人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全冊(cè)教案3

人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全冊(cè)教案3

22.2.3公式法

教學(xué)內(nèi)容

1.一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程；

2.公式法的概念；

3.利用公式法解一元二次方程.

教學(xué)目標(biāo)

理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程，了解公式法的概念，會(huì)熟練應(yīng)用

公式法解一元二次方程.

復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過(guò)程，引入ax2+bx+c=0(aWO)

的求根公式的推導(dǎo)公式，并應(yīng)用公式法解一元二次方程.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：一元二次方程求根公式法的推導(dǎo).

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動(dòng))用配方法解下列方程

(1)6X2-7X+1=0(2)4X2-3X=52

(老師點(diǎn)評(píng))(1)移項(xiàng)，得：6x2-7x=-l

二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得：x2-x=-

配方，得：x2-x+()2=-+()2

(x-)2=

X-=±X1=+==1

x2=-+==

(2)略

總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）.

（1）移項(xiàng)；

（2）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；

（3）方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；

（4）原方程變形為（x+m）jn的形式；

（5）如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以直接開(kāi)平方求出方程的解，如果右邊是負(fù)數(shù)，

則一元二次方程無(wú)解.

二、探索新知

如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax'+bx+cR（a#0）,你能否用上面配

方法的步驟求出它們的兩根，請(qǐng)同學(xué)獨(dú)立完成下面這個(gè)問(wèn)題.

問(wèn)題：已知axqbx+cR（aWO）且b^TLac2O,試推導(dǎo)它的兩個(gè)根XL,x2=

分析：因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a(bǔ)、b、c也當(dāng)成一

個(gè)具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去.

解：移項(xiàng)，得：ax2+bx=-c

二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得x2+x=-

配方，得：x2+x+（）J-+（）②

即（x+）2=

Vb2-4ac^01.4a2>0

NO

直接開(kāi)平方，得：x+=±

即x=

??X1~，X2=

由上可知，一元二次方程ax，bx+c=0（aWO）的根由方程的系數(shù)a、b、c

而定，因此：

(1)解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax'+bx+cR,當(dāng)b-4ac

NO時(shí)，將a、b、c代入式子*=就得到方程的根.

(2)這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

例1.用公式法解下列方程.

(1)2X2-4X-1=0(2)5x+2=3x?

(3)(x-2)(3x-5)=0(4)4x2-3x+l=0

分析：用公式法解一元二次方程，首先應(yīng)把它化為一般形式，然后代入公

式即可.

解：(1)a=2,b=-4,c=-l

b2-4ac=(-4)2-4X2X(-1)=24>0

x=

??Xi=，X2=

(2)將方程化為一般形式

3X2-5X-2=0

a=3,b=-5,c=-2

b-4ac=(-5)-4X3X(-2)=49>0

x=

Xi=2,x2=-

(3)將方程化為一般形式

3X2-11X+9=0

a=3,b=-ll,c=9

b2-4ac=(-11)-4X3X9=13>0

x=

??Xi=,X2=

（3）a=4,b=-3,c=l

b2-4ac=（-3）2-4X4X

因?yàn)樵趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)不能開(kāi)平方，所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

三、鞏固練習(xí)

教材P42練習(xí)1.（1）、（3）、（5）

四、應(yīng)用拓展

例2.某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)關(guān)于x的方程（m+1）+（m-2）xT=O提出了下列問(wèn)

題.

（1）若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方

程.

（2）若使方程為一元二次方程m是否存在？若存在，請(qǐng)求出.

你能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

分析：能.（1）要使它為一元二次方程，必須滿足療+1=2,同時(shí)還要滿足

（m+1）#0.

（2）要使它為一元一次方程，必須滿足：

①或②或③

解：（1）存在.根據(jù)題意，得：m2+l=2

m2=lm=+1

當(dāng)m=l時(shí)，m+l=l+l=2W0

當(dāng)m=T時(shí)，m+1=-1+1=0（不合題意，舍去）

當(dāng)m=l時(shí)，方程為2x2-l-x=0

a=2,b=T,c=-l

b-4ac=(-1)MX2X(-1)=1+8=9

X1=,x2=-

因此，該方程是一元二次方程時(shí)，m=l,兩根處=1,x2=-.

(2)存在.根據(jù)題意，得：①k+l=l,m2=0,m=0

因?yàn)楫?dāng)m=0時(shí)，(m+1)+(m-2)=2mT=TW0

所以m=0滿足題意.

②當(dāng)命+1=0,m不存在.

③當(dāng)m+1=0,即m=-l時(shí)，m-2=-3W0

所以m=-l也滿足題意.

當(dāng)m=0時(shí)，一元一次方程是x-2x-l=0,

解得：x=-1

當(dāng)m=-l時(shí)，一元一次方程是-3xT=0

解得x=-

因此，當(dāng)m=0或-1時(shí)，該方程是一元一次方程，并且當(dāng)m=0時(shí)，其根為

x=-l；當(dāng)m=-1時(shí)，其一元一次方程的根為x=-.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握；

(1)求根公式的概念及其推導(dǎo)過(guò)程；

(2)公式法的概念；

(3)應(yīng)用公式法解一元二次方程；

(4)初步了解一元二次方程根的情況.

六、布置作業(yè)

1.教材P45復(fù)習(xí)鞏固4.

2.選用作業(yè)設(shè)計(jì):

一、選擇題

1.用公式法解方程4x-12x=3,得到().

A.x=B.x=

C.x=D.x=

2.方程x?+4x+6=0的根是().

A.Xi=,x2=B.Xi=6,x2=

C.xi=2,x2=D.XFX2=一

3.(m2-n2)(m2-n2-2)-8=0,則M-r?的值是().

A.4B.-2C.4或-2D.-4或2

二、填空題

1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的求根公式是,條件是

2.當(dāng)*=時(shí)，代數(shù)式X?-8x+12的值是-4.

3.若關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x4x+m2+2m-3=0有一根為0,則m的

值是.

三、綜合提高題

1.用公式法解關(guān)于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0.

2.設(shè)Xi,x2是一元二次方程ax，bx+c=O（aW0）的兩根，（1）試推導(dǎo)

3322

Xi+x2=-,Xi,x2=;（2）求代數(shù)式a（Xi+x2）+b（Xi+x2）+c（Xi+x2）的值.

3.某電廠規(guī)定：該廠家屬區(qū)的每戶居民一個(gè)月用電量不超過(guò)A千瓦時(shí)，

那么這戶居民這個(gè)月只交10元電費(fèi)，如果超過(guò)A千瓦時(shí)，那么這個(gè)月除了交

10元用電費(fèi)外超過(guò)部分還要按每千瓦時(shí)元收費(fèi).

