含解析初中數(shù)學(xué)《全等三角形》訓(xùn)練30題

含解析初中數(shù)學(xué)《全等三角形》專題訓(xùn)練30題(精)

1.如圖，已知AC平分NBAD,CE_LAB于E,CF_LAD于F,且BC=CD.

(1)求證：ZkBCE咨ADCF；

(2)求證：AB+AD=2AE.

【答案】詳見解析

【解析】

【分析】

(1)由角平分線定義可證△BCE四△DCF(HL)；(2)先證RsFAC^RtAEAC,得AF=AE,由(1)可得AB+AD=

(AE+BE)+(AF-DF)=AE+BE+AE-DF=2AE.

【詳解】

(1)證明：：AC是角平分線，CE1ABTE,CFLAD于F,

；.CE=CF,/F=NCEB=90。，

在RtABCE和RtADCF中，(BC=DC

lCE=CF

.,.△BCE^ADCF；

(2)解：；CE_LAB于E,CF_LAD于F,

.".ZF=ZCEA=90°,

(AC二AC

在Rl△FAC和Rl△EAC中，\,

lCE=CF

ARtAFACgRSEAC,

???AF=AE,

VABCE^ADCF,

ABE=DF,

JAB+AD=(AE+BE)+(AF-DF)=AE+BE+AE-DF=2AE.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定、性質(zhì)和角平分線定義，注意：全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，直角三角

形全等的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,HL.

2.已知：如圖所示，AD平分N8AC,M是BC的中點(diǎn)，MF//AD,分別交CA延長線，AB于F、E.

求證：BE=CF.

【解析】

【分析】

過B作BN〃AC交EM延長線于N點(diǎn)，易證ABMN絲2kCMF,可得CF=BN,然后由MF//AD,AD平分NBAC

可得NF=NDAC=NBAD=NBEM,NBEM=NN,所以BE=BN=CF.

【詳解】

證明：過B作BN〃AC交EM延長線于N點(diǎn)，

VBN/7AC,BM=CM,

NBMN=NCMF,NN=NF,

；.CF=BN,

又「MF//AD,AD平分/BAC,

ZF=ZDAC=NBAD=NBEM,

...NBEM=NN,

；.BE=BN=CF.

【點(diǎn)睛】

本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造出等腰三角形是解

題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

試卷第2頁，共32頁

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A43C的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（l,3）、B（-2,0）、C（2,0）,平分NABC交AC

于點(diǎn)。，點(diǎn)E、尸分別是線段80、BC上的動點(diǎn)，求CE+所的最小值.

【答案】20

【解析】

【分析】

過點(diǎn)C作于點(diǎn)”，交BD于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作防，8c于點(diǎn)尸，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CH的

長度，CH的長度即為CE+EF的最小值.

【詳解】

解：如解圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)〃，交BD于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作￡F_L8C于點(diǎn)尸，

8。平分NA8C,

:.EF=EH.

：.CE+EF=CE+EH=CH.

■:CHLAB,

???此時(shí)C”最短，即CE+所的值最小.

???A（1,3）、8（-2,0）、C（2,0）,

/.BC=4,ZABC=45°.

???△以方為等腰直角三角形.

/.CH=—fiC=2>/2.

2

...CE+耳'的最小值為2夜.

【點(diǎn)睛】

本題考查最短路徑問題，過點(diǎn)C作C//LA8于點(diǎn)//,根據(jù)垂線段最短、角平分線的性質(zhì)得到CH的長度即為

CE+瓦■的最小值是解題的關(guān)鍵.

4.如圖所示，在AABC中，ADJ_BC于。，CE_LAB于E,AD與CE交于點(diǎn)、F,且AO=C￡>,

(1)求證：&ABD義ACFD.、

(2)己知5C=7,AD=59求AF的長.

【解析】

【分析】

ZADB=ZCDF

(1)易由,N8AO=NO。尸，可證△ABD名△CH>(ASA)；

AD=CD

(2)由^ABDm/\CFD,得BD=DF,所以BD=BC-CD=2,所以AF=AD-DF=5-2.

