材料力學(xué)(第三版) 課件 第8、9章 組合變形、壓桿穩(wěn)定

第8章組合變形8.1引言8.2拉(壓)彎組合變形8.3彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合習(xí)題

8.1引言

1.組合變形的概念與工程實(shí)例

在工程實(shí)際中，桿件的受力變形情況種類很多，有不少構(gòu)件同時(shí)發(fā)生兩種或兩種以上的基本變形。例如，圖8-1是工程中常見(jiàn)的鉆桿簡(jiǎn)圖，鉆桿受扭矩作用，同時(shí)鉆桿的自重沿鉆桿的軸向作用，所以鉆桿的變形既有軸向拉伸變形，又有扭轉(zhuǎn)變形。又如，圖8-2是機(jī)械設(shè)備中的傳動(dòng)軸，傳動(dòng)輪上的作用力使傳動(dòng)軸既有扭轉(zhuǎn)變形，又有彎曲變形。桿件同時(shí)發(fā)生兩種或兩種以上基本變形的情形稱為組合變形。

圖8-1

圖8-2

2.疊加原理及其適用范圍

在線彈性、小變形條件下，構(gòu)件的內(nèi)力、應(yīng)力和變形等均與外力呈線性關(guān)系?？梢哉J(rèn)為，載荷的作用是獨(dú)立的，每一載荷所引起的內(nèi)力、應(yīng)力、變形都不受其他載荷的影響。幾個(gè)載荷同時(shí)作用在桿件上所產(chǎn)生的應(yīng)力、變形，等于各個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)力、變形之和，此即疊加原理。當(dāng)桿件在復(fù)雜載荷作用下同時(shí)發(fā)生幾種基本變形時(shí)，根據(jù)靜力等效原則，先將外力進(jìn)行分解、簡(jiǎn)化、分組，使簡(jiǎn)化后的每一組載荷只對(duì)應(yīng)一種基本變形，再分別計(jì)算每一種基本變形下產(chǎn)生的內(nèi)力、應(yīng)力和變形，然后將所得結(jié)果疊加，便可得到組合變形時(shí)構(gòu)件的內(nèi)力、應(yīng)力和變形，其結(jié)果與各力的加載次序無(wú)關(guān)。

8.2拉(壓)彎組合變形

8.2.1桿件同時(shí)承受橫向力與軸向力作用如圖8-3(a)所示的矩形截面梁，在自由端截面形心上作用一斜向下的集中力F，其作用線位于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，與梁軸線的夾角為θ。因?yàn)榱的作用線既不與軸線重合，又不與軸線垂直，所以梁的變形既不是單純的軸向拉壓，也不是單純的平面彎曲，而是軸向拉伸與彎曲的組合變形。

圖8-3

危險(xiǎn)面上總的正應(yīng)力可由拉應(yīng)力和彎曲正應(yīng)力疊加而得，其分布情況如圖8-3(d)所示，截面的上邊緣有最大正應(yīng)力，其值為

截面的下邊緣有最小正應(yīng)力，其值為

例8-1圖8-4(a)為一懸臂式吊車機(jī)架簡(jiǎn)圖。機(jī)架由單根18號(hào)工字鋼AB及拉桿AC構(gòu)成。橫梁AB的跨度l=2m，作用在AB梁中點(diǎn)的載荷W=25kN，材料的許用應(yīng)力[σ]=100MPa，α=30°，梁與拉桿的自重不計(jì)。試校核橫梁AB的強(qiáng)度。

圖8-4

解(1)外力分析。以橫梁AB為研究對(duì)象，作用在橫梁上的力有載荷W

，拉桿的拉力FA

，支座B的反力FBx、FBy，如圖8-4(b)所示。將A點(diǎn)的作用力分解為FAx和FAy?？梢詫⒆饔迷贏B梁上的力分為兩組，其中W、FAy、FBy使梁發(fā)生彎曲變形，而FAx、FBx使梁發(fā)生軸向壓縮變形。故梁AB發(fā)生壓彎組合變形。

由梁的靜平衡方程可解得各未知力的大小為

(2)判斷危險(xiǎn)截面及危險(xiǎn)點(diǎn)。AB梁在軸向壓力作用下發(fā)生壓縮變形時(shí)，等截面梁任一截面上的軸力相等，均為21.65kN，任意橫截面均為危險(xiǎn)截面，由于壓縮時(shí)橫截面上應(yīng)力均勻分布，其上任意一點(diǎn)均為危險(xiǎn)點(diǎn);AB梁在橫向力作用下發(fā)生彎曲變形時(shí)，最大彎矩在中點(diǎn)D，該截面應(yīng)為梁的危險(xiǎn)截面。因?yàn)閺澗卦谖ｋU(xiǎn)截面上引起的正應(yīng)力呈線性分布，危險(xiǎn)截面上下邊緣處各點(diǎn)均為可能的危險(xiǎn)點(diǎn)，并且材料的抗拉、抗壓能力相同，所以此梁的危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)在應(yīng)力絕對(duì)值最大的點(diǎn)，即D截面上邊緣各點(diǎn)均為危險(xiǎn)點(diǎn)。

