人大微積分課件5-4定積分的分部積分法

定積分的分部積分法定積分的分部積分法是微積分學(xué)中的重要方法之一，用于計(jì)算復(fù)雜函數(shù)的定積分。ppbypptppt分部積分法的基本思路1選擇合適的函數(shù)將被積函數(shù)分成兩部分，其中一部分容易求導(dǎo)，另一部分容易積分。2應(yīng)用分部積分公式將兩部分函數(shù)分別求導(dǎo)積分，然后代入公式進(jìn)行計(jì)算。3化簡積分通過分部積分公式得到的積分可能比原積分更簡單，可以繼續(xù)用同樣的方法求解。4重復(fù)上述步驟如果需要，可以重復(fù)上述步驟直到得到一個(gè)可以求解的積分。分部積分法的核心在于將復(fù)雜積分問題轉(zhuǎn)化為更簡單的積分問題，通過反復(fù)應(yīng)用分部積分公式，最終可以得到原積分的解析解。分部積分法的公式基本公式分部積分法的基本公式如下：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx解釋其中u(x)和v(x)是兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，公式將原積分轉(zhuǎn)化為另一個(gè)積分，通常更容易求解。分部積分法的應(yīng)用分部積分法廣泛應(yīng)用于各種數(shù)學(xué)問題中，特別是求解那些難以直接積分的函數(shù)的定積分。例如，在物理學(xué)、工程學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域，分部積分法被用來求解復(fù)雜函數(shù)的積分，從而解決實(shí)際問題。分部積分法的優(yōu)點(diǎn)1簡化積分分部積分法可以將復(fù)雜積分轉(zhuǎn)化為更簡單的積分，使計(jì)算更容易。2拓展應(yīng)用分部積分法可以解決多種類型積分，包括無法直接積分的函數(shù)。3提高效率使用分部積分法可以有效地簡化計(jì)算過程，提高求解效率。4靈活運(yùn)用分部積分法可以與其他積分方法結(jié)合使用，解決更復(fù)雜的積分問題。分部積分法的局限性適用范圍分部積分法并非適用于所有函數(shù)的定積分，有些函數(shù)無法通過該方法求解。復(fù)雜計(jì)算對于某些函數(shù)，分部積分法需要反復(fù)使用，導(dǎo)致計(jì)算過程復(fù)雜，甚至無法得到解析解。選擇困難選擇合適的函數(shù)進(jìn)行分部積分需要一定的技巧和經(jīng)驗(yàn)，并非所有情況都容易判斷。分部積分法的實(shí)例1計(jì)算∫xsin(x)dx該積分可以用分部積分法進(jìn)行求解，選擇u(x)=x和v'(x)=sin(x)，應(yīng)用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算。應(yīng)用分部積分公式將u(x)和v'(x)代入公式，得到∫xsin(x)dx=-xcos(x)+∫cos(x)dx，進(jìn)一步求解得到結(jié)果。分部積分法的實(shí)例2分部積分法的實(shí)例2可以用來計(jì)算∫x2ln(x)dx的定積分。選擇u(x)=ln(x)和v'(x)=x2，應(yīng)用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算，得到∫x2ln(x)dx=(1/3)x3ln(x)-∫(1/3)x3(1/x)dx。進(jìn)一步化簡并求解，得到結(jié)果。分部積分法的實(shí)例3分部積分法的實(shí)例3可以用來計(jì)算∫x3exdx的定積分。選擇u(x)=x3和v'(x)=ex，應(yīng)用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算，得到∫x3exdx=x3ex-∫3x2exdx。進(jìn)一步化簡并求解，得到結(jié)果。分部積分法的實(shí)例4計(jì)算∫x3ln(x)dx選擇u(x)=ln(x)和v'(x)=x3，應(yīng)用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算。應(yīng)用分部積分公式將u(x)和v'(x)代入公式，得到∫x3ln(x)dx=(1/4)x4ln(x)-∫(1/4)x4(1/x)dx，進(jìn)一步化簡并求解。分部積分法的實(shí)例5分部積分法的實(shí)例5可以用來計(jì)算∫exsin(x)dx的定積分。