【詳解】

(1)證明：VAD1BC,CELAB,

：.ZADB=ZCDF=ZCEB=90°,

I.NBAD+/B=/FCD+/B=90。,

:.ZBAD=ZOCD,

在△A3。和CFQ中，

ZDB=/CDF

</BAD=ZDCF,

AD=CD

:.AABD%ACFD(AAS),

(2),:叢ABD^ACFD,

:?BD;DF,

■:BC=7,AD=DC=5f

:,BD二BC-CD=2,

：.AF=AD-DF=5-2=3.

試卷第4頁，共32頁

【點(diǎn)睛】

本題考核知識點(diǎn)：全等三角形.解題關(guān)鍵點(diǎn)：運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì).

5.如圖，點(diǎn)E、F在BC上，BE=CF,AB=DC,ZB=ZC,AF與DE交于點(diǎn)G,求證：GE=GF.

【答案】證明見解析.

【解析】

【詳解】

【分析】求出BF=CE,根據(jù)SAS推出AABF絲Z\DCE,得對應(yīng)角相等，由等腰三角形的判定可得結(jié)論.

【詳解】；BE=CF,

；.BE+EF=CF+EF,

；.BF=CE,

在ZkABF和aDCE中

AB=DC

<NB=NC,

BF=CE

.".△ABF^ADCE(SAS),

ZGEF=ZGFE,

.\EG=FG.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)

鍵.

6.如圖，AABC中，AB=AC,AD±BC,CE±AB,AE=CE.求證：

(1)AAEF^ACEB；

(2)AF=2CD.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)由ADLBC,CE±AB,易得NAFE=NB,利用全等三角形的判定得AAEF會^CEB；(2)由全等三角形的

性質(zhì)得AF=BC,由等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”得BC=2CD,等量代換得出結(jié)論.

【詳解】

(1)證明：由于AB=AC,故AABC為等腰三角形，ZABC=ZACB；

VAD1BC,CEXAB,

...NAEC=NBEC=90°,ZADB=90°；

.".ZBAD+ZABC=90°,ZECB+ZABC=90°,

.\ZBAD=ZECB,

在RtAAEF和RIACEB中

ZAEF=ZCEB,AE=CE,ZEAF=ZECB,

所以AAEF且MEB(ASA)

(2)ABC為等腰三角形,AD±BC,

故BD=CD,

即CB=2CD,

又「△AEF絲ZXCEB,

；.AF=CB=2CD.

7.如圖，點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，AD=CF,AB=DE,BC=EF.

(1)求證：AABC^ADEF；

(2)若NA=55°,NB=88。，求NF的度數(shù).

【答案】(I)證明見解析；(2)37°

試卷第6頁，共32頁

【解析】

【詳解】

分析：(1)先證明AC=DF,再運(yùn)用SSS證明AABC好ADEF；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求NACB=37。，由(1)知NF=NACB,從而可得結(jié)論.

解析：(1)：AC=AD+DC,DF=DC+CF,且AD=CF

；.AC=DF

在AABC和ADEF中，

AB=DE

<BC=EF

AC=DF

/.△ABC^ADEF(SSS)

(2)由(1)可知，ZF=ZACB

VZA=55°,ZB=88°

.\ZACB=180°-(ZA+ZB)=180°-(55°+88°)=37°

ZF=ZACB=37°

點(diǎn)睛：本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA、AAS.HL.

注意：AAA,SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相

等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.

8.如圖，DE_LAB于E,DF_LAC于F,若BD=CD、BE=CF,

⑴求證：AD平分/BAC；(2)已知AC=20,BE=4,求AB的長.

【答案】(1)詳見解析；(2)12

【解析】

【分析】

如圖，DE_LAB于E,DF_LAC于F,若BD=CD、BE=CF,

⑴求證：AD平分/BAC；⑵已知AC=20,BE=4,求AB的長.

