高一數(shù)學(xué)一隅三反系列(人教A版必修第一冊(cè))5.7三角函數(shù)的應(yīng)用(精練)(原卷版+解析)

5.7三角函數(shù)的應(yīng)用（精練）1在幾何中的應(yīng)用1．(2023廣東）如圖，在扇形POQ中，半徑，圓心角，B是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，矩形ABCD內(nèi)接于扇形．其中CD在半徑OQ上，記．（1）當(dāng)時(shí)，求矩形ABCD的面積；（2）求當(dāng)角取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出這個(gè)最大值．2．(2023·江蘇·徐州中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為5，其中AEF是一個(gè)半徑為4的扇形，在弧EF上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，過(guò)Q作正方形邊長(zhǎng)BC，CD的垂線分別交BC，CD于G，H，設(shè)，長(zhǎng)方形QGCH的面積為S.（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）求的最大值.3．(2023·江西省萬(wàn)載中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖所示，一條河寬AC為1km，兩岸各有一座城市A和B，A與B的直線距離是4km，今需鋪設(shè)一條電纜連接城市A和B，已知地下電纜的修建費(fèi)是2萬(wàn)元/km，水下電纜的修建費(fèi)是4萬(wàn)元/km，假設(shè)兩岸是平行直線（沒(méi)有彎曲），設(shè)∠CAD=θ，鋪設(shè)電纜總施工費(fèi)用為y元.(1)求y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式.(2)應(yīng)該鋪設(shè)地下電纜BD多長(zhǎng)時(shí)方可使總施工費(fèi)用y達(dá)到最小.2在生活中的應(yīng)用1．(2023廣西）（多選）如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心距離水面2米，已知水輪每60秒逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開(kāi)始計(jì)時(shí)，則（）．A．點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要20秒B．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)155秒時(shí)，點(diǎn)距離水面2米C．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)50秒時(shí)，點(diǎn)在水面下方，距離水面2米D．點(diǎn)距離水面的高度（米）與（秒）的函數(shù)解析式為2．(2023·廣東清遠(yuǎn)·高一期中）（多選）如圖為一半徑為3m的水輪，水輪圓心O距水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)5圈，水輪上的點(diǎn)P到水面距離y（m）與時(shí)間x（s）滿足關(guān)系式，則有（

） B． C． D．3．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）游樂(lè)場(chǎng)中的摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)，每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，其中心O距離地面40.5米，半徑40米．如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時(shí)間的變化而變化，以你登上摩天輪的時(shí)刻開(kāi)始計(jì)時(shí)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）你與地面的距離隨時(shí)間的變化而變化，這個(gè)現(xiàn)象是周期現(xiàn)象嗎？（2）轉(zhuǎn)四圈需要多少時(shí)間？（3）你第四次距地面最高需要多少時(shí)間？（4）轉(zhuǎn)60分鐘時(shí)，你距離地面是多少？4．(2023·遼寧丹東·高一期末）如圖，某地一天從時(shí)的溫度變化曲線近似滿足，其中，，.(1)求，，，；(2)求這一天時(shí)的最大溫差近似值.參考數(shù)據(jù)：，.5．(2023·陜西師大附中高一期中）如圖，公園摩天輪的半徑為40米，圓心距地面的高度為50米，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)每2分鐘轉(zhuǎn)一圈．某人從摩天輪的最低點(diǎn)處登上摩天輪并開(kāi)始計(jì)時(shí)，已知經(jīng)過(guò)t分鐘時(shí)，此人距離地面的高度為y米，且．(1)求的解析式．(2)當(dāng)離地面米以上時(shí)，可以看到公園的全貌，求轉(zhuǎn)一圈中此人有多長(zhǎng)時(shí)間可以看到公園的全貌？3在物理上的應(yīng)用1．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示為一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則下列判斷中正確的是（

