甘肅省平涼市涇川縣2025屆九年級數(shù)學第一學期期末考試試題含解析

甘肅省平涼市涇川縣2025屆九年級數(shù)學第一學期期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．二次函數(shù)y=a+bx+c的圖象如圖所示，則下列關系式錯誤的是（）A．a＜0 B．b＞0 C．﹣4ac＞0 D．a+b+c＜02．從﹣1，0，1三個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)作為點的坐標，則該點在坐標軸上的概率為（）A． B． C． D．3．如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，下列條件中不能判斷△ABC∽△AED的是（）A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． D．4．下列方程中不是一元二次方程的是（）A． B． C． D．5．關于反比例函數(shù)，下列說法不正確的是（）A．函數(shù)圖象分別位于第一、第三象限B．當x＞0時，y隨x的增大而減小C．若點A（x1，y1），B（x2，y2）都在函數(shù)圖象上，且x1＜x2，則y1＞y2D．函數(shù)圖象經過點（1，2）6．如圖，四邊形OABF中，∠OAB＝∠B＝90°，點A在x軸上，雙曲線過點F，交AB于點E，連接EF．若，S△BEF＝4，則k的值為（）A．6 B．8 C．12 D．167．如圖，四邊形ABCD內接于，它的一個外角，分別連接AC，BD，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．8．在如圖所示的網(wǎng)格紙中，有A、B兩個格點，試取格點C，使得△ABC是等腰三角形，則這樣的格點C的個數(shù)是（）A．4 B．6 C．8 D．109．已知關于x的分式方程=1的解是非負數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m1 B．m1C．m-1且m≠0 D．m-110．一個群里共有個好友，每個好友都分別給群里的其他好友發(fā)一條信息，共發(fā)信息1980條，則可列方程（）A． B． C． D．11．若x=2y，則的值為（）A．2 B．1 C． D．12．把拋物線向下平移1個單位再向右平移一個單位所得到的的函數(shù)拋物線的解析式是（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．如果，那么_____．14．一元二次方程x2﹣4=0的解是．_________15．如圖，將正方形繞點逆時針旋轉至正方形，邊交于點，若正方形的邊長為，則的長為________．16．方程x（x﹣5）＝0的根是_____．17．代數(shù)式有意義時，x應滿足的條件是______.18．若，則_______．三、解答題（共78分）19．（8分）已知二次函數(shù)的圖象頂點是，且經過，求這個二次函數(shù)的表達式．20．（8分）關于x的方程的解為正數(shù)，且關于y的不等式組有解，求符合題意的整數(shù)m.21．（8分）如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點，∠B＝∠ACD．（1）求證：△ABC∽△ACD；（2）如果AC＝6，AD＝4，求DB的長．22．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點O是斜邊AB上一定點，到點O的距離等于OB的所有點組成圖形W，圖形W與AB，BC分別交于點D，E，連接AE，DE，∠AED=∠B．（1）判斷圖形W與AE所在直線的公共點個數(shù)，并證明．（2）若，，求OB．23．（10分）（1）如圖1，在△ABC中，AB＞AC，點D，E分別在邊AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，AE＝，則的值是；（2）如圖2，在（1）的條件下，將△ADE繞點A逆時針方向旋轉一定的角度，連接CE和BD，的值變化嗎？若變化，請說明理由；若不變化，請求出不變的值；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AC⊥BC于點C，∠BAC＝∠ADC＝θ，且tanθ＝，當CD＝6，AD＝3時，請直接寫出線段BD的長度．24．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是圓周上一點，連接AC、BC，以點C為端點作射線CD、CP分別交線段AB所在直線于點D、P，使∠1＝∠2＝∠A．（1）求證：直線PC是⊙O的切線；（2）若CD＝4，BD＝2，求線段BP的長．25．（12分）2019年6月，總書記對垃圾分類工作作出重要指示.實行垃圾分類，關系廣大人民群眾生活環(huán)境，關系節(jié)約使用資源，也是社會文明水平的一個重要體現(xiàn).興國縣某校為培養(yǎng)學生垃圾分類的好習慣，在校園內擺放了幾組垃圾桶，每組4個，分別是“可回收物”、“有害垃圾”、“廚余垃圾”和“其它垃圾”（如下圖，分別記為A、B、C、D）.