【詳解】

(1)證明：VDEXAB,DFJ_AC,

.\ZE=ZDFC=90°,

.?.在RtABED和RtACFD中

(BD=CD

|BE=CF

.,.RtABED絲RtACFD(HL),

DE=DF,

VDE±AB,DF±AC,

；.AD平分/BAC；

(2)解：VRtABED^RtACFD,

；.AE=AF,CF=BE=4,

VAC=20,

AAE=AF=20-4=16,

；.AB=AE-BE=16-4=12.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,全等三

角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.

9.如圖，已知在四邊形ABC。中，點(diǎn)E在AO上，ZBCE=ZACD=90°,NBAC=/D,BC=CE.

(1)求證：AC=C￡＞；

(2)若AC=AE,求NOEC的度數(shù).

【答案】（1）證明見解析；（2）112.5°.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)同角的余角相等可得到N2=N4,結(jié)合條件N54C=",再加上BC=CE,可證得結(jié)論；

⑵根據(jù)NA8=90。，AC^CD,得到N1=N￡>=45。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N3=N5=67.5。，由平角的定

義得到ZDEC=180°-N5=112.5°.

【詳解】

試卷第8頁，共32頁

(1)證明:

?.?NBCE=ZACD=90。,

N2+N3=N3+N4,

/.Z2=Z4,

NBAC=ND

在AABC和△DEC中，Z2=Z4

BC=CE

/.△ABC^AD￡C(AAS),

AC=CD；

(2)VZACD=90°,AC=CDf

???N1=ND=45。，

9：AE=AC,

???N3=N5=67.5。，

.,.ZDEC=180°-Z5=112.5°.

10.如圖，在AABC中，。是BC邊上的一點(diǎn)，AB=DB,跖平分NA8C,交AC邊于點(diǎn)E,連接。石.

(1)求證：AABE=ADBE；

(2)若NA=100。，ZC=5O°,求NA旗的度數(shù).

【答案】(1)見解析；(2)65°

【解析】

【分析】

(1)由角平分線定義得出NABE=ND8E,由SAS證明AABEt會AD3E即可；

(2)由三角形內(nèi)角和定理得出NA8C=30。，由角平分線定義得出乙鉆E=ND8￡=gNA8C=15。，在AABE中，由

三角形內(nèi)角和定理即可得出答案.

【詳解】

(1)證明：?.?BE平分ZA8C,

ZABE=ZDBE,

AB=DB

在MBE和ADBE中，，/ABE=NDBE,

BE=BE

MBE^^DBE(SAS)；

(2)VZA=100°,ZC=50°,

ZABC=30°,

???8E平分ZABC,

ZABE=ZDBE=-ZABC=\5°,

2

在AABE中，ZAEB=\S00-ZA-ZABE=180°-l00°-l5°=65°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和角平

分線定義，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，點(diǎn)C,E,F,B在同一直線上，點(diǎn)A,D在BC異側(cè)，AB〃CD,AE=DF,NA=ND,

(1)求證：AB=CD；

(2)若AB=CF,NB=30。，求ND的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析；(2)ZD=75°.

【解析】

【分析】

(1)易證得AABE絲aDCF,即可得AB=CD；

(2)易證得△ABEgZMZDF,即可得AB=CD,又由AB=CF,ZB=30°,即可證得AABE是等腰三角形，解答即

可.

【詳解】

證明：(1)；AB〃CD,

.\ZB=ZC.

試卷第10頁，共32頁

在4ABE和ADCF中，ZA=ZDZC=ZBAE=DF,

.".△ABE^ADCF(AAS).

；.AB=CD.

解：(2)VAABE^ACDF,

；.AB=CD,

VAB=CF,

；.CD=CF.

.??△CDF是等腰三角形，

VZC=ZB=30°,

.,.ZD=yX(18O°-3O°)=750.

【點(diǎn)睛】

考核知識點(diǎn)：全等三角形，等腰三角形判定.

12.己知坐標(biāo)平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)A(1,3),B(3,1),0(0,0),求AAB。的面積.

【答案】4

【解析】

【分析】

過A作。ELy軸，過8作8EL軸，兩直線交于點(diǎn)E,根據(jù)SqB=S正方加￡8-5皿。-5,曲-5m求解即可.

