線性代數(shù)經(jīng)管類教材

第二章矩陣矩陣是線性代數(shù)學(xué)中的一個重要的基本概念和數(shù)學(xué)工具，是研究和求解線性方程組的一個十分有效的工具；矩陣在數(shù)學(xué)與其他自然科學(xué)、工程技術(shù)中，以及經(jīng)濟(jì)研究和經(jīng)濟(jì)工作中處理線性經(jīng)濟(jì)模型時，也都是一個十分重要的工具.本章討論矩陣的加法、減法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、逆運(yùn)算、初等變換等問題.§2.1

矩陣的概念一、線性方程組的概念含有n個未知量的線性方程組稱為n元線性方程組，它的一般形式為：（1）其中是未知量，是系數(shù)，是常數(shù)當(dāng)(1)式中不全為0時，稱為非齊次線性方程組；當(dāng)(1)式中時，稱為齊次線性方程組；線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排為增廣矩陣系數(shù)矩陣

由個數(shù)排成的行列的數(shù)表稱為矩陣.簡稱矩陣.記作二、矩陣的概念注:矩陣是數(shù)表，行、列數(shù)不一定相等.

行列式是數(shù)，行數(shù)和列數(shù)相等.主對角線次對角線當(dāng)m=n時，A稱為n階矩陣或n階方陣當(dāng)m=1時，稱為行矩陣（向量）當(dāng)n=1時，稱為列矩陣（列向量）

元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或

.例如是一個矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣.三、幾種常見的特殊方陣1、n階上三角矩陣2、n階下三角矩陣3、n階對角矩陣不全為04、數(shù)量矩陣：主對角線上元素都相等的對角矩陣.5、單位矩陣：主對角線上元素都是1的對角矩陣.§2.2

矩陣運(yùn)算一、同型矩陣與矩陣相等同型矩陣：行數(shù)和列數(shù)分別相等的矩陣.矩陣相等：對應(yīng)元素相等的同型矩陣.記為：A=B例例1設(shè)解二、矩陣的加法和減法1.加法注：矩陣的加法、減法只能在兩個同型矩陣之間進(jìn)行；兩個矩陣相加（減）時，對應(yīng)元素進(jìn)行相加（減）.設(shè)矩陣A=(aij)

，記

A=(

aij)，稱

A為矩陣A的負(fù)矩陣.

由矩陣加法的定義，顯然有A+(

A)=O，由此，矩陣的減法可定義為Ａ

B=Ａ+(

B)

設(shè)A

(aij)m

n

B

(bij)m

n是兩個m

n矩陣

規(guī)定

A

B

(aij

bij

)m

n

設(shè)A

(aij)m

n

B

(bij)m

n是兩個m

n矩陣

規(guī)定

A

B

(aij

bij

)m

n

2.減法

設(shè)A

B

C

O都是m

n矩陣

則(1)A

B

B

A

(2)(A

B)

C

A

(B

C)

(3)A

O

A

(4)A

(

A)

O

3.矩陣加法的運(yùn)算律：三、數(shù)乘運(yùn)算

設(shè)A

(aij)m

n

k為任意一個數(shù)

規(guī)定

kA

(kaij)m

n

注：矩陣的數(shù)乘仍然是一個與原矩陣同型的矩陣，并且，是用數(shù)k與矩陣的每一個元素相乘.(1)

(A

B)

A

B

(2)(

)A

A

A

(3)(

)A

(

A)

由數(shù)乘矩陣運(yùn)算的定義可知：數(shù)量矩陣aEn就是數(shù)a與單位矩陣En的乘積.矩陣數(shù)乘的運(yùn)算律：

設(shè)

是數(shù)

則例1已知求2A-3B.例2已知且A+2X=B,求X.四、乘法運(yùn)算設(shè)矩陣A=(aij)

m×k

、B=(bij)

k×n

，則矩陣A與B的乘積為一m×n

階矩陣C=(cij)

m×n，記C=AB，且

就是說，矩陣C的第i行第j列的元素等于矩陣A的第i行的所有元素與矩陣B的第j列的對應(yīng)元素的乘積之和。設(shè)例3求：C=AB.解：注意只有當(dāng)左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘.BA沒有意義

因?yàn)锽的列數(shù)不等于A的行數(shù)

例4設(shè)矩陣求：AB、BA和AC.可以看出(1)AB

BA

(2)由AB

O不能推出

A

O或B

O

(3)由AB

AC、A

O不能推出B=C.解:總結(jié)：一般而言，矩陣乘法不滿足交換律和消去律、兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣.

定義：如果矩陣A與B滿足AB

BA

則稱A與B可交換

此時A與B必為同階方陣.AE=EA=A，n階單位矩陣與所有n階方陣可交換.矩陣的乘法的運(yùn)算律(1)矩陣乘法結(jié)合律：(AB)C

A(BC)

(2)分配律：(A

B)C

AC

BC

C(A

B)

CA

CB；(3)數(shù)乘結(jié)合律k(AB)

(kA)B

A(kB)

(4)EmAm

n

=Am

n;Am

nEn=Am

n.