8.2.2偏心拉(壓)

與桿的軸線平行但不重合的載荷稱為偏心載荷，由偏心載荷引起的變形稱為偏心拉伸或偏心壓縮，偏心拉(壓)本質(zhì)上是軸向拉(壓)與彎曲的組合變形。現(xiàn)以矩形截面桿為例，討論偏心拉壓強(qiáng)度問(wèn)題。

圖8-5(a)所示的矩形截面立柱，集中力F與軸線平行但不重合，作用點(diǎn)距形心主軸y、z的垂直距離分別用ez、ey表示，稱之為偏心距。當(dāng)ey≠0，ez≠0時(shí)，稱為雙向偏心壓縮;而當(dāng)ey、ez之一為零時(shí)，則稱為單向偏心壓縮。

圖8-5

圖8-6

偏心壓(拉)桿任一橫截面均為危險(xiǎn)截面，危險(xiǎn)點(diǎn)是距中性軸最遠(yuǎn)處的點(diǎn)。對(duì)矩形截面，不難看出危險(xiǎn)點(diǎn)為圖8-6(a)中的A點(diǎn)或C

點(diǎn)，危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為單向應(yīng)力狀態(tài)。若桿用塑性材料制成，則其強(qiáng)度條件為

若桿用脆性材料制成，當(dāng)桿件橫截面上出現(xiàn)拉應(yīng)力時(shí)，則應(yīng)分別建立拉壓強(qiáng)度條件：

8.2.3截面核心

例8-2某鉆床結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖8-7所示，鉆床在鉆孔時(shí)受到F=15kN的工件反力作用，已知偏心距e=0.4m，鉆床立柱直徑d=125mm，鑄鐵立柱的許用拉應(yīng)力[σt]=35MPa，許用壓應(yīng)力[σc]=120MPa。試校核該立柱的強(qiáng)度。圖8-7

解(1)外力分析。

將作用在鉆頭上的力F平移到立柱軸線，同時(shí)得到一個(gè)力和一個(gè)附加力偶，附加力偶之矩Me=F·e，力F使立柱產(chǎn)生軸向拉伸，附加力偶使立柱產(chǎn)生平面彎曲。所以，立柱的變形為拉彎組合變形。

(2)內(nèi)力分析。

軸向拉伸的軸力FN=F=15kN，附加力偶矩即為彎矩，其值為M=F·e=6kN·m。

(3)危險(xiǎn)點(diǎn)判斷。

軸向拉力在任一橫截面上任意一點(diǎn)引起的應(yīng)力相等，作用在立柱任一橫截面的彎矩相等，彎矩在左側(cè)引起最大壓應(yīng)力，在右側(cè)引起最大拉應(yīng)力，從彎曲考慮危險(xiǎn)點(diǎn)為立柱左側(cè)

或右側(cè)面上的任意一點(diǎn)。

(4)應(yīng)力分析與強(qiáng)度校核。

短柱的截面為矩形，尺寸為b×h，如圖8-8所示，試確定截面核心。圖8-8

8.3彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合

8.3.1彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形時(shí)軸的強(qiáng)度計(jì)算現(xiàn)以圖8-9所示的電機(jī)軸外伸段為例，討論桿件作彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題。電機(jī)軸的外伸端裝一皮帶輪，兩邊皮帶張力分別為F1和F2，設(shè)F1>F2，輪的自重忽略不計(jì)。

圖8-9

由以上分析可知，C1、C2兩點(diǎn)處切應(yīng)力和彎曲正應(yīng)力均為最大，故C1、C2兩點(diǎn)均為危險(xiǎn)點(diǎn)。對(duì)于由抗拉、抗壓強(qiáng)度相同的塑性材料制成的軸，只要研究其中一點(diǎn)就夠了?，F(xiàn)取C1點(diǎn)為研究對(duì)象，在C1點(diǎn)附近截取一單元體，如圖8-10(e)所示。單元體的側(cè)面上有正應(yīng)力σ和切應(yīng)力τ，為平面應(yīng)力狀態(tài)，必須利用強(qiáng)度理論建立強(qiáng)度條件。由平面應(yīng)力狀態(tài)極值應(yīng)力的計(jì)算公式，可得C1點(diǎn)處的主應(yīng)力為

圖8-10

上述強(qiáng)度條件中的(8-9)和(8-11)兩式，適用于圖8-10(e)所示的平面應(yīng)力狀態(tài)，其中的σ和τ可正可負(fù)，并且不用考慮應(yīng)力是由何種變形引起的;而式(8-10)和式(8-12)不僅適用于彎扭組合下的圓形截面桿件，也適用于空心圓軸的計(jì)算，此時(shí)，式中的Wz要用空心圓軸的抗彎截面模量。

