函數(shù)的圖象體現(xiàn)的是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，體現(xiàn)了點與數(shù)的一一對應．圖象是從形的角度來說的，而性質(zhì)是從數(shù)的角度來說．通過圖象能直觀的反映兩個變量之間的關(guān)系，通過圖象也能夠直觀的發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)，比如單調(diào)性、最大值最小值、對稱性等．通過函數(shù)的性質(zhì)也能夠畫出函數(shù)的大致圖象，給人以更加直觀的印象．1．認識函數(shù)的圖象，會通過函數(shù)的概念判斷函數(shù)的圖象要讓學生學會認識圖象，理解函數(shù)的概念，理解函數(shù)圖象的意義，會對實際生活中的例子用兩變量之間關(guān)系的圖象，初步認識函數(shù)與圖象的對應關(guān)系，學會觀察圖象、識別圖象及理解圖象所表示的含義，了解圖象的意義及其與實際問題之間的關(guān)系和區(qū)別．學會用圖表描述變量的變化規(guī)律，會準確地畫出函數(shù)圖象．滲透數(shù)形結(jié)合思想，體會到數(shù)學來源于生活，又應用于生活．一般地，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象．例1．下面的圖象反映的過程是小明從家去菜地澆水，有去玉米地鋤草，然后回家.其中x表示時間，y表示小名離家的距離.根據(jù)圖象回答問題：（1）菜地離小明家多遠？小明走到菜地用了多少時間？（2）小明給菜地澆水用了多少時間？菜地離玉米地多遠？（3）小明從菜地到玉米地用了多少時間？（4）小明給玉米鋤草用了多少時間？玉米地離小名家多遠？（5）小明從玉米地走回家的平均速度是多少？本例給出了路程與時間的函數(shù)圖象，教學中注意引導學生學會從圖象中獲取基本信息，進一步理解函數(shù)圖象的概念及作用．例2．下面圖象分別給出了變量x與y之間的對應關(guān)系，哪個圖象反映的是y與x的函數(shù)關(guān)系．函數(shù)是一種特殊的對應關(guān)系，要求的是自變量的任意性，因變量的存在性和唯一性．教師在講解本例時要強調(diào)函數(shù)概念中特殊的對應關(guān)系：對于每一個x，都有唯一的y與它對應．2．函數(shù)的圖象和性質(zhì)有何聯(lián)系？前面我們研究了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，讓我們共同回顧一下函數(shù)的圖象與性質(zhì)有何聯(lián)系?函數(shù)的圖象和性質(zhì)是從“形”和“數(shù)”兩個不同的角度來研究函數(shù)變化規(guī)律的．研究函數(shù)的性質(zhì)常借助于圖象，而函數(shù)的圖象則是函數(shù)性質(zhì)的直觀體現(xiàn)．因此，二者總是密不可分的．主要體現(xiàn)在以下幾個方面：（1）自變量、函數(shù)值與圖象上點的坐標間的關(guān)系．在函數(shù)自變量取值范圍內(nèi)任取一個值x，根據(jù)函數(shù)的定義，有惟一確定的y值與之對應，可以描出函數(shù)圖象上一個點（x，y）；反過來，在函數(shù)圖象上任取一點（x，y），那么橫坐標x是函數(shù)自變量范圍內(nèi)的一個值，y是對應的函數(shù)值．因此，我們不僅能根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關(guān)系，畫出函數(shù)的圖象，而且還能利用函數(shù)圖象上點的坐標，求出相應的自變量與函數(shù)值．函數(shù)圖象上所有點的橫坐標的全體就是函數(shù)自變量的取值范圍，所有點的縱坐標的全體就是函數(shù)值的全體．（2）自變量、函數(shù)值的變化范圍與函數(shù)圖象的位置關(guān)系．自變量、函數(shù)值的變化范圍直接影響著函數(shù)圖象在坐標平面中的位置．當自變量x>0，函數(shù)值y>0時，則圖象在第一象限；若圖象經(jīng)過第三象限，則說明此時自變量與函數(shù)值均取負值．如果圖象或它的一部分在x軸的上方，表示此時的函數(shù)值為正；如果圖象或它的一部分在x軸的下方，表示此時的函數(shù)值為負．圖象與x軸交點的橫坐標，表示當自變量等于這個值時，函數(shù)值為0；圖象與y軸交點的縱坐標，表示當自變量等于0時對應的函數(shù)值．