例5

證明

如果CA

AC

CB

BC

則有(A

B)C

C(A

B)

(AB)C

C(AB)

1、設(shè)練習(xí)題求：C=AB.2、計(jì)算3、計(jì)算1解:故2解:3解:方陣的冪的性質(zhì):k、l為任意正整數(shù)

(1)AkAl

Ak

l

(2)

(Ak)l

Akl

因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律：五、方陣的冪稱Am為矩陣A的m次冪.設(shè)A是n階方陣，定義：例6設(shè)矩陣求Am,其中m是正整數(shù).解:結(jié)論:對角矩陣的冪歸結(jié)為主對角線上每個元素分別求冪.六、矩陣的轉(zhuǎn)置

定義：將m

n矩陣A的行與列互換

得到的n

m矩陣

稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣

記為AT或A

即如果例轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算規(guī)律例7設(shè)求：對稱矩陣與反對稱矩陣：設(shè)A為n階方陣，若AT=A，即aij

=aji

(i,j=1,2,…,n)，稱矩陣A為對稱矩陣；若AT=

A，即aij

=

aji

(i,j=1,2,…,n)，稱矩陣A為反對稱矩陣.四階對稱矩陣四階反對稱矩陣?yán)?：設(shè)A為n階對稱矩陣，證明：對于任意n階方陣P,PTAP必為對稱矩陣.如果已知PTAP為n階對稱矩陣，問A是否必為對稱矩陣？證明：因?yàn)锳為對稱矩陣，必有AT=A,則=PTAP(PTAP)T=PTATP所以PTAP為對稱矩陣.但是矩陣乘法不滿足消去律，在矩陣等式兩邊，未必能把PT和P消去，所以不能推出AT=A，A未必是對稱矩陣.反之，如果PTAP為對稱矩陣：則有(PTAP)T=PTAP，PTATP=PTAP,注意：行列式和方陣是兩個不同的概念，且它們的記號是不同的.七、方陣的行列式定義由階方陣的元素按原來的順序構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運(yùn)算規(guī)律八、方陣多項(xiàng)式例8設(shè),求f(A).九、小結(jié)矩陣運(yùn)算加法、減法數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘矩陣的冪方陣的行列式矩陣的轉(zhuǎn)置

（2）只有當(dāng)左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘,且矩陣相乘不滿足交換律.

（1）只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.注意

（3）矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的數(shù)乘運(yùn)算不同.§2.3方陣的逆矩陣一、逆矩陣的定義二、矩陣可逆的充要條件三、逆矩陣的性質(zhì)1、只有方陣才有逆矩陣；

3、如果矩陣A可逆

則A的逆矩陣是唯一的

注意

設(shè)A是一個n階方陣

若存在一個n階方陣B

使得

AB

BA

En

(1)則稱A是可逆矩陣（或非奇異矩陣）并稱方陣B為A的逆矩陣

記為A

1，即A

1=B,若滿足（1）式的方陣B不存在，則稱A為不可逆矩陣（或奇異矩陣）.定義2

3.1(逆矩陣)一、逆矩陣的定義2、由AB

BA

En可得矩陣A和B互為逆矩陣；4、定理2

1(矩陣可逆的充要條件)

n階方陣A

(aij)為可逆矩陣的充要條件是|A|≠0

且二、矩陣可逆的充要條件伴隨矩陣法例1求矩陣的伴隨矩陣解：

結(jié)論：

2階方陣求伴隨矩陣，主對角線上元素交換位置，次對角線上元素取反.例2求矩陣的逆矩陣?yán)?求矩陣的逆矩陣A-1.

結(jié)論：1、對角矩陣的逆歸結(jié)為主對角線上每個元素來求逆（倒數(shù)）.2、當(dāng)n≥3時，用伴隨矩陣求逆矩陣計(jì)算量很大，特別是當(dāng)n≥4時，不宜用伴隨矩陣法來求逆矩陣.在§2.5

節(jié)中會介紹用初等變換求逆矩陣的方法.推論：對于n階方陣A、B若有AB=E，則：A、B均可逆，且它們互為可逆矩陣.證明：∵AB=E∴|A||B|=1

故

|A|≠0且|B|≠0，A、B均可逆，且A－1=B，B－1=A.