例8-4某傳動(dòng)軸如圖8-11所示。已知電動(dòng)機(jī)通過(guò)聯(lián)軸器作用在截面A上的外力偶矩Me=1kN·m，皮帶緊邊和松邊的張力分別為F和F'，其中F=2F'，軸承C、B的間距l(xiāng)=200mm，皮帶輪的直徑D=300mm，軸用Q235鋼制成，許用應(yīng)力[σ]=160MPa。試按第三強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)軸的直徑d。圖8-11

解(1)外力分析。

8.3.2雙向彎曲時(shí)軸的強(qiáng)度計(jì)算

設(shè)圓軸彎曲時(shí)，在兩個(gè)正交的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)均存在彎矩，xy面內(nèi)的彎矩記為Mz，xz面內(nèi)的彎矩記為My，如圖8-12(a)所示。Mz在截面上的A、A'點(diǎn)處引起最大彎曲正應(yīng)力，My在截面上的B、B'點(diǎn)處引起最大彎曲正應(yīng)力。

圖8-12

例8-5圖8-13(a)為一傳動(dòng)軸的示意圖。C輪皮帶處于水平位置，D

輪皮帶處于鉛垂位置，兩皮帶的張力分別為F=3900N，F(xiàn)'=1500N，兩輪的直徑均為600mm，材料許用應(yīng)力[σ]=80MPa。試按第四強(qiáng)度理論確定實(shí)心軸的直徑。

圖8-13

例8-6位于水平面內(nèi)的等圓截面曲桿AB，其軸線為1/4圓弧，圓弧的半徑R=600mm，桿的B端固定，A

端承受鉛垂載荷F=1.5kN，如圖8-14(a)所示。材料的許用應(yīng)力[σ]=80MPa，試按第三強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)曲桿的直徑圖8-14

習(xí)題

題8-1圖

8-1試求題8-1圖所示的構(gòu)件在指定截面上的內(nèi)力分量,并分析構(gòu)件將發(fā)生何種變形。

8-2試分別求出題8-2圖所示不等截面及等截面桿內(nèi)的最大正應(yīng)力,并作比較。題8-2圖

8-3一鑄鐵C形夾具如題8-3圖所示,材料拉伸和壓縮許用應(yīng)力分別為[σt]=40MPa,[σc]=20MPa,試確定結(jié)構(gòu)的許可夾緊力P的大小。題8-3圖

8-4三角形構(gòu)架ABC受力如題8-4圖所示。水平桿AB由No32a號(hào)工字鋼制成,材料的許用應(yīng)力[σ]=150MPa,試求AB桿的最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度。題8-4圖

8-5題8-5圖所示鉆床,受力F=15kN,鑄鐵立柱的許用拉應(yīng)力[σt]=35MPa,試確定立柱的直徑d。題8-5圖

8-6有一拉桿如題8-6圖所示,截面為邊長(zhǎng)a的正方形,拉力F與桿軸重合。后因使用上的需要,在桿的某一段范圍內(nèi)開(kāi)一a/2寬的切口。試求m-m截面上的最大拉應(yīng)力,并和截面削弱以前的拉應(yīng)力值進(jìn)行比較。題8-6圖

8-7受拉構(gòu)件形狀如題8-7圖所示,已知截面尺寸為40mm×5mm,通過(guò)軸線的拉力F=12kN?，F(xiàn)拉桿開(kāi)有切口,如不計(jì)應(yīng)力集中影響,當(dāng)材料的許用應(yīng)力[σ]=100MPa時(shí),試確定切口的容許最大深度,并繪出切口截面的應(yīng)力變化圖。題8-7圖

8-8-卷?yè)P(yáng)機(jī)軸為圓形截面,直徑d=30mm,其他尺寸如題8-8圖所示。機(jī)軸材料的許用應(yīng)力[σ]=120MPa,試用第三強(qiáng)度理論確定許可起重載荷[F]。題8-8-圖

8-9一起重螺旋的載荷和尺寸如題8-9圖所示。已知起重載荷W=40kN。若起重時(shí)推力F=320N,力臂l=500mm,起重最大高度h=300mm,螺紋內(nèi)徑d=40mm,螺桿的許用應(yīng)力[σ]=100MPa。試用第三強(qiáng)度理論校核螺桿強(qiáng)度。題8-9圖

8-10一垂直軸安裝兩只帶輪,如題8-10圖所示。B輪直徑d1=100mm,C輪直徑d2=250mm,軸受到的膠帶張力如圖所示。若軸的許用應(yīng)力[σ]=140MPa,試校核軸的強(qiáng)度。題8-10圖

8-11題8-11圖為一齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu),軸AB的中間段傳遞的外力偶矩為1200N·m,假定齒輪嚙合力沿著節(jié)圓切線方向,材料許用應(yīng)力[σ]=80MPa,各構(gòu)件自重忽略不計(jì),圖中尺寸單位為mm。試按第三、第四強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)該軸的直徑。題8-11圖

