7.3-離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征

選擇性必修第3冊第7章.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征教學(xué)目標(biāo)1.掌握數(shù)學(xué)期望（均值）的概念及公式；2.掌握離散型隨機(jī)變量方差及標(biāo)準(zhǔn)差公式。問題提出某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，一等品占50％，二等品占40％，次品占10％。如果生產(chǎn)一件次品，工廠要損失1元錢，生產(chǎn)一件一等品，工廠獲得2元錢的利潤，生產(chǎn)一件二等品，工廠獲得1元錢的利潤。假設(shè)生產(chǎn)了大量這樣的產(chǎn)品，問工廠每件產(chǎn)品獲得的期望利潤是多少？1.離散型隨機(jī)變量的期望一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，簡稱期望。離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是X的各可能值與其對應(yīng)概率乘積的和，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，pi（i＝1，2，…）為權(quán)重。例甲乙二人射擊，X：甲擊中的環(huán)數(shù)；Y：乙擊中的環(huán)數(shù)。他們命中環(huán)數(shù)的分布律分別為X8910Pk0.10.30.6Y8910Pk0.20.50.3試問哪一個人的射擊水平較高？問題提出要從兩名同學(xué)中挑選出一名，代表班級參加射擊比賽。根據(jù)以往的成績記錄，第一名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X1的分布列為X15678910Pk0.030.090.200.310.270.10第二名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X2的分布列為X256789Pk0.010.050.200.410.33請問應(yīng)該派哪名同學(xué)參賽？2.離散型隨機(jī)變量的方差一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布列為：ξx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱D(X)＝(x1－EX)2p1＋…＋(xi－EX)2pi＋…＋(xn－EX)2pn為隨機(jī)變量X的方差。稱σX＝eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差。方差刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差。例.若隨機(jī)變量x滿足P(x＝c)＝1，其中c為常數(shù)，求Ex。3.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)若C是常數(shù)，則E(C)＝C；(2)若K是常數(shù)，則E(kX)＝kE(X)；(3)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b為常數(shù))(4)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；推廣到有限個隨機(jī)變量和的情況：E(X1＋X2＋…Xn)＝EX1＋EX2＋…＋EXn；(5)如果X1，X2相互獨立，則E(X1·X2)＝E(X1)E(X2)。例.若隨機(jī)變量x滿足P(x＝c)＝1，其中c為常數(shù)，求Dx。4.方差的性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù)，則D(C)＝0(2)設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則D(CX)＝C2·D(X)(3)D(aX＋b)＝a2·D(X)(a、b為常數(shù))在記憶D(aX＋b)＝a2D(X)時要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)。(4)為計算方便，方差的計算公式還可以簡化為D(X)＝E(X2)－(E(X))2。例.設(shè)隨機(jī)變量x服從兩點分布：ξ10PP1－P試求它的Ex和Dx。5.兩點分布的期望、方差若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)。典例講解考點一離散型隨機(jī)變量的期望例1.(2011·湖南)某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開始營業(yè)時有該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率。(1)求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；(2)記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。例2.隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位：萬元)為ξ。(1)求ξ的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即ξ的均值)；(3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%.如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？考點一離散型隨機(jī)變量的方差例3.數(shù)字1，2，3，4，5任意排成一列，如果數(shù)字k恰好在第k個位置上，則稱有一個巧合。(1)求巧合數(shù)ξ的分布列；(2)求巧合數(shù)ξ的期望與方差。例4.設(shè)在12件同類型的零件中有2件次品，抽取3次進(jìn)行檢驗，每次抽取1件，并且取出后不再放回，若以ξ和η分別表示取到的次品數(shù)和正品數(shù)。(1)求ξ的分布列、均值和方差；(2)求η的分布列、均值和方差?？键c三期望與方差性質(zhì)的應(yīng)用例5.設(shè)隨機(jī)變量X具有分布P(X＝k)＝eq\f(1,5)，k＝1，2，3，4，5，求E(X＋2)2，D(2X－1)，eq\r(DX－1)。例6.袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1，2，3，4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號。