圖象經(jīng)過原點，表示自變量等于0時，函數(shù)值也等于0．（3）函數(shù)的增減性與函數(shù)圖象的升降關(guān)系．如果函數(shù)值y在某一變化范圍內(nèi)，隨著x的增大而增大，表示函數(shù)的圖象在這個變化范圍內(nèi)自左向右是上升的；如果函數(shù)值y在某一變化范圍內(nèi)，隨著自變量x的增大而減小，表示函數(shù)的圖象在這個變化范圍內(nèi)自左向右是下降的．函數(shù)的增減性是一個局部概念，可以在自變量的整個取值范圍內(nèi)考慮，也可以在自變量某一個較小的變化范圍內(nèi)考慮．反映在圖象上，可以觀察整個圖象的升降情況，也可以觀察某一段圖象的升降情況．只要函數(shù)的某段圖象是上升的，就說明函數(shù)在這一段圖象所對應的自變量變化范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大；只要函數(shù)的某段圖象是下降的，就說明函數(shù)在這段圖象所對應的自變量變化范圍內(nèi)，y隨x的增大而減?。?）函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)圖象上最高點、最低點間的關(guān)系．如果函數(shù)圖象有最高點，那么最高點的縱坐標就是這個函數(shù)的最大值，最高點的橫坐標就是函數(shù)達到最大值時的自變量的值．如果函數(shù)圖象有最低點，那么最低點的縱坐標就是這個函數(shù)的最小值，最低點的橫坐標就是函數(shù)達到最小值時的自變量的值．如果函數(shù)圖象無最高點也無最低點，那么這個函數(shù)就既沒有最大值也沒有最小值．如拋物線上的最低點是（1，3），則函數(shù)當x＝1時達到最小值3．拋物線上的最高點是則函數(shù)時達到最大值直線y=2x-1的圖象既無最高點又無最低點，所以函數(shù)y=2x-1既無最大值也無最小值．要注意，函數(shù)是否有最大值和最小值，是在自變量的整個取值范圍內(nèi)考慮的．最值問題是一個整體概念，要觀察整個圖象是否存在最高點和最低點．例右圖所示的是某個函數(shù)的圖象．根據(jù)圖象分析函數(shù)的單調(diào)性及最大值最小值．教師在講解時要引導學生去觀察圖象變化趨勢，從而得出結(jié)論：函數(shù)不存在最大值，也不存在最小值．這是因為函數(shù)的圖象在第一象限向上方無限延伸，在第三象限向下方無限延伸，無最高點也無最低點．有的同學可能認為點（1，1）是圖象的最高點，點（3，－1）是圖象的最低點，這是錯誤的．但是，函數(shù)的增減性是存在的．因為函數(shù)的增減性不必在自變量的整個變化范圍內(nèi)考慮．由圖象知：當x≤1或者x≥3時，圖象是上升的．說明函數(shù)分別在這兩個范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大；當1≤x≤3時，圖象是下降的，說明函數(shù)在這個范圍內(nèi)，y隨x的增大而減?。嘘P(guān)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，在初中階段只是做一初步了解，更高層次的討論，有待于在高中階段進行．（三）怎樣突破函數(shù)圖象與性質(zhì)教學中的難點1．函數(shù)圖象的變換與解析式變化之間的關(guān)系：隨著函數(shù)解析式的形式或其中系數(shù)的變化，函數(shù)的圖象隨之會發(fā)生變化．例如一次函數(shù)中的k,b，反比例函數(shù)中的k，二次函數(shù)中的a,b,c等．例1．若反比例函數(shù)，當x>0，y隨x的增大而增大，則一次函數(shù)y=kx－k的圖象經(jīng)過第幾象限（）A、一、二、三B、一、二、四C、一、三、四D、二、三、四講解本題時，要引導學生入手點，需要抓住什么量去思考？根據(jù)題的條件可知要判斷y=kx-k的位置，需知道k的符號，由已知,當x>0時，y隨x的增大而增大，所以k<0．這里要講解清楚反比例函數(shù)的增減性要注意分象限考慮的.∴一次函數(shù)y=kx-k的圖象過一、二、四，故選B．例2．在圖中，函數(shù)y=－ax2與y=ax+b的圖象可能是()這是非常典型的問題，教師可以引導學生思考兩個函數(shù)的聯(lián)系，讓學生思考在同一坐標系中兩個圖象的關(guān)系，通過系數(shù)a來聯(lián)系兩個函數(shù)．