8-12如題8-12圖所示,圓截面折桿ABC位于水平面內(nèi),AB段與BC段垂直,L=150mm,a=140mm。鉛垂向下的作用力F=20kN,材料的許用應(yīng)力[σ]=160MPa。

(1)畫(huà)出AB段的彎矩圖和扭矩圖。

(2)指出危險(xiǎn)截面的位置并且用最大切應(yīng)力理論確定AB段的直徑。題8-12圖

8-13如題8-13圖所示的傳動(dòng)軸,直徑d=80mm,轉(zhuǎn)速n=110r/min,傳遞功率P=11kW,外伸段長(zhǎng)度l=520mm,膠帶緊邊張力為其松邊張力的3倍,皮帶輪直徑D=660mm,若軸的許用應(yīng)力[σ]=70MPa,試按第三強(qiáng)度理論校核該傳動(dòng)軸外伸段的強(qiáng)度。題8-13圖

8-14如題8-14圖所示的傳動(dòng)軸,在外力偶矩Me的作用下作勻速轉(zhuǎn)動(dòng),輪直徑D=0.5m,拉力F1=10kN,F2=5kN,軸的直徑d=90mm,l=500mm。若軸的許用應(yīng)力[σ]=50MPa,試按第三強(qiáng)度理論校核軸的強(qiáng)度。圖8-12

8-15如題8-15圖所示,水平直角折桿受豎直力P作用,已知軸直徑d=100mm,E=200GPa,在D截面頂點(diǎn)K測(cè)出軸向應(yīng)變?chǔ)?=2.75×10-4,若材料的許用應(yīng)力[σ]=160MPa。試求該折桿危險(xiǎn)點(diǎn)的相當(dāng)應(yīng)力σr3,并用第三強(qiáng)度理論校核該桿的強(qiáng)度。題8-15圖

8-16題8-16圖為一皮帶輪裝置。1、2輪上皮帶張力沿鉛垂方向，3輪上皮帶張力沿水平方向,已知：F1=F2=1.5kN，1、2兩輪的直徑均為300mm，3輪的直徑為450mm,軸的直徑為60mm,材料的許用應(yīng)力[σ]=80MPa，圖中尺寸單位為mm。試按第三強(qiáng)度理論校核該軸的強(qiáng)度。題8-16圖

8-17一指路牌如圖8-17所示,立柱為一鋼管,指路牌的重量為P,作用在指路牌上的水平風(fēng)力為F,試分析此立柱的內(nèi)力,指出危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)的位置,并畫(huà)出危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力單元體。題8-17圖第9章壓桿穩(wěn)定9.1引言9.2細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷9.3壓桿的臨界應(yīng)力9.4壓桿的穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)習(xí)題

9.1引言

1.平衡穩(wěn)定性的概念

構(gòu)件在壓力或其他特定載荷作用下，在某一位置保持平衡，這一位置稱為剛體的平衡位形或彈性體的平衡構(gòu)形。剛體的平衡位形與彈性體的平衡構(gòu)形都存在穩(wěn)定與不穩(wěn)定的問(wèn)題。

例如，圖9-1(a)所示豎直放置的剛性直桿AB，下端鉸支，上端用剛度系數(shù)為k的水平彈簧支持。在鉛垂載荷F作用下，剛桿在豎直位置保持平衡，此時(shí)彈簧處于自然狀態(tài)。假設(shè)剛桿受到微小側(cè)向擾動(dòng)，使桿端產(chǎn)生微小的側(cè)向位移δ(見(jiàn)圖9-1(b))，則彈簧產(chǎn)生水平恢復(fù)力kδ。此時(shí)，載荷F對(duì)A點(diǎn)的力矩Fδ將使桿更加偏離豎直的平衡位形，而彈簧力的力矩kδl將使桿恢復(fù)其初始平衡位形。如果Fδ<kδl，即F<kl，則在上述干擾解除后，剛桿將自動(dòng)恢復(fù)至初始平衡位形，說(shuō)明在該載荷作用下，剛桿在豎直位置的平衡位形是穩(wěn)定的。圖9-1

如果Fδ>kδl，即F>kl，則在干擾解除后，剛桿不僅不能自動(dòng)返回其初始的平衡位形，而且還將繼續(xù)偏轉(zhuǎn)，這圖9-2說(shuō)明在該載荷作用下，剛桿在豎直位置的平衡位形是不穩(wěn)定的。如果Fδ=kδl，即F=kl，則剛桿既可以在豎直位置保持平衡，也可以在任意微小偏斜狀態(tài)下保持平衡，這種平衡稱為隨遇平衡。隨遇平衡實(shí)質(zhì)上也是一種不穩(wěn)定平衡，它介于穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡之間，也稱為臨界平衡。可見(jiàn)，當(dāng)桿長(zhǎng)l與彈簧常數(shù)k確定之后，剛性直桿AB豎直平衡位形的性質(zhì)，由載荷F的大小而定。使壓桿的直線形式平衡位形由穩(wěn)定向不穩(wěn)定過(guò)渡的臨界狀態(tài)的載荷值稱為臨界載荷，并用Fcr表示。圖9-2