（1）若某戶2月份用電90千瓦時(shí)，超過(guò)規(guī)定A千瓦時(shí)，則超過(guò)部分電費(fèi)為多

少元？（用A表示）

（2）下表是這戶居民3月、4月的用電情況和交費(fèi)情況

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定的A值為多少？

答案：

—\1.D2.D3.C

二、1.x=,b2-4ac^02.43.-3

三、1.x==a±|b|

2.(1)Vxi>X2是ax?+bx+c=O(aWO)的兩根,

??X,X2=

??X1+X2=二一，

Xi?x2=?=

22

(2)VxuX2是ax?+bx+c=O的兩本艮，/.axi+bxi+c=0,ax2+bx2+c=0

3232

JM^=axi+bxi+ciXi+ax2+bx2+cx2

2

=Xi(ax『+bxi+c)+x2(ax2+bx2+c)

=0

3.(1)超過(guò)部分電費(fèi)二(90-A)?=-A2+A

(2)依題意，得：(80-A)?=15,AF30(舍去)，A2=50

22.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程⑴

教學(xué)內(nèi)容

由“倍數(shù)關(guān)系”等問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)配方法或公式法或分解因式

法解決實(shí)際問(wèn)題.

教學(xué)目標(biāo)

掌握用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決一些具體問(wèn)題.

通過(guò)復(fù)習(xí)二元一次方程組等建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決實(shí)際問(wèn)題，引入

用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決實(shí)際問(wèn)題.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）問(wèn)題1：列方程解應(yīng)用題

下表是某一周甲、乙兩種股票每天每股的收盤價(jià)（收盤價(jià)：股票每天交易

結(jié)果時(shí)的價(jià)格）：

某人在這周內(nèi)持有若干甲、乙兩種股票，若按照兩種股票每天的收盤價(jià)計(jì)算

（不計(jì)手續(xù)費(fèi)、稅費(fèi)等），則在他帳戶上，星期二比星期一增加200元，星期

三比星期二增加1300元，這人持有的甲、乙股票各多少股？

老師點(diǎn)評(píng)分析：一般用直接設(shè)元，即問(wèn)什么就設(shè)什么，即設(shè)這人持有的甲、乙

股票各x、y張，由于從表中知道每天每股的收盤價(jià)，因此，兩種股票當(dāng)天的帳

戶總數(shù)就是x或y乘以相應(yīng)的每天每股的收盤價(jià)，再根據(jù)已知的等量關(guān)系；星

期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式.

解：設(shè)這人持有的甲、乙股票各x、y張.

則解得

答：（略）

二、探索新知

上面這道題大家都做得很好，這是一種利用二元一次方程組的數(shù)量關(guān)系建

立的數(shù)學(xué)模型，那么還有沒(méi)有利用其它形式，也就是利用我們前面所學(xué)過(guò)的一

元二次方程建立數(shù)學(xué)模型解應(yīng)用題呢？請(qǐng)同學(xué)們完成下面問(wèn)題.

(學(xué)生活動(dòng))問(wèn)題2：某工廠第一季度的一月份生產(chǎn)電視機(jī)是1萬(wàn)臺(tái)，第

一季度生產(chǎn)電視機(jī)的總臺(tái)數(shù)是3.31萬(wàn)臺(tái)，求二月份、三月份生產(chǎn)電視機(jī)平均增

長(zhǎng)的百分率是多少？

老師點(diǎn)評(píng)分析：直接假設(shè)二月份、三月份生產(chǎn)電視機(jī)平均增長(zhǎng)率為x.因

為一月份是1萬(wàn)臺(tái)，那么二月份應(yīng)是(1+x)臺(tái)，三月份應(yīng)是在二月份的基礎(chǔ)

上以二月份比一月份增長(zhǎng)的同樣“倍數(shù)”增長(zhǎng)，即(1+x)+(1+x)x=(1+x)2,

那么就很容易從第一季度總臺(tái)數(shù)列出等式.

解：設(shè)二月份、三月份生產(chǎn)電視機(jī)平均增長(zhǎng)的百分率為x,則1+(1+x)+

(1+x)2=3.31

去括號(hào)：1+1+x+l+2x+x2=3.31

整理,得：x+3x-0.31=0

解得：x=i0%

答：(略)

以上這一道題與我們以前所學(xué)的一元一次、二元一次方程(組)、分式方

程等為背景建立數(shù)學(xué)模型是一樣的，而我們借助的是一元二次方程為背景建立

數(shù)學(xué)模型來(lái)分析實(shí)際問(wèn)題和解決問(wèn)題的類型.

例1.某電腦公司2001年的各項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中，一月份的營(yíng)業(yè)額為200萬(wàn)元，一

月、二月、三月的營(yíng)業(yè)額共950萬(wàn)元，如果平均每月?tīng)I(yíng)業(yè)額的增長(zhǎng)率相同，求

這個(gè)增長(zhǎng)率.

分析：設(shè)這個(gè)增長(zhǎng)率為x,由一月份的營(yíng)業(yè)額就可列出用x表示的二、三月份的

營(yíng)業(yè)額，又由三月份的總營(yíng)業(yè)額列出等量關(guān)系.

解：設(shè)平均增長(zhǎng)率為x

則200+200(1+x)+200(1+x)=950

整理，得：x2+3x-l.75=0

解得：x=50%

答：所求的增長(zhǎng)率為50%.

三、鞏固練習(xí)

(1)某林場(chǎng)現(xiàn)有木材a立方米，預(yù)計(jì)在今后兩年內(nèi)年平均增長(zhǎng)p肌那么

兩年后該林場(chǎng)有木材多少立方米？

(2)某化工廠今年一月份生產(chǎn)化工原料15萬(wàn)噸，通過(guò)優(yōu)化管理，產(chǎn)量逐

年上升，第一季度共生產(chǎn)化工原料60萬(wàn)噸，設(shè)二、三月份平均增長(zhǎng)的百分率相

同，均為x,可列出方程為.

四、應(yīng)用拓展

例2.某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用于購(gòu)

物，剩下的1000元及應(yīng)得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變,

到期后本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率.

分析：設(shè)這種存款方式的年利率為x,第一次存2000元取1000元，剩下

的本金和利息是1000+2000x?80%；第二次存，本金就變?yōu)?000+2000x?80%,

其它依此類推.

解：設(shè)這種存款方式的年利率為x

則:1000+2000x?80%+(1000+2000x?8%)x?80%=1320

整理，得：1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0

解得：x尸-2(不符，舍去),x2==0.125=12.5%

答：所求的年利率是12.5猊

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

利用“倍數(shù)關(guān)系”建立關(guān)于一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并利用恰當(dāng)方法解

它.

六、布置作業(yè)

1.教材P53復(fù)習(xí)鞏固1綜合運(yùn)用1.

2.選用作業(yè)設(shè)計(jì).

作業(yè)設(shè)計(jì)

一、選擇題

1.2005年一月份越南發(fā)生禽流感的養(yǎng)雞場(chǎng)100家，后來(lái)二、三月份新發(fā)生禽

流感的養(yǎng)雞場(chǎng)共250家，設(shè)二、三月份平均每月禽流感的感染率為x,依題

意列出的方程是().

