三年（2022–2024）高考數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國(guó)）專題13 計(jì)數(shù)原理（解析版）

專題13計(jì)數(shù)原理（理）考點(diǎn)三年考情（2022-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1：利用二項(xiàng)式定理求項(xiàng)的系數(shù)2024年北京高考數(shù)學(xué)真題2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題2023年天津高考數(shù)學(xué)真題2024年天津高考數(shù)學(xué)真題2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題今后在本節(jié)的考查形式依然以選擇或者填空為主，以考查基本概念和基本方法為主，難度中等偏下，與教材相當(dāng)．考點(diǎn)2：利用二項(xiàng)式定理求系數(shù)和問(wèn)題2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題考點(diǎn)3：排列組合綜合運(yùn)用2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題

考點(diǎn)1：利用二項(xiàng)式定理求項(xiàng)的系數(shù)1．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】的二項(xiàng)展開(kāi)式為，令，解得，故所求即為.故選：A.2．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】-28【解析】因?yàn)?，所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，的展開(kāi)式中的系數(shù)為-28故答案為：-283．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.【答案】【解析】由題意的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令即，則，所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.4．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為．【答案】【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令可得，，則項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：60.5．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為．【答案】20【解析】因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)為，令，可得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：20.6．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)中的最大值為．【答案】5【解析】由題展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，且，設(shè)展開(kāi)式中第項(xiàng)系數(shù)最大，則，，即，又，故，所以展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第9項(xiàng)，且該項(xiàng)系數(shù)為.故答案為：5.7．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32，則項(xiàng)的系數(shù)為．【答案】10【解析】令，，即，解得，所以的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，令，則，．故答案為：10．考點(diǎn)2：利用二項(xiàng)式定理求系數(shù)和問(wèn)題8．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）已知多項(xiàng)式，則，．【答案】【解析】含的項(xiàng)為：，故；令，即，令，即，∴，故答案為：；．9．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）若，則（

）A．40 B．41 C． D．【答案】B【解析】令，則，令，則，故，故選：B.考點(diǎn)3：排列組合綜合運(yùn)用10．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)集合中的元素皆為無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值．【答案】329【解析】由題意知集合中且至多只有一個(gè)奇數(shù)，其余均是偶數(shù)．首先討論三位數(shù)中的偶數(shù)，①當(dāng)個(gè)位為0時(shí)，則百位和十位在剩余的9個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)進(jìn)行排列，則這樣的偶數(shù)有個(gè)；②當(dāng)個(gè)位不為0時(shí)，則個(gè)位有個(gè)數(shù)字可選，百位有個(gè)數(shù)字可選，十位有個(gè)數(shù)字可選，根據(jù)分步乘法這樣的偶數(shù)共有，最后再加上單獨(dú)的奇數(shù)，所以集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為個(gè)．故答案為：329．11．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．【答案】64【解析】（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；（2）當(dāng)從8門課中選修3門，①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；綜上所述：不同的選課方案共有種.故答案為：64.12．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種【答案】D【解析】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種.故選：D.13．（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【解析】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選：B14．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．20【答案】B【解析】不妨記五名志愿者為，假設(shè)連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，再?gòu)氖Ｓ嗟?人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動(dòng)，共有種方法，同理：連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，也各有種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)的選擇種數(shù)有種.故選：B.15．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