對(duì)于軸向受壓的細(xì)長(zhǎng)彈性直桿也存在類似情況。圖9-2所示兩端鉸支的細(xì)長(zhǎng)理想直桿，受力后處于直線平衡構(gòu)形。在任意微小側(cè)向干擾下，壓桿將產(chǎn)生微小彎曲(見(jiàn)圖9-2(a))。外界微小干擾去除后將出現(xiàn)兩種不同情況：當(dāng)軸向壓力較小時(shí)，壓桿最終將恢復(fù)其直線平衡構(gòu)形(見(jiàn)圖9-2(b))；當(dāng)軸向壓力較大時(shí)，壓桿不僅不能恢復(fù)其直線平衡構(gòu)形，而且將繼續(xù)彎曲，產(chǎn)生顯著的彎曲變形(見(jiàn)圖9-2(c))，甚至破壞。

上述情況表明：當(dāng)軸向壓力小于臨界載荷Fcr時(shí)，壓桿直線平衡構(gòu)形是穩(wěn)定的；當(dāng)軸向壓力大于臨界載荷Fcr時(shí)，壓桿直線平衡構(gòu)形是不穩(wěn)定的，在任意微小的外界擾動(dòng)下，壓桿的直線平衡構(gòu)形會(huì)突然轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢钠胶鈽?gòu)形，這種過(guò)程稱為屈曲或失穩(wěn)。在臨界載荷Fcr作用下，壓桿既可在直線構(gòu)形下保持平衡，也可在微彎構(gòu)形下保持平衡。所以，當(dāng)軸向壓力達(dá)到或超過(guò)臨界載荷時(shí)，壓桿直線平衡構(gòu)形將會(huì)失穩(wěn)。

2.工程中的失穩(wěn)現(xiàn)象

工程中受壓的桿件是很多的，例如各種建筑的立柱、各種液壓機(jī)械的活塞桿、機(jī)床的絲杠、曲柄連桿機(jī)構(gòu)中的連桿、橋梁與鉆井井架等桁架結(jié)構(gòu)中的壓桿等，它們都有平衡構(gòu)形的穩(wěn)定性問(wèn)題。除細(xì)長(zhǎng)壓桿外，其他彈性構(gòu)件也存在穩(wěn)定性問(wèn)題。例如，若薄壁圓管受壓或受扭，當(dāng)軸向壓力或扭矩達(dá)到或超過(guò)一定數(shù)值時(shí)，圓管將突然發(fā)生皺褶(見(jiàn)圖9-3)。圖9-4(a)所示狹長(zhǎng)矩形截面梁，當(dāng)載荷F達(dá)到或超過(guò)一定數(shù)值時(shí)，梁將突然發(fā)生翹曲；圖9-4(b)所示承受徑向外壓的圓柱形薄殼，當(dāng)外壓p達(dá)到或超過(guò)一定數(shù)值時(shí)，圓環(huán)形截面將突然變?yōu)闄E圓形。

圖9-3

圖9-4

9.2細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷

9.2.1兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷如圖9-5所示，兩端鉸支的等截面細(xì)長(zhǎng)直桿承受軸向壓力作用。在臨界狀態(tài)下，壓桿除了直線形式的平衡構(gòu)形外，還可能存在與之無(wú)限接近的微彎平衡構(gòu)形。現(xiàn)以微彎平衡構(gòu)形作為其臨界狀態(tài)特征，確定其臨界載荷。

圖9-5

使壓桿在微彎狀態(tài)下保持平衡的最小軸向壓力即為壓桿的臨界載荷。由式(j)取n=1，即得兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷為

式(9-1)是由歐拉于1744年最早提出的，所以通常稱為臨界載荷的歐拉公式，該載荷又稱為歐拉臨界載荷?？梢钥闯觯瑑啥算q支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷與截面彎曲剛度成正比，與桿長(zhǎng)的平方成反比。對(duì)于各個(gè)方向約束相同的情形，上式中的慣性矩I應(yīng)為壓桿橫截面最小主形心慣性矩。

在臨界載荷作用下，即k=π/l時(shí)，由式(e)得

即兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界狀態(tài)的撓曲軸為一半波正弦曲線，其最大撓度A則取決于壓桿微彎的程度?？梢?jiàn)，壓桿在臨界狀態(tài)下的平衡是一種有條件的隨遇平衡，微彎程度可以任意，但撓曲軸形狀一定。

9.2.2大撓度理論與實(shí)際壓桿

式(9-1)與式(9-2)是對(duì)于理想壓桿根據(jù)小撓度撓曲軸近似微分方程得到的。如果采用大撓度撓曲軸的微分方程

進(jìn)行理論分析，則軸向壓力F與壓桿最大撓度wmax之間存在著如圖9-6中的曲線AB所示的確定關(guān)系，其中A點(diǎn)為曲線的極值點(diǎn)，相應(yīng)之載荷Fcr即為上述歐拉臨界載荷。