【詳解】

如圖，過A作。E_Ly軸，過B作BEJ_x軸，兩直線交于點(diǎn)E,

???A(l,3),8(3,1),

/.DA=\,AE=2,BE=2,0D=3,0C=3,

Sq/r=S正方形OECO-SQAO-SMBC-SJEB=3x3-：x3xl-：x3xl-：x2x2

=4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了割補(bǔ)法求圖形面積，求面積有以下兩方法：（I）補(bǔ)形法：計(jì)算某個(gè)圖形的面積，如果它的面積難以

直接求出，那么就設(shè)法把它補(bǔ)成面積較容易計(jì)算的圖形；（2）分割法：把應(yīng)求部分的圖形分割成若干份規(guī)則的圖

形，求它們的面積和.

13.如圖所示，已知4E_LAB,△ACEdAFB,CE、AB、B尸分別交于點(diǎn)。、M.證明：CE±BF.

【答案】見解析.

【解析】

【分析】

先利用垂直定義得到NBAE=90。,在利用三角形全等的性質(zhì)得ZCAE=NBAF,NACE=NF,則NCAF=NBAE=90。,

然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理易得/FMC=/CAF=90。，然后根據(jù)垂直的定義即可得到結(jié)論.

【詳解】

證明：VAE1AB,

ZBAE=90°,

試卷第12頁，共32頁

AACE^AAFB,

；./CAE=/BAF,ZACE=ZF,

ZCAB+ZBAE=ZBAC+ZCAF,

NCAF=NBAE=90°,

而NACE=NF,

.".ZFMC=ZCAF=90°,

.".CE1BF.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時(shí)要會找對應(yīng)角和對應(yīng)

邊.

14.如圖，四邊形ABC。中，AZ)〃8COE=EC,連接AE并延長交5c的延長線于點(diǎn)尸，連接BE；

(1)求證：AE=EF；

(2)若求證：BC=AB-AD

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)由“AAS”可證△ADE絲△網(wǎng);￡：,可得AE=EF；

(2)由全等三角形的性質(zhì)的AD=CF,由VBE4A班下得AB=BF,可得結(jié)論.

【詳解】

解：⑴?.?AZV/8C,

ZDAE=ZF,ZADE=NFCE,

在AA￡)E和中，

Q/DAE=NF,ZADE=NFCE,DE=EC,

：NADE^JFCE{AAS\

:.AE=EF.

(2)由(1)得，AD-CF,

QBEYAF,

NBEA=NBEF=90°,

在△8E4和ABE尸中，

AE=EF,NBEA=ZBEF=90°,BE=BE,

.y/BEA^VBEF(SAS),

：.AB=BF=BC+CF,

又QAD=CF,

:.AB=BC+AD,

BC=AB-AD.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，點(diǎn)A,E,F在直線/上，AE=BF,AC//BD,且AC=BD,求證：CF=DE

【答案】見解析.

【解析】

【分析】

利用SAS證明△ACF^ABDE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得.

【詳解】

VAE=BF,

；.AF=BE,

：AC〃BD,

試卷第14頁，共32頁

，NCAF=NDBE,

又AC=BD,

/.△ACF^ABDE(SAS),

；.CF=DE.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.

16.己知：0是直線AB上的一點(diǎn)，NC8是直角，0E平分N3OC.

(1)如圖1.若NAOC=30。.求的度數(shù)；

(2)在圖1中，ZAOC=a,直接寫出ZDOE的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示)；

(3)將圖1中的NOOC繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，探究NAOC和ZDOE的度數(shù)之間的關(guān)系.寫出你

的結(jié)論，并說明理由.

【答案】(1)ZDOE=15。；(2)ZDOE=^a-(3)NAOC=2NDOE,理由見解析.

