第6章-半導(dǎo)體中的非平衡過剩載流子

高等半導(dǎo)體物理與器件

第6章半導(dǎo)體中的非平衡過剩載流子1載流子的產(chǎn)生與復(fù)合過剩載流子的性質(zhì)雙極輸運(yùn)準(zhǔn)費(fèi)米能級本章內(nèi)容2（1）平衡狀態(tài)半導(dǎo)體考慮直接帶間產(chǎn)生：電子-空穴對產(chǎn)生：價(jià)帶電子躍遷到導(dǎo)帶形成導(dǎo)帶電子，同時(shí)在價(jià)帶留下空位。電子-空穴對復(fù)合：導(dǎo)帶電子落回到價(jià)帶空位上，使導(dǎo)帶中電子數(shù)減少一個(gè)，同時(shí)價(jià)帶中空穴數(shù)減少一個(gè)。熱平衡狀態(tài)，電子、空穴凈濃度與時(shí)間無關(guān)，電子、空穴產(chǎn)生率（Gn0、Gp0）與其復(fù)合（Rn0、Rp0）率相等。6.1載流子的產(chǎn)生與復(fù)合3（2）過剩載流子的產(chǎn)生與復(fù)合除去熱激發(fā)，可借助其它方法產(chǎn)生載流子，使電子和空穴濃度偏離熱平衡載流子濃度n0、p0，此時(shí)的載流子稱為非平衡載流子（n、p），偏離平衡值的那部分載流子稱為過剩載流子（δn、δp）。產(chǎn)生非平衡載流子的方法：電注入（如pn結(jié)）、光注入（如光探測器）等。4假設(shè)高能光子注入半導(dǎo)體，導(dǎo)致價(jià)帶中電子被激發(fā)躍入導(dǎo)帶，產(chǎn)生過剩電子、過?？昭?。直接帶間，過剩電子和空穴成對出現(xiàn)、成對復(fù)合：直接帶間復(fù)合是一種自發(fā)行為，復(fù)合率同時(shí)與電子和空穴的濃度成正比。外力撤除的情況下，電子濃度變化率為復(fù)合系數(shù)5熱平衡態(tài)：非熱平衡態(tài)，電子的復(fù)合率：方程

可簡化為：注意：δn(t)既表示過剩多數(shù)載流子，也表示過剩少數(shù)載流子6在某種注入下，產(chǎn)生的過剩載流子濃度遠(yuǎn)低于熱平衡時(shí)的多子濃度，此時(shí)稱小注入。小注入下，半導(dǎo)體的導(dǎo)電性仍然由自身的摻雜條件所決定。小注入條件p型半導(dǎo)體小注入條件，公式可簡化為：

過剩少數(shù)載流子壽命，在小注入時(shí)是一個(gè)常數(shù)。注意：過剩少數(shù)載流子壽命和多數(shù)載流子濃度有關(guān)上式的解為：7過剩少數(shù)載流子的復(fù)合率定義為一個(gè)正數(shù)由于電子和空穴為成對復(fù)合，因而n型半導(dǎo)體的小注入，過剩少數(shù)載流子空穴的壽命為8過剩載流子在電場作用下的漂移作用過剩載流子在濃度梯度下的擴(kuò)散作用hνE+++---hν對于小注入摻雜半導(dǎo)體，有效擴(kuò)散系數(shù)和遷移率都是對應(yīng)少數(shù)載流子。6.2過剩載流子的性質(zhì)過剩電子和過?？昭ǖ倪\(yùn)動(dòng)并不是相互獨(dú)立，它們的擴(kuò)散和漂移都具有相同的有效擴(kuò)散系數(shù)和相同的遷移率。9（1）連續(xù)性方程

空間中某微元體積內(nèi)粒子數(shù)隨時(shí)間的變化關(guān)系與流入流出該區(qū)域的粒子流密度及該區(qū)域內(nèi)的產(chǎn)生復(fù)合的關(guān)系。dxdydz連續(xù)性方程的根本出發(fā)點(diǎn)：電荷守恒定律xyz10將x+dx處的粒子流密度進(jìn)行泰勒展開，只取前兩項(xiàng)：則由粒子流引起在單位時(shí)間內(nèi)微元體積內(nèi)粒子數(shù)的凈增加量：如果在該體積內(nèi)還存在粒子的產(chǎn)生和復(fù)合，則空穴增加量：dt時(shí)間內(nèi)空穴濃度增量該空間位置的流量散度復(fù)合率微元體積產(chǎn)生率11方程兩側(cè)除以微元體積，得到單位時(shí)間空穴濃度的凈增加量同理，電子的一維連續(xù)性方程：其中，τpt、τnt包括熱平衡載流子壽命及過剩載流子壽命。12（2）與時(shí)間有關(guān)的擴(kuò)散方程一維空穴和電子的電流密度：粒子流密度和電流密度有如下關(guān)系：從中可以求出散度