A.100(1+x)2=250B.100(1+x)+100(1+x)2=250

C.100(1-x)2=250D.100(1+x)2

2.一臺(tái)電視機(jī)成本價(jià)為a元，銷售價(jià)比成本價(jià)增加25%,因庫(kù)存積壓，所以

就按銷售價(jià)的70%出售，那么每臺(tái)售價(jià)為().

A.(1+25%)(1+70%)ajcB.70%(1+25%)a7U

C.(1+25%)(1-70%)aTUD.(l+25%+70%)aju

3.某商場(chǎng)的標(biāo)價(jià)比成本高p典當(dāng)該商品降價(jià)出售時(shí)，為了不虧損成本，售價(jià)

的折扣(即降低的百分?jǐn)?shù))不得超過(guò)d%,貝叼可用p表示為().

A.B.pC.D.

二、填空題

1.某農(nóng)戶的糧食產(chǎn)量，平均每年的增長(zhǎng)率為X,第一年的產(chǎn)量為6萬(wàn)kg,第

二年的產(chǎn)量為kg,第三年的產(chǎn)量為,三年總產(chǎn)量為.

2.某糖廠2002年食糖產(chǎn)量為at,如果在以后兩年平均增長(zhǎng)的百分率為x,那

么預(yù)計(jì)2004年的產(chǎn)量將是.

3.我國(guó)政府為了解決老百姓看病難的問(wèn)題，決定下調(diào)藥品價(jià)格，某種藥品

在1999年漲價(jià)30%后，2001年降價(jià)70%至a元，則這種藥品在1999年

漲價(jià)前價(jià)格是.

三、綜合提高題

1.為了響應(yīng)國(guó)家“退耕還林”，改變我省水土流失的嚴(yán)重現(xiàn)狀，2000年我省

某地退耕還林1600畝，計(jì)劃到2002年一年退耕還林1936畝，問(wèn)這兩年平均

每年退耕還林的平均增長(zhǎng)率2.洛陽(yáng)東方紅拖拉機(jī)廠一月份生產(chǎn)甲、乙兩種

新型拖拉機(jī)，其中乙型16臺(tái)，從二月份起，甲型每月增產(chǎn)10臺(tái)，乙型每月

按相同的增長(zhǎng)率逐年遞增，又知二月份甲、乙兩型的產(chǎn)量之比是3：2,三月

份甲、乙兩型產(chǎn)量之和為65臺(tái)，求乙型拖拉機(jī)每月的增長(zhǎng)率及甲型拖拉機(jī)

一月份的產(chǎn)量.

3.某商場(chǎng)于第一年初投入50萬(wàn)元進(jìn)行商品經(jīng)營(yíng)，以后每年年終將當(dāng)年獲得的

利潤(rùn)與當(dāng)年年初投入的資金相加所得的總資金，作為下一年年初投入的資金

繼續(xù)進(jìn)行經(jīng)營(yíng).

（1）如果第一年的年獲利率為P，那么第一年年終的總資金是多少萬(wàn)元？

（用代數(shù)式來(lái)表示）（注：年獲利率=X100%）

（2）如果第二年的年獲利率多10個(gè)百分點(diǎn)（即第二年的年獲利率是第一

年的年獲利率與10%的和），第二年年終的總資金為66萬(wàn)元，求第一年的年

獲利率.

答案：

■、1.B2.B3.D

二、1.6(1+x)6(1+x)26+6(1+x)+6(1+x)2

2.a(1+x)2t

3.

三、1.平均增長(zhǎng)率為x,則1600(1+x)=1936,x=10%

2.設(shè)乙型增長(zhǎng)率為x,甲型一月份產(chǎn)量為y：

則

BP16X2+56X-15=0,解得x==25肌y=20(臺(tái))

3.(1)第一年年終總資金=50(1+P)

(2)50(1+P)(1+P+10%)=66,整理得：P2+2.1P-0.22=0,解得P=10%

22.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程⑵

教學(xué)內(nèi)容

建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，解決如何全面地比較幾個(gè)對(duì)象的變化狀況.

教學(xué)目標(biāo)

掌握建立數(shù)學(xué)模型以解決如何全面地比較幾個(gè)對(duì)象的變化狀況的問(wèn)題.

復(fù)習(xí)一種對(duì)象變化狀況的解題過(guò)程，引入兩種或兩種以上對(duì)象的變化狀況的解

題方法.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：如何全面地比較幾個(gè)對(duì)象的變化狀況.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：某些量的變化狀況，不能衡量另外一些量的變化狀況.

教具、學(xué)具準(zhǔn)備

小黑板

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成下面的題目.

問(wèn)題：某商場(chǎng)禮品柜臺(tái)春節(jié)期間購(gòu)進(jìn)大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可

售出500張，每張盈利0.3元，為了盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)

措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價(jià)每降低0.1元，那么商場(chǎng)平均每天可

多售出100張，商場(chǎng)要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應(yīng)降價(jià)多少元？

老師點(diǎn)評(píng)：總利潤(rùn)=每件平均利潤(rùn)X總件數(shù).設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價(jià)x元，

則每件平均利潤(rùn)應(yīng)是(0.3-x)元，總件數(shù)應(yīng)是(500+X100)

解：設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價(jià)X元

貝I](0.3-X)(500+)=120

解得：x=0.1

答：每張賀年卡應(yīng)降價(jià)0.1元.

二、探索新知

剛才，我們分析了一種賀年卡原來(lái)平均每天可售出500張，每張盈利0.3

元，為了減少庫(kù)存降價(jià)銷售，并知每降價(jià)0」元，便可多售出100元，為了達(dá)

到某個(gè)目的，每張賀年卡應(yīng)降價(jià)多少元?如果本題中有兩種賀年卡或者兩種其它

東西，量與量之間又有怎樣的關(guān)系呢？即絕對(duì)量與相對(duì)量之間的關(guān)系.

例1.某商場(chǎng)禮品柜臺(tái)春節(jié)期間購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種賀年卡，甲種賀年卡平均

每天可售出500張，每張盈利03元，乙種賀年卡平均每天可售出200張，每

張盈利075元，為了盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，

如果甲種賀年卡的售價(jià)每降價(jià)O1元，那么商場(chǎng)平均每天可多售出100張；如

果乙種賀年卡的售價(jià)每降價(jià)0.25元，那么商場(chǎng)平均每天可多售出34張.如

果商場(chǎng)要想每種賀年卡平均每天盈利120元，那么哪種賀年卡每張降價(jià)的絕對(duì)

量大.

分析：原來(lái)，兩種賀年卡平均每天的盈利一樣多，都是150元；，從這些數(shù)目

看，好象兩種賀年卡每張降價(jià)的絕對(duì)量一樣大，下面我們就通過(guò)解題來(lái)說(shuō)明這

個(gè)問(wèn)題.

