四川省達州市崇德實驗學校2025屆九年級數學第一學期期末預測試題含解析

四川省達州市崇德實驗學校2025屆九年級數學第一學期期末預測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題(每小題3分,共30分)1．要將拋物線平移后得到拋物線，下列平移方法正確的是（）A．向左平移1個單位，再向上平移2個單位 B．向左平移1個單位，再向下平移2個單位C．向右平移1個單位，再向上平移2個單位 D．向右平移1個單位，再向下平移2個單位2．如圖，△ABC中，點D為邊BC的點，點E、F分別是邊AB、AC上兩點，且EF∥BC，若AE：EB＝m，BD：DC＝n，則（）A．若m＞1，n＞1，則2S△AEF＞S△ABD B．若m＞1，n＜1，則2S△AEF＜S△ABDC．若m＜1，n＜1，則2S△AEF＜S△ABD D．若m＜1，n＞1，則2S△AEF＜S△ABD3．下列函數中，變量是的反比例函數是（）A． B． C． D．4．關于的一元二次方程根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．沒有實數根 D．根的情況無法判斷5．如圖，F是平行四邊形ABCD對角線BD上的點，BF：FD=1：3，則BE：EC=()A． B． C． D．6．與相似，且面積比，則與的相似比為（）A． B． C． D．7．甲、乙兩名同學在一次用頻率去估計概率的實驗中，統(tǒng)計了某一結果出現的頻率繪出的統(tǒng)計圖如圖，則符合這一結果的實驗可能是（）A．擲一枚正六面體的骰子，出現1點的概率B．拋一枚硬幣，出現正面的概率C．從一個裝有2個白球和1個紅球的袋子中任取一球，取到紅球的概率D．任意寫一個整數，它能被2整除的概率8．如圖，在等邊三角形ABC中，點P是BC邊上一動點（不與點B、C重合），連接AP，作射線PD，使∠APD=60°，PD交AC于點D，已知AB=a，設CD=y，BP=x，則y與x函數關系的大致圖象是（）A． B． C． D．9．一次函數與二次函數在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）．A． B． C． D．10．把同一副撲克牌中的紅桃2、紅桃3、紅桃4三張牌背面朝上放在桌子上，從中隨機抽取兩張，牌面的數字之和為奇數的概率為（）A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，以A為圓心的圓切BC于點D，若BC＝12cm，則⊙A的半徑為_____cm．12．若二次根式有意義，則x的取值范圍是▲．13．步步高超市某種商品為了去庫存，經過兩次降價，零售價由100元降為64元．則平均每次降價的百分率是____________．14．某農科所在相同條件下做某作物種子發(fā)芽率的試驗，結果如下表所示：種子個數1002003004005006007008009001000發(fā)芽種子個數94187282338435530621781814901發(fā)芽種子頻率0.9400.9350.9400.8450.8700.8830.8910.8980.9040.901根據頻率的穩(wěn)定性，估計該作物種子發(fā)芽的概率為__________(結果保留小數點后一位)．15．如圖，面積為6的矩形的頂點在反比例函數的圖像上，則__________．16．已知某小區(qū)的房價在兩年內從每平方米8100元增加到每平方米12500元，設該小區(qū)房價平均每年增長的百分率為，根據題意可列方程為______.17．如圖，身高為1.8米的某學生想測量學校旗桿的高度，當他站在B處時，他頭頂端的影子正好與旗桿頂端的影子重合，并測得AB=2米，BC=18米，則旗桿CD的高度是______米．18．把拋物線的頂點E先向左平移3個單位，再向上平移4個單位后剛好落在同一平面直角坐標系的雙曲線上，那么=__________三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的三個頂點分別是A（－3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）將△ABC以點C為旋轉中心旋轉180°，畫出旋轉后對應的△C；平移△ABC，若A的對應點的坐標為（0，-4），畫出平移后對應的△；（2）若將△C繞某一點旋轉可以得到△，請直接寫出旋轉中心的坐標；（3）在軸上有一點P，使得PA+PB的值最小，請直接寫出點P的坐標．