通過本例，可以讓學生更加理解一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式中參數(shù)的作用．例3．如下圖，在同一直角坐標系中，正比例函數(shù)y=（m－1）x與反比例函數(shù)的圖象的大體位置不可能是（）要判斷直線和雙曲線的位置關(guān)系，借助于它們的字母系數(shù)的符號，如何對字母系數(shù)進行討論給予學生方法上的指導，本題要對字母系數(shù)m-1與4m的符號進行討論，進而選擇合理答案，而本題選擇了排除法解決，這也是解決選擇題常用的方法.因不確定其符號，所以分兩種情況進行討論，當m-1>0時，4m>0，故A對，D不對；當m-1<0又有兩種情況：0<m<1或m<0，而前者又4m>0，故B對，后者又4m<0，故C對．2．函數(shù)的變化趨勢（單調(diào)性）函數(shù)的變化趨勢，即單調(diào)性，只是在初中我們沒有提及單調(diào)性的概念．函數(shù)的變化趨勢在求最大（?。┲?，比較函數(shù)值的大小，判斷函數(shù)圖象等方面起著關(guān)鍵的作用．例1．如下圖是反比例函數(shù)的圖象的一支，根據(jù)圖象回答下列問題：（1）圖象的另一支在哪個象限？常數(shù)m的取值范圍是什么（2）如圖的圖象上任取點A（a,b）和點B（a′,b′），如果a>a′，那么b和b′有怎樣的大小關(guān)系？問題（1）需要教師交代清反比例函數(shù)的圖象的分布只有兩種可能，分布在第一、三象限，或者分布在第二、四象限.由條件知這個函數(shù)的圖象的一支在第一象限，則另一支必在第三象限．因此這個函數(shù)的圖象分布在第一、三象限，可以引導學生利用所學過的不等式的知識可以求出m的取值范圍，即m－5>0，解得m>5．問題（2）的講解，要交給學生由圖看數(shù)的方法，即由函數(shù)的圖象可知，在雙曲線的一支上，y隨x的增大而減?。援攁>a′時，b<b′．例2．設0＜k＜1，且k為常數(shù)，自變量為x的一次函數(shù)，當1≤x≤2時的最大值是k．教師在教學中注意給學生分析清楚，此題不要盲目的把x=2代進去求值．因為最大值與最小值在何時取得，與函數(shù)的單調(diào)性息息相關(guān)．而一次函數(shù)的單調(diào)性與x的一次項系數(shù)有關(guān)，所以解決本題的關(guān)鍵是先整理一次函數(shù)的解析式，得到一次項系數(shù)，并判斷其正負，確定單調(diào)性，就可以知道最大值在哪里取得．讓學生理解兩者的關(guān)系，例3．若點是二次函數(shù)的圖象上的三點，則的大小關(guān)系是.同例2教師在教學中注意給學生分析清楚，此題不要盲目的把x代進去求值．因為二次函數(shù)的函數(shù)值的比較大小，可以通過對稱性把自變量放在對稱軸的同一側(cè)，再使用增減性進行比較；也可以根據(jù)點到對稱軸的距離來確定，開口向下，離對稱軸越遠，則函數(shù)值越小，結(jié)合圖象讓學生理解．（四）怎樣分析函數(shù)圖象與性質(zhì)同相關(guān)知識的聯(lián)系及解題策略1．結(jié)合函數(shù)圖象求多邊形的面積求與函數(shù)圖象有關(guān)的多邊形的面積是常見的問題，關(guān)鍵是如何確定三角形的底或高，如何把不規(guī)則的多邊形分割成一些面積比較好求的三角形或四邊形．尤其是反比例函數(shù)圖象中的三角形和矩形面積的不變性，也就是面積與反比例系數(shù)的關(guān)系，應該讓學生靈活掌握．例1．如圖，過反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上任意兩點A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連接OA、OB，設△AOC和△BOD的面積分別是S1、S2，比較它們的大小，可得（）A．S1＞S2B.S1＝S2C.S1＜S2D.大小關(guān)系不能確定這是反比例函數(shù)圖象中的面積不變性．如何把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成形的問題來解決，是需要給學生講解明白，從反比例函數(shù)的圖象上任一點P（x，y）向x軸、y軸作垂線段，與x軸、y軸所圍成的矩形面積，由此可得S1＝S2＝，故選B例2．