【解析】

【分析】

⑴先根據(jù)補(bǔ)角的定義求出NBOC的度數(shù)，再由角平分線的性質(zhì)得出NCOE的度數(shù)，根據(jù)NOOE=/CO￡>-NCOE

即可得出結(jié)論；

(2)同(1)可得出結(jié)論；

(3)先根據(jù)角平分線的定義得出NCOE=NBOE=；NBOC,再由NQOE=NCOD-NCOE即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1);NCa)是直角，NAOC=30。，

:"BOD=180°-90°-30°=60°,

..408=90°+60°=150°,

?.,OE平分ZBOC,

ZBOE=-ZBOC=75°,

2

ZDOE=ZBOE-ZBOD=75°-60°=15°.

(2)是直角，ZAOC=a,

ZB<9D=180o-900-a=90o-a,

NC08=90°+90°-a=180°—a,

：OE平分/BOC,

ZBOE=-ZBOC=90°--a,

22

Z.DOE=ZBOE-ZBOD=90°-；a-(90°-a)=；a.

(3)ZAOC=2NDOE,

理由是：■.-ZBOC=]800-ZAOC,OE平分/80C,

ZBOE=-ZBOC=90°--ZAOC,

22

?.?NCOD=90°,

ZBOD=90°-ZBOC=90°-(180°-ZAOC)=ZAOC-90°,

ZDOE=ZBOD+ZBOE=(NAOC-90。)+卜0°-；N4OC)=；NAOC,

即ZAOC=2ZDOE.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是角的計(jì)算，熟知角平分線的定義、補(bǔ)角的定義是解答此題的關(guān)鍵.

17.通過類比聯(lián)想、引申拓展典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的.下面是一個(gè)案例，請補(bǔ)充完整.

【解決問題】

如圖，點(diǎn)E、F分別在正方形A8CD的邊8C、C￡>上，ZE4F=45°,連接EF,則EF=BE+DF,試說明理由.

證明：延長C。到G,使￡)G=BE,

在△ABE與AAOG中，

AB=AD

-ZB=ZADG=90°

BE=DG

試卷第16頁，共32頁

^ABE^AADG理由：（SAS）

進(jìn)而證出：△AF￡'g___________,理由：（）

進(jìn)而得耳'=3E+r）F.

【變式探究】

如圖，四邊形ABC。中，AB=AD,44。=90。點(diǎn)E、F分別在邊BC、CDh,ZE4f=45°.若BB、NO都不

是直角，則當(dāng)08與N￡）滿足等量關(guān)系時(shí)，仍有EF=BE+DF.請證明你的猜想.

【拓展延伸】

如圖，若AB=A￡>,ZBAD^9CP,ZE4F^45°,但NEAF=；NBAL>,NB=N￡>=90°,連接EF,請直接寫出EF、

BE、。尸之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）理由：SAS；（2）ZB+ZD=180°,證明見解析；（3）BE+DF=EF.

【解析】

【分析】

（1）在前面已證的基礎(chǔ)上，得出結(jié)論AE=AG,進(jìn)而證明△加汨絲/XAFG,從而得出結(jié)論；

（2）利用“解決問題''中的思路，同樣去構(gòu)造△AFEZZXAFG即可；

（3）利用前面兩步的思路，證明全等得出結(jié)論即可.

【詳解】

（1）-.-^ABE^ADG,AE=AG,NBAE=NDAG,BE=DG,

則NBAE+ZFAD=ZFAD+ZADG=ZFAG,

vZE4F=45°,/.ZMG=45°,

在AAFG與4AFE中，

AE=AG

<ZEAF=ZGAF

AF=AF

:.△KFE9XKFG,理由：(S4S)

：.EF=FG=FD+DG=FD+BE；

(2)滿足NB+NO=180。即可，證明如下：

如圖，延長尸。至G,使3E=DG,

vZB+ZA￡>F=180°,ZADF+ZADG=180°t

z.ZB=ZADG,

在zM跳:與“l(fā)OG中，

AB=AD

<ZB=ZADG

BE=DG

:^ABE^ADG(SAS),

??.AE=AG,/BAE=NDAG,BE=DG,

則ZBAE+ZFAD=ZFAD+ZADG=AFAG,

vZE4F=45°,.?.NB4G=45。，

在AAFG與/SAFE中，

AE=AG

<ZEAF=ZGAF

AF=AF

:./\AFE^/\AFG,理由：(SA5)