20．（6分）我們定義：如果圓的兩條弦互相垂直，那么這兩條弦互為“十字弦”，也把其中的一條弦叫做另一條弦的“十字弦”.如：如圖，已知的兩條弦，則、互為“十字弦”，是的“十字弦”，也是的“十字弦”.（1）若的半徑為5，一條弦，則弦的“十字弦”的最大值為______，最小值為______.（2）如圖1，若的弦恰好是的直徑，弦與相交于，連接，若，，，求證：、互為“十字弦”；（3）如圖2，若的半徑為5，一條弦，弦是的“十字弦”，連接，若，求弦的長.21．（6分）在一個不透明的布袋里裝有4個標有1，2，3，4的小球，它們的形狀、大小完全相同，小明從布袋里隨機取出一個小球，記下數字為x，小紅在剩下的3個小球中隨機取出一個小球，記下數字為y。(1)計算由x、y確定的點(x,y)在函數y=-x+5的圖象上的概率；(2)小明和小紅約定做一個游戲，其規(guī)則為：若x、y滿足xy＞6則小明勝，若x、y滿足xy＜6則小紅勝，這個游戲公平嗎？說明理由.若不公平，請寫出公平的游戲規(guī)則.22．（8分）四張質地相同的卡片如圖所示．將卡片洗勻后，背面朝上放置在桌面上．（1）求隨機抽取一張卡片，恰好得到數字2的概率；（2）小貝和小晶想用以上四張卡片做游戲，游戲規(guī)則見信息圖．你認為這個游戲公平嗎？請用列表法或畫樹狀圖法說明理由，若認為不公平，請你修改規(guī)則，使游戲變得公平．23．（8分）問題呈現：如圖1，在邊長為1小的正方形網格中，連接格點A、B和C、D，AB和CD相交于點P，求tan∠CPB的值方法歸納：求一個銳角的三角函數值，我們往往需要找出(或構造出)一個直角三角形，觀察發(fā)現問題中∠CPB不在直角三角形中，我們常常利用網格畫平行線等方法解決此類問題，比如連接格點B、E，可得BE∥CD，則∠ABE=∠CPB，連接AE，那么∠CPB就變換到Rt△ABE中．問題解決：（1）直接寫出圖1中tanCPB的值為______；（2）如圖2，在邊長為1的正方形網格中，AB與CD相交于點P，求cosCPB的值．24．（8分）在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，設銳角∠DOC＝α，將△DOC按逆時針方向旋轉得到△D′OC′（0°＜旋轉角＜90°）連接AC′、BD′，AC′與BD′相交于點M．（1）當四邊形ABCD是矩形時，如圖1，請猜想AC′與BD′的數量關系以及∠AMB與α的大小關系，并證明你的猜想；（2）當四邊形ABCD是平行四邊形時，如圖2，已知AC＝kBD，請猜想此時AC′與BD′的數量關系以及∠AMB與α的大小關系，并證明你的猜想；（3）當四邊形ABCD是等腰梯形時，如圖3，AD∥BC，此時（1）AC′與BD′的數量關系是否成立？∠AMB與α的大小關系是否成立？不必證明，直接寫出結論．25．（10分）已知關于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝1．（1）求證：無論a為何實數，方程總有實數根．（2）如果方程有兩個實數根x1，x2，當|x1﹣x2|＝時，求出a的值．26．（10分）如圖，拋物線y=x2+bx－2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（一1，0）．⑴求拋物線的解析式及頂點D的坐標；⑵判斷△ABC的形狀，證明你的結論；⑶點M(m，0)是x軸上的一個動點，當CM+DM的值最小時，求m的值．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【分析】原拋物線頂點坐標為（0，0），平移后拋物線頂點坐標為（-1，2），由此確定平移辦法．【詳解】y=x2+2x+3=（x+1）2+2，該拋物線的頂點坐標是（-1，2），拋物線y=x2的頂點坐標是（0，0），

