2024-2025學(xué)年度北師版九上數(shù)學(xué)-總復(fù)習(xí)-期末復(fù)習(xí)課（一）（第一章　特殊平行四邊形）【課外培優(yōu)課件】

總復(fù)習(xí)期末復(fù)習(xí)課期末復(fù)習(xí)課(一)（第一章特殊平行四邊形）

1.如圖，

AD

是△

ABC

的中線，四邊形

ADCE

是平行四邊形，增

加下列條件，能判斷?

ADCE

是菱形的是（

A

）A.∠

BAC

＝90°B.∠

DAE

＝90°C.

AB

＝

AC

D.

AB

＝

AE

A2.（2023·襄陽(yáng)）如圖，矩形

ABCD

的對(duì)角線相交于點(diǎn)

O

，下列

結(jié)論一定正確的是（

C

）A.

AC

平分∠

BAD

B.

AB

＝

BC

C.

AC

＝

BD

D.

AC

⊥

BD

（第2題圖）C3.（2021·玉林）如圖，一個(gè)四邊形順次添加下列條件中的三個(gè)

條件便得到正方形：（第3題圖）a.兩組對(duì)邊分別相等；b.一組對(duì)邊平行且相等；c.一組鄰邊相等；d.一個(gè)角是直角.順次添加的條件：①a→c→d，②b→d→c，③a→b→

c

.正確的

是（

C

）A.僅①B.僅③C.①②D.②③C4.如圖，點(diǎn)

E

是正方形

ABCD

中的一點(diǎn)，連接

EB

，

EC

，

EA

，

ED

.

若△

EBC

為等邊三角形，則∠

BAE

的度數(shù)為

?.（第4題圖）5.已知菱形

ABCD

的一條對(duì)角線長(zhǎng)為6，邊

AB

的長(zhǎng)是方程

x2－8

x

＋15＝0的一個(gè)根，則菱形

ABCD

的面積為

?.75°

24

6.（2023·臺(tái)州）如圖，在矩形

ABCD

中，已知

AB

＝4，

AD

＝6.

在邊

AD

上取一點(diǎn)

E

，使

BE

＝

BC

，過(guò)點(diǎn)

C

作

CF

⊥

BE

，垂足為

F

，則

BF

的長(zhǎng)為

?.（第6題圖）

7.（2023·長(zhǎng)春）將兩個(gè)完全相同的含有30°角的直角三角板在

同一平面內(nèi)按如圖所示位置擺放.點(diǎn)

A

，

E

，

B

，

D

在同一直線

上，連接

AF

，

CD

.

（1）求證：四邊形

AFDC

是平行四邊形；（1）證明：由題意知，△

ACB

≌△

DFE

，∴

AC

＝

DF

，∠

CAB

＝∠

FDE

＝30°.∴

AC

∥

DF

.

∴四邊形

AFDC

是平行四邊形.（2）已知

BC

＝6cm，當(dāng)四邊形

AFDC

是菱形時(shí)，則

AD

的長(zhǎng)

為

?cm.18

（2）【解析】在Rt△

ACB

中，∠

ACB

＝

90°，∠

CAB

＝30°，

BC

＝6cm，∴

AB

＝2

BC

＝12cm，∠

ABC

＝60°.∵四邊形

AFDC

是菱

形，∴

AD

平分∠

CDF

.

∴∠

CDA

＝∠

FDA

＝

30°.∵∠

ABC

＝∠

CDA

＋∠

BCD

，∴∠

BCD

＝∠

ABC

－∠

CDA

＝60°－30°＝30°.∴∠

BCD

＝∠

CDA

.

∴

BC

＝

BD

＝6cm.∴

AD

＝

AB

＋

BD

＝18cm.故答案為18.8.如圖，在?

ABCD

中，已知對(duì)角線

AC

和

BD

相交于點(diǎn)

O

，過(guò)

點(diǎn)

A

作

AE

⊥

BC

于點(diǎn)

E

，延長(zhǎng)

BC

到點(diǎn)

F

，使

CF

＝

BE

，連接

DF

，

OF

.

（1）求證：四邊形

AEFD

是矩形；（1）證明：∵四邊形

ABCD

是平行四邊形，∴

AB

∥

DC

，且

AB

＝

DC

.

∵

CF

＝

BE

，∴

EF

＝

BC

.

∴

EF

∥

AD

，且

EF

＝

AD

.

∴四邊形

AEFD

是平行四邊形.又∵

AE

⊥

BC

，即∠

AEF

＝90°，∴四邊形

AEFD

是矩形.（2）若

AD

＝5，

CE

＝3，∠

ABF

＝60°，求

OF

的長(zhǎng).（2）解：由（1）知，

EF

＝

AD

＝5，

AE

＝

DF

.

∵四邊形

ABCD

是平行四邊形，∴

BC

＝

AD

＝5，

OB

＝

OD

.

∵

EC

＝3，∴

BE

＝

CF

＝2.∴

BF

＝

BC

＋

CF

＝7.在Rt△

ABE

中，∵∠

ABE

＝60°，

9.如圖，點(diǎn)

F

是矩形

ABCD

的邊

BC

上一點(diǎn)，將矩形的一角沿

AF

折疊，點(diǎn)

B

落在點(diǎn)

E

處.若

AE

∥

BD

，∠

ADB

＝28°，則∠

AFC

＝

?°.（第9題圖）149

【解析】∵四邊形

ABCD

為矩形，∴∠

BAD

＝∠

ABC

＝90°.

∵

AE

∥

BD

，∴∠

DAE

＝∠

ADB

＝28°.∴∠

BAE

＝∠

BAD

＋∠

DAE

＝90°＋28°＝118°.∵矩形

ABCD

沿

AF

折疊，點(diǎn)

B

落在點(diǎn)

E

處，∴∠

BAF

＝∠

EAF

＝59°.∴∠

AFC

＝∠

BAF

＋∠

ABF

＝59°

＋90°＝149°.故答案為149.