:.EF=FG=FD+DG=FD+BE;

(3)BE+DF=EF.證明如下：

如圖，延長尸。至G,使BE=DG,

試卷第18頁，共32頁

在ZXABE與AAOG中,

AB=AD

■NB=N4OG=90°

BE=DG

:.￡,ABE^ADG（SAS'）,

AE=AG,/BAE=ZDAG,

則ZBAE+ZFAD=ZFAD+ZADG=ZFAG,

VZEAF=-ZBAD,ZFAG=-ZEAD=ZFAE,

22

在^AFG與ZhAFE中，

[AE=AG

lZEAF=ZGAF

[AF=AF

.,.△AFE絲△AFG,理由：（SAS）

:.EF=FG=FD+DG=FD+BE；

【點(diǎn)睛】

本題考查了截長補(bǔ)短的方法構(gòu)造全等三角形，能夠理解前面介紹的方法并繼續(xù)探究是解決問題的關(guān)鍵.

18.某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動，請你來加入.

【探究與發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,是AA3C的中線，延長AZ)至點(diǎn)E,使EO=A￡>,連接BE,證明：AACZ^AEBD.

【理解與應(yīng)用】

(2)如圖2,EP是△。所的中線，若EF=5,DE=3,設(shè)EP=x，則x的取值范圍是.

(3)如圖3,AO是AABC的中線，E、F分別在A8、AC1.,且OEJ.OF，求證：BE+CF>EF.

【答案】(1)見解析；(2)l<x<4；(3)見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)全等三角形的判定即可得到結(jié)論；

(2)延長￡P(guān)至點(diǎn)。，使=連接尸Q,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FQ=OE=3,根據(jù)三角形的三邊關(guān)

系即可得到結(jié)論；

(3)延長FO至G,使得GZ)=DF,連接8G,EG,結(jié)合前面的做題思路，利用三角形三邊關(guān)系判斷即可.

【詳解】

(1)證明：CD=BD,ZADC=NEDB,AD=ED,

:.AACD^AEBD,

(2)1cx<4；

如圖，延長EP至點(diǎn)Q,使PQ=PE,連接尸Q,

在APDE與△PQ/7中，

PE=PQ

"NEPD=ZQPF,

PD=PF

:.APEP=SQFP,

:.FQ=DE=3,

在AEFQ中，EF-FQ<QE<EF+FQ,

即5—3<2x<5+3,

\x的取值范圍是1<x<4；

故答案為：l<x<4；

(3)延長ED至G,使得GD=DF,連接BG,EG,

在△OFC和中，DF=DG,NCDF=NBDG,DC=DB,

;.ADF<WADGB(SAS),BG=CF,

:在AEZ加和△EDG中，

DF=DG,NFDE=NGDE=，F(xiàn),DE=DE,

:.AEDF咨AEDG(SAS),EF=EG,

在ABEG中，兩邊之和大于第三邊

試卷第20頁，共32頁

,:.BG+BE>EG,

又?；EF=EG,BG=CF,

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中線的定義，三角形的三邊關(guān)系，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

19.如圖1,在長方形中，AB=CD=6cm,8C=10cm,點(diǎn)P從點(diǎn)3出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC向點(diǎn)C

運(yùn)動(點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C處時(shí)停止運(yùn)動)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為/s.

(1)PC=cm.(用含f的式子表示)

(2)當(dāng)/為何值時(shí)，AABP咨ADCP?

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)2開始運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以vcm/s的速度沿向點(diǎn)。運(yùn)動(點(diǎn)。運(yùn)動

到點(diǎn)。處時(shí)停止運(yùn)動，P，。兩點(diǎn)中有一點(diǎn)停止運(yùn)動后另一點(diǎn)也停止運(yùn)動)，是否存在這樣的。值使得AABP與

△尸QC全等？若存在，請求出v的值；若不存在，請說明理由.