如下圖，點A、B在反比例函數(shù)的圖象上，且點A、B的橫坐標分別為a，2a（a>0），AC⊥x軸，垂足為點C，且△AOC的面積為2．（1）求該反比例函數(shù)的解析式．（2）若點（－a，y1），（－2a，y2）在該反比例函數(shù)的圖象上，試比較y1與y2的大小．先由學生獨立思考尋找解題的途徑，在學生思考過程中教師應給予適當指導．學生能否借助新舊知識的聯(lián)系，轉(zhuǎn)化遷移舊知識．通過Rt△AOC的面積，可知xA·yA=4．又因為點A在雙曲線上，所以xA·yA=k，可求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，k>0，y隨x的增大而減小知，自變量x越大，函數(shù)值反而小，通過比較－a與－2a的大小可知y1與y2的大小．例3．正比例函數(shù)y=kx（k>0）與反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點，過A作x軸的垂線交x軸于B，連接BC，若△ABC的面積為S，則（）A.S=1B.S=2C.S=3D.S的值不確定本例題注意引導學生充分利用反比例函數(shù)圖象的對稱性，將所求的三角形面積進行割轉(zhuǎn)換成特殊的三角形來解決問題，根據(jù)反比例函數(shù)的解析式中比例系數(shù)與有關(guān)三角形面積的關(guān)系，易求出△AOB的面積，要求△ABC的面積只需找到△OBC和△OAB的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)AO=CO，而且高相同，所以面積相等．例4如圖兩條拋物線與分別經(jīng)過點(-2,0),(2,0)且平行于y軸的兩條平行線圍成的陰影部分的面積為8．這是一個非多邊形的面積．可以采用割補法，把陰影部分面積轉(zhuǎn)化為一個矩形的面積．而如何轉(zhuǎn)化是講解的關(guān)鍵點，這種轉(zhuǎn)化的思想在初中數(shù)學中是經(jīng)常用到的.2．通過函數(shù)圖象的交點研究方程、不等式的問題函數(shù)與方程、不等式的結(jié)合使得代數(shù)問題上升了一個高度，能夠理解三者之間的關(guān)系，并能從函數(shù)的角度來解釋方程和不等式的問題，是解決問題的關(guān)鍵．就拿一次函數(shù)為例，談談函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系．(1)一次函數(shù)與一元一次方程：由于任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a、b是常數(shù)且a不為0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當某個一次函數(shù)的值為0時，求相應的自變量的值．從圖象上看這相當于已知直線y=ax+b，確定它與x軸交點的橫坐標的值．(2)一次函數(shù)與一元一次不等式由于任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0（a、b是常數(shù)且a不為0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數(shù)值大（?。┯?時，求自變量相應的取值范圍．從圖象上看，解ax+b>0相當于已知直線y=ax+b在x軸上方時，自變量x相應的取值范圍；解ax+b<0相當于已知直線y=ax+b在x軸下方時，自變量x相應的取值范圍．(3)一次函數(shù)與二元一次方程組每個二元一次方程組都對應兩個一次函數(shù)，于是也對應兩條直線．從“數(shù)”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這個函數(shù)值是何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點．方程（組）、不等式與函數(shù)之間互相聯(lián)系，用函數(shù)觀點可以把它們統(tǒng)一起來．例1．如圖，利用的圖象．（1）求出的解；（2）求出的解集；（3）求出的解集；（4）你能求出的解集嗎？（5）你還能求出哪些不等式的解集呢？我們知道，對于一般的一元一次不等式，它與一次函數(shù)的求值，利用圖象分析數(shù)量關(guān)系等問題關(guān)系很密切．那么這個密切關(guān)系如何講透講清是教師需要思考的.