2024新教材高中數(shù)學(xué)第七章概率3頻率與概率素養(yǎng)作業(yè)北師大版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE1第七章§3A組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．(2024·四川省成都試驗(yàn)中學(xué)期中)下列說法正確的是(C)A．事務(wù)A的概率P(A)必有0<P(A)<1B．事務(wù)A的概率P(A)＝0.999，則事務(wù)A是必定事務(wù)C．用某種藥物對(duì)患有胃潰瘍的500名病人治療，結(jié)果有380人有明顯的療效，現(xiàn)有患胃潰瘍的病人服用此藥，則估計(jì)此藥有明顯的療效的可能性為76%D．某獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率為50%，則某人購買此券10張，肯定有5張中獎(jiǎng)[解析]由概率的基本性質(zhì)知，0≤P(A)≤1，故A錯(cuò)誤；必定事務(wù)的概率為1，故B錯(cuò)誤；某獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率為50%，則某人購買此券10張，不肯定有5張中獎(jiǎng)，故D錯(cuò)誤．2．我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗(yàn)得米夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒夾谷28粒．這批米內(nèi)夾谷約為(B)A．134石 B．169石C．338石 D．454石[解析]由題意可知這批米內(nèi)夾谷約為1534×eq\f(28,254)≈169(石)，故選B．3．?dāng)S一枚勻稱的硬幣，假如連續(xù)拋擲1000次，那么第999次出現(xiàn)正面對(duì)上的概率是(D)A．eq\f(1,999) B．eq\f(1,1000)C．eq\f(999,1000) D．eq\f(1,2)[解析]每一次出現(xiàn)正面對(duì)上的概率相等，都是eq\f(1,2)，故選D．4．設(shè)某廠產(chǎn)品的次品率為2%，估算該廠8000件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)大約為(B)A．160 B．7840C．7998 D．7800[解析]8000×(1－2%)＝7840(件)，故選B．5．某市交警部門在調(diào)查一起車禍過程中，全部的目擊證人都指證肇事車是一輛一般桑塔納出租車，但由于天黑，均未看清該車的車牌號(hào)碼及顏色．該市有兩家出租車公司，其中甲公司有100輛桑塔納出租車，3000輛帕薩特出租車，乙公司有3000輛桑塔納出租車，100輛帕薩特出租車，交警部門應(yīng)認(rèn)定肇事車為________公司的車輛較合理．(B)A．甲 B．乙C．甲與乙 D．無法確定[解析]肇事車為甲公司車輛的概率為eq\f(100,100＋3000)＝eq\f(1,31)，為乙公司車輛的概率為eq\f(3000,100＋3000)＝eq\f(30,31).明顯肇事車為乙公司車輛的概率遠(yuǎn)大于為甲公司車輛的概率．故選B．6．(多選題)下列說法中，正確的有(ACD)A．頻率是反映事務(wù)發(fā)生的頻繁程度，概率是反映事務(wù)發(fā)生的可能性大小B．百分率是頻率，但不是概率C．頻率是不能脫離試驗(yàn)次數(shù)n的試驗(yàn)值，而概率是具有確定性的不依靠于試驗(yàn)次數(shù)的理論值D．頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值[解析]概率也可以用百分率表示，故B錯(cuò)誤．二、填空題7．某人拋擲一枚硬幣100次，結(jié)果正面朝上53次，設(shè)正面朝上為事務(wù)A，則事務(wù)A出現(xiàn)的頻數(shù)為__53__，事務(wù)A出現(xiàn)的頻率為__0.53__．8．一個(gè)口袋內(nèi)裝有已編號(hào)的大小相同的1個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中隨意摸出2個(gè)球，則摸出的2個(gè)球全是黑球的概率是__eq\f(1,3)__．[解析]摸出的小球全部可能狀況為(白，黑1)，(白，黑2)，(黑1，黑2)，故摸出的2球全是黑球的概率是eq\f(1,3).9．給出下列四個(gè)命題：①設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，則從中任取200件，必有10件是次品；②做100次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果51次出現(xiàn)正面朝上，因此，出現(xiàn)正面朝上的概率是eq\f(51,100)；③隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的概率；④拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是eq\f(9,50).其中正確命題有__④__．[解析]①錯(cuò)，次品率是大量產(chǎn)品的估計(jì)值，并不是針對(duì)200件產(chǎn)品來說的．②③混淆了頻率與概率的區(qū)分．④正確．三、解答題10．(2024·全國Ⅰ卷節(jié)選)某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿足或不滿足的評(píng)價(jià)，得到下面表格：滿足不滿足男顧客4010女顧客3020分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的概率．