或：代入連續(xù)性方程13對于一維情況得到電子和空穴的擴(kuò)散方程得到：14電子和空穴的擴(kuò)散方程：上述兩式是有關(guān)電子和空穴與時(shí)間相關(guān)的擴(kuò)散方程。由于電子和空穴的濃度中都包含了過剩載流子的成分，因此上述兩式也就是描述過剩載流子隨著時(shí)間和空間變化的方程。由于電子和空穴濃度中既包含熱平衡載流子濃度，也包含非平衡條件下的過剩載流子濃度，而熱平衡載流子濃度n0、p0一般不隨時(shí)間變化，對于摻雜和組分均勻的半導(dǎo)體來說，n0和p0也不隨空間位置變化。15電子和空穴與時(shí)間相關(guān)的擴(kuò)散方程可改寫為：注意：上述兩個(gè)時(shí)間相關(guān)的擴(kuò)散方程中，既包含與總載流子濃度n、p相關(guān)的項(xiàng)，也包含僅與過剩載流子濃度δn、δp相關(guān)的項(xiàng)。因此，上述兩式就是在摻雜和組份均勻的條件下，描述半導(dǎo)體材料中過剩載流子濃度隨著時(shí)間和空間變化的方程。因此利用關(guān)系：16第5章中引起漂移電流的電場實(shí)際上指的是外加電場，該電場在6.2節(jié)的擴(kuò)散方程中仍出現(xiàn)。在外加電場下，半導(dǎo)體中某一點(diǎn)產(chǎn)生過剩電子和過?？昭ǎ@些過剩電子、空穴在外加電場作用下朝相反方向漂移。由于這些過剩電子、空穴都是帶電載流子，因此其空間位置上的分離會(huì)在這兩類載流子間誘生出內(nèi)部電場，而這內(nèi)建電場反過來又將這些過剩電子、空穴往一起拉，即內(nèi)建電場傾向于將過剩電子、空穴保持在同一空間位置。6.3雙極輸運(yùn)17考慮內(nèi)建電場后，6.2節(jié)導(dǎo)出的電子和空穴與時(shí)間相關(guān)的擴(kuò)散方程中的電場同時(shí)包含外加電場和內(nèi)建電場，即：由于過剩電子和過?？昭ǚ蛛x所誘生的內(nèi)部電場示意圖其中，Eapp為外加電場，而Eint則為內(nèi)建電場。帶負(fù)電的過剩電子和帶正電的過?？昭ㄒ酝粋€(gè)遷移率或擴(kuò)散系數(shù)一起漂移或擴(kuò)散。這種現(xiàn)象稱為雙極擴(kuò)散或雙極輸運(yùn)過程。18擴(kuò)散方程描述了過剩載流子濃度隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律，但還需增加一個(gè)方程來建立過剩電子濃度及過?？昭舛扰c內(nèi)建電場間的關(guān)系，該方程為泊松方程：（1）雙極輸運(yùn)方程的推導(dǎo)其中，εS是半導(dǎo)體材料的介電常數(shù)。為便于求解，做適當(dāng)近似?？梢宰C明只需很小的內(nèi)建電場就足以保證過剩電子和過?？昭ㄔ谝黄鸸餐坪蛿U(kuò)散，因此假設(shè)：19對于直接帶間產(chǎn)生，電子和空穴成對產(chǎn)生，因此電子和空穴的產(chǎn)生率總是相等：此外，電子和空穴成對復(fù)合，因此電子和空穴的復(fù)合率是相等：可證，過剩電子濃度δn和過?？昭舛圈膒只要有1％差別，其引起的擴(kuò)散方程中內(nèi)建電場散度（如下式所示）不可忽略。上式中載流子壽命既包括熱平衡載流子壽命，也包括過剩載流子壽命。20利用上述條件，可把電子和空穴與時(shí)間相關(guān)的兩個(gè)擴(kuò)散方程：繼續(xù)沿用電中性條件，有：簡化為：21消去上述兩個(gè)方程中的電場微分項(xiàng)?E/?x，則：將上式進(jìn)一步化簡為：上式稱為雙極輸運(yùn)方程：描述過剩電子和空穴在空間和時(shí)間中的狀態(tài)。其中：22D′和μ′分別稱為雙極擴(kuò)散系數(shù)和雙極遷移率。根據(jù)擴(kuò)散系數(shù)和遷移率之間的愛因斯坦關(guān)系：注意：雙極擴(kuò)散系數(shù)中包含遷移率，反映過剩載流子擴(kuò)散行為受到內(nèi)建電場影響。雙極擴(kuò)散系數(shù)D'可表示為：D'和μ'均為載流子濃度的函數(shù)，n、p都包含δn

