機械控制理論基礎 課件 第3章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

FundamentalsofMechanicalControlEngineering機械控制工程基礎MathematicalModelsofControlSystems控制系統(tǒng)的數(shù)學模型CHAPTER31本章主要內(nèi)容（MainContents）概述系統(tǒng)微分方程的建立傳遞函數(shù)方框圖機電系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2數(shù)學表達式，分析基礎，重要但困難經(jīng)典控制理論中數(shù)學模型的形式：

微分方程傳遞函數(shù)（頻率特性）方框圖、信號流圖等建模方法（ModelingMethods）：分析法：根據(jù)系統(tǒng)遵循的規(guī)律、定理、定律等，集中參數(shù)、分布參數(shù)實驗法：用實驗數(shù)據(jù)建模，亦稱系統(tǒng)辨識3-1概述1.數(shù)學模型的概念典型輸入信號

系統(tǒng)？輸出響應Blackboxwhitebox32.線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)（LinearSystem）：適用疊加原理(Principleofsuperposition)

線性定常系統(tǒng)(Time-invariantSystem)時變系統(tǒng)(Time-variantSystem)42.線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)

非線性系統(tǒng)（NonlinearSystem）：不適用疊加原理對非線性的處理（非線性是普遍存在的）線性化（LinearApproximation）：Taylor級數(shù)取一次近似忽略非線性因素（IgnoringNonlinearFactors）非線性分析（NonlinearAnalysis）3.本課程主要研究對象單輸入－單輸出線性系統(tǒng)（SISO）

輸入

系統(tǒng)

輸出5建立系統(tǒng)微分方程的基礎：機械動力學（MechanicalKinetics）流體動力學（Hydrokinetics)電工電子技術（Electro-technics&Electronics）3-2系統(tǒng)微分方程的建立主要研究三類系統(tǒng)：機械系統(tǒng)（MechanicalSystem）液壓系統(tǒng)（HydraulicSystem）電網(wǎng)絡系統(tǒng)（ElectricCircuitSystem）61.機械系統(tǒng)(MechanicalSystems)分為：直線運動、轉動和二者兼有三種情況。遵循達朗貝爾（J.d’Alembert）原理：即系統(tǒng)中某一質點所受的慣性力等于作用于該點的所有外力的和。或者7直線運動(Linearmovement）彈簧-質量-阻尼系統(tǒng)（Spring-Mass-DamperSystem)8回轉運動：扭轉彈簧、轉動慣量、回轉阻尼(Torsional-spring，Rotating-inertia,Rotating-damp)9ExamplesofMechanicalSystems（1）10ExamplesofMechanicalSystems（2）11ExamplesofMechanicalSystems（3）12—EquivalentInertia—EquivalentDamp—EquivalentOutputTorque13即，系統(tǒng)可等效如下：液壓系統(tǒng)（HydraulicSystem）流體遵循質量守恒定律，即流體連續(xù)方程：模型簡化（modelsimplification）：用集中參數(shù)代替分布參數(shù)，并進行非線性特性的線性化處理即15ExampleofHydraulicSystem1617遵循的定律：基爾霍夫（Kirchhoff）電流定律

基爾霍夫電壓定律

3.電網(wǎng)絡系統(tǒng)(ElectricCircuitSystems)組成元件：電感、電阻和電容（inductance，resistance，capacitance）18ExampleofCircuitSystemCircuitI：CircuitII：output：19203-3傳遞函數(shù)（TransferFunction）1.傳遞函數(shù)的基本概念（ConceptofT.F.)