選擇u(x)=sin(x)和v'(x)=ex，應(yīng)用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算，得到∫exsin(x)dx=exsin(x)-∫excos(x)dx。進(jìn)一步化簡并求解，得到結(jié)果。分部積分法的實(shí)例6分部積分法的實(shí)例6可以用來計(jì)算∫x2cos(x)dx的定積分。選擇u(x)=x2和v'(x)=cos(x)，應(yīng)用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算，得到∫x2cos(x)dx=x2sin(x)-∫2xsin(x)dx。進(jìn)一步化簡并求解，得到結(jié)果。分部積分法的實(shí)例7分部積分法的實(shí)例7可以用來計(jì)算∫ln(x)/x2dx的定積分。選擇u(x)=ln(x)和v'(x)=1/x2，應(yīng)用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算，得到∫ln(x)/x2dx=-ln(x)/x+∫1/x2dx。進(jìn)一步化簡并求解，得到結(jié)果。分部積分法的實(shí)例8計(jì)算∫ln(x)/(x+1)dx選擇u(x)=ln(x)和v'(x)=1/(x+1)，應(yīng)用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算。應(yīng)用分部積分公式將u(x)和v'(x)代入公式，得到∫ln(x)/(x+1)dx=ln(x)*ln(x+1)-∫ln(x+1)/xdx，進(jìn)一步化簡并求解。分部積分法的實(shí)例9計(jì)算∫arctan(x)dx該積分可以使用分部積分法進(jìn)行計(jì)算，選擇u(x)=arctan(x)和v'(x)=1，應(yīng)用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算。應(yīng)用分部積分公式將u(x)和v'(x)代入公式，得到∫arctan(x)dx=x*arctan(x)-∫x/(1+x2)dx，進(jìn)一步求解。求解積分最后，通過求解∫x/(1+x2)dx，得到最終結(jié)果。分部積分法的實(shí)例10分部積分法的實(shí)例10可以用來計(jì)算∫x3sin(x)dx的定積分。選擇u(x)=x3和v'(x)=sin(x)，應(yīng)用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算，得到∫x3sin(x)dx=-x3cos(x)+∫3x2cos(x)dx。進(jìn)一步化簡并求解，得到結(jié)果。分部積分法的實(shí)例11分部積分法的實(shí)例11可以用來計(jì)算∫x2e-xdx的定積分。選擇u(x)=x2和v'(x)=e-x，應(yīng)用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算，得到∫x2e-xdx=-x2e-x+∫2xe-xdx。進(jìn)一步化簡并求解，得到結(jié)果。分部積分法的實(shí)例12計(jì)算∫x2sin(x)dx使用分部積分法，選擇u(x)=x2和v'(x)=sin(x)。應(yīng)用分部積分公式將u(x)和v'(x)代入分部積分公式，得到∫x2sin(x)dx=-x2cos(x)+∫2xcos(x)dx。進(jìn)一步化簡再次使用分部積分法計(jì)算∫2xcos(x)dx，得到最終結(jié)果。分部積分法的實(shí)例13分部積分法的實(shí)例13可以用來計(jì)算∫x3ln(x)dx的定積分。選擇u(x)=ln(x)和v'(x)=x3，應(yīng)用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算，得到∫x3ln(x)dx=(x4/4)ln(x)-∫(x4/4)*(1/x)dx。進(jìn)一步化簡并求解，得到結(jié)果。分部積分法的實(shí)例14分部積分法的實(shí)例14可以用來計(jì)算∫x3exdx的定積分。選擇u(x)=x3和v'(x)=ex，應(yīng)用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算，得到∫x3exdx=x3ex-∫3x2exdx。進(jìn)一步化簡并求解，得到最終結(jié)果。分部積分法的實(shí)例15分部積分法的實(shí)例15可以用來計(jì)算∫x2sin(2x)dx的定積分。