，因此雙極輸運(yùn)方程中的D'和μ'都不是常數(shù)，由此雙極輸運(yùn)方程是一個(gè)非線性的微分方程。23（2）摻雜及小注入的約束條件利用半導(dǎo)體摻雜和小注入對上述非線性的雙極輸運(yùn)方程進(jìn)行簡化和線性化處理。根據(jù)前面的推導(dǎo)，雙極擴(kuò)散系數(shù)D'可表示為：其中，n0和p0分別是熱平衡時(shí)電子和空穴濃度，δn是過剩載流子濃度。以p型半導(dǎo)體為例（p0>>n0），假設(shè)小注入條件（δn<<p0），且Dn、Dp處于同一個(gè)數(shù)量級，則雙極擴(kuò)散系數(shù)可簡化為：同理可得：24p型半導(dǎo)體和小注入，雙極擴(kuò)散系數(shù)和雙極遷移率分別簡化為少數(shù)載流子電子的擴(kuò)散系數(shù)和遷移率，它們都為常數(shù)，因此雙極輸運(yùn)方程簡化為一個(gè)常系數(shù)線性微分方程。同理，n型半導(dǎo)體（n0>>p0）和小注入（δn<<n0），此時(shí)n型半導(dǎo)體和小注入，D'和μ'分別簡化為少數(shù)載流子空穴的擴(kuò)散系數(shù)和遷移率，它們也都為常數(shù)，雙極輸運(yùn)方程也簡化為一個(gè)常系數(shù)線性微分方程。注意：n型半導(dǎo)體中μ'是負(fù)值，這是因?yàn)閚型半導(dǎo)體中，等效的雙極粒子帶負(fù)電，因而用空穴遷移率來描述其運(yùn)動(dòng)時(shí)取負(fù)值。25n型半導(dǎo)體，則有：其中，τn和τp分別是過剩電子和過?？昭▔勖ㄟ^剩少子壽命）。過剩電子的產(chǎn)生率和過?？昭ǖ漠a(chǎn)生率必須相等，可將其定義為過剩載流子的產(chǎn)生率：對雙極輸運(yùn)方程，剩下兩項(xiàng)是產(chǎn)生率和復(fù)合率。p型半導(dǎo)體：26式中，δp是過剩少數(shù)載流子空穴濃度，τp0是小注入下少子空穴壽命。式中，δn是過剩少數(shù)載流子電子濃度，τn0是小注入下少子電子壽命。n型半導(dǎo)體，小注入條件下的雙極輸運(yùn)方程可表示為：小注入，少數(shù)載流子壽命是一個(gè)常數(shù)（τpt≡τp，τnt≡τn），因此，p型半導(dǎo)體小注入條件下的雙極輸運(yùn)方程可表示為：27上述兩個(gè)雙極輸運(yùn)方程中參數(shù)都是少數(shù)載流子的參數(shù)。這兩個(gè)雙極輸運(yùn)方程描述過剩少數(shù)載流子隨著時(shí)間和空間的變化而不斷發(fā)生漂移、擴(kuò)散和產(chǎn)生、復(fù)合的規(guī)律。根據(jù)電中性原理，過剩少數(shù)載流子與過剩多數(shù)載流子濃度相等，因此過剩多數(shù)載流子與過剩少數(shù)載流子一起進(jìn)行擴(kuò)散和漂移，即過剩多數(shù)載流子行為完全由少數(shù)載流子參數(shù)決定。28（3）雙極輸運(yùn)方程的應(yīng)用常見雙極輸運(yùn)方程的簡化形式P14829例6.4：求穩(wěn)定狀態(tài)的過剩載流子與空間無關(guān)。