對單輸入—單輸出線性定常系統(tǒng)，在初始條件為零的條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。對于n階線性定常系統(tǒng)的微分方程：

21對其在零初始條件下進行拉氏變換：即得傳遞函數(shù)：22傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)，它只反映系統(tǒng)在零初始條件下（或者未加輸入前系統(tǒng)處于相對靜止狀態(tài)）的動態(tài)性能。系統(tǒng)傳遞函數(shù)反映系統(tǒng)本身的動態(tài)特性，只與系統(tǒng)本身的參數(shù)有關，與外界輸入無關。對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，；因為實際的物理系統(tǒng)總存在慣性，輸出不會超前于輸入。一個傳遞函數(shù)只能表示一對輸入、輸出間的關系。傳遞函數(shù)不說明被描述的系統(tǒng)的物理結構，不同性質的物理系統(tǒng)，只要其動態(tài)特性相同，就可以用同一類型的傳遞函數(shù)來描述-此為相似系統(tǒng)。傳遞函數(shù)是關于s的有理分式函數(shù)。傳遞函數(shù)與其微分方程、零極點之間的對應關系。

傳遞函數(shù)的特點（FeaturesofT.F.)23當時，，為傳遞函數(shù)的零點；當時，，為傳遞函數(shù)的極點；，稱為系統(tǒng)的特征方程，它的根稱為系統(tǒng)的特征根（也就是傳遞函數(shù)的極點）2.傳遞函數(shù)的零點和極點（zeros&poles）243.傳遞函數(shù)的典型環(huán)節(jié)

TypicalElementsofT.F.比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)延時環(huán)節(jié)

25設系統(tǒng)有:b

個實零點；c

對復零點；

d個實極點；e對復極點；λ個零極點b+2c=mv+d+2e=nn≥m比例環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)s-微分環(huán)節(jié)-延遲環(huán)節(jié)26①環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件；②一個環(huán)節(jié)往往由幾個元件之間的運動特性共同組成；③同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用.說明注意系統(tǒng)典型環(huán)節(jié)中的比例環(huán)節(jié)，是去掉微、積分環(huán)節(jié)，再令s

0所得到的值27運算放大器（Operational-Amplifier）28復阻抗（Complexresistance）利用復阻抗概念，可以直接求電網(wǎng)絡系統(tǒng)的傳遞函數(shù)29運算放大器（Operational-Amplifier）其它比例環(huán)節(jié)：減速器，晶體管放大器，…30DifferentialCircuit實際微分存在慣性

(T1

0即為理想微分)31MechanicalhaulingEngine32Armature-controlledDCMotor33帶鋼軋制過程中厚度的測量水箱進水管進水量的測量超越函數(shù)的近似處理34延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值。y(t)x(t)=1(t)T2T3T4T5T63.2%86.5%95%98.2%99.3%延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0-τ時間內(nèi)沒有輸出，但t=τ之后，輸出完全等于輸入。y(t)x(t)=1(t)τ035機械系統(tǒng)與電網(wǎng)路在元器件和變量方面都有很多可比擬之處。如機械系統(tǒng)也有三個無源被動的線性元件：質量和彈簧是儲能元件，粘性阻尼器是耗能元件。這兩個儲能元件可以比作電子儲能元件中的電感和電容；耗能元件就像電阻。

機械系統(tǒng)與電網(wǎng)絡系統(tǒng)的相似性36因為電子元器件相較于機械零部件的成本要低很多，基于這種相似性，在分析與設計機械控制系統(tǒng)時，人們想出了用電子元器件模擬機械零部件的解決方案。比如有“電子阻抗”的概念，又衍生出“機械阻抗”的概念。利用基于Kirchhoff定理的電路系統(tǒng)方程與機械系統(tǒng)的動力學方程之間的相似性，可以用一個等效的電路來模擬機械系統(tǒng)，此電路的性能參數(shù)能夠很好地模擬機械系統(tǒng)的參數(shù)。

這些知識可參見相關的文獻。373-4

方框圖及動態(tài)系統(tǒng)的構成

BlockDiagram&ConstituentsofDynamicsystem主要內(nèi)容：方框圖動態(tài)系統(tǒng)的構成方框圖的簡化規(guī)則畫系統(tǒng)方框圖及其求傳遞函數(shù)的步驟