選擇u(x)=x2和v'(x)=sin(2x)，應(yīng)用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算，得到∫x2sin(2x)dx=-x2cos(2x)/2+∫xcos(2x)dx。進(jìn)一步化簡并求解，得到最終結(jié)果。分部積分法的實(shí)例16分部積分法的實(shí)例16可以用來計(jì)算∫exsin(x)dx的定積分。選擇u(x)=sin(x)和v'(x)=ex，應(yīng)用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算，得到∫exsin(x)dx=exsin(x)-∫excos(x)dx。進(jìn)一步化簡并求解，得到最終結(jié)果。分部積分法的實(shí)例17計(jì)算∫ln(x)/x2dx選擇u(x)=ln(x)和v'(x)=1/x2，應(yīng)用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算，得到∫ln(x)/x2dx=-ln(x)/x+∫1/x2dx。進(jìn)一步求解，得到最終結(jié)果。應(yīng)用分部積分公式將u(x)和v'(x)代入分部積分公式，得到-ln(x)/x+∫1/x2dx，進(jìn)一步化簡并求解。求解積分通過求解∫1/x2dx，得到最終結(jié)果。分部積分法的實(shí)例18計(jì)算∫ln(x)/xdx選擇u(x)=ln(x)和v'(x)=1/x，應(yīng)用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算，得到∫ln(x)/xdx=ln(x)2/2+C。應(yīng)用分部積分公式將u(x)和v'(x)代入分部積分公式，得到∫ln(x)/xdx=ln(x)2/2+C，進(jìn)一步化簡并求解。分部積分法的實(shí)例19分部積分法的實(shí)例19可以用來計(jì)算∫xln(x)dx的定積分。選擇u(x)=ln(x)和v'(x)=x，應(yīng)用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算，得到∫xln(x)dx=(x2/2)ln(x)-∫(x2/2)*(1/x)dx。進(jìn)一步化簡并求解，得到結(jié)果。分部積分法的實(shí)例20分部積分法的實(shí)例20可以用來計(jì)算∫sin(x)cos(x)dx的定積分。選擇u(x)=sin(x)和v'(x)=cos(x)，應(yīng)用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算，得到∫sin(x)cos(x)dx=sin(x)2/2+C。分部積分法的實(shí)例21分部積分法的實(shí)例21可以用來計(jì)算∫arcsin(x)dx的定積分。選擇u(x)=arcsin(x)和v'(x)=1，應(yīng)用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算，得到∫arcsin(x)dx=xarcsin(x)-∫x/√(1-x2)dx。進(jìn)一步化簡并求解，得到最終結(jié)果。選擇u(x)=arcsin(x)和v'(x)=1這一步驟是關(guān)鍵，它將復(fù)雜函數(shù)arcsin(x)轉(zhuǎn)換為更易于求解的形式。分部積分法的實(shí)例22計(jì)算∫arctan(x)dx選擇u(x)=arctan(x)和v'(x)=1，應(yīng)用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算，得到∫arctan(x)dx=xarctan(x)-∫x/(1+x2)dx。應(yīng)用分部積分公式將u(x)和v'(x)代入分部積分公式，得到xarctan(x)-∫x/(1+x2)dx，進(jìn)一步化簡并求解。求解積分通過求解∫x/(1+x2)dx，得到最終結(jié)果。分部積分法的實(shí)例23分部積分法的實(shí)例23可以用來計(jì)算∫tan-1(x)dx的定積分。選擇u(x)=tan-1(x)和v'(x)=1，應(yīng)用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算，得到∫tan-1(x)dx=xtan-1(x)-∫x/(1+x2)dx。進(jìn)一步化簡并求解，得到最終結(jié)果。分部積分法