(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，試求a，b的值。課時綜合練一、選擇題1.已知X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為()．A.eq\f(7,3)B．4C．－1D．12.某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，則y的值為()．A．0.4B．0.6C．0.7D3.簽盒中有編號為1、2、3、4、5、6的六支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個，則X的數(shù)學(xué)期望為()A．5B．5.25C．5.8D．4.64.一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c∈(0,1))，已知他投籃一次得分的均值為2，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值為()A.eq\f(32,3)B.eq\f(28,3)C.eq\f(14,3)D.eq\f(16,3)5.設(shè)0＜a＜1，則隨機(jī)變量X的分布列是：X0a1Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)則當(dāng)a在(0，1)內(nèi)增大時()A.D(X)增大B.D(X)減小C.D(X)先增大后減小D.D(X)先減小后增大6.(2013·湖北)如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體．經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)＝()A．126125B．65C．168125D．eq\f(7,5)7.(2017·浙江)已知隨機(jī)變量ξi滿足P(ξi=1)=pi，P(ξi=0)=1﹣pi，i=1，2．若0＜p1＜p2＜eq\f(1,2)，則（）A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) B．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)C．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)二、填空題8.隨機(jī)變量ξ的概率分布列由下表給出：ξ78910P0.30.350.20.15該隨機(jī)變量ξ的均值是________。9.隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，若Eξ＝eq\f(1,3)，則Dξ的值是________。10.（2014·浙江）隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，若P(ξ=0)=eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝________。11.馬老師從課本上抄錄一個隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下表：ξ123P？?。空埿∨Ｍ瑢W(xué)計算ξ的數(shù)學(xué)期望．盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案E(ξ)＝________.12.有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中任取3件，若ξ表示取到次品的個數(shù)，則E(ξ)＝________.三、解答題13.本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多，某自行車租車點的收費標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時間不超過兩小時免費，超過兩小時的部分每小時收費2元(不足1小時的部分按1小時計算)．有甲、乙兩人相互獨立來該租車點租車騎游(各租一車一次)．設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,2)；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,4)；兩人租車時間都不會超過四小時．(1)求甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ)．14.（2016?山東）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是eq\f(3,4)，乙每輪猜對的概率是eq\f(2,3)；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響．各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊”參加兩輪活動，求：（I）“星隊”至少猜對3個成語的概率；（II）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征教學(xué)目標(biāo)1.掌握數(shù)學(xué)期望（均值）的概念及公式；2.掌握離散型隨機(jī)變量方差及標(biāo)準(zhǔn)差公式。教學(xué)重點：教學(xué)難點：教材分析：均值與方差是離散型隨機(jī)變量的兩個重要數(shù)字特征，是高考在考查概率時考查的重點，要掌握期望與方差的計算公式，并能運用其性質(zhì)解題。問題提出某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，一等品占50％，二等品占40％，次品占10％。如果生產(chǎn)一件次品，工廠要損失1元錢，生產(chǎn)一件一等品，工廠獲得2元錢的利潤，生產(chǎn)一件二等品，工廠獲得1元錢的利潤。假設(shè)生產(chǎn)了大量這樣的產(chǎn)品，問工廠每件產(chǎn)品獲得的期望利潤是多少？解：設(shè)X表示每件產(chǎn)品獲得的利潤，則它是隨機(jī)變量，其概率分布為X21－1Pk0.50.40.1假設(shè)工廠一共生產(chǎn)了N件產(chǎn)品，其中一等品n1件，二等品n2件，次品n3件。這N件產(chǎn)品獲得的平均利潤為2或者寫為2×n1N＋1×n2N＋(n1N、n2N、而在大量重復(fù)試驗下當(dāng)N無限增大時，頻率的穩(wěn)定值即為概率，因此，每件產(chǎn)品的平均利潤將趨近于2×P1＋1×P2＋(－1)×P3＝2×0.5＋1×0.4＋(－1)×0.1＝1.3或者說，如果工廠生產(chǎn)了大量該產(chǎn)品，可期望每件產(chǎn)品獲得1.3元的利潤。