381.方框圖（BlockDiagram）信號線：為有方向的線段，其上標注信號功能框：方框中標注環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)相加點（比較點）：相加減的量應具有相同的因次信號引出點（分支點）：方框圖與傳遞函數(shù)一樣包含了與系統(tǒng)動態(tài)性能有關的信息，但和系統(tǒng)的物理結構并不是一一對應的。它也是系統(tǒng)的一種數(shù)學模型。方框圖組成392.動態(tài)系統(tǒng)的構成(1)串聯(lián)（CascadeConnection）特點：前一環(huán)節(jié)的輸出量就是后一環(huán)節(jié)的輸入量。結論：串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于所有傳遞函數(shù)的乘積。n為相串聯(lián)的環(huán)節(jié)數(shù)40（2）并聯(lián)（ParallelConnection)特點：各環(huán)節(jié)的輸入信號相同，輸出為各環(huán)節(jié)的輸出之和結論：并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于所有并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和(差)。n為相并聯(lián)的環(huán)節(jié)數(shù)41（3）反饋連接(feedbackConnection)前向傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)反饋傳遞函數(shù)：開環(huán)傳遞函數(shù)：誤差傳遞函數(shù)：42多反饋回路連接（multi-feedbackloops）43（4）帶干擾作用的閉環(huán)控制系統(tǒng)

Closed-loopSystemwithDisturbanceSignal443.方框圖的簡化

（BlockDiagramReduction)目標：化交叉環(huán)路為“回”字形環(huán)路，先內(nèi)環(huán)后外環(huán)去掉反饋

變換原則：

前向通道的傳遞函數(shù)保持不變；各反饋回路的傳遞函數(shù)保持不變。

為了由系統(tǒng)的方框圖方便地寫出它的閉環(huán)傳遞函數(shù)，通常需要對方框圖進行簡化（等效變換）。換個說法，即方框圖的等效變換必須遵守原則：變換前后各變量之間的傳遞函數(shù)保持不變。45有關移動中，“前”、“后”的定義：按信號流向定義，也即信號從“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。

在控制系統(tǒng)中，任何復雜系統(tǒng)主要由響應環(huán)節(jié)的方框經(jīng)串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種基本形式連接而成。三種基本形式的等效簡化法則在前面已經(jīng)講述，一定要掌握。為了達到將交叉環(huán)路變?yōu)榛刈中苇h(huán)路目標，可以采用兩種途徑來實現(xiàn)：（1）分支點（信號引出點，branchpoint）的移動（2）相加點（比較點，summingpoint）的移動46縮小

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縮?。?）分支點（信號引出點）的移動47（2）相加點（比較點）的移動縮小

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縮小48Example494.畫系統(tǒng)方框圖及求其傳遞函數(shù)的步驟畫系統(tǒng)方框圖及求傳遞函數(shù)的一般步驟為：

確定系統(tǒng)的輸入與輸出；列寫微分方程；初始條件為零，對各微分方程取拉氏變換得到s方程；將各拉氏變換式（s方程）分別以方框圖表示，然后連成系統(tǒng)，求系統(tǒng)總的傳遞函數(shù)。50Example畫圖3-42所示電網(wǎng)絡的方框圖，求傳遞函數(shù)。

513-5機、電系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

TransferFunctionsofMechanical&ElectricSystems設加速度計殼體相對于某固定參照物（地球）的位移為，并設殼體的加速度為輸入信號；設質量相對于殼體的位移為輸出信號。的正方向如圖中所示。加速度計（accelerometor）的傳遞函數(shù)圖示為簡單的線位移加速度計的原理圖，由敏感質量m、阻尼B、彈簧k以及基座組成。52因為y是相對于殼體度量的，所以質量m相對于地球的位移是（x+y)，于是該系統(tǒng)的運動微分方程為即或用典型二階系統(tǒng)表示為：其輸入為加速度，輸出y為質量相對于基座殼體的位移。加速度計的傳遞函數(shù)53其傳遞函數(shù)為將其分子、分母同除以，得當，可得即，在時域中可表示為54本章總結建立系統(tǒng)微分方程的方法傳遞函數(shù)