解：(1)從“復(fù)習(xí)引入”中，我們可知，商場(chǎng)要想平均每天盈利120元，

甲種賀年卡應(yīng)降價(jià)0.1元.

(2)乙種賀年卡：設(shè)每張乙種賀年卡應(yīng)降價(jià)y元，

則:(0.75-y)(200+X34)=120

即(-y)(200+136y)=120

整理：得68y2+49y-15=0

y=

Ay^-O.98(不符題意，應(yīng)舍去)

y=0.23元

答：乙種賀年卡每張降價(jià)的絕對(duì)量大.

因此，我們從以上一些絕對(duì)量的比較，不能說(shuō)明其它絕對(duì)量或者相對(duì)量也有同

樣的變化規(guī)律.

(學(xué)生活動(dòng))例2.兩年前生產(chǎn)It甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)It

乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)It甲種藥品的成本

是3000元，生產(chǎn)It乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降

率較大？

老師點(diǎn)評(píng)：

絕對(duì)量：甲種藥品成本的年平均下降額為(5000-3000)+2=1000元，乙

種藥品成本的年平均下降額為(6000-3000)+2=1200元，顯然，乙種藥品

成本的年平均下降額較大.

相對(duì)量：從上面的絕對(duì)量的大小能否說(shuō)明相對(duì)量的大小呢?也就是能否說(shuō)明乙種

藥品成本的年平均下降率大呢?下面我們通過(guò)計(jì)算來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題.

解：設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x,

則一年后甲種藥品成本為5000(1-x)元，兩年后甲種藥品成本為5000(1-x)

元.

依題意，得5000(1-x)2=3000

解得：X1^0.225,x2^l.775(不合題意，舍去)

設(shè)乙種藥品成本的平均下降率為y.

則:6000(1-y)2=3600

整理，得：(l-y)=0.6

解得：y^O,225

答：兩種藥品成本的年平均下降率一樣大.

因此，雖然絕對(duì)量相差很多，但其相對(duì)量也可能相等.

三、鞏固練習(xí)

新華商場(chǎng)銷售甲、乙兩種冰箱，甲種冰箱每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500元，市場(chǎng)調(diào)研表明：

當(dāng)銷售價(jià)為2900元時(shí)，平均每天能售出8臺(tái)；而當(dāng)銷售價(jià)每降低50元時(shí)，平

均每天就能多售出4臺(tái).乙種冰箱每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2000元，市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)銷

售價(jià)為2500元時(shí)，平均每天能售出8臺(tái)；而當(dāng)銷售價(jià)每降低45元時(shí)，平均每

天就能多售出4臺(tái)，商場(chǎng)要想使這兩種冰箱的銷售利潤(rùn)平均每天達(dá)到5000元,

那么兩種冰箱的定價(jià)應(yīng)各是多少？

四、應(yīng)用拓展

例3.某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場(chǎng)分析，

若每千克50元銷售，一個(gè)月能售出500kg,銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減

少10kg,針對(duì)這種水產(chǎn)品情況，請(qǐng)解答以下問(wèn)題：

(1)當(dāng)銷售單價(jià)定為每千克55元時(shí)，計(jì)算銷售量和月銷售利潤(rùn).

(2)設(shè)銷售單價(jià)為每千克x元，月銷售利潤(rùn)為y元，求y與x的關(guān)系式.

(3)商品想在月銷售成本不超過(guò)10000元的情況下，使得月銷售利潤(rùn)達(dá)

到8000元，銷售單價(jià)應(yīng)為多少？

分析：(1)銷售單價(jià)定為55兀，比原來(lái)的銷售價(jià)50兀提高5兀，因此，

銷售量就減少5X10kg.

(2)銷售利潤(rùn)丫=(銷售單價(jià)x-銷售成本40)X銷售量[500-10(x-

50)]

(3)月銷售成本不超過(guò)10000元，那么銷售量就不超過(guò)=250kg,在這個(gè)

提前下，求月銷售利潤(rùn)達(dá)到8000元，銷售單價(jià)應(yīng)為多少.

解：(1)銷售量：500-5X10=450(kg)；銷售利潤(rùn)：450X(55-40)

=450X15=6750元

(2)y=(x-40)[500-10(x-50)]=-10x2+1400x-40000

(3)由于水產(chǎn)品不超過(guò)10000?40=250kg,定價(jià)為x元，則(x-400)[500-10

(x-50)]=8000

解得：Xi=80,X2=60

當(dāng)XI=80時(shí)，進(jìn)貨500To(80-50)=200kg,滿足題意.

當(dāng)X2=60時(shí)，進(jìn)貨500-10(60-50)=400kg>250kg,(舍去).

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

建立多種一元二次方程的數(shù)學(xué)建模以解決如何全面地比較幾個(gè)對(duì)象的變化狀況

的問(wèn)題.

六、布置作業(yè)

1.教材P53復(fù)習(xí)鞏固2綜合運(yùn)用7、9.

2.選用作業(yè)設(shè)計(jì):

一、選擇題

1.一個(gè)小組若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，則這個(gè)小組共

（）.

A.12人B.18人C.9人D.10人

2.某一商人進(jìn)貨價(jià)便宜8隊(duì)而售價(jià)不變，那么他的利潤(rùn)（按進(jìn)貨價(jià)而定）可

由目前x增加到（x+10%），貝1］乂是（）.

A.12%B.15%C.30%D.50%

3.育才中學(xué)為迎接香港回歸，從1994年到1997年四年內(nèi)師生共植樹1997棵,

已知該校1994年植樹342棵，1995年植樹500棵，如果1996年和1997年

植樹的年增長(zhǎng)率相同，那么該校1997年植樹的棵數(shù)為（）.

A.600B.604C.595D.605

二、填空題

1.一個(gè)產(chǎn)品原價(jià)為a元，受市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)影響，先提價(jià)20%后又降價(jià)15%,現(xiàn)價(jià)比

原價(jià)多%.

2.甲用1000元人民幣購(gòu)買了一手股票，隨即他將這手股票轉(zhuǎn)賣給乙，獲利

10%,乙而后又將這手股票返賣給甲，但乙損失了10%,最后甲按乙賣給甲

的價(jià)格的九折將這手股票賣出，在上述股票交易中，甲盈了元.

3.一個(gè)容器盛滿純藥液63L,第一次倒出一部分純藥液后用水加滿，第二次

又倒出同樣多的藥液，再加水補(bǔ)滿，這時(shí)容器內(nèi)剩下的純藥液是28L,設(shè)每次

倒出液體xL,則列出的方程是.