例4設(shè)n階方陣A滿足，求A、A-En和A+2En的逆矩陣.這一結(jié)論說明

如果要驗(yàn)證矩陣B是矩陣A的逆矩陣

只要驗(yàn)證一個等式AB

E或BA

E即可

三、逆矩陣的性質(zhì)

(1)若A可逆

則A

1也可逆

且(A

1)

1

A

逆矩陣的性質(zhì)

(4)可逆矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣AT是可逆矩陣

且(AT

)

1

(A

1)T

(2)兩個同階可逆矩陣A、B的乘積是可逆矩陣

且

(AB)

1

B1A1

(3)若A可逆,k是不為零的常數(shù)，則kA也可逆，且

(5)當(dāng)P可逆時，(6)A為n階可逆矩陣，k為任意正整數(shù).例5設(shè)A為n階方陣，證明：例6設(shè)A為三階方陣且，求：

練習(xí)題：P54第8題一、矩陣的初等變換的定義二、用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣三、用矩陣的初等變換求解矩陣方程§2.5矩陣的初等變換注意：矩陣的初等變換與行列式的計(jì)算有本質(zhì)區(qū)別.計(jì)算行列式是求值過程，前后用等號連接.對矩陣施初等變換則是變換過程，變換前后的兩個矩陣不相等，因此，用箭頭“→”連接變換前后的矩陣，而且不需要將矩陣改號或提取公因數(shù).定義1(矩陣的初等變換)

對矩陣施以下三種行(列)變換

稱為矩陣的初等行(列)變換

(1)交換矩陣的兩行(列)

(2)以數(shù)非零的數(shù)k乘矩陣的某一行(列)

(3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上

一、矩陣的初等變換的定義定義2(等價矩陣)

若矩陣A經(jīng)過若干次初等變換變成矩陣B,則稱A與B等價.記為：

矩陣之間的等價關(guān)系有以下三條性質(zhì)：

(1)反身性：

(2)對稱性：則

(3)傳遞性：則定義3(行階梯形矩陣)

滿足下列兩個條件的矩陣稱為行階梯形矩陣：（1）如果存在零行（元素全為零的行），則零行應(yīng)位于非零行（元素不全為零的行）的下方；

（2）各非零行中從左至右第一個非零元（稱為主元）下方的元素全為零。√√任何一個矩陣都能經(jīng)過矩陣的初等行變換化成行階梯形矩陣。定義4(行最簡形矩陣)

若階梯形矩陣進(jìn)一步滿足如下兩個條件，稱為行最簡形矩陣：（1）各行主元都是1；（2）主元所在列的其他元素都是0。例1將矩陣A化為階梯形矩陣思想：例2求

的逆矩陣.

二、用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣三、用矩陣的初等變換求解矩陣方程例3求解矩陣方程：練習(xí)題：

§2.6矩陣的秩一、矩陣秩的概念二、矩陣秩的計(jì)算定義1(k階子式)

在m

n矩陣A中

任取k行k列(k

min(m,n))

位于這些行和列的相交處的元素按照原來的次序所構(gòu)成的k階行列式

稱為矩陣A的一個k階子式

值不為零的子式稱為非零子式.在m

n矩陣A中

k階子式的總個數(shù)為定義2(矩陣的秩)

在m

n矩陣A中

非零子式的最高階數(shù)稱為A的秩，記作r(A)或秩(A)

當(dāng)A

O時

規(guī)定r(A)

0

一、矩陣的秩的概念結(jié)論：階梯形矩陣的秩等于它的非零行數(shù).二、矩陣秩的計(jì)算定理：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩.

例1求下列矩陣的秩定義3(滿秩矩陣)設(shè)A是n階方陣，若r(A)=n,則稱A為滿秩矩陣.關(guān)于矩陣的秩，有以下結(jié)論：

(1)r(A)

r(AT)

(2)對于m

n矩陣A

有0

r(A)

min(m,n)

(3)(4)§2.7矩陣與線性方程組非齊次線性方程組

非齊次線性方程組的一般形式為其矩陣形式為Ax

b

其中A稱為方程組的系數(shù)矩陣

我們把矩陣稱為線性方程組Ax

b的增廣矩陣

解

方程組的解為x1

7

x2

1

x3

2

①②②-3①③+①③-2②②-2③①-4③①+2②用消元法解線性方程組的過程

實(shí)質(zhì)上就是對該方程組的增廣矩陣施以初等行變換化成最簡形矩陣的過程

用初等行變換法解例1的過程是

解

(階梯形矩陣)①②②-3①③+①①+2②②-2③①-4③③-2②最后一個矩陣稱為行簡化階梯形矩陣

用初等行變換法解例1的過程是

解

這就是方程組的解

它對應(yīng)的方程組為

解

由行最簡形矩陣得這就是方程組的同解方程組

其中x3與x4可取任意值

稱為自由未知量。這種解稱為方程組的一般解

因?yàn)樽杂晌粗靠梢匀我馊≈倒史匠探M有無窮多個解

解

因?yàn)樽詈笠粋€矩陣的最后一行對應(yīng)的方程是“0

x4

2”

此等式不論各未知量取什么值都不可能成立

故方程組是無解的

在例1中

n

3

r(A

b)

r(A)

3

方程組有唯一解

在例2中

n

4

r(A

b)

r(A)

2<4

方程組有無窮多解

在