圖9-6

可以看出：當(dāng)軸向壓力F<Fcr時(shí)，壓桿只有直線一種平衡構(gòu)形，而且直線平衡構(gòu)形是穩(wěn)定的；當(dāng)F>Fcr時(shí)，壓桿存在兩種平衡構(gòu)形——直線平衡構(gòu)形(分支AC所對(duì)應(yīng))與屈曲平衡構(gòu)形(分支AB所對(duì)應(yīng))，前者是不穩(wěn)定的，而后者是穩(wěn)定的。直線AC與曲線AB的交點(diǎn)A稱為臨界點(diǎn)，也稱為分叉點(diǎn)，因?yàn)閺腁點(diǎn)開(kāi)始，出現(xiàn)兩種平衡構(gòu)形。在A點(diǎn)附近，曲線AB極為平坦，可近似地用水平線代替曲線，其力學(xué)意義是：在F=Fcr時(shí)，壓桿既可在直線構(gòu)形保持平衡，也可在微彎構(gòu)形保持平衡。由此可見(jiàn)，以微彎構(gòu)形作為臨界狀態(tài)的特征，并根據(jù)撓曲軸的近似微分方程確定臨界載荷的方法，不僅簡(jiǎn)單、正確，而且合理、實(shí)用。

另外，由于曲線AB在A點(diǎn)附近極為平坦，因此，當(dāng)軸向壓力F略高于臨界值Fcr時(shí)，撓度即急劇增加。例如，當(dāng)F=1.015Fcr時(shí)，wmax=0.11l，即軸向壓力超過(guò)臨界值的1.5%時(shí)，最大撓度竟高達(dá)桿長(zhǎng)的11%。大撓度理論明確指出了失穩(wěn)的危險(xiǎn)性。

9.2.3兩端非鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷

1.一端固定、一端自由的細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷

圖9-7所示為一端固定、一端自由且長(zhǎng)為l的細(xì)長(zhǎng)壓桿。當(dāng)軸向壓力F=Fcr時(shí)，該桿的撓曲軸與長(zhǎng)為2l的兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的撓曲軸的一半完全相同。因此，如果二桿各截面的彎曲剛度相同，則臨界載荷也相同。所以，一端固定、一端自由且長(zhǎng)為l的細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷為圖9-7

2.兩端固定的細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷

圖9-8所示為兩端固定且長(zhǎng)為l的細(xì)長(zhǎng)壓桿，當(dāng)軸向壓力F=Fcr時(shí)，該桿的撓曲軸如圖9-8(a)所示，在離兩固定端各l/4處的截面A、B存在拐點(diǎn)，A、B截面的彎矩均為零。因此，長(zhǎng)為l/2的AB段的兩端僅承受軸向壓力Fcr(見(jiàn)圖9-8(b))，受力情況與長(zhǎng)為l/2的兩端鉸支壓桿相同。所以，兩端固定的壓桿的臨界載荷為

圖9-8

3.一端固定一端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷

圖9-9所示為一端固定一端鉸支的長(zhǎng)為l的細(xì)長(zhǎng)壓桿，在微彎臨界狀態(tài)，其拐點(diǎn)與鉸支端之間的正弦半波曲線長(zhǎng)為0.7l，則該壓桿的臨界載荷為圖9-9

9.2.4歐拉公式的一般形式

由式(9-1)、式(9-3)、式(9-4)與式(9-5)可知，上述幾種細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷公式基本相似，只是分母中l(wèi)的系數(shù)不同。為了應(yīng)用方便，將上述公式統(tǒng)一寫成如下形式：

式中，乘積μl稱為壓桿的相當(dāng)長(zhǎng)度或有效長(zhǎng)度，即相當(dāng)于兩端鉸支壓桿的長(zhǎng)度；系數(shù)μ稱為長(zhǎng)度因數(shù)，代表支持方式對(duì)臨界壓力的影響。幾種常見(jiàn)細(xì)長(zhǎng)壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)與臨界載荷如表9-1所示。

例9-1圖9-10所示細(xì)長(zhǎng)圓截面連桿，長(zhǎng)度l=800mm，直徑d=20mm，材料為Q235鋼，其彈性模量E=200GPa。試計(jì)算該連桿的臨界載荷。圖9-10

9.3壓桿的臨界應(yīng)力

1.臨界應(yīng)力與柔度壓桿處于臨界狀態(tài)時(shí)橫截面上的平均應(yīng)力，稱為壓桿的臨界應(yīng)力，并用σcr表示。根據(jù)式(9-6)，細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界應(yīng)力為