（第10題圖）

11.如圖，在矩形

ABCD

中，已知點(diǎn)

E

，

F

分別是邊

AB

，

AD

上

的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)

P

是線段

EF

的中點(diǎn)，

PG

⊥

BC

，

PH

⊥

CD

，垂足為

G

，

H

，連接

GH

，且

AB

＝8，

AD

＝6，

EF

＝6，求

GH

長(zhǎng)的最

小值.解：如答圖，連接

AC

，

AP

，

CP

.

∵四邊形

ABCD

是矩形，∴

BC

＝

AD

＝6，∠

BAD

＝∠

B

＝∠

BCD

＝90°.

∵點(diǎn)

P

是線段

EF

的中點(diǎn)，

∵

PG

⊥

BC

，

PH

⊥

CD

，∴∠

PGC

＝∠

PHC

＝90°.答圖又∵∠

HCG

＝90°，∴四邊形

PGCH

是矩形.∴

GH

＝

CP

.

當(dāng)

A

，

P

，

C

三點(diǎn)共線時(shí)，

CP

長(zhǎng)的最小值為

AC

－

AP

＝10

－3＝7.∴

GH

長(zhǎng)的最小值是7.答圖12.如圖，點(diǎn)

E

為正方形

ABCD

內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∠

AEB

＝90°，將

△

ABE

繞點(diǎn)

B

按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△

CBE

'（點(diǎn)

A

的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)為點(diǎn)

C

），延長(zhǎng)

AE

交

CE

'于點(diǎn)

F

，連接

DE

.

（1）試判斷四邊形

BE

'

FE

的形狀，并證明你的結(jié)論；（1）解：四邊形

BE

'

FE

是正方形.證明如下：∵△

CBE

'是由△

ABE

繞點(diǎn)

B

按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到，∴∠

CE

'

B

＝∠

AEB

＝90°，∠

EBE

'＝90°.又∵∠

BEF

＋∠

AEB

＝180°，∴∠

BEF

＝90°.∴四邊形

BE

'

FE

是矩形.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，

BE

＝

BE

'，∴矩形

BE

'

FE

是正方形.（2）若

DA

＝

DE

，證明：

CF

＝

FE

'；

（3）若

AB

＝15，

CF

＝3，求

DE

的長(zhǎng).

13.（選做）如圖1，已知四邊形

BEFG

是正方形，點(diǎn)

C

在

BE

的

延長(zhǎng)線上，點(diǎn)

A

在

GB

的延長(zhǎng)線上，且

AB

＝

BC

，過(guò)點(diǎn)

C

作

AB

的平行線，過(guò)點(diǎn)

A

作

BC

的平行線，兩條平行線相交于點(diǎn)

D

.

（1）證明：四邊形

ABCD

是正方形；

（1）證明：∵四邊形

BEFG

是正方形，∴∠

EBG

＝90°，即∠

ABC

＝90°.∵

CD

∥

AB

，

AD

∥

BC

，∴四邊形

ABCD

是平行四邊形.又∵

AB

＝

BC

，∠

ABC

＝90°，∴四邊形

ABCD

是正方形.（2）當(dāng)正方形

BEFG

繞點(diǎn)

B

按順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)一

定角度，得到圖2，使得點(diǎn)

G

在射線

DB

上，連接

BD

和

DF

，點(diǎn)

Q

是線段

DF

的中點(diǎn)，連接

CQ

和

QE

，猜想線段

CQ

和線段

QE

的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）解：猜想：

CQ

⊥

QE

，

CQ

＝

QE

.

理由如下：如圖1，延長(zhǎng)

EQ

交

BD

于點(diǎn)

P

，連接

CP

，

CE

.

∵四邊形

BEFG

是正方形，∴

EF

∥

BG

，即

EF

∥

DG

，∠

EBG

＝90°，即∠

DBE

＝90°，

BE

＝

EF

.

∴∠

PDQ

＝∠

EFQ

.

∵點(diǎn)

Q

是

DF

的中點(diǎn)，∴

DQ

＝

FQ

.

又∵∠

DQP

＝∠

FQE

，∴△

DPQ

≌△

FEQ

（ASA）.∴

PQ

＝

QE

，

DP

＝

FE

.

∵四邊形

ABCD

是正方形，∴∠

CDP

＝∠

CBD

＝45°，

CD

＝

CB

.

∴∠

CBE

＝∠

DBE

－

CBD

＝45°，即∠

CDP

＝∠

CBE

＝45°.又∵

CD

＝

CB

，

DP

＝

EF

＝

BE

，∴△

CDP

≌△

CBE

（SAS）.∴

CP

＝

CE

，∠

DCP

＝∠

BCE

.

∴∠

DCP

＋∠

PCB

＝∠

BCE

＋∠

PCB

，即∠

PCE

＝∠

BCD

＝90°.∵

CP

＝

CE

，∴△

CPE

是等腰直角三角形.∵

PQ

＝

QE

，∴

CQ

⊥

QE

，

CQ

＝

QE

.

（3）將正方形

BEFG

繞點(diǎn)

B

旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，當(dāng)∠

CGB

＝45°時(shí)，

直線

AE

交

CG

于點(diǎn)

H

，探究線段

CH

，

EG

，

AH

的長(zhǎng)度關(guān)系.（3）解：如圖2，當(dāng)點(diǎn)

G

在直線

BC

右側(cè)，∠

CGB

＝45°時(shí)，

C

，

E

，

G

三點(diǎn)共線，此時(shí)點(diǎn)

E

與點(diǎn)