[解析]由調(diào)查數(shù)據(jù)知，男顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的頻率為eq\f(40,50)＝0.8，因此男顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的概率的估計(jì)值為0.8.女顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的頻率為eq\f(30,50)＝0.6，因此女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的概率的估計(jì)值為0.6.11．隨機(jī)抽取一個(gè)年份，對(duì)西安市該年4月份的天氣狀況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：日期123456789101112131415天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任選一天，估計(jì)西安市在該天不下雨的概率；(2)西安市某學(xué)校擬從4月份的一個(gè)晴天起先實(shí)行連續(xù)2天的運(yùn)動(dòng)會(huì)，估計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率．[解析](1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數(shù)是26，以頻率估計(jì)概率，4月份任選一天，西安市不下雨的概率是eq\f(13,15).(2)稱相鄰兩個(gè)日期為“互鄰日期對(duì)”(如1日與2日，2日與3日等)這樣在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對(duì)有16對(duì)，其中后一天不下雨的有14個(gè)，所以晴天的次日不下雨的頻率為eq\f(7,8)，以頻率估計(jì)概率，運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率為eq\f(7,8).B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．若某個(gè)班級(jí)內(nèi)有40名學(xué)生，抽10名同學(xué)去參與某項(xiàng)活動(dòng)，每個(gè)同學(xué)被抽到的概率為eq\f(1,4)，其中說明正確的是(B)A．4個(gè)人中，必有一人被抽取B．每個(gè)人被抽到的可能性為eq\f(1,4)C．由于抽到與不被抽到有兩種狀況，不被抽到的概率為eq\f(1,4)D．以上均不對(duì)[解析]概率是頻率的科學(xué)抽象，是一個(gè)常數(shù)，但它反映的是一種可能性，不像A中那么確定．∴A不正確．C對(duì)問題的解析屬于答非所問，∴C不正確，只有B正確．2．在10人中，有4個(gè)學(xué)生，2個(gè)干部，3個(gè)工人，1個(gè)農(nóng)夫，則eq\f(2,5)是學(xué)生數(shù)占總體分布的(B)A．頻數(shù) B．頻率C．概率 D．眾數(shù)3．拋擲一枚質(zhì)地勻稱的正方體骰子(六個(gè)面上分別寫有1，2，3，4，5，6)，若前3次連續(xù)拋到“6點(diǎn)朝上”，則對(duì)于第4次拋擲結(jié)果的預(yù)料，下列說法中正確的是(C)A．肯定出現(xiàn)“6點(diǎn)朝上”B．出現(xiàn)“6點(diǎn)朝上”的概率大于eq\f(1,6)C．出現(xiàn)“6點(diǎn)朝上”的概率等于eq\f(1,6)D．無法預(yù)料“6點(diǎn)朝上”的概率[解析]隨機(jī)事務(wù)具有不確定性，與前面的試驗(yàn)結(jié)果無關(guān)．由于正方體骰子的質(zhì)地是勻稱的，故它出現(xiàn)哪一個(gè)面朝上的可能性都是相等的．4．(多選題)下列敘述正確的是(ABC)A．若事務(wù)A發(fā)生的概率為P(A)，則0≤P(A)≤1B．互斥事務(wù)不肯定是對(duì)立事務(wù)，但是對(duì)立事務(wù)肯定是互斥事務(wù)C．5張獎(jiǎng)券中有一張有獎(jiǎng)，甲先抽，乙后抽，則乙與甲中獎(jiǎng)的可能性相同D．某事務(wù)發(fā)生的概率是隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變的[解析]A正確．由于事務(wù)的頻數(shù)總是小于或等于試驗(yàn)的次數(shù)，從而任何事務(wù)的概率滿足0≤P(A)≤1，其中必定事務(wù)的概率為1，不行能事務(wù)的概率為0；B正確．設(shè)事務(wù)A和事務(wù)B，若A∩B為不行能事務(wù)，則稱事務(wù)A與事務(wù)B為互斥事務(wù)；若A∩B為不行能事務(wù)，A∪B為必定事務(wù)，則稱事務(wù)A與事務(wù)B為對(duì)立事務(wù)，所以互斥事務(wù)不肯定是對(duì)立事務(wù)，但是對(duì)立事務(wù)肯定是互斥事務(wù)；C正確．甲抽到有獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率為eq\f(1,5)；乙后抽到有獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率為eq\f(4,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,5)；D錯(cuò)誤．