2024-2025學(xué)年度北師版八上數(shù)學(xué)1.3勾股定理的應(yīng)用【課件】

第一章勾股定理3勾股定理的應(yīng)用數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版課前預(yù)習(xí)典例講練目錄CONTENTS課前導(dǎo)入數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版01課前預(yù)習(xí)1.

平面內(nèi)，兩點(diǎn)之間

最短.2.

解有關(guān)立體圖形表面上的路線問(wèn)題時(shí)，常常把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，再轉(zhuǎn)化為平面上的路線問(wèn)題求解.3.

勾股定理是求線段的長(zhǎng)度的主要方法，若圖形中缺少直角條件，則可以通過(guò)作垂線段的方法構(gòu)造直角三角形，為勾股定理的應(yīng)用創(chuàng)造條件.線段

數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版02課前導(dǎo)入在

A點(diǎn)的小狗，為了盡快吃到

B點(diǎn)的香腸，它選擇AB路線，而不選擇A

C

B路線，難道小狗也懂?dāng)?shù)學(xué)？CBAAC+CB>AB（兩點(diǎn)之間線段最短）思考：在立體圖形中，怎么尋找最短線路呢？數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，勾股定理的應(yīng)用在生活中無(wú)處不在，觀看視頻，你能理解小賢和一菲的做法嗎？問(wèn)題：在一個(gè)圓柱石凳上，若小明在吃東西時(shí)留下了一點(diǎn)食物在

B

處，恰好一只在

A

處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想沿側(cè)面從A處爬到B處，問(wèn)怎么走最近？最短路程怎么求？AB螞蟻從

A→B的路線將側(cè)面展開(kāi)后，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可得最短路線.立體圖形中兩點(diǎn)之間的最短路程若已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取3.BA3O12側(cè)面展開(kāi)圖123πABA'A'解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得

AB2=AA′2+A′B2

立體圖形中求兩點(diǎn)間的最短路程，一般把立體圖形展開(kāi)成平面圖形，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”確定最短路線，再根據(jù)勾股定理求最短路程.歸納=AA′2+A′B2≈122+92=225，故

AB≈15cm.→最短路程數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版03典例講練如圖，有一個(gè)水池，水面BE的寬為16

dm，在水池的正中央有一根蘆葦，它高出水面2

dm.若將這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，則這根蘆葦?shù)母叨仁?/p>

dm.17

【點(diǎn)撥】運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是找出幾何圖形與實(shí)際問(wèn)題的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即各邊、各角的大小，再根據(jù)勾股定理直接計(jì)算或列方程解答.

一個(gè)滑梯的示意圖如圖所示，若將滑道AC水平放置，剛好與

AB一樣長(zhǎng).已知滑梯的高度CE＝3.6

m，CD＝1.2

m，則滑道

AC的長(zhǎng)度是

m.6

【解析】設(shè)滑道AC的長(zhǎng)度為x

m，則AB＝x

m，AE＝（x－1.2）m.在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，由勾股定理，得AE2＋CE2＝AC2，即（x－1.2）2＋3.62＝x2，解得x＝6.即滑道AC的長(zhǎng)度為6

m.故答案為6.

（1）一個(gè)圓柱形油罐的示意圖如圖所示，底面周長(zhǎng)為24

m，高為10

m.從A處環(huán)繞油罐建梯子，梯子的頂端正好在點(diǎn)A的正上方點(diǎn)B處，則所建的梯子最短需要多長(zhǎng)？解：如圖，把圓柱形油罐的側(cè)面沿線段AB展開(kāi)成長(zhǎng)方形，則沿

AB建梯子最節(jié)省材料.由已知，得AC＝24

m，BC＝10

m.在Rt△ACB中，∠C＝90°，根據(jù)勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝242＋102＝262，所以AB＝26

m（負(fù)值舍去）.故所建的梯子最短需要26

m.（2）如圖，長(zhǎng)方體的高是9

cm，底面是邊長(zhǎng)為4

cm的正方形.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著長(zhǎng)方體表面經(jīng)過(guò)3個(gè)側(cè)面爬到點(diǎn)B

處，則這只螞蟻爬行的最短路程是多少厘米？解：如圖，將長(zhǎng)方體的三個(gè)側(cè)面展開(kāi).在Rt△ACB中，AC＝4×3＝12（cm），BC＝9

cm，∠ACB＝90°.由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝122＋92＝152，所以AB＝15

cm（負(fù)值舍去）.故這只螞蟻爬行的最短路程是15

cm.【點(diǎn)撥】求立體圖形表面最短路徑的一般步驟：（1）把立體圖形展開(kāi)成平面圖形（只需展開(kāi)包含相關(guān)點(diǎn)的面）；（2）確定關(guān)鍵點(diǎn)的位置；（3）連接關(guān)鍵點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形；（4）利用勾股定理求解.求最短路徑的依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”.