式中，比值I/A是僅與橫截面的形狀及尺寸有關(guān)的幾何量，將其用i2

表示，即

i稱為截面的慣性半徑，具有長(zhǎng)度量綱。將i代入式(a)，并令

則細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界應(yīng)力為

式(9-9)稱為歐拉臨界應(yīng)力公式。式中的λ為一無(wú)量綱量，稱為柔度或細(xì)長(zhǎng)比，它綜合地反映了壓桿的長(zhǎng)度、支持方式與截面幾何性質(zhì)對(duì)臨界應(yīng)力的影響。式(9-9)表明，細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界應(yīng)力與柔度的平方成反比，柔度愈大，臨界應(yīng)力愈低。

2.歐拉公式的適用范圍

歐拉公式是根據(jù)撓曲軸近似微分方程建立的，它只在線彈性范圍才適用，即要求

或

式中：

即僅當(dāng)λ≥λp

時(shí)，歐拉公式才成立。

λp僅隨材料而異，對(duì)于不同材料的壓桿，由于E、σp各不相同，λp的數(shù)值亦不相同。例如對(duì)于Q235鋼制成的壓桿，E≈200GPa，σp=200MPa，于是由式(9-11)得λp≈100。

柔度λ≥λp的壓桿，稱為大柔度桿或細(xì)長(zhǎng)桿。這類壓桿可能發(fā)生彈性失穩(wěn)，其臨界應(yīng)力可用歐拉公式計(jì)算。

3.臨界應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式

總之，根據(jù)柔度的大小，壓桿可以分為三類：λ≥λp的壓桿屬于細(xì)長(zhǎng)桿或大柔度桿，臨界應(yīng)力按歐拉公式計(jì)算；λ0<λ<λp的壓桿屬于中柔度桿或中長(zhǎng)桿，臨界應(yīng)力按經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算；λ<λ0的壓桿屬于小柔度桿或粗短桿，這類壓桿一般不會(huì)發(fā)生失穩(wěn)，可能發(fā)生屈服失效，臨界應(yīng)力等于材料壓縮極限應(yīng)力。在上述三種情況下，臨界應(yīng)力隨柔度變化的曲線如圖9-11所示，稱為臨界應(yīng)力總圖。

圖9-11

2)拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式

對(duì)于由結(jié)構(gòu)鋼與低合金鋼等材料制作的非細(xì)長(zhǎng)壓桿，工程中還采用拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算其臨界應(yīng)力，即

式中，a1=σs與b1=σ2s/(4π2E)是與材料有關(guān)的常數(shù)。例如，對(duì)于Q235鋼，a1=235MPa，b1=0.0068MPa。根據(jù)歐拉公式與拋物線型公式，得到結(jié)構(gòu)鋼等的臨界應(yīng)力總圖如圖9-12所示。

圖9-12

例9-2圖9-13所示連桿用鉻鉬鋼制成，連桿兩端為柱狀鉸，橫截面積A=720mm2，慣性矩Iz=6.5×104mm4，Iy=3.8×104mm4。試確定連桿的臨界載荷。圖9-13

解(1)失穩(wěn)形式判斷。在軸向壓力作用下，連桿可能在x－y平面內(nèi)失穩(wěn)(即橫截面繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng))，連桿兩端柱狀鉸(見(jiàn)圖9-14)的銷軸對(duì)桿的約束相當(dāng)于鉸支，長(zhǎng)度因數(shù)μz=1，連桿的柔度為

圖9-14

在軸向壓力作用下，連桿也可能在x－z平面內(nèi)失穩(wěn)(即橫截面繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng))，連桿兩端柱狀鉸的銷軸對(duì)桿的約束接近于固定端，其長(zhǎng)度因數(shù)介于鉸支與固定端之間，如取μy=0.7，連桿的柔度為

因λz>λy，故連桿將在x－y平面內(nèi)失穩(wěn)。

(2)臨界載荷計(jì)算。由表9-2查得，鉻鉬鋼的λ0=0，λp=55，a=980MPa，b=5.29MPa，該連桿屬于中柔度壓桿。根據(jù)直線型經(jīng)驗(yàn)公式，其臨界載荷為

討論：該連桿既可能在x－y平面內(nèi)失穩(wěn)，也可能在x－z平面內(nèi)失穩(wěn)。為使連桿在這兩個(gè)平面內(nèi)抵抗失穩(wěn)的能力接近相等，在截面設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)大致保持λy與λz比較接近。該連桿的柔度分別為λz=52.6，λy=48.2，設(shè)計(jì)比較合理。

9.4壓桿的穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)9.4.1壓桿的穩(wěn)定條件為了保證壓桿的直線平衡構(gòu)形是穩(wěn)定的，并具有一定的安全儲(chǔ)備，必須使壓桿承受的工作載荷F滿足下述條件：或者

由于壓桿失穩(wěn)大都具有突發(fā)性，危害嚴(yán)重，而且考慮到工程實(shí)際中的壓桿有初曲與加載偏心等不利因素，因此穩(wěn)定安全因數(shù)一般大于強(qiáng)度安全因數(shù)。幾種常見(jiàn)壓桿的穩(wěn)定安全