小超同學由于上課沒有聽清楚老師的講解，課后也沒有認真學習教室里張貼的“垃圾分類常識”，對垃圾分類標準不是很清楚，于是先后將一個礦泉水瓶（簡記為水瓶）和一張擦了汗的面巾紙（簡記為紙巾）隨機扔進了兩個不同的垃圾桶。說明：礦泉水瓶屬于“可回收物”，擦了汗的面巾紙屬于“其它垃圾”.（1）小超將礦泉水瓶隨機扔進4個垃圾桶中的某一個桶，恰好分類正確的概率是_____；（2）小超先后將一個礦泉水瓶和一張擦了汗的面巾紙隨機扔進了兩個不同的垃圾桶，請用畫樹狀圖或列表的方法，求出兩個垃圾都分類錯誤的概率．26．某超市銷售一種成本為每千克40元的水產品，經市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能銷售出500千克；銷售單價每漲價1元，月銷售量就減少10千克．針對這種水產品的銷售情況，請解答以下問題：（1）每千克漲價x元，那么銷售量表示為千克，漲價后每千克利潤為元（用含x的代數(shù)式表示．）（2）要使得月銷售利潤達到8000元，又要“薄利多銷”，銷售單價應定為多少？這時應進貨多少千克？

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【解析】試題分析：根據(jù)拋物線的開口方向對A進行判斷；根據(jù)拋物線的對稱軸位置對B進行判斷；根據(jù)拋物線與x軸的交點個數(shù)對C進行判斷；根據(jù)自變量為1所對應的函數(shù)值為正數(shù)對D進行判斷．A、拋物線開口向下，則a＜0，所以A選項的關系式正確；B、拋物線的對稱軸在y軸的右側，a、b異號，則b＞0，所以B選項的關系式正確；C、拋物線與x軸有2個交點，則△=b2﹣4ac＞0，所以D選項的關系式正確；D、當x=1時，y＞0，則a+b+c＞0，所以D選項的關系式錯誤．考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系2、C【分析】列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出剛好在坐標軸上的點個數(shù)，即可求出所求的概率．【詳解】解：根據(jù)題意列表如下：﹣110﹣1﹣﹣﹣（1，﹣1）（0，﹣1）1（﹣1，1）﹣﹣﹣（0，1）0（﹣1，0）（1，0）﹣﹣﹣所有等可能的情況有6種，其中該點剛好在坐標軸上的情況有4種，所以該點在坐標軸上的概率＝；故選：C．【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．也考查了點的坐標特征．3、D【分析】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似．根據(jù)此，分別進行判斷即可．【詳解】解：由題意得∠DAE=∠CAB，A、當∠AED=∠B時，△ABC∽△AED，故本選項不符合題意；B、當∠ADE=∠C時，△ABC∽△AED，故本選項不符合題意；C、當=時，△ABC∽△AED，故本選項不符合題意；D、當=時，不能推斷△ABC∽△AED，故本選項符合題意；故選D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似．4、C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進行排除選擇即可，一元二次方程的關鍵是方程中只包含一個未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)為2.【詳解】根據(jù)一元二次方程的定義可知含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的指數(shù)是2的方程為一元二次方程，所以A，B，D均符合一元二次方程的定義，C選項展開移項整理后不含有未知數(shù)，不符合一元二次方程的定義，所以錯誤，故選C.【點睛】本題考查的是一元二次方程的定義，熟知此定義是解題的關鍵.5、C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征對D進行判斷；根據(jù)反比例函數(shù)的性質對A、B、C進行判斷．【詳解】A．k=2＞0，則雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，所以A選項的說法正確；B．當x＞0時，y隨著x的增大而減小，所以B選項的說法正確；C．若x1＜0，x2＞0，則y2＞y1，所以C選項的說法錯誤；D．把x=1代入得y=2，則點（1，2）在的圖象上，所以D選項的說法正確．故選C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質：反比例函數(shù)（k≠0）的圖象是雙曲線；當k＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內y隨x的增大而減?。划攌＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內y隨x的增大而增大．6、A【分析】由于，可以設F（m，n）則OA=3m，BF=2m，由于S△BEF=4，則BE=，然后即可求出E（3m，n-），依據(jù)mn=3m（n-）可求mn=1，即求出k的值．