例2．用畫函數(shù)圖象的方法解不等式5x+4<2x+10.雖然向上面那樣用一次函數(shù)圖象來解方程或不等式未必簡單，但是從函數(shù)角度看問題，能發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)、一元一次方程與一元一次不等式之間的聯(lián)系，能直觀地看到怎樣用圖形來表示方程的解與不等式的解，這種用函數(shù)的觀點認識問題的方法，對于數(shù)學學習很重要．當畫圖象成為一種自覺、成為一種習慣的時候，用圖象法解方程，解不等式就很直觀、形象，而且對于數(shù)學的后續(xù)學習很重要．實際上，計算機完全可以代替手工繪制圖象，只要輸入一個解析式，就可出來一個精確的圖象．所以這種方法教師要重視，要將知識之間的聯(lián)系講解到位.例3．兩直線的交點坐標為（2，3）．這是一個由數(shù)解決形的問題，是利用函數(shù)與函數(shù)，函數(shù)與方程及方程組之間的聯(lián)系解決幾何中線的交點問題，這些關(guān)系是教師講解的重點.求兩個函數(shù)圖象的交點，即把兩個函數(shù)解析式聯(lián)立方程組，求其公共解，此法可用于任意函數(shù)；體現(xiàn)了函數(shù)與方程的關(guān)系，體現(xiàn)公共點與公共解的對應，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．例4．

觀察函數(shù)的圖象,當x<-2時,y的取值范圍是-1<y<0；當y﹥-1時,x的取值范圍是x<-2或x>0．在函數(shù)與不等式關(guān)系的教學中，應該讓學生理解關(guān)于x或y的不等式在圖象上如何體現(xiàn)，如何把圖象上的信息用不等式表示出來是解決問題的關(guān)鍵，這一點上教學中應該注意引導學生.例5：畫出二次函數(shù)y=x2-x-2的圖象，觀察函數(shù)值y<0時，x的取值范圍是（C）A．x<－1B．x>2C．－1<x<2D．x<－1或x>2探究二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系在初中階段只是一個初步的了解，不易過難，過深去要求學生，這個知識點是為高中的一元二次不等式的學習打基礎(chǔ)．所以教師在講解時要注意把握好度.三、學生常見的問題及解決的策略方法（一）從函數(shù)圖象中獲取信息解決問題的困惑函數(shù)圖象中總是蘊含著很多的信息，學生的困惑是如何把實際問題與函數(shù)圖象聯(lián)系起來，學生總是不知如何提取重要信息，通過例題講解，要讓學生學會如何在函數(shù)圖象中獲取信息，并通過圖象中的數(shù)據(jù)來求解．例．汽車由天津駛往相距120千米的北京，S（千米）表示汽車離開的距離，t（小時）表示汽車行駛的時間．S與t的關(guān)系如圖所示．(1)汽車用幾小時可到達北京？速度是多少？(2)汽車行駛1小時，離開天津有多遠？(3)當汽車距北京20千米時，汽車出發(fā)了多長時間？解法一：用圖象解答：從圖上可以看出4個小時可到達．速度＝120÷4=30（千米／時）．行駛１小時離開天津約為30千米．當汽車距北京20千米時汽車出發(fā)了約3．3個小時．解法二：用解析式來解答：由圖象可知：S與t是正比例關(guān)系，設S=kt，當t=4時S=120即120=k×4k=30∴S=30t．當t=1時，S=30×1=30（千米）．當S=100時，100=30t，t=（小時）．老師在教學時，給學生講解清楚以上兩種方法優(yōu)劣：用圖象法解題直觀，用解析式解題準確．在教學中讓學生學會數(shù)形結(jié)合的方法、體會數(shù)形結(jié)合的思想是解決問題的關(guān)鍵．老師通過例題的講解，讓學生體會何時需要觀察圖象確定信息，何時需要使用解析式通過計算來進行定量分析．（二）描述反比例函數(shù)單調(diào)性及應用問題的困惑學生在描述和使用反比例函數(shù)的單調(diào)性的時候總是容易犯一個錯誤：忘記考慮所在象限．反比例函數(shù)并不是連續(xù)單調(diào)遞增或遞減的，而是具有局部的增減性，因此在描述反比例函數(shù)的單調(diào)性時，必須要強調(diào)在各自象限內(nèi)．關(guān)于使用單調(diào)判斷函數(shù)值的大小時，更應該注意自變量是否同號或異號．這一點應該讓學生記住，并且通過例題讓學生真正體會和理解．