如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體空木箱的長(zhǎng)、寬、高分別為12

m，4

m，3

m，則能放進(jìn)空木箱中的直木棒（粗細(xì)忽略不計(jì)）最長(zhǎng)為

m.13

【解析】如圖，因?yàn)閭?cè)面對(duì)角線CB2＝32＋42＝25＝52，所以CB

＝5

m.因?yàn)锳C＝12

m，所以AB2＝AC2＋CB2＝122＋52＝169＝132.因?yàn)锳B＞0，所以AB＝13

m.所以能放進(jìn)空木箱中的直木棒最長(zhǎng)為13

m.故答案為13.

如圖，一只蜘蛛在一個(gè)長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，一只蒼蠅在這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角頂點(diǎn)G處.若AB＝3

cm，BC＝5

cm，BF

＝6

cm，則蜘蛛要沿著怎樣的路線爬行，才能最快抓到蒼蠅？這時(shí)蜘蛛爬過(guò)的路程是多少厘米？解：①若把長(zhǎng)方體的正面和右面展開(kāi)在同一平面內(nèi)，如圖1所示（單位：cm）.這種展開(kāi)方式的一條直角邊AC＝AB＋BC＝8（cm），另一條直角邊CG＝BF＝6

cm.在Rt△ACG中，根據(jù)勾股定理，得AG2＝AC2＋CG2＝82＋62＝100；②若把長(zhǎng)方體的正面和上面展開(kāi)在同一平面內(nèi)，如圖2所示（單位：cm）.這種展開(kāi)方式的一條直角邊AB＝3

cm，另一條直角邊BG＝BF＋FG＝BF＋BC＝11（cm）.在Rt△ABG中，根據(jù)勾股定理，得AG2＝AB2＋BG2＝32＋112＝130；圖1圖2③若把長(zhǎng)方體的左面和上面展開(kāi)在同一平面內(nèi)，如圖3所示（單位：cm）.這種展開(kāi)方式的一條直角邊GF＝BC＝5

cm，另一條直角邊AF＝AE＋EF＝BF＋AB＝6＋3＝9（cm）.在Rt△AFG中，根據(jù)勾股定理，得AG2＝AF2＋GF2＝92＋52＝106.因?yàn)?30＞106＞100，且102＝100，所以蜘蛛沿如圖1所示的路線爬行，才能最快抓到蒼蠅，這時(shí)蜘蛛爬過(guò)的路程是10

cm.圖3【點(diǎn)撥】本例沒(méi)有指明從長(zhǎng)方體一頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到相對(duì)的頂點(diǎn)的具體路線，確定其最短路徑問(wèn)題時(shí)，需要進(jìn)行分類討論，比較后才能確定.如圖，由點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路徑顯然是不能沿長(zhǎng)方體的任何一條棱運(yùn)動(dòng)的，也就必然由點(diǎn)A進(jìn)入到相鄰的兩個(gè)面，所以到點(diǎn)B有六條不同的路徑，但不同長(zhǎng)度的路徑只有三條.（1）如圖1，右側(cè)面向前展開(kāi)，這種展開(kāi)方式是以（a＋b）為一條直角邊長(zhǎng)，c為另一條直角邊長(zhǎng)，此時(shí)AB2＝（a＋b）2＋

c2＝a2＋b2＋c2＋2ab；（2）如圖2，上底面向前展開(kāi)，這種展開(kāi)方式是以（b＋c）一條直角邊長(zhǎng)，a為另一條直角邊長(zhǎng)，此時(shí)AB

2＝（b＋c）2＋a2＝a2＋b2＋c2＋2bc；（3）如圖3，上底面向左展開(kāi)，這種展開(kāi)方式是以（a＋c）為一條直角邊長(zhǎng)，b為另一條直角邊長(zhǎng)，此時(shí)AB2＝（a＋c）2＋b2＝a2＋b2＋c2＋2ac.通過(guò)對(duì)三種展開(kāi)方式的觀察和分析，于是有：當(dāng)c

最大時(shí)，如圖1所示的展開(kāi)方式中的AB最短；當(dāng)a最大時(shí)，如圖2所示的展開(kāi)方式中的AB最短；當(dāng)b最大時(shí)，