無限大均勻p型半導(dǎo)體，無外加電場。一維晶體，過剩載流子只在x=0產(chǎn)生（右圖所示）。產(chǎn)生的載流子分別向-x和+x方向擴(kuò)散。試將穩(wěn)態(tài)過剩載流子濃度表示為x函數(shù)。解：p型半導(dǎo)體少子電子的雙極輸運(yùn)函數(shù)為：無外加電場穩(wěn)態(tài)且x≠0時(shí)g'=0，則30根據(jù)無窮遠(yuǎn)處過剩載流子濃度衰減為零的邊界條件可得：其中Ln2=Dnτn0，稱為少數(shù)載流子電子的擴(kuò)散長度。上式的通解為：其中，δn(0)是x=0處過剩載流子的濃度。由上式可見：穩(wěn)態(tài)過剩電子濃度從x=0的源處向兩側(cè)呈指數(shù)衰減；根據(jù)電中性原理，過?？昭舛入S著空間位置的變化也呈現(xiàn)出同樣的指數(shù)衰減分布，如下頁圖所示。31x=0處有穩(wěn)態(tài)過剩載流子產(chǎn)生時(shí)的電子和空穴濃度空間分布示意圖小注入條件下，多數(shù)載流子的濃度幾乎沒有變化，而少數(shù)載流子濃度則可能以數(shù)量級的方式增加。32（4）介質(zhì)弛豫時(shí)間常數(shù)準(zhǔn)電中性條件的驗(yàn)證——δp≈δn設(shè)想一種情形，如下圖所示，一塊均勻摻雜n型半導(dǎo)體，在其一端表面附近突然注入均勻濃度的空穴δp，此時(shí)這部分過?？昭ň筒粫?huì)有相應(yīng)的過剩電子來與之抵消，現(xiàn)在的問題是電中性狀態(tài)如何實(shí)現(xiàn)？需要多長時(shí)間才能實(shí)現(xiàn)？33此情況下，決定過剩載流子濃度分布的方程主要有三個(gè)。（2）電流方程，即歐姆定律：（3）電流連續(xù)性方程，忽略產(chǎn)生和復(fù)合之后，即：上式中，ρ為凈電荷密度，其初始值為e(δp)，假設(shè)δp在表面附近的一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻。（1）泊松方程：34對電流方程求散度，并利用泊松方程：代入連續(xù)性方程：解得：介質(zhì)馳豫時(shí)間常數(shù)例6.6：在4τd時(shí)間后，即可達(dá)到電荷平衡，與過剩載流子壽命相比，該過程非常迅速。這證明準(zhǔn)電中性條件。356.4準(zhǔn)費(fèi)米能級其中，EF和EFi分別是費(fèi)米能級和本征費(fèi)米能級，ni是本征載流子濃度。對于n型和p型半導(dǎo)體，EF和EFi的位置分別如右圖所示。熱平衡下，電子和空穴的濃度是費(fèi)米能級位置的函數(shù)：n型p型36過剩載流子的存在使半導(dǎo)體不再處于熱平衡，此時(shí)費(fèi)米能級就失去意義，為電子和空穴分別定義一個(gè)非平衡下的準(zhǔn)費(fèi)米能級：其中，EFn和EFp是電子和空穴的準(zhǔn)費(fèi)米能級。非平衡條件下，電子的總濃度和空穴的總濃度分別是其準(zhǔn)費(fèi)米能級的函數(shù)。左圖是一塊處于熱平衡的n型半導(dǎo)體，Nd=1015cm-3，ni=1010cm-3；右圖是處于非熱平衡狀態(tài)，所產(chǎn)生的過剩電子和過?？昭舛圈膎=δp=1013cm-3。37準(zhǔn)費(fèi)米能級與準(zhǔn)熱平衡外界條件→附加產(chǎn)生率→導(dǎo)帶電子和價(jià)帶空穴數(shù)目增加。原則上非熱平衡狀態(tài)下載流子不再符合費(fèi)米-狄拉克分布。但電子熱平衡態(tài)是由電子熱躍遷決定；一般，在同一個(gè)能帶范圍內(nèi)，電子熱躍遷十分頻繁，在極短時(shí)間內(nèi)（<10-10s）就可達(dá)到帶內(nèi)熱平衡。導(dǎo)帶價(jià)帶內(nèi)存