【詳解】如圖，過F作FC⊥OA于C，∵，∴OA=3OC，BF=2OC∴若設F（m，n）則OA=3m，BF=2m∵S△BEF=4∴BE=則E（3m，n-）∵E在雙曲線y=上∴mn=3m（n-）∴mn=1即k=1．故選A．【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質、用坐標表示線段長和三角形面積，表示出E點坐標是解題關鍵．7、A【分析】先根據(jù)圓內接四邊形的性質得出∠ADC=∠EBC=65°，再根據(jù)AC=AD得出∠ACD=∠ADC=65°，故可根據(jù)三角形內角和定理求出∠CAD=50°，再由圓周角定理得出∠DBC=∠CAD=50°.【詳解】解：∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴∠ADC=∠EBC=65°．∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=65°，∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=50°，∴∠DBC=∠CAD=50°，故選：A．【點睛】本題考查了圓內接四邊形的性質，以及圓周角定理的推論，熟知圓內接四邊形的對角互補是解答此題的關鍵．也考查了等腰三角形的性質以及三角形內角和定理．8、C【分析】分AB是腰長時，根據(jù)網(wǎng)格結構，找出一個小正方形與A、B頂點相對的頂點，連接即可得到等腰三角形，AB是底邊時，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，AB垂直平分線上的格點都可以作為點C，然后相加即可得解．【詳解】解：如圖，分情況討論：①AB為等腰△ABC的底邊時，符合條件的C點有4個；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個．故選C．【點睛】本題考查等腰三角形的判定，解題的關鍵是掌握等腰三角形的判定，分情況討論解決.9、C【解析】分式方程去分母得：m=x-1，解得x=m+1，由方程的解為非負數(shù)，得到m+1≥0，且m+1≠1，解得：m-1且m≠0，故選C．10、B【分析】每個好友都有一次發(fā)給QQ群其他好友消息的機會，即每兩個好友之間要互發(fā)一次消息；設有x個好友，每人發(fā)(x-1)條消息，則發(fā)消息共有x（x-1）條,再根據(jù)共發(fā)信息1980條，列出方程x（x-1）=1980.【詳解】解：設有x個好友，依題意，得：x（x-1）=1980.故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題意設出合適的未知數(shù)，再根據(jù)等量關系式列出方程是解題的關鍵.11、A【解析】將x=2y代入中化簡后即可得到答案.【詳解】將x=2y代入得：，故選：A.【點睛】此題考查代數(shù)式代入求值，正確計算即可.12、B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行解答即可．【詳解】解：拋物線向下平移1個單位，得：，再向右平移1個單位，得：，即：，故選B.【點睛】主要考查的是函數(shù)圖象的平移，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式．二、填空題（每題4分，共24分）13、2【解析】∵,∴x=,∴=.14、x=±1【解析】移項得x1=4，∴x=±1．故答案是：x=±1．15、【分析】連接AE，由旋轉性質知AD＝AB′＝3、∠BAB′＝30°、∠B′AD＝60°，證Rt△ADE≌Rt△AB′E得∠DAE＝∠B′AD＝30°，由DE＝ADtan∠DAE可得答案．【詳解】解：如圖，連接AE，∵將邊長為3的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉30°得到正方形AB'C′D′，∴AD＝AB′＝3，∠BAB′＝30°，∠DAB＝90°∴∠B′AD＝60°，在Rt△ADE和Rt△AB′E中，，∴Rt△ADE≌Rt△AB′E（HL），∴∠DAE＝∠B′AE＝∠B′AD＝30°，∴DE＝ADtan∠DAE＝3×＝，故答案為．【點睛】此題主要考查全等、旋轉、三角函數(shù)的應用，解題的關鍵是熟知旋轉的性質及全等三角形的判定定理．16、x1＝0，x2＝1【分析】根據(jù)x（x-1）=0，推出x=0，x-1=0，求出方程的解即可．【詳解】解：x（x﹣1）＝0，∴x＝0，x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1，故答案為x1＝0，x2＝1．【點睛】本題考查了解一元一次方程和解一元二次方程，關鍵是能把解一元二次方程轉化成解一元一次方程．17、.【解析】直接利用二次根式的定義和分數(shù)有意義求出x的取值范圍．【詳解】解：代數(shù)式有意義，可得：，所以，故答案為：.【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握是解題的關鍵.18、12【分析】根據(jù)比例的性質即可求解．【詳解】∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了比例的性質，解答本題的關鍵是明確比例的性質的含義．