則平移的方法可以是：將拋物線y=x2向左平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度．

故選：A．【點睛】此題考查二次函數圖象與幾何變換．解題關鍵是將拋物線的平移問題轉化為頂點的平移，尋找平移方法．2、D【分析】根據相似三角形的判定與性質，得出，，從而建立等式關系，得出，然后再逐一分析四個選項，即可得出正確答案.【詳解】解：∵EF∥BC，若AE：EB＝m，BD：DC=n，?∴△AEF∽△ABC，∴，∴，∴，∴∴當m=1，n=1，即當E為AB中點，D為BC中點時，，A.當m＞1，n＞1時，S△AEF與S△ABD同時增大，則或，即2或2＞，故A錯誤；B.當m＞1，n＜1，S△AEF增大而S△ABD減小，則，即2，故B錯誤；C.m＜1，n＜1，S△AEF與S△ABD同時減小，則或，即2或2＜，故C錯誤；D.m＜1，n＞1，S△AEF減小而S△ABD增大，則，即2＜，故D正確.故選D.【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的性質是解答本題的關鍵.3、B【解析】根據反比例函數的一般形式即可判斷．【詳解】A.不符合反比例函數的一般形式的形式，選項錯誤；B.符合反比例函數的一般形式的形式，選項正確；C.不符合反比例函數的一般形式的形式，選項錯誤；D.不符合反比例函數的一般形式的形式，選項錯誤．故選B．【點睛】本題考查了反比例函數的定義，熟練掌握反比例函數的一般形式是解題的關鍵．4、A【解析】若△＞0，則方程有兩個不等式實數根，若△=0，則方程有兩個相等的實數根，若△＜0，則方程沒有實數根.求出△與零的大小，結果就出來了.【詳解】解：∵△=，∴方程有兩個不相等的實數根【點睛】本題主要考查根的判別式，掌握一元二次方程的根的判別式是關鍵.5、A【解析】試題解析：是平行四邊形,故選A.6、B【分析】根據面積比為相似比的平方即可得出答案．【詳解】與相似，且面積比與的相似比為與的相似比為故答案為：B．【點睛】本題考查了相似三角形的性質，比較簡單，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．7、C【解析】解：A．擲一枚正六面體的骰子，出現1點的概率為，故此選項錯誤；B．擲一枚硬幣，出現正面朝上的概率為，故此選項錯誤；C．從一裝有2個白球和1個紅球的袋子中任取一球，取到紅球的概率是：≈0.33；故此選項正確；D．任意寫出一個整數，能被2整除的概率為，故此選項錯誤．故選C．8、C【分析】根據等邊三角形的性質可得出∠B=∠C=60°，由等角的補角相等可得出∠BAP=∠CPD，進而即可證出△ABP∽△PCD，根據相似三角形的性質即可得出y=-x2+x，對照四個選項即可得出．【詳解】∵△ABC為等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，BC=AB=a，PC=a-x．