）A．該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期為 B．該質(zhì)點(diǎn)的振幅為C．該質(zhì)點(diǎn)在和時(shí)振動(dòng)速度最大 D．該質(zhì)點(diǎn)在和時(shí)的振動(dòng)速度為02．(2023·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）電流隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖象如圖所示，則時(shí)的電流為_(kāi)_____．3．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某星星的亮度變化周期為10天，此星星的平均亮度為3.8星等，最高亮度距離平均亮度0.2星等，則可近似地描述此星星的亮度與時(shí)間之間關(guān)系的一個(gè)三角函數(shù)為_(kāi)_______．4．(2023·陜西）如圖，一根長(zhǎng)l（單位：cm）的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)小鋼球，當(dāng)小鋼球做單擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位移S（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為，其中.(1)當(dāng)時(shí)，小鋼球離開(kāi)平衡位置的位移S是多少cm？(2)要使小鋼球擺動(dòng)的周期是1s，則線的長(zhǎng)度l應(yīng)該為多少cm（精確到0.1cm）？5(2023·江蘇）若單擺中小球相對(duì)靜止位置的位移隨時(shí)間的變化而周期性變化，如圖所示，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)單擺運(yùn)動(dòng)的周期是多少？(2)從點(diǎn)算起，到曲線上的哪一點(diǎn)表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)？如從點(diǎn)算起呢？(3)當(dāng)時(shí)，單擺小球相對(duì)于靜止位置的位移是多少？6(2023·河南·高一階段練習(xí)）如圖，某個(gè)彈簧振子（簡(jiǎn)稱振子）在完成一次全振動(dòng)的過(guò)程中，時(shí)間（單位：）與位移（單位：）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示，其變化規(guī)律可以用來(lái)刻畫(huà)．t0.000.100.200.300.400.500.60y10.320.010.3(1)試確定位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；(2)在理想狀態(tài)下，經(jīng)過(guò)10秒，該彈簧振子的位移和路程分別是多少？（精確到0.1）7．(2023·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）如圖為某簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圖象，它符合（，，）的形式．(1)求該簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和初相；(2)求該簡(jiǎn)諧振動(dòng)的函數(shù)解析式；(3)求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．8．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）用彈簧掛著的小球做上下運(yùn)動(dòng)，它在t秒時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度h厘米由下列關(guān)系式確定：．以t為橫坐標(biāo)，h為縱坐標(biāo)，作出這個(gè)函數(shù)在上的圖象，并回答下列問(wèn)題．(1)小球在開(kāi)始振動(dòng)時(shí)（即時(shí)）的位置在哪里？(2)小球的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)與平衡位置的距離分別是多少？(3)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間小球往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次？(4)每秒鐘小球能往復(fù)運(yùn)動(dòng)多少次？5.7三角函數(shù)的應(yīng)用（精練）1在幾何中的應(yīng)用1．(2023廣東）如圖，在扇形POQ中，半徑，圓心角，B是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，矩形ABCD內(nèi)接于扇形．其中CD在半徑OQ上，記．（1）當(dāng)時(shí)，求矩形ABCD的面積；（2）求當(dāng)角取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出這個(gè)最大值．答案:（1）；（2）當(dāng)時(shí)，矩形ABCD的面積，最大面積為．解析：（1）在中，，，在中，，所以，所以，設(shè)矩形ABCD的面積為S，則.（2）在中，，．在中，，所以，所以，設(shè)矩形ABCD的面積為S，則，，由，得，所以當(dāng)，即時(shí)．因此，當(dāng)時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為．2．(2023·江蘇·徐州中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為5，其中AEF是一個(gè)半徑為4的扇形，在弧EF上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，過(guò)Q作正方形邊長(zhǎng)BC，CD的垂線分別交BC，CD于G，H，設(shè)，長(zhǎng)方形QGCH的面積為S.（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）求的最大值.答案:（1），；（2）5.解析：⑴，則在豎直方向上的投影的長(zhǎng)度為，在水平方向上的投影長(zhǎng)度為，故，，，，整理得：，；（2），，令，即，平方可得，當(dāng)時(shí)，可求得.