三、解答題（共78分）19、【分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式的頂點式以及待定系數(shù)法，即可得到答案．【詳解】把頂點代入得：，把代入得：，∴二次函數(shù)的表達式為：．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的待定系數(shù)法，掌握二次函數(shù)解析式的頂點式是解題的關鍵．20、m的值是-1或1或2或3或4或5【分析】根據(jù)題意先求出方程的解與不等式組的解集，再根據(jù)題目中的要求，求出相應的m的值即可．【詳解】解：解分式方程得：∵x為正數(shù)解得由不等式組有解得：整數(shù)m的值是-1或1或2或3或4或5.【點睛】本題考查分式方程的解、一元一次不等式組的整數(shù)解，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．21、（1）見解析；（2）DB=5.【分析】（1）根據(jù)兩角相等的兩個三角形相似即可證得結論；（2）根據(jù)相似三角形的對應邊成比例即可求得AB的長，進而可得結果.【詳解】解：（1）∵∠B＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD；（2）∵△ABC∽△ACD，∴，即，解得AB=9，∴DB=AB－AD=5.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，屬于基礎題型，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題關鍵.22、（2）有一個公共點，證明見解析；（2）．【分析】（2）先根據(jù)題意作出圖形W，再作輔助線,連接OE，證明AE是圓O的切線即可；（2）先利用解直角三角形的知識求出CE=2，從而求出BE=2．再由AC∥DE得出，把各線段的長代入即可求出OB的值.【詳解】（2）判斷有一個公共點證明：連接OE，如圖．∵BD是⊙O的直徑，∴∠DEB=90°．∵OE=OB，∴∠OEB=∠B．又∵∠AED=∠B，∴∠AED=∠OEB．∴∠AEO=∠AED+∠DEO=∠OEB+∠DEO=∠DEB=90°．∴AE是⊙O的切線．∴圖形W與AE所在直線有2個公共點．（2）解：∵∠C=90°，，，∴AC=2，．∵∠DEB=90°，∴AC∥DE．∴∠CAE=∠AED=B．在Rt△ACE中，∠C=90°，AC=2，∴CE=2．∴BE=2．∵AC∥DE∴．∴，∴．【點睛】本題考查了圓的綜合知識，掌握相關知識并靈活運用是解題的關鍵.23、（1）；（2）的值不變化，值為，理由見解析；（3）【分析】（1）由平行線分線段成比例定理即可得出答案；（2）證明△ABD∽△ACE，得出＝＝（3）作AE⊥CD于E，DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，則DM＝CN，DN＝MC，由三角函數(shù)定義得出＝，＝，得出＝，求出AE＝AD＝，DE＝AE＝，得出CE＝CD﹣DE＝，由勾股定理得出AC＝＝，得出BC＝AC＝，由面積法求出CN＝DM＝，得出BN＝BC+CN＝，由勾股定理得出AM＝＝，得出DN＝MC＝AM+AC＝，再由勾股定理即可得出答案．【詳解】（1）∵DE∥BC，∴＝＝＝；故答案為：；（2）的值不變化，值為；理由如下：由（1）得：DE∥B，∴△ADE∽△ABC，∴＝，由旋轉的性質得：∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴＝＝；（3）作AE⊥CD于E，DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，如圖3所示：則四邊形DMCN是矩形，∴DM＝CN，DN＝MC，∵∠BAC＝∠ADC＝θ，且tanθ＝，∴＝，＝，∴＝，∴AE＝AD＝×3＝，DE＝AE＝，∴CE＝CD﹣DE＝6﹣＝，∴AC＝＝＝∴BC＝AC＝，∵△ACD的面積＝AC×DM＝CD×AE，∴CN＝DM＝＝，∴BN＝BC+CN＝，AM＝＝＝，∴DN＝MC＝AM+AC＝，∴BD＝＝＝．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質、旋轉的性質、平行線分線段成比例定理、矩形的判定與性質、勾股定理、三角函數(shù)定義、三角形面積等知識；熟練掌握相似三角形的判定與性質和勾股定理是解題的關鍵．24、（1）詳見解析；（2）【分析】（1）連接OC，由AB是⊙O的直徑證得∠ACO+∠BCO＝90°，由OA=OC證得∠2＝∠A=∠ACO，由此得到∠PCO＝90°，即證得直線PC是⊙O的切線；（2）利用∠1＝∠A證得∠CDB＝90°，得到CD2＝AD?BD，求出AD,由此求得AB=10，OB=5;在由∠OCP＝90°推出OC2＝OD?OP，求出OP＝，由此求得線段BP的長.【詳解】（1）連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠A＝∠1＝∠2，∴∠2＝∠ACO，∴∠2+∠BCO＝90°，∴∠PCO＝90°，∴OC⊥PC，∴直線PC是⊙O的切線；（2）∵∠ACB