因數(shù)如表9-3所示。

9.4.2折減系數(shù)法

在工程中，常采用所謂折減系數(shù)法進(jìn)行穩(wěn)定性計(jì)算，特別是進(jìn)行截面的設(shè)計(jì)計(jì)算。這種方法借助于材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力[σ]，將其乘以小于1的系數(shù)φ，以此作為穩(wěn)定許用應(yīng)力，于是，壓桿穩(wěn)定條件為

式中，φ稱為穩(wěn)定系數(shù)或折減系數(shù)，其值與壓桿的柔度及所用材料有關(guān)。結(jié)構(gòu)鋼、低合金鋼以及木質(zhì)壓桿的φ－λ曲線如圖9-15所示。各種軋制與焊接構(gòu)件的折減系數(shù)可查閱有關(guān)規(guī)范。圖9-15

例9-3圖9-16所示立柱，下端固定，上端承受軸向壓力F=200kN。立柱用No25a工字鋼制成，柱長(zhǎng)l=1m，材料為Q235鋼，許用應(yīng)力[σ]=160MPa，規(guī)定穩(wěn)定安全因數(shù)nst=5。在立柱中點(diǎn)C處，因結(jié)構(gòu)需要鉆一直徑d=70mm的圖9-16圓孔。試校核立柱的穩(wěn)定性與強(qiáng)度。圖9-16

(2)穩(wěn)定性校核。對(duì)于Q235鋼，直線型經(jīng)驗(yàn)公式中的

a=304MPa，b=1.12MPa，立柱的臨界應(yīng)力為

立柱的臨界載荷為

立柱的穩(wěn)定許用載荷為

立柱工作壓力F=200kN，雖然超過(guò)穩(wěn)定許用壓力，但其超過(guò)量?jī)H為后者的0.5%。因此，立柱符合穩(wěn)定性要求。

(3)強(qiáng)度校核。從型鋼表中查得，No25a工字鋼的腹板厚度δ=8.0mm，所以立柱中點(diǎn)C處橫截面的凈面積為

該截面的工作應(yīng)力為

其值遠(yuǎn)小于許用應(yīng)力[σ]，立柱的強(qiáng)度也符合要求。顯然，該立柱的承載能力是由穩(wěn)定性決定的。

9.4.3壓桿的合理設(shè)計(jì)

1.盡量減小壓桿長(zhǎng)度

對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿，其臨界載荷與壓桿相當(dāng)長(zhǎng)度的平方成反比，因此，減小桿長(zhǎng)可以顯著提高壓桿的承載能力。在某些情況下，通過(guò)改變結(jié)構(gòu)或增加支點(diǎn)可以達(dá)到減小桿長(zhǎng)的目的。例如，圖9-17所示的兩種桁架，其中的1桿和4桿均為壓桿，但圖9-17(b)中的壓桿的承載能力，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于圖9-17(a)中的壓桿。圖9-17

2.改變壓桿的約束條件

支承的剛性越大，壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)μ值越小，臨界應(yīng)力越大。例如，將兩端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿變成兩端固定約束時(shí)，臨界應(yīng)力將成數(shù)倍地增加。實(shí)際上，增加中間支承也是增加壓桿的約束。例如，對(duì)于兩端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿，如果在該桿中間再增加一活動(dòng)鉸支座，壓桿的承載能力將是原來(lái)的4倍。又如，無(wú)縫鋼管廠在軋制鋼管時(shí)，在頂桿中部增加抱輥裝置(見(jiàn)圖9-18)。有的車床，絲杠與溜板間的聯(lián)系除對(duì)開(kāi)螺母外，再增加一導(dǎo)套加強(qiáng)溜板對(duì)絲杠的約束作用，因而增強(qiáng)了絲杠的穩(wěn)定性。

圖9-18

3.合理選擇截面形狀

細(xì)長(zhǎng)桿與中柔度桿的臨界應(yīng)力均與柔度λ有關(guān)，而且，柔度愈小，臨界應(yīng)力愈高。壓桿的柔度為

因此，對(duì)于一定長(zhǎng)度與支持方式的壓桿，在橫截面面積一定的情況下，應(yīng)選擇慣性矩較大的截面形狀。

在選擇截面形狀與尺寸時(shí)，還應(yīng)考慮到失穩(wěn)的方向性，理想的設(shè)計(jì)是使兩形心主慣性矩平面內(nèi)的柔度λz與λy

相同，即

如果壓桿兩端為球形鉸支或固定端，即壓桿在截面的兩個(gè)形心主軸方向失穩(wěn)的約束情況相同時(shí)，則宜選主形心慣性矩Iy=Iz的截面。

在這種情況下，正方形截面或圓形截面比矩形截面好，空心的正方形截面或空心圓形截面比實(shí)心截面好。如果壓桿兩端為柱狀鉸，即壓桿在截面的兩個(gè)形心主軸方向失穩(wěn)的約束情況不同時(shí)，則宜選擇主形心慣性矩Iy與Iz不等的截面，例如矩形截面、工字形截面以及圖9-