，，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，.3．(2023·江西省萬(wàn)載中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖所示，一條河寬AC為1km，兩岸各有一座城市A和B，A與B的直線距離是4km，今需鋪設(shè)一條電纜連接城市A和B，已知地下電纜的修建費(fèi)是2萬(wàn)元/km，水下電纜的修建費(fèi)是4萬(wàn)元/km，假設(shè)兩岸是平行直線（沒(méi)有彎曲），設(shè)∠CAD=θ，鋪設(shè)電纜總施工費(fèi)用為y元.(1)求y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式.(2)應(yīng)該鋪設(shè)地下電纜BD多長(zhǎng)時(shí)方可使總施工費(fèi)用y達(dá)到最小.答案:(1)，其中(2)解析：（1）由題可知，，其中（2）由（1）可得因?yàn)?，所以，設(shè)，則，即，因?yàn)?，所以，解得，，此時(shí)，，滿足，故當(dāng)時(shí)，總施工費(fèi)用y達(dá)到最小，所以2在生活中的應(yīng)用1．(2023廣西）（多選）如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心距離水面2米，已知水輪每60秒逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開(kāi)始計(jì)時(shí)，則（）．A．點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要20秒B．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)155秒時(shí)，點(diǎn)距離水面2米C．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)50秒時(shí)，點(diǎn)在水面下方，距離水面2米D．點(diǎn)距離水面的高度（米）與（秒）的函數(shù)解析式為答案:ABC解析：設(shè)點(diǎn)距離水面的高度（米）和時(shí)間（秒）的函數(shù)解析式為，由題意得：解得故．故D錯(cuò)誤；對(duì)于A，令，即，解得：，故A正確；對(duì)于B，令，代入，解得：，故B正確；對(duì)于C，令，代入，解得：，故C正確．故選：ABC2．(2023·廣東清遠(yuǎn)·高一期中）（多選）如圖為一半徑為3m的水輪，水輪圓心O距水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)5圈，水輪上的點(diǎn)P到水面距離y（m）與時(shí)間x（s）滿足關(guān)系式，則有（

）A． B． C． D．答案:BCD解析：由題意可知，可得，該函數(shù)的周期為，∴.故選：BCD.3．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）游樂(lè)場(chǎng)中的摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)，每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，其中心O距離地面40.5米，半徑40米．如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時(shí)間的變化而變化，以你登上摩天輪的時(shí)刻開(kāi)始計(jì)時(shí)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）你與地面的距離隨時(shí)間的變化而變化，這個(gè)現(xiàn)象是周期現(xiàn)象嗎？（2）轉(zhuǎn)四圈需要多少時(shí)間？（3）你第四次距地面最高需要多少時(shí)間？（4）轉(zhuǎn)60分鐘時(shí)，你距離地面是多少？答案:（1）是周期現(xiàn)象；（2）48（分鐘）；（3）42（分鐘）；（4）0.5（米）．解析：（1）游樂(lè)場(chǎng)中的摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)，每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，其中心距離地面40.5米，半徑40米，從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時(shí)間的變化而變化，利用三角函數(shù)的周期性得到你與地面的距離隨時(shí)間的變化而變化，這個(gè)現(xiàn)象是周期現(xiàn)象．（2）每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，轉(zhuǎn)四圈需要分鐘．（3）游樂(lè)場(chǎng)中的摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)，每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，其中心距離地面40.5米，半徑40米，出發(fā)后6分鐘時(shí)，摩天輪第一次到達(dá)最高點(diǎn)，你第四次距地面最高需要：分鐘．（4）由已知可設(shè)，，由周期為12分鐘可知，當(dāng)時(shí)，摩天輪第一次到達(dá)最高點(diǎn)，即函數(shù)第一次取得最大值，所以，即，，轉(zhuǎn)60分鐘時(shí)，你距離地面高度為：（米)．4．(2023·遼寧丹東·高一期末）如圖，某地一天從時(shí)的溫度變化曲線近似滿足，其中，，.(1)求，，，；(2)求這一天時(shí)的最大溫差近似值.參考數(shù)據(jù)：，.答案:(1)，，，(2)解析：(1)由圖象可知：，，最小正周期，，，；，，，解得：，又，.(2)由圖象可知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，即這一天時(shí)的最大溫差近似值為.5．