數(shù)值1.3稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望或均值。1.離散型隨機(jī)變量的期望一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，簡稱期望。離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是X的各可能值與其對應(yīng)概率乘積的和，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，pi（i＝1，2，…）為權(quán)重。例甲乙二人射擊，X：甲擊中的環(huán)數(shù)；Y：乙擊中的環(huán)數(shù)。他們命中環(huán)數(shù)的分布律分別為X8910Pk0.10.30.6Y8910Pk0.20.50.3試問哪一個人的射擊水平較高？數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，表示了隨機(jī)變量在隨機(jī)實驗中取值的平均值，所以又常稱為隨機(jī)變量的平均數(shù)、均值。今天，我們將對隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度進(jìn)行研究。問題提出要從兩名同學(xué)中挑選出一名，代表班級參加射擊比賽。根據(jù)以往的成績記錄，第一名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X1的分布列為X15678910Pk0.030.090.200.310.270.10第二名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X2的分布列為X256789Pk0.010.050.200.410.33請問應(yīng)該派哪名同學(xué)參賽？根據(jù)已學(xué)知識，可以從平均中靶環(huán)數(shù)來比較兩名同學(xué)射擊水平的高低，即通過比較X1和X2的均值來比較兩名同學(xué)射擊水平的高低，通過計算E(X1)=8，E(X2)=8。發(fā)現(xiàn)兩個均值相等，因此只根據(jù)均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平。所以甲、乙兩射手的射擊水平相同，你贊成嗎？為什么？顯然兩名選手的水平是不同的，這里要進(jìn)一步去分析他們的成績的穩(wěn)定性。思考：除平均中靶環(huán)數(shù)外，還有其他刻畫兩名同學(xué)各自射擊特點的指標(biāo)嗎？對隨機(jī)變量X，知道了它的數(shù)學(xué)期望EX，雖然對該隨機(jī)變量有了一定的了解，但還不夠！有必要找一個量，能夠度量隨機(jī)變量X相對于EX的偏離程度。什么量，能夠度量隨機(jī)變量X相對于EX的偏離程度？X－EX？→不能！X－EX是隨機(jī)變量E(X－EX)？→不能！E(X－EX)＝EX－EX＝0（正負(fù)偏差相互抵消）E|X－EX|？→不便于計算！E(X－EX)2導(dǎo)語：對于一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性的描述，我們是用方差或標(biāo)準(zhǔn)差來刻畫的。2.離散型隨機(jī)變量的方差一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布列為：ξx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱D(X)＝(x1－EX)2p1＋…＋(xi－EX)2pi＋…＋(xn－EX)2pn為隨機(jī)變量X的方差。稱σX＝eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差。設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為EX，稱E(X－EX)2為隨機(jī)變量X的方差，記為D(X)，或Var(X)，并稱eq\r(DX)為X的標(biāo)準(zhǔn)差。方差，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差。它們都是反映離散型隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度的量，它們的值越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小，即越集中于均值。例.若隨機(jī)變量x滿足P(x＝c)＝1，其中c為常數(shù)，求Ex。Ex＝c×1＝cE(aX+b)=E(aX)+E(b)=aE(X)+b3.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)若C是常數(shù)，則E(C)＝C；(2)若K是常數(shù)，則E(kX)＝kE(X)；(3)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b為常數(shù))(4)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；推廣到有限個隨機(jī)變量和的情況：E(X1＋X2＋…Xn)＝EX1＋EX2＋…＋EXn；(5)如果X1，X2相互獨立，則E(X1·X2)＝E(X1)E(X2)。例.若隨機(jī)變量x滿足P(x＝c)＝1，其中c為常數(shù)，求Dx。Ex＝c×1＝cD(c)＝E{[c－E(c)]2}＝0平移變化不改變方差，但是伸縮變化改變方差.D(X)＝0?P(x＝c)＝1且C＝E(X)推論：常數(shù)的方差為___0____.D(aX)＝E[(aX)2]-[E(aX)]2=(a2)E(X2)-a2[E(X)]2=a2{E(X2)-[E(X)]2}=a2D(X)E(aX+b)＝E(aX)+E(b)＝aE(X)+bE[(aX+b)2]＝E[(a2)(X2)+2abX+b2]＝E[(a2)(X2)]+E[2abX]+E[b2]＝(a2)E(X2)+2abE(X)+b2D(aX+b)＝E[(aX+b)2]－[E(aX+b)]2＝(a2)E(X2)+2abE(X)+b2－{(a2)[E(X)]2+2abE(X)+b2}＝(a2){E(X2)－[E(X)]2}＝(a2)D(X)設(shè)X，Y是兩個隨機(jī)變量，則有D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)＋2E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}.特別，若X，Y相互獨立，則有D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)綜合上述三項，設(shè)X，Y相互獨立，a，b，c是常數(shù)，則D(aX＋bY＋c)＝a2D(X)＋b2D(Y)4.