∵∠APD=60°，∠B=60°，

∴∠BAP+∠APB=120°，∠APB+∠CPD=120°，

∴∠BAP=∠CPD，

∴△ABP∽△PCD，∴,即，∴y=-x2+x.故選C.【點睛】考查了動點問題的函數圖象、相似三角形的判定與性質，利用相似三角形的性質找出y=-x2+x是解題的關鍵．9、C【分析】逐一分析四個選項，根據二次函數圖象的開口方向以及對稱軸與y軸的位置關系，即可得出a、b的正負性，由此即可得出一次函數圖象經過的象限，即可得出結論．【詳解】A.∵二次函數圖象開口向下，對稱軸在y軸左側，∴a<0，b<0，∴一次函數圖象應該過第二、三、四象限，故本選項錯誤；B.∵二次函數圖象開口向上，對稱軸在y軸右側，∴a>0，b<0，∴一次函數圖象應該過第一、三、四象限，故本選項錯誤；C.∵二次函數圖象開口向下，對稱軸在y軸左側，∴a<0，b<0，∴一次函數圖象應該過第二、三、四象限，故本選項正確；D.∵二次函數圖象開口向下，對稱軸在y軸左側，∴a<0，b<0，∴一次函數圖象應該過第二、三、四象限，故本選項錯誤．故選C．【點睛】本題主要考查二次函數圖象與一次函數圖象的綜合，掌握二次函數與一次函數系數與圖象的關系，是解題的關鍵．10、D【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與從中隨機抽取兩張，牌面的數字之和為奇數的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：根據題意畫樹狀圖如下：∵共有6種等可能的結果，從中隨機抽取兩張，牌面的數字之和為奇數的有4種情況，∴從中隨機抽取兩張，牌面的數字之和為奇數的概率為：；故選：D．【點睛】本題考查了用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率=所求情況數與總情況數之比．二、填空題(每小題3分,共24分)11、1．【分析】由切線性質知AD⊥BC，根據AB＝AC可得BD＝CD＝AD＝BC＝1．【詳解】解：如圖，連接AD，則AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝AD＝BC＝1，故答案為：1．【點睛】本題考查了圓的切線性質，解題的關鍵在于掌握圓的切線性質.12、．【分析】根據二次根式有意義的條件：被開方數大于等于0列出不等式求解.【詳解】根據二次根式被開方數必須是非負數的條件，得.【點睛】本題考查二次根式有意義的條件，牢記被開方數必須是非負數.13、20%【分析】設平均每次降價的百分率是x，根據“經過兩次降價，零售價由100元降為64元”，列出一元二次方程，求解即可．【詳解】設平均每次降價的百分率是x，根據題意得：100(1﹣x)2=64，解得：x1=0.2，x2=1.8(舍去)，即平均每次降價的百分率是20%．故答案為：20%．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程，這是一道典型的增長率問題．14、0.9【分析】選一個表格中發(fā)芽種子頻率比較按近的數，如0.904、0.901等都可以．【詳解】解：根據題意，由頻率估計概率，則估計該作物種子發(fā)芽的概率為：0.9；故答案為：0.9；【點睛】本題考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．15、-1【分析】根據反比例函數系數k的幾何意義可得|k|=1，再根據函數所在的象限確定k的值．【詳解】解：∵反比例函數的圖象經過面積為1的矩形OABC的頂點B，

∴|k|=1，k=±1，

∵反比例函數的圖象經過第二象限，

∴k=-1．

故答案為：-1．【點睛】主要考查了反比例函數中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|．16、【分析】根據相等關系：8100×(1+平均每年增長的百分率)2=12500即可列出方程.【詳解】解：根據題意，得：.故答案為：.【點睛】本題考查的是一元二次方程的應用之增長降低率問題，一般的，若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經過兩次變化后的數量關系為：.17、1．【詳解】解：∵BE⊥AC，CD⊥AC，∴△ABE∽△ACD，解得：故答案為1.點睛：同一時刻，物體的高度與影長的比相等.18、﹣1【分析】根據題意得出頂點E坐標，利用平移的規(guī)律得出移動后的點的坐標，進而代入反比例函數即可求出k的值.【詳解】解：由題意可知拋物線的頂點E坐標為（1，-2），把點E（1，-2）先向左平移3個單位，再向上平移1個單位所得對應點的坐標為（-2，2），∵點（-2，2）在雙曲線上，∴k=-2×2=-1.故答案為：-1．【點睛】本題考查二次函數圖象與幾何變換和二次函數的性質以及待定系數法求反比例函數的解析式，根據題意求得平移后的頂點坐標是解題的關鍵．三、解答題(共66分)19、（1）如下圖；（2）（，）；（3）（－2，0）．【分析】（1）根據網格結構找出點A、B以點C為旋轉中心旋轉180°的對應點A1、B1的位置，然后與點C順次連接即可；再根據網格結構找出點A、B、C平移后的對應點A2、B2、C2的位置，然后順次連接即可；