三、綜合提高題

1.上海甲商場(chǎng)七月份利潤(rùn)為100萬(wàn)元，九月份的利率為121萬(wàn)元，乙商場(chǎng)七月

份利率為200萬(wàn)元，九月份的利潤(rùn)為288萬(wàn)元，那么哪個(gè)商場(chǎng)利潤(rùn)的年平

均上升率較大？

2.某果園有100棵桃樹，一棵桃樹平均結(jié)1000個(gè)桃子，現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些桃

樹以提高產(chǎn)量，試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，每多種一棵桃樹，每棵桃樹的產(chǎn)量就會(huì)減少2

個(gè)，如果要使產(chǎn)量增加15.2%,那么應(yīng)多種多少棵桃樹？

3.某玩具廠有4個(gè)車間，某周是質(zhì)量檢查周，現(xiàn)每個(gè)車間都原有a(a〉0)個(gè)

成品，且每個(gè)車間每天都生產(chǎn)b(b>0)個(gè)成品，質(zhì)量科派出若干名檢驗(yàn)員

周一、周二檢驗(yàn)其中兩個(gè)車間原有的和這兩天生產(chǎn)的所有成品，然后，周

三到周五檢驗(yàn)另外兩個(gè)車間原有的和本周生產(chǎn)的所有成品，假定每名檢驗(yàn)

員每天檢驗(yàn)的成品數(shù)相同.

(1)這若干名檢驗(yàn)員1天共檢驗(yàn)多少個(gè)成品？(用含a、b的代數(shù)式表示)

(2)若一名檢驗(yàn)員1天能檢驗(yàn)b個(gè)成品，則質(zhì)量科至少要派出多少名檢

驗(yàn)員？

答案：

一、、1.C2.B3.D

二、1.22.13.(1-)2=

三、1.甲：設(shè)上升率為x,則100(1+x)=121,x=10%

乙：設(shè)上升率為y,則200(1+y)2=288,y=20%,

那么乙商場(chǎng)年均利潤(rùn)的上升率大.

2.設(shè)多種x棵樹，則(100+x)(1000-2x)=100X1000X(1+15.2%),

整理，得：x-400x+7600=0,(x-20)(x-380)=0,

解得Xi=20,X2=380

3.(1)=a+2b或

(2)因?yàn)榧俣棵麢z驗(yàn)員每天檢驗(yàn)的成品數(shù)相同.

所以a+2b=,解得：a=4b

所以(a+2b)4-b=6b4-b==7.5(人)

所以至少要派8名檢驗(yàn)員.

22.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程(3)

教學(xué)內(nèi)容

根據(jù)面積與面積之間的關(guān)系建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并解決這類問(wèn)題.

教學(xué)目標(biāo)

掌握面積法建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問(wèn)題.

利用提問(wèn)的方法復(fù)習(xí)幾種特殊圖形的面積公式來(lái)引入新課，解決新課中的

問(wèn)題.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：根據(jù)面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元二元方程的數(shù)學(xué)模型

并運(yùn)用它解決實(shí)際問(wèn)題.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：根據(jù)面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元二次方程的數(shù)

學(xué)模型.

教具、學(xué)具準(zhǔn)備

小黑板

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)引入

（口述）1.直角三角形的面積公式是什么？一般三角形的面積公式是什么呢？

2.正方形的面積公式是什么呢？長(zhǎng)方形的面積公式又是什么？

3.梯形的面積公式是什么？

4.菱形的面積公式是什么？

5.平行四邊形的面積公式是什么？

6.圓的面積公式是什么？

（學(xué)生口答，老師點(diǎn)評(píng)）

二、探索新知

現(xiàn)在，我們根據(jù)剛才所復(fù)習(xí)的面積公式來(lái)建立一些數(shù)學(xué)模型，解決一些實(shí)

際問(wèn)題.

例L某林場(chǎng)計(jì)劃修一條長(zhǎng)750m,斷面為等腰梯形的渠道，斷面面積為

1.6m2,上口寬比渠深多2m,渠底比渠深多0.4m.

（1）渠道的上口寬與渠底寬各是多少？

（2）如果計(jì)劃每天挖土48m：需要多少天才能把這條渠道挖完？

分析：因?yàn)榍钭钚?，為了便于?jì)算，不妨設(shè)渠深為xm,則上口寬為x+2,

渠底為x+0.4,那么，根據(jù)梯形的面積公式便可建模.

解：（1）設(shè)渠深為xm

則渠底為（x+0.4）m,上口寬為（x+2）m

依題意，得：（x+2+x+O.4）x=l.6

整理，得：5x2+6x-8=0

解得：Xi==0.8m,X2=-2（舍）

上口寬為2.8m,渠底為1.2m.

（2）=25天

答：渠道的上口寬與渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道.

學(xué)生活動(dòng)：例2.如圖，要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長(zhǎng)27cm,寬21cm,

正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占

面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)

四周邊襯的寬度(精確到0.1cm)?

老師點(diǎn)評(píng)：依據(jù)題意知：中央矩形的長(zhǎng)寬之比等于封面的長(zhǎng)寬之比=9：

7,由此可以判定：上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9：7,設(shè)上、下邊襯的寬

均為9xcm,則左、右邊襯的寬均為7xcm,依題意，得：中央矩形的長(zhǎng)為

(27-18x)cm,寬為(21-14x)cm.

因?yàn)樗闹艿牟噬呉r所點(diǎn)面積是封面面積的，則中央矩形的面積是封面面

積的.

所以(27-18x)(21-14x)=X27X21

整理，得：16X2-48X+9=0

解方程，得：x=,

Xi^2.8cm,x2^0.2

所以：9xi=25.2cm(舍去)，9x2=l.8cm,7x2=l.4cm

因此，上下邊襯的寬均為1.8cm,左、右邊襯的寬均為1.4cm.

有一張長(zhǎng)方形的桌子，長(zhǎng)6尺，寬3尺，有一塊臺(tái)布的面積是桌面面積的2

倍，并且鋪在桌面上時(shí)，各邊垂下的長(zhǎng)度相同，求臺(tái)布的長(zhǎng)和寬各是多少？(精

確到0.1尺)

四、應(yīng)用拓展

例3.如圖(a)、(b)所示，在AABC中NB=90°,AB=6cm,BC=8cm,

點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊

向點(diǎn)C以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng).

(1)如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘，使SxBQ=8cm2.

(2)如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，并且P至UB后又繼續(xù)在BC邊上前

進(jìn)，Q到C后又繼續(xù)在CA邊上前進(jìn)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘，使4PCQ的面積等于12.6c

m2.(友情提示：過(guò)點(diǎn)Q作DQLCB,垂足為D,貝U：)

分析：(1)設(shè)經(jīng)過(guò)x秒鐘，S^9=8cm2,那么AP=x,PB=6-x,QB=2x,

由面積公式便可得到一元二次方程的數(shù)學(xué)模型.