例1（1）若點（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），都在反比例函數(shù)的圖象上，并且x1<0<x2<x3，則下列各式中正確的是（）A、y1<y2<y3B、y2<y3<y1C、y3<y2<y1D、y1<y3<y2（2）已知反比例函數(shù)的圖象上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且x1<x2，則y1－y2的值是（）A、正數(shù)B、負數(shù)C、非正數(shù)D、不能確定例2．已知反比例函數(shù)的圖象上有三點，其中k>0，，則的大小關(guān)系是．這些問題實際上是強調(diào)了反比例函數(shù)變化趨勢的描述；比較兩個函數(shù)值的大小，教學中教師要注意給學生分析清楚兩個自變量是否在同一個增減區(qū)間內(nèi)；交代明白比較大小時要注意自變量異號時應使用函數(shù)值的正負判斷，讓學生去體會函數(shù)值同號時應使用函數(shù)單調(diào)性來判斷的技巧．（三）通過函數(shù)圖象確定解析式中系數(shù)關(guān)系問題的困惑同一類函數(shù)的圖象是類似的，例如一次函數(shù)的圖象都是直線，反比例函數(shù)的圖象都是雙曲線，二次函數(shù)的圖象都是拋物線．但是隨著系數(shù)的變化，圖象的形狀也會有小幅變化．另外系數(shù)也影響著函數(shù)圖象的形狀和位置．在同一坐標系中兩個函數(shù)圖象的位置與形狀、如何通過圖象之間的關(guān)系來確定系數(shù)的大小關(guān)系是學生難以解決的問題，所以通過例題可以讓學生理解．例1．如圖是三個反比例函數(shù)在x軸上方的圖象，由此觀察得到k1,k2,k3.的大小關(guān)系是．教學中教師應講解清楚反比例函數(shù)的圖象都是雙曲線，但是由于系數(shù)k的不同，圖象也會有區(qū)別，如何聯(lián)系系數(shù)與圖象位置是一個難點．對于不同象限的圖象，系數(shù)的關(guān)系是顯然的，而對于同象限的圖象，反比例函數(shù)的系數(shù)k之間的大小關(guān)系可以通過取特殊值來確定．對這一難點應從特殊到一般逐漸滲透其變化規(guī)律.例2．在同一直角坐標系中，函數(shù)和（k為常數(shù)且）的圖象只可能是（B）

這是一類非常常見的問題，考查兩個函數(shù)在同一坐標系中的圖象．教師在講解這一類問題時，要從不同的角度去思考，如從一次函數(shù)的圖象入手解決或從反比例函數(shù)圖象入手解決，讓學生去比較每種方法的特征，體會解決問題多途徑的思維方式.例3．如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，試判斷以下各式的值的符號．(1)a；(2)b；(3)c；(4)b2-4ac；(5)2a＋b；(6)a＋b＋c；(7)a－b＋c這類典型問題，教師在講解時要抓住突破點，交待清楚二次函數(shù)中有關(guān)字母系數(shù)與圖象之間的關(guān)系，引領(lǐng)學生學會根據(jù)圖象確定系數(shù)的特征．引領(lǐng)學生理解上述幾種問題的做法，讓學生感悟從圖象中獲取相應的信息，從而確定系數(shù)所應該滿足的條件．在教師的引導下讓學生去總結(jié)常用到的一些特殊條件解決問題有效途徑，如開口方向，對稱軸的位置，與x軸交點的個數(shù)與位置，與y軸交點的位置，一些特殊點的位置等．例4．拋物線的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖象大致為（D）在教學中教師應善于引導學生將所學過的知識進行串聯(lián)，從中尋找出各塊知識的聯(lián)系與區(qū)別，引導學生學會此類問題是由圖象先確定系數(shù)的大小，再由系數(shù)特征確定新的函數(shù)圖象．教師教學中要交代清楚此問題中要知道拋物線與x軸的交點個數(shù)與其對應的一元二次方程判別式之間的關(guān)系，還有系數(shù)和與當x=1時的函數(shù)值之間的關(guān)系．（四）利用函數(shù)圖象分析實際問題的困惑實際問題、動態(tài)幾何等問題中經(jīng)常會有兩個變量的函數(shù)關(guān)系．要學會通過問題確定函數(shù)圖象，有些可以確定解析式，有些不容易確定解析式，但可以通過變量的變化趨勢分析得到圖象．有些問題是已知函數(shù)圖象，需要得到實際