（2）根據中心對稱的性質，連接兩對對應頂點，交點即為旋轉中心，然后寫出坐標即可；

（3）根據軸對稱確定最短路線問題，找出點A關于x軸的對稱點A′的位置，然后連接A′B與x軸的交點即為點P．【詳解】（1）畫出△A1B1C與△A2B2C2如圖（2）如圖所示,旋轉中心的坐標為:（，-1）(3)如圖所示,點P的坐標為（-2，0）.20、（1）10，6；（2）見解析；（3）.【分析】（1）根據“十字弦”定義可得弦的“十字弦”為直徑時最大，當CD過A點或B點時最??；（2）根據線段長度得出對應邊成比例且有夾角相等，證明△ACH∽△DCA,由其性質得出對應角相等，結合90°的圓周角證出AH⊥CD，根據“十字弦”定義可得；（3）過O作OE⊥AB于點E，作OF⊥CD于點F,利用垂徑定理得出OE=3，由正切函數得出AH=DH,設DH=x，在Rt△ODF中，利用線段和差將邊長用x表示，根據勾股定理列方程求解.【詳解】解：（1）當CD為直徑時，CD最大，此時CD=10，∴弦的“十字弦”的最大值為10；當CD過A點時，CD長最小，即AM的長度,過O點作ON⊥AM,垂足為N,作OG⊥AB，垂足為G,則四邊形AGON為矩形，∴AN=OG,∵OG⊥AB,AB=8，∴AG=4，∵OA=5，∴由勾股定理得OG=3，∴AN=3，∵ON⊥AM,∴AM=6，即弦的“十字弦”的最小值是6.（2）證明：如圖，連接AD，∵，，，∴,∵∠C=∠C,∴△ACH∽△DCA,∴∠CAH=∠D,∵CD是直徑，∴∠CAD=90°,∴∠C+∠D=90°,∴∠C+∠CAH=90°,∴∠AHC=90°,∴AH⊥CD,∴、互為“十字弦”.（3）如圖，過O作OE⊥AB于點E，作OF⊥CD于點F，連接OA，OD，則四邊形OEHF是矩形，∴OE=FH,OF=EH,∴AE=4，∴由勾股定理得OE=3，∴FH=3，∵tan∠ADH=,∴tan60°=,設DH=,則AH=x,∴FD=3+x,OF=HE=4-x,在Rt△ODF中，由勾股定理得，OD2=OF2+FD2，∴(3+x)2+(4-x)2=52,解得，x=,∴FD=,∵OF⊥CD,∴CD=2DF=即CD=【點睛】本題考查圓的相關性質，利用垂徑定理，相似三角形等知識是解決圓問題的常用手段,對結合學過的知識和方法的基礎上，用新的方法和思路來解決新題型或新定義的能力是解答此題的關鍵.21、(1)13；(2)不公平，規(guī)則見解析【解析】（1）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果，再得出得點（x，y）在函數y=-x+5的圖象上的情況，利用概率公式即可求得答案；