(2)設(shè)經(jīng)過(guò)y秒鐘，這里的y>6使4PCQ的面積等于12.6cm2.因?yàn)锳B=6,

BC=8,由勾股定理得：AC=10,又由于PA=y,CP=(14-y),CQ=(2y-8),

又由友情提示，便可得到DQ,那么根據(jù)三角形的面積公式即可建模.

解：(1)設(shè)x秒，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC上，且使4PBQ的面積為8cm2.

則：(6-x),2x=8

整理，得：x2-6x+8=0

解得：Xi=2,X2=4

經(jīng)過(guò)2秒，點(diǎn)P到離A點(diǎn)lX2=2cm處，點(diǎn)Q離B點(diǎn)2X2=4cm處，經(jīng)過(guò)4

秒，點(diǎn)P到離A點(diǎn)lX4=4cm處，點(diǎn)Q離B點(diǎn)2X4=8cm處，所以它們都符合要

求.

(2)設(shè)y秒后點(diǎn)P移到BC上，且有CP=(14-y)cm,點(diǎn)Q在CA上移動(dòng)，且使

CQ=(2y-8)cm,過(guò)點(diǎn)Q作DQLCB,垂足為D,則有

VAB=6,BC=8

???由勾股定理,得：AC==10

ADQ=

則：(14-y)?=12.6

整理，得：y-18y+77=0

解得：yi=7,y2=l1

即經(jīng)過(guò)7秒，點(diǎn)P在BC上距C點(diǎn)7cm處(CP=14-y=7),點(diǎn)Q在CA上距C

點(diǎn)6cm處(CQ=2y-8=6),使4PCD的面積為12.6cm2.

經(jīng)過(guò)11秒，點(diǎn)P在BC上距C點(diǎn)3cm處，點(diǎn)Q在CA上距C點(diǎn)14cm〉10,

.?.點(diǎn)Q已超過(guò)CA的范圍，即此解不存在.

.?.本小題只有一解yj=7.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握:

利用已學(xué)的特殊圖形的面積公式建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)

際問(wèn)題.

六、布置作業(yè)

1.教材P53綜合運(yùn)用5、6拓廣探索全部.

2.選用作業(yè)設(shè)計(jì)：

一、選擇題

1.直角三角形兩條直角邊的和為7,面積為6,則斜邊為（）.

A.B.5C.D.7

2.有兩塊木板，第一塊長(zhǎng)是寬的2倍，第二塊的長(zhǎng)比第一塊的長(zhǎng)少2m,寬是

第一塊寬的3倍，已知第二塊木板的面積比第一塊大108m:這兩塊木板的長(zhǎng)

和寬分別是（）.

A.第一塊木板長(zhǎng)18m,寬9m,第二塊木板長(zhǎng)16m,寬27m;

B.第一塊木板長(zhǎng)12m,寬6m,第二塊木板長(zhǎng)10m,寬18m;

C.第一塊木板長(zhǎng)9m,寬4.5m,第二塊木板長(zhǎng)7m,寬13.5m;

D.以上都不對(duì)

3.從正方形鐵片，截去2cm寬的一條長(zhǎng)方形，余下的面積是48cm2,則原來(lái)的

正方形鐵片的面積是（）.

A.8cmB.64cmC.8cm2D.64cm2

二、填空題

1.矩形的周長(zhǎng)為8,面積為1,則矩形的長(zhǎng)和寬分別為.

2.長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多4cm,面積為60cm2,則它的周長(zhǎng)為.

3.如圖，是長(zhǎng)方形雞場(chǎng)平面示意圖，一邊靠墻，另外三面用竹籬笆圍成，若

竹籬笆總長(zhǎng)為35m,所圍的面積為150m,，則此長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的長(zhǎng)、寬分別為一

三、綜合提高題

1.如圖所示的一防水壩的橫截面（梯形），壩頂寬3m,背水坡度為1：2,迎

水坡度為1：1，若壩長(zhǎng)30m,完成大壩所用去的土方為4500n^,問(wèn)水壩的高

應(yīng)是多少？（說(shuō)明：背水坡度=，迎水坡度）（精確到0.1m）

2.在一塊長(zhǎng)12m,寬8m的長(zhǎng)方形平地中央，劃出地方砌一個(gè)面積為8m?的長(zhǎng)

方形花臺(tái)，要使花壇四周的寬地寬度一樣，則這個(gè)寬度為多少？

3.誰(shuí)能量出道路的寬度：

如圖22-10,有矩形地ABCD一塊，要在中央修一矩形花輔EFGH,使其面積為

這塊地面積的一半，且花圃四周道路的寬相等，今無(wú)測(cè)量工具，只有無(wú)刻度的

足夠長(zhǎng)的繩子一條，如何量出道路的寬度？

請(qǐng)同學(xué)們利用自己掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題，相信你一定能

行.

答案:

―\1.B2.B3.D

二、1.2+2-

2.32cm

3.20m和7.5m或15nl和10m

~二、

1.設(shè)壩的高是x,則AE=x,BF=2x,AB=3+3x,

依題意，得：(3+3+3x)xX30=4500

整理，得：x2+2x-100=0

解得x?即x=9.05(m)

2.設(shè)寬為x,則12X8-8=2X8x+2(12-2x)x

整理,得：x-10x+22=0

解得：X[=5+(舍去)，X2=5-

3.設(shè)道路的寬為x,AB=a,AD=b

則(a-2x)(b-2x)=ab

解得：x=[(a+b)-]

量法為：用繩子量出AB+AD（即a+b）之長(zhǎng)，從中減去BD之長(zhǎng)（對(duì)角線BD=）,

得1=48+4口-6口，再將L對(duì)折兩次即得到道路的寬，即.

22.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程⑷

教學(xué)內(nèi)容

運(yùn)用速度、時(shí)間、路程的關(guān)系建立一元二次方程數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題.

教學(xué)目標(biāo)

掌握運(yùn)用速度、時(shí)間、路程三者的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型并解決實(shí)際問(wèn)題.

通過(guò)復(fù)習(xí)速度、時(shí)間、路程三者的關(guān)系，提出問(wèn)題，用這個(gè)知識(shí)解決問(wèn)題.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：通過(guò)路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：建模.

教具、學(xué)具準(zhǔn)備

小黑板

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)引入

（老師口問(wèn)，學(xué)生口答）路程、速度和時(shí)間三者的關(guān)系是什么？

二、探究新知

我們這一節(jié)課就是要利用同學(xué)們剛才所回答的“路程=速度X時(shí)間”來(lái)建立一

元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并且解決一些實(shí)際問(wèn)題.

請(qǐng)思考下面的二道例題.

例L某輛汽車在公路上行駛，它行駛的路程s(m)和時(shí)間t(s)之間

的關(guān)系為：s=10t+3t2,那么行駛200m需要多長(zhǎng)時(shí)間？

分析：這是一個(gè)加速運(yùn)運(yùn)，根據(jù)已知的路程求時(shí)間，因此，只要把s=200

代入求關(guān)系t的一元二次方程即可.