(2023·陜西師大附中高一期中）如圖，公園摩天輪的半徑為40米，圓心距地面的高度為50米，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)每2分鐘轉(zhuǎn)一圈．某人從摩天輪的最低點(diǎn)處登上摩天輪并開(kāi)始計(jì)時(shí)，已知經(jīng)過(guò)t分鐘時(shí)，此人距離地面的高度為y米，且．(1)求的解析式．(2)當(dāng)離地面米以上時(shí)，可以看到公園的全貌，求轉(zhuǎn)一圈中此人有多長(zhǎng)時(shí)間可以看到公園的全貌？答案:(1)(2)分鐘解析：(1)由題意可得，所以，又，即，因?yàn)?，所以，所以?2)由題可得，即，解得，即，因?yàn)?，所以轉(zhuǎn)一圈中此人有分鐘可以看到公園的全貌.3在物理上的應(yīng)用1．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示為一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則下列判斷中正確的是（

）A．該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期為 B．該質(zhì)點(diǎn)的振幅為C．該質(zhì)點(diǎn)在和時(shí)振動(dòng)速度最大 D．該質(zhì)點(diǎn)在和時(shí)的振動(dòng)速度為0答案:B解析：由圖象可知周期是，A錯(cuò)，振幅為，B正確；曲線上各點(diǎn)處的切線的斜率（導(dǎo)數(shù)值）才是相應(yīng)的速度，質(zhì)點(diǎn)在和時(shí)振動(dòng)速度為0，C錯(cuò)，質(zhì)點(diǎn)在和時(shí)的振動(dòng)速度不為0，D錯(cuò)．故選：B．2．(2023·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）電流隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖象如圖所示，則時(shí)的電流為_(kāi)_____．答案:解析：由函數(shù)的圖象可得，且，故，而，故，解得，故，故，故答案為：.3．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某星星的亮度變化周期為10天，此星星的平均亮度為3.8星等，最高亮度距離平均亮度0.2星等，則可近似地描述此星星的亮度與時(shí)間之間關(guān)系的一個(gè)三角函數(shù)為_(kāi)_______．答案:解析：設(shè)所求函數(shù)為，由題意得，即，，，故．故答案為：4．(2023·陜西）如圖，一根長(zhǎng)l（單位：cm）的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)小鋼球，當(dāng)小鋼球做單擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位移S（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為，其中.(1)當(dāng)時(shí)，小鋼球離開(kāi)平衡位置的位移S是多少cm？(2)要使小鋼球擺動(dòng)的周期是1s，則線的長(zhǎng)度l應(yīng)該為多少cm（精確到0.1cm）？答案:(1)1.5cm；(2).解析：(1)在函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，小鋼球離開(kāi)平衡位置的位移S是1.5cm.(2)依題意，，而周期，又，則，即，解得()，所以線的長(zhǎng)度l應(yīng)該為.5(2023·江蘇）若單擺中小球相對(duì)靜止位置的位移隨時(shí)間的變化而周期性變化，如圖所示，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)單擺運(yùn)動(dòng)的周期是多少？(2)從點(diǎn)算起，到曲線上的哪一點(diǎn)表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)？如從點(diǎn)算起呢？(3)當(dāng)時(shí)，單擺小球相對(duì)于靜止位置的位移是多少？答案:(1)(2)從點(diǎn)算起，到曲線上的點(diǎn)表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng);從點(diǎn)算起，到曲線上的點(diǎn)表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)(3)解析：(1)從題圖可以看出，單擺運(yùn)動(dòng)的周期是；(2)若從點(diǎn)算起，到曲線上的點(diǎn)表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)；若從點(diǎn)算起，到曲線上的點(diǎn)表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)；(3)，所以小球經(jīng)過(guò)相對(duì)于靜止位置的位移是．6(2023·河南·高一階段練習(xí)）如圖，某個(gè)彈簧振子（簡(jiǎn)稱振子）在完成一次全振動(dòng)的過(guò)程中，時(shí)間（單位：）與位移（單位：）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示，其變化規(guī)律可以用來(lái)刻畫(huà)．t0.000.100.200.300.400.500.60y10.320.010.3(1)試確定位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；(2)在理想狀態(tài)下，經(jīng)過(guò)10秒，該彈簧振子的位移和路程分別是多少？（精確到0.1）答案:(1)(2)彈簧振子的位移是，路程為解析：(1)由數(shù)據(jù)表可知，．振子的周期為0.60s，所以，解得．所以，因?yàn)闀r(shí)，．所