方差的性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù)，則D(C)＝0(2)設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則D(CX)＝C2·D(X)(3)D(aX＋b)＝a2·D(X)(a、b為常數(shù))在記憶D(aX＋b)＝a2D(X)時要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)。(4)為計算方便，方差的計算公式還可以簡化為D(X)＝E(X2)－(E(X))2。證明：D(X)＝E[(X－E(X))2]＝E[X2－2XE(X)＋(E(X))2]＝E(X2)－2E(X)E(X)＋[E(X)]2＝E(X2)－(E(X))2例.設(shè)隨機(jī)變量x服從兩點分布：ξ10PP1－P試求它的Ex和Dx。Ex＝pE(X2)＝02×(1－p)＋12×p＝p所以Dx＝E(X2)－[E(X)]2＝p－p2＝pq，其中q＝1－p5.兩點分布的期望、方差若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)。典例講解考點一離散型隨機(jī)變量的期望例1.(2011·湖南)某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開始營業(yè)時有該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率。(1)求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；(2)記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。解(1)P(當(dāng)天商店不進(jìn)貨)＝P(當(dāng)天商品銷售量為0件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為1件)＝eq\f(1,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,10).(2)由題意知，X的可能取值為2,3.P(X＝2)＝P(當(dāng)天商品銷售量為1件)＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4)；P(X＝3)＝P(當(dāng)天商品銷售量為0件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為2件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為3件)＝eq\f(1,20)＋eq\f(9,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,4).所以X的分布列為X23Peq\f(1,4)eq\f(3,4)故X的數(shù)學(xué)期望為EX＝2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(3,4)＝eq\f(11,4).例2.隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位：萬元)為ξ。(1)求ξ的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即ξ的均值)；(3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%.如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？解(1)由于1件產(chǎn)品的利潤為ξ，則ξ的所有可能取值為6,2,1，－2，由題意知P(ξ＝6)＝eq\f(126,200)＝0.63，P(ξ＝2)＝eq\f(50,200)＝0.25，P(ξ＝1)＝eq\f(20,200)＝0.1，P(ξ＝－2)＝eq\f(4,200)＝0.02.故ξ的分布列為ξ621－2P0.630.250.10.02(2)1件產(chǎn)品的平均利潤為Eξ＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(萬元)．(3)設(shè)技術(shù)革新后三等品率為x，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為Eξ＝6×0.7＋2×(1－0.7－x－0.01)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x.由Eξ≥4.73，得4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多為3%.探究提高(1)求解離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟：①理解X的意義，寫出X可能取的全部值；②求X取每個值的概率；③寫出X的分布列．求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對應(yīng)的概率，在求解時，要注意應(yīng)用計數(shù)原理、古典概型等知識．(2)求解離散型隨機(jī)變量X的均值與方差時，只要在求解分布列的前提下，根據(jù)均值、方差的定義求EX，DX即可．考點一離散型隨機(jī)變量的方差例3.數(shù)字1，2，3，4，5任意排成一列，如果數(shù)字k恰好在第k個位置上，則稱有一個巧合。(1)求巧合數(shù)ξ的分布列；(2)求巧合數(shù)ξ的期望與方差。解(1)ξ可能取值為0，1，2，3，5，P(ξ＝0)＝eq\f(44,Aeq\o\al(5,5))＝eq\f(44,120)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)×9,Aeq\o\al(5,5))＝eq\f(45,120)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5)×2,Aeq\o\al(5,5))＝eq\f(20,120)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,5),Aeq\o\al(5,5))＝eq\f(10,120)，P(ξ＝5)＝eq\f(1,120)，ξ01235Peq\f(44,120)eq\f(45,120)eq\f(20,120)eq\f(10,120)eq\f(1,120)(2)E(ξ)＝0×eq\f(44,120)＋1×eq\f(45,120)＋2×eq\f(20,120)＋3×eq\f(10,120)＋5×eq\f(1,120)＝1D(ξ)＝1×eq\f(44,120)＋0＋1×eq\f(20,120)＋4×eq\f(10,120)＋16×eq\f(1,120)＝1.