解：當(dāng)s=200時(shí)，3t2+10t=200,3t2+10t-200=0

解得t=(s)

答：行駛200m需s.

例2.一輛汽車以20m/s的速度行駛，司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方路面有情況，緊急剎

車后汽車又滑行25m后停車.

(1)從剎車到停車用了多少時(shí)間？

(2)從剎車到停車平均每秒車速減少多少？

(3)剎車后汽車滑行到15m時(shí)約用了多少時(shí)間(精確到0.1s)?

分析：(1)剛剎車時(shí)時(shí)速還是20m/s,以后逐漸減少，停車時(shí)時(shí)速為0.

因?yàn)閯x車以后，其速度的減少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是勻速的,

因此，其平均速度為=10m/s,那么根據(jù)：路程=速度X時(shí)間，便可求出所求的

時(shí)間.

(2)很明顯，剛要?jiǎng)x車時(shí)車速為20m/s,停車車速為0,車速減少值為20

-0=20,因?yàn)檐囁贉p少值20,是在從剎車到停車所用的時(shí)間內(nèi)完成的，所以20

除以從剎車到停車的時(shí)間即可.

(3)設(shè)剎車后汽車滑行到15m時(shí)約用除以xs.由于平均每秒減少車速已

從上題求出，所以便可求出滑行到15米的車速，從而可求出剎車到滑行到15m

的平均速度，再根據(jù)：路程=速度X時(shí)間，便可求出x的值.

解：(1)從剎車到停車所用的路程是25m；從剎車到停車的平均車速是

=10(m/s)

那么從剎車到停車所用的時(shí)間是=2.5(s)

(2)從剎車到停車車速的減少值是20-0=20

從剎車到停車每秒平均車速減少值是=8(m/s)

(3)設(shè)剎車后汽車滑行到15m時(shí)約用了xs,這時(shí)車速為(20-8x)m/s

則這段路程內(nèi)的平均車速為=(20-4x)m/s

所以x(20-4x)=15

整理得：4x-20x+15=0

解方程：得*=

Xi^4.08(不合，舍去)，x2^0.9(s)

答：剎車后汽車行駛到15m時(shí)約用0.9s.

三、鞏固練習(xí)

(1)同上題，求剎車后汽車行駛10m時(shí)約用了多少時(shí)間.(精確到0.1s)

(2)剎車后汽車行駛到20m時(shí)約用了多少時(shí)間.(精確到0.1s)

四、應(yīng)用拓展

例3.如圖，某海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目

標(biāo)B,在B的正東方向200海里處有一重要目標(biāo)C,小島D位于AC的中點(diǎn)，島

上有一補(bǔ)給碼頭：小島F位于BC上且恰好處于小島D的正南方向，一艘軍艦從

A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航，一般補(bǔ)給船同時(shí)從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直

線航行，欲將一批物品送達(dá)軍艦.

(1)小島D和小島F相距多少海里？

(2)已知軍艦的速度是補(bǔ)給船的2倍，軍艦在由B至UC的途中與補(bǔ)給船相

遇于E處，那么相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了多少海里？(結(jié)果精確到0.1海里)

分析：(1)因?yàn)橐李}意可知^ABC是等腰直角三角形，ADFC也是等腰直

角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求DF的長(zhǎng).

(2)要求補(bǔ)給船航行的距離就是求DE的長(zhǎng)度，DF已求，因此，只要在Rt

△DEF中，由勾股定理即可求.

解：(1)連結(jié)DF,則DF±BC

VABXBC,AB=BC=200海里.

AC=AB=200海里，ZC=45°

ACD=AC=100海里

DF=CF,DF=CD

，DF=CF=CD=X100=100（海里）

所以，小島D和小島F相距100海里.

(2)設(shè)相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里，

EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里

在RtADEF中，根據(jù)勾股定理可得方程

x2=1002+(300-2x)2

整理，得3x2-l200x+100000=0

解這個(gè)方程，得：Xi-200-^118.4

X2=200+(不合題意，舍去)

所以，相遇時(shí)補(bǔ)給船大約航行了118.4海里.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

運(yùn)用路程=速度X時(shí)間，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并解決一些實(shí)際問(wèn)題.

六、布置作業(yè)

1.教材P53綜合運(yùn)用9P58復(fù)習(xí)題22綜合運(yùn)用9.

2.選用作業(yè)設(shè)計(jì)：

一、選擇題

1.一個(gè)兩位數(shù)等于它的個(gè)位數(shù)的平方，且個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3,則這個(gè)

兩位數(shù)為().

A.25B.36C.25或36D.-25或-36

2.某種出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：起步價(jià)7元(即行駛距離不超過(guò)3km都需付7元

車費(fèi))；超過(guò)3km以后，每增加1km,加收2.4元(不足1km按1km計(jì))，某

人乘出租車從甲地到乙地共支付車費(fèi)19元，則此人從甲地到乙地經(jīng)過(guò)的路程

().

A.正好8kmB.最多8kme.至少8kmD.正好7km

二、填空題

1.以大約與水平成45°角的方向，向斜上方拋出標(biāo)槍，拋出的距離s(單位：

m)與標(biāo)槍出手的速度v(單位：m/s)之間大致有如下關(guān)系：s=+2

如果拋出40m,那么標(biāo)槍出手時(shí)的速度是(精確到0.1)

2.一個(gè)小球由靜止開(kāi)始在一個(gè)斜坡上向下滾動(dòng)，通過(guò)儀器觀察得到小球滾動(dòng)

的距離s(m)與時(shí)間t(s)的數(shù)據(jù)如下：

寫出用t表示s的關(guān)系式為.

三、綜合提高題

1.一個(gè)小球以10m/s的速度在平坦地面上開(kāi)始滾動(dòng)，并且均勻減速，滾動(dòng)20m

后小球停下來(lái).

(1)小球滾動(dòng)了多少時(shí)間？

(2)平均每秒小球的運(yùn)動(dòng)速度減少多少？

(3)小球滾動(dòng)到5m時(shí)約用了多少時(shí)間(精確到0.1s)?

2.某軍艦以20節(jié)的速度由西向東航行，一艘電子偵察船以30節(jié)的速度由南

向北航行，它能偵察出周圍50海里(包括50海里)范圍內(nèi)的目標(biāo).如圖，

當(dāng)該軍艦行至A處時(shí)，電子偵察船正位于A處正南方向的B處，且AB=90海

里，如果軍船和偵察船仍按原速度沿原方向繼續(xù)航行，那么航行途中偵察船

能否偵察到這艘軍艦?如果能，最早何時(shí)能偵察到?如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案：

―k>1.C2.B

二、1.19.3m/s2.s=2t2

~二、

1.(1)小球滾動(dòng)的平均速度==5(m/s)小球滾動(dòng)的時(shí)間：=4(s)

(2)=2.5(m/s)

(3)小球滾動(dòng)到5m時(shí)約用了xs平均速度==

依題意，得：x,=5,整理得：X2-8X+4=0

解得：x=4±2,所以x=4-2

2.能.設(shè)偵察船最早由B出發(fā)經(jīng)過(guò)x小時(shí)偵察到軍艦，則(90-30x)2+(20x)

2=502

整理，得：13x-54x+56=0,即(13x-28)(x-2)=0,X1=2,x2=2,

??.最早再過(guò)2小時(shí)能偵察到.