某事務(wù)發(fā)生的概率是一個(gè)確定的常數(shù)，與每次試驗(yàn)無關(guān)，與試驗(yàn)的次數(shù)無關(guān)．二、填空題5．某人進(jìn)行打靶練習(xí)，共射擊10次，其中有2次中10環(huán)，有3次中9環(huán)，有4次中8環(huán)，有1次未中靶，假設(shè)此人射擊一次，則中靶的概率約是__0.9__．[解析]用頻率估計(jì)概率可得，中靶的概率約為(10－1)÷10＝0.9.6．從5000袋小包裝食品中抽出100袋進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，其中質(zhì)量在90～95克(不含95克)之間的有40袋，質(zhì)量在95～100克(不含100克)之間的有30袋，質(zhì)量在100～105克(不含105克)之間的有10袋，質(zhì)量在105～110克(不含110克)之間的有20袋，由此可估計(jì)在這5000袋小包裝食品中質(zhì)量在95～105克(不含105克)之間的有__2__000__袋．[解析]設(shè)這5000袋小包裝食品中質(zhì)量在95～105克(不含105克)之間的有x袋，則由題意知，eq\f(30＋10,100)＝eq\f(x,5000)，解得x＝2000.7．對(duì)某批產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢查，數(shù)據(jù)如下：抽查件數(shù)50100200300500合格件數(shù)4792192285475依據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，估算出合格品出現(xiàn)的概率為__0.95__，假如要從該批產(chǎn)品中抽到950件合格品，則大約須要抽查__1__000__件產(chǎn)品．[解析]依據(jù)題表中數(shù)據(jù)可知合格品出現(xiàn)的頻率依次為0.94，0.92，0.96，0.95，0.95，因此合格品出現(xiàn)的概率約為0.95，因此要抽到950件合格品，大約須要抽查1000件產(chǎn)品．三、解答題8．有一個(gè)轉(zhuǎn)盤嬉戲，轉(zhuǎn)盤被平均分成10等份(如圖所示)，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字．嬉戲規(guī)則如下：兩個(gè)人參與，先確定猜數(shù)方案，甲轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，乙猜，若猜出的結(jié)果與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字所表示的特征相符，則乙獲勝，否則甲獲勝．猜數(shù)方案從以下三種方案中選一種：A．猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”；B．猜“是4的整數(shù)倍數(shù)”或“不是4的整數(shù)倍數(shù)”；C．猜“是大于4的數(shù)”或“不是大于4的數(shù)”．請(qǐng)回答下列問題：(1)假如你是乙，為了盡可能獲勝，你將選擇哪種猜數(shù)方案，并且怎樣猜？為什么？(2)為了保證嬉戲的公允性，你認(rèn)為應(yīng)選擇哪種猜數(shù)方案？為什么？(3)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種其他的猜數(shù)方案，并保證嬉戲的公允性．[解析](1)方案A中“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”的概率均為eq\f(5,10)＝0.5；方案B中“不是4的整數(shù)倍數(shù)”的概率為eq\f(8,10)＝0.8，“是4的整數(shù)倍數(shù)”的概率為eq\f(2,10)＝0.2；方案C中“是大于4的數(shù)”的概率為eq\f(6,10)＝0.6，“不是大于4的數(shù)”的概率為eq\f(4,10)＝0.4.為了盡可能獲勝，應(yīng)選方案B，猜“不是4的整數(shù)倍數(shù)”．(2)為了保證嬉戲的公允性，應(yīng)當(dāng)選擇方案A．因?yàn)榉桨窤猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”的概率均為0.5，從而保證了該嬉戲是公允的．(3)可以設(shè)計(jì)為：猜“是大于5的數(shù)”或“不是大于5的數(shù)”，此方案也可以保證嬉戲的公允性(答案不唯一)．9．某超市安排按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．依據(jù)往年銷售閱歷，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．假如最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20，需求量為200瓶，為了確定六月份的訂購安排，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的全部可能值，并估計(jì)Y大于零的概率．[解析]思路點(diǎn)撥：(1)“需求量不超過300瓶”這個(gè)事務(wù)即“最高氣溫低于25”，依據(jù)表中數(shù)據(jù)可求概率；(2)分別求出最高氣溫在[10，20)，[20，25)，[25，40)內(nèi)的利潤Y的值，即可求出Y大于零的概率．(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以六月份這種酸奶一天的需求量不超過3