圖1圖2

【答案】(1)10-2/；(2)t=2.5；(3)存在，v=2.4或2,理由見解析.

【解析】

【分析】

(1)由路程=速度x時(shí)間，解得BP=2f,再由=即可解題；

(2)由全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)得8P=PC,即2f=10-2f,據(jù)此解題；

(3)分兩種情況討論，當(dāng)3P=CQ,AB=PC時(shí)或當(dāng)84=CQ,P8=PC時(shí)，AAB尸與△PQC全等，再根據(jù)全等

三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，分別計(jì)算求出「的值即可解得v的值.

【詳解】

解：(1)由題意得，BP—2z,

\PC=BC-BP=10-2t,

故答案為：10-2，；

(2)若△ABP^ADCP

則BP=PC

\2t=10-2t

即4r=10

t=2.5

?.當(dāng)，=2.5時(shí)，△ABP^DCP；

(3)存在，理由如下：

當(dāng)BP=CQ,AB=PC時(shí)，AABP=^PCQ

-AB=6

;.PC=6

.?加=10-6=4

\2t=4

.\t=2

QCQ=BP=4

2v=4

\v=2；

當(dāng)曲二CQ,PB=PC時(shí)，AABP二AQCP

?：PB=PC

:.BP=PC=-BC=5

2

\2t=5

t=2.5

QCQ=BP=6

\2.5v=6

\v=2.4

綜上所述，當(dāng)v=2.4或2時(shí)，/XABP與△PQC全等.

【點(diǎn)睛】

本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

20.如圖，已知：△OAB,△EO『都是等腰直角三角形，NAOB=90。，中，ZEOF=90°,連結(jié)AE、BF.

試卷第22頁，共32頁

B

求證：（1）AE=BF；

（2）AE±BF.

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

【分析】

（1）通過證△AEO注ABFO得到AE=BF；

（2）延長AE交8尸于。，交0B于C,在ABCD和^ABC中，由/BC7>NAC0,NOAC=NOBF,可得

ZBDA=ZAOB=90°,即可證.

【詳解】

解：（1）在AAEO與A8F0中，

VRtAOAB與RSEOF是等腰直角三角形，

：.AO=OB,OE=OF,ZAOE=90°-ZBOE=ZBOF,

：.AAEO迫ABFO,

：.AE=BF;

（2）延長AE交BE于。，交OB于C,貝iJ/BCO=/ACO,

由（1）知AAEOgZXBFO,

ZOAC=ZOBF,

：.ZBDA=ZAOB=90°,

：.AE1BF.

【點(diǎn)睛】

21.如圖，點(diǎn)B,F,C,E在直線1上（F,C之間不能直接測量），點(diǎn)A,D在1異側(cè)，測得AB=DE,AC=DF,

BF=EC.

A

(1)求證：AABC絲ZSDEF；

(2)指出圖中所有平行的線段，并說明理由.

【答案】(1)詳見解析；(2)ZABC=ZDEF,NACB=/DFE,理由見解析.

【解析】

【詳解】

試題分析：(1)理用SSS即可判定4ABC^^DEF；(2)AB〃DE,AC〃DF,由全等三角形的性質(zhì)可得/ABC=NDEF,

NACB=NDFE,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得結(jié)論.

試題解析：(1)證明：VBF=EC,

；.BF+CF=CF+CE,

BC="EF"

VAB=DE,AC="DF"

.,.△ABC^ADEF(SSS)

(2)AB〃DE,AC〃DF,理由如下，

VAABC^ADEF,

...NABC=NDEF,NACB=NDFE,

；.AB〃DE,AC〃DF.

考點(diǎn)：全等三角形的判定及性質(zhì)；平行線的判定.

22.如圖，AC與BD交于點(diǎn)O,AD=CB,E、F是BD上兩點(diǎn)，且AE=CF,DE=BF.

求證：(1)0D=0B；

(2)AE0CF.

【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析

【解析】

試卷第24頁，共32頁

【詳解】

試題分析：(1)根據(jù)SSS推出組之VCBF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可.