第二十四章圓

單元要點(diǎn)分析

教學(xué)內(nèi)容

1.本單元數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容.

（1）圓有關(guān)的概念：垂直于弦的直徑，弧、弦、圓心角、圓周角.

（2）與圓有關(guān)的位置關(guān)系：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，圓和

圓的位置關(guān)系.

（3）正多邊形和圓.

（4）弧長(zhǎng)和扇形面積：弧長(zhǎng)和扇形面積，圓錐的側(cè)面積和全面積.

2.本單元在教材中的地位與作用.

學(xué)生在學(xué)習(xí)本章之前，已通過(guò)折疊、對(duì)稱、平移旋轉(zhuǎn)、推理證明等方式認(rèn)

識(shí)了許多圖形的性質(zhì)，積累了大量的空間與圖形的經(jīng)驗(yàn).本章是在學(xué)習(xí)了這些

直線型圖形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步來(lái)探索一種特殊的曲線—圓的有關(guān)

性質(zhì).通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生今后繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，尤其是逐步樹立分類討論

的數(shù)學(xué)思想、歸納的數(shù)學(xué)思想起著良好的鋪墊作用.本章的學(xué)習(xí)是高中的數(shù)學(xué)

學(xué)習(xí)，尤其是圓錐曲線的學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)性工程.

教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能

（1）了解圓的有關(guān)概念，探索并理解垂徑定理，探索并認(rèn)識(shí)圓心角、弧、

弦之間的相等關(guān)系的定理，探索并理解圓周角和圓心角的關(guān)系定理.

（2）探索并理解點(diǎn)和圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系：了解切線的概念，

探索切線與過(guò)切點(diǎn)的直徑之間的關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線，會(huì)過(guò)

圓上一點(diǎn)畫圓的切線.

（3）進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解正多邊形和圓的關(guān)系和正多邊的有關(guān)計(jì)算.

（4）熟練掌握弧長(zhǎng)和扇形面積公式及其它們的應(yīng)用；理解圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖

并熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算.

2.過(guò)程與方法

（1）積極引導(dǎo)學(xué)生從事觀察、測(cè)量、平移、旋轉(zhuǎn)、推理證明等活動(dòng).了解概

念，理解等量關(guān)系，掌握定理及公式.

（2）在教學(xué)過(guò)程中，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，并進(jìn)行同伴之間的交

流.

（3）在探索圓周角和圓心角之間的關(guān)系的過(guò)程中，讓學(xué)生形成分類討論

的數(shù)學(xué)思想和歸納的數(shù)學(xué)思想.

（4）通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)等方式，認(rèn)識(shí)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，使學(xué)

生明確圖形在運(yùn)動(dòng)變化中的特點(diǎn)和規(guī)律，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理能力.

（5）探索弧長(zhǎng)、扇形的面積、圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算公式并理解公式

的意義、理解算法的意義.

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

經(jīng)歷探索圓及其相關(guān)結(jié)論的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力；通過(guò)積極引

導(dǎo)，幫助學(xué)生有意識(shí)地積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得成功的體驗(yàn)；利用現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)學(xué)

中的素材，設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的情景，激發(fā)學(xué)生求知、探索的欲望.

教學(xué)重點(diǎn)

1.平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧及其

運(yùn)用.

2.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等及其

運(yùn)用.

3.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)

的圓心角的一半及其運(yùn)用.

4.半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑

及其運(yùn)用.

5.不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.

6.直線L和。0相交d〈r；直線L和圓相切（1=C直線L和。0相離d〉r及其運(yùn)

用.

7.圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑及其運(yùn)用.

8.經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線并利用它解決一些

具體問(wèn)題.

9.從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心

的連線平分兩條切線的夾角及其運(yùn)用.

10.兩圓的位置關(guān)系：d與n和9之間的關(guān)系:外離d>n+r2；外切d=rF；

相交Ir2-ri|ri+r2；內(nèi)切d=|r-r2|；內(nèi)含d<|r2fl.

11.正多邊形和圓中的半徑R、邊心距r、中心角。之間的等量關(guān)系并應(yīng)

用這個(gè)等量關(guān)系解決具體題目.

12.n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為L(zhǎng)=,n°的圓心角的扇形面積是S扇形=及其

運(yùn)用這兩個(gè)公式進(jìn)行計(jì)算.

13.圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算.

教學(xué)難點(diǎn)

1.垂徑定理的探索與推導(dǎo)及利用它解決一些實(shí)際問(wèn)題.

2.弧、弦、圓心有的之間互推的有關(guān)定理的探索與推導(dǎo)，并運(yùn)用它解決一些

實(shí)際問(wèn)題.

3.有關(guān)圓周角的定理的探索及推導(dǎo)及其它的運(yùn)用.

4.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用.

5.三點(diǎn)確定一個(gè)圓的探索及應(yīng)用.

6.直線和圓的位置關(guān)系的判定及其應(yīng)用.

7.切線的判定定理與性質(zhì)定理的運(yùn)用.

8.切線長(zhǎng)定理的探索與運(yùn)用.

9.圓和圓的位置關(guān)系的判定及其運(yùn)用.

10.正多邊形和圓中的半徑R、邊心距r、中心角。的關(guān)系的應(yīng)用.

11.n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)1=及5扇形=的公式的應(yīng)用.

12.圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的理解.

教學(xué)關(guān)鍵

1.積極引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、測(cè)量、折疊、平移、旋轉(zhuǎn)等數(shù)學(xué)活動(dòng)探索定理、

性質(zhì)、“三個(gè)”位置關(guān)系并推理證明等活動(dòng).

2.關(guān)注學(xué)生思考方式的多樣化，注重學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)與提高.

3.在觀察、操作和推導(dǎo)活動(dòng)中，使學(xué)生有意識(shí)地反思其中的數(shù)學(xué)思想方法，

發(fā)展學(xué)生有條理的思考能力及語(yǔ)言表達(dá)能力.

單元課時(shí)劃分

本單元教學(xué)時(shí)間約需13課時(shí)，具體分配如下:

24.1圓3課時(shí)

24.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系4課時(shí)

24.3正多邊形和圓1課時(shí)

24.4弧長(zhǎng)和扇形面積2課時(shí)

教學(xué)活動(dòng)、習(xí)題課、小結(jié)3課時(shí)

24.1圓

第一課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

1.圓的有關(guān)概念.

2.垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