錯位排列數(shù)公式：n！(1-)例4.設(shè)在12件同類型的零件中有2件次品，抽取3次進(jìn)行檢驗，每次抽取1件，并且取出后不再放回，若以ξ和η分別表示取到的次品數(shù)和正品數(shù)。(1)求ξ的分布列、均值和方差；(2)求η的分布列、均值和方差。解(1)ξ的可能取值為0，1，2，ξ＝0表示沒有取出次品，故P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,2)Ceq\o\al(3,10),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(6,11).ξ＝1表示取出的3個產(chǎn)品中恰有1個次品，所以p(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,10),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(9,22).同理P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,10),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(1,22).所以，ξ的分布列為ξ012Peq\f(6,11)eq\f(9,22)eq\f(1,22)E(ξ)＝0×eq\f(6,11)＋1×eq\f(9,22)＋2×eq\f(1,22)＝eq\f(1,2)，D(ξ)＝eq\f(6,11)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,22)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,22)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(15,44).(2)η的取值可以是1，2，3，且有ξ＋η＝3.∴P(η＝1)＝P(ξ＝2)＝eq\f(1,22)，P(η＝2)＝P(ξ＝1)＝eq\f(9,22)，P(η＝3)＝P(ξ＝0)＝eq\f(6,11)，所以，η的分布列為η123Peq\f(1,22)eq\f(9,22)eq\f(6,11)E(η)＝E(3－ξ)＝3－E(ξ)＝3－eq\f(1,2)＝eq\f(5,2)，D(η)＝D(3－ξ)＝(－1)2×D(ξ)＝eq\f(15,44).考點三期望與方差性質(zhì)的應(yīng)用例5.設(shè)隨機(jī)變量X具有分布P(X＝k)＝eq\f(1,5)，k＝1，2，3，4，5，求E(X＋2)2，D(2X－1)，eq\r(DX－1)。[審題視點]利用期望與方差的性質(zhì)求解．解∵E(X)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(1,5)＋4×eq\f(1,5)＋5×eq\f(1,5)＝eq\f(15,5)＝3.E(X2)＝1×eq\f(1,5)＋22×eq\f(1,5)＋32×eq\f(1,5)＋42×eq\f(1,5)＋52×eq\f(1,5)＝11.D(X)＝(1－3)2×eq\f(1,5)＋(2－3)2×eq\f(1,5)＋(3－3)2×eq\f(1,5)＋(4－3)2×eq\f(1,5)＋(5－3)2×eq\f(1,5)＝eq\f(1,5)(4＋1＋0＋1＋4)＝2.∴E(X＋2)2＝E(X2＋4X＋4)＝E(X2)＋4E(X)＋4＝11＋12＋4＝27.D(2X－1)＝4D(X)＝8，eq\r(DX－1)＝eq\r(DX)＝eq\r(2).若X是隨機(jī)變量，則η＝f(X)一般仍是隨機(jī)變量，在求η的期望和方差時，熟練應(yīng)用期望和方差的性質(zhì)，可以避免再求η的分布列帶來的繁瑣運算．例6.袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1，2，3，4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號。(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，試求a，b的值。解(1)X的分布列為X01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)∴E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×eq\f(1,2)＋(1－1.5)2×eq\f(1,20)＋(2－1.5)2×eq\f(1,10)＋(3－1.5)2×eq\f(3,20)＋(4－1.5)2×eq\f(1,5)＝2.75.(2)由D(η)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(X)＋b，所以當(dāng)a＝2時，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.當(dāng)a＝－2時，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4，))即為所求．課時綜合練一、選擇題1.已知X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為()．A.eq\f(7,3)B．4C．－1D．1解析E(X)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－eq\f(2,3)＋3＝eq\f(7,3).答案A2.(2010·湖北)某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，則y的值為()．A．0.4B．0.6C．0.7D解析x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.①又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化簡得7x＋10y＝5.4.②由①②聯(lián)立解得x＝0.2，y＝0.4.答案A3.簽盒中有編號為1、2、3、4、5、6的六支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個，則X的數(shù)學(xué)期望為()A．5B．5.25C．5.8D．4.6解析由題意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝eq\f(1,C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2).由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X)＝5.25.答案B4.