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出N4E?=NCF8,求出NAEO=NC”),根據(jù)平行線的判定推出即可.

試題解析：(1)；在△AOE和△CBF中，

AE=CF

，AD=BC

DE=BF,

：.AAD￡^ACBF(SSS),

:.ND=NB.

(2)VAADE^ACBF,

ZAED=ZCFB,

'：ZAED+ZAEO=180,ZCFB+NCFO=180,

ZAEO=ZCFO,

：.AE//CF.

23.如圖，D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E,DE=FE,FC〃AB,求證：/SADE=CFE

【答案】見解析.

【解析】

【分析】

利用AAS證明：AADE絲CFE.

【詳解】

證明：VFC/7AB

NA=/FCE,NADE=NF

所以在△ADE與ACFE中:

NA=ZFCE

ZADE=ZF,

DE=EF

.,.△ADE^ACFE,

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形全等的判定，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，AB=BC,ABLBC,AE_L8。于尸，BC±CD,求證：EC=AB-CD.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

利用ASA證明出△ABEWABCD,在通過等量代換進(jìn)行解答.

【詳解】

證明：VAB1BC,CD1.BC,

：.ZABC=NAC￡>=90°

，NAE8+/A=90。

"."AE1.BD

：.ZBFE=90°

，ZAEB+ZFBE=90°

，ZA=ZFBE,

^：AB=BC,

：.△ABEZABCD,

：.AB=BC,BE=CD,

：.EC=BC-BE=AB—CD

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的判定定理，再利用等量代換的思想來間接證明.

25.如圖，在△ABC中，AB=CB,ZABC=90°,。為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BE=BD,連接AE、

DE、DC.

(1)求證：AABEW^CBD；

(2)若/CAE=30。，求/BOC的度數(shù).

試卷第26頁，共32頁

【答案】(1)證明見解析；(2)NBDC=15°.

【解析】

【分析】

(1)由條件可利用SAS證得結(jié)論；

(2)由等腰直角三角形的性質(zhì)可先求得/BC4,利用三角形外角的性質(zhì)可求得/4EB,再利用全等三角形的性

質(zhì)可求得/8DC.

【詳解】

解：(1)證明：

ZABC=90°,

：.ZDBC=90°,

在△4?￡和aCB。中

A8=C8

-ZABE=NCBD,

BE=BD

：./\ABE^/\CBD(SAS)；

(2)'：AB=CB,/ABC=90。，

ZBCA=45°,

：./AEB=NCAE+NBCA=300+45°=75°,

；/\ABE^/\CBD,

：.ZBDC=ZAEB=15°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì).掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、

44S和HL)和全等三角形的性質(zhì)(即全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等)是解題的關(guān)鍵.

26.如圖，在四邊形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，AD//EC,ZAED=ZB.

D

?d￡8

(1)求證：AAEDg/XEBC；

(2)當(dāng)AB=6時(shí)，求CD的長.

【答案】(1)證明見解析；(2)CD=3

【解析】

【詳解】

分析：(1)根據(jù)二直線平行同位角相等得出NA=NBEC,根據(jù)中點(diǎn)的定義得出AE=BE,然后由ASA判斷出

△AED^AEBC；

(2)根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出AD=EC,然后根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形

AECD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等得出答案.

詳解：

(1)證明：VAD/7EC

ZA=ZBEC

YE是AB中點(diǎn)，

；.AE=BE

ZAED=ZB

AAAED^AEBC

(2)解：VAAED^AEBC

AAD=EC

：AD〃EC

...四邊形AECD是平行四邊形

?.CD=AE

AB=6

.,.CD=3AB=3

點(diǎn)睛：本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形

解決問題，屬于中考?？碱}型.

27.如圖，已知鉆〃CD,AB=CD,BE=CF.

試卷第28頁，共32頁

AB

E

D

求證：(I)AABFsADCf；

(2)AFI/DE.

【答案】(1)證明見詳解；(2)證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)先由平行線的性質(zhì)得NB=NC,從而利用SAS判定△AB