一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c∈(0,1))，已知他投籃一次得分的均值為2，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值為()A.eq\f(32,3)B.eq\f(28,3)C.eq\f(14,3)D.eq\f(16,3)解析由已知得，3a＋2b＋0×c＝2即3a＋2b＝2，其中0<a<eq\f(2,3)，0<b<1.又eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)＝eq\f(3a＋2b,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,3b)))＝3＋eq\f(1,3)＋eq\f(2b,a)＋eq\f(a,2b)≥eq\f(10,3)＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(a,2b))＝eq\f(16,3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2b,a)＝eq\f(a,2b)，即a＝2b時取“等號”，又3a＋2b＝2，即當(dāng)a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)時，eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值為eq\f(16,3)。答案D5.設(shè)0＜a＜1，則隨機(jī)變量X的分布列是：X0a1Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)則當(dāng)a在(0，1)內(nèi)增大時()A.D(X)增大B.D(X)減小C.D(X)先增大后減小D.D(X)先減小后增大【分析】研究方差隨a變化的增大或減小規(guī)律，常用方法就是將方差用參數(shù)a表示，應(yīng)用函數(shù)知識求解.本題根據(jù)方差與期望的關(guān)系，將方差表示為a的二次函數(shù)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題.題目有一定綜合性，注重重要知識、基礎(chǔ)知識、運算求解能力的考查.詳解】方法1：由分布列得，則，則當(dāng)在內(nèi)增大時，D(X)先減小后增大.方法2：則故選D.6.(2013·湖北)如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體．經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)＝()A．126125B．65C．168125D．eq\f(7,5)答案：B解析：由題意可知涂漆面數(shù)X的可能取值為0,1,2,3.由于P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，故E(X)＝.7.(2017·浙江)已知隨機(jī)變量ξi滿足P(ξi=1)=pi，P(ξi=0)=1﹣pi，i=1，2．若0＜p1＜p2＜eq\f(1,2)，則（）A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) B．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)C．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)【解答】∵隨機(jī)變量ξi滿足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2，…，0＜p1＜p2＜eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，E（ξ1）=1×p1+0×（1﹣p1）=p1，E（ξ2）=1×p2+0×（1﹣p2）=p2，D（ξ1）=（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）=p1－p12，D（ξ2）=（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）=p2－p22，D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1﹣p12﹣(p2－p22)=（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．故選：A．二、填空題8.(2010·上海)隨機(jī)變量ξ的概率分布列由下表給出：ξ78910P0.30.350.20.15該隨機(jī)變量ξ的均值是________。解析由分布列可知E(ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.答案8.29.隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，若Eξ＝eq\f(1,3)，則Dξ的值是________。10.（2014·浙江）隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，若P(ξ=0)=eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝________。11.(2011·上海)馬老師從課本上抄錄一個隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下表：ξ123P？！？請小牛同學(xué)計算ξ的數(shù)學(xué)期望．盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案E(ξ)＝________.解析令“？”為a，“！”為b，則2a＋b＝1.又E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b答案212.有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中任取3件，若ξ表示取到次品的個數(shù)，則E(ξ)＝________.解析ξ的取值為0,1,2,3，則P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,12),C\o\al(3,16))＝eq\f(11,28)；P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,12)C\o\al(1,4),C\o\al(3,16))＝eq\f(33,70)；P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,12)C\o\al(2,4),C\o\al(3,16))＝eq\f(9,70)；P(ξ＝3)＝eq\f(C\o