（2）首先分別求得x、y滿足xy>6則小明勝，x、y滿足xy<6則小紅勝的概率，比較概率大小，即可得這個游戲是否公平；公平的游戲規(guī)則：只要概率相等即可．【詳解】(1)畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結果,其中在函數y=?x+5的圖象上的有4種：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，∴點(x,y)在函數y=?x+5的圖象上的概率為：412(3)這個游戲不公平.理由：∵x、y滿足xy>6有：(2,4),(3,4),(4,2),(4,3)共4種情況,x、y滿足xy<6有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(3,1),(4,1)共6種情況.∴P(小明勝)=412=13,P(∴這個游戲不公平。公平的游戲規(guī)則為：若x、y滿足xy≥6則小明勝，若x、y滿足xy<6則小紅勝.【點睛】考查游戲公平性，一次函數圖象上點的坐標特征，列表法與樹狀圖法，掌握概率=所求情況數與總情況數之比是解題的關鍵.22、解：（1）P（抽到2）=．（2）不公平，修改規(guī)則見解析【詳解】解：（1）P（抽到2）=．（2）根據題意可列表2236222222326222222326332323336662626366從表（或樹狀圖）中可以看出所有可能結果共有16種，符合條件的有10種，∴P（兩位數不超過32）=．∴游戲不公平．調整規(guī)則：法一：將游戲規(guī)則中的32換成26～31（包括26和31）之間的任何一個數都能使游戲公平．法二：游戲規(guī)則改為：抽到的兩位數不超過32的得3分，抽到的兩位數不超過32的得5分；能使游戲公平法三：游戲規(guī)則改為：組成的兩位數中，若個位數字是2，小貝勝，反之小晶勝．23、（1）2；（2）【分析】（1）根據平行四邊形的判定及平行線的性質得到∠CPB=∠ABE，利用勾股定理求出AE，BE，AB，證明△ABE是直角三角形，∠AEB=90°，即可求出tanCPB=tanABE；（2）如圖2中，取格點D，連接CD，DM．通過平行四邊形及平行線的性質得到∠CPB=∠MCD，利用勾股定理的逆定理證明△CDM是直角三角形，且∠CDM=90°，即可得到cos∠CPB=cos∠MCD．【詳解】解：（1）連接格點B、E，∵BC∥DE，BC=DE，∴四邊形BCDE是平行四邊形，∴DC∥BE，∴∠CPB=∠ABE，∵AE=，BE=，AB=，∴△ABE是直角三角形，∠AEB=90°，∴tan∠CPB=tan∠ABE=，故答案為：2；（2）如圖2所示，取格點M，連接CM，DM，∵CB∥AM，CB=AM，∴四邊形ABCM是平行四邊形，∴CM∥AB，∴∠CPB=∠MCD，∵CM=，CD=，MD=，，∴△CDM是直角三角形，且∠CDM=90°，∴cos∠CPB=cos∠MCD=．【點睛】本題考查三角形綜合題、平行線的性質、勾股定理及勾股定理逆定理、直角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題，學會用轉化的思想思考問題．24、（1）BD′＝AC′，∠AMB＝α，見解析；（2）AC′＝kBD′，∠AMB＝α，見解析；（3）AC′＝BD′成立，∠AMB＝α不成立【分析】（1）通過證明△BOD′≌△AOC′得到BD′＝AC′，∠OBD′＝∠OAC′，根據三角形內角和定理求出∠AMB＝∠AOB＝∠COD＝α；（2）依據（1）的思路證明△BOD′∽△AOC′，得到AC′＝kBD′，設BD′與OA相交于點N，由相似證得∠BNO＝∠ANM，再根據三角形內角和求出∠AMB＝α；（3）先利用等腰梯形的性質OA=OD,OB=OC,再利用旋轉證得,由此證明△≌△，得到BD′＝AC′及對應角的等量關系，由此證得∠AMB＝α不成立．【詳解】解：（1）AC′＝BD′，∠AMB＝α，證明：在矩形ABCD中，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OA＝OC＝OB＝OD，又∵OD＝OD′，OC＝OC′，∴OB＝OD′＝OA＝OC′，∵∠D′OD＝∠C′OC，∴180°﹣∠D′OD＝180°﹣∠C′OC，∴∠BOD′＝∠AOC′，∴△BOD′≌△AOC′，∴BD′＝AC′，∴∠OBD′＝∠OAC′，設BD′與OA相交于點N，∴∠BNO＝∠ANM，∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM＝180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，即∠AMB＝∠AOB＝∠COD＝α，綜上所述，BD′＝AC′，∠AMB＝α，（2）AC′＝kBD′，∠AMB＝α，證明：∵在平行四邊形ABCD中，OB＝OD，OA＝OC，又∵OD＝OD′，OC＝OC′，∴OC′＝OA，OD′＝OB，∵∠D′OD＝∠C′OC，∴180°﹣∠D′OD＝180°﹣∠C′OC，∴∠BOD′＝∠AOC′，∴△BOD′∽△AOC′，∴BD′：AC′＝OB：OA＝BD：AC，∵AC＝kBD，∴AC′＝kBD′，∵△BOD′∽△AOC′，設BD′與OA相交于點N，∴∠BNO＝∠ANM，∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM＝180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，即∠AMB＝∠AOB＝α，綜上所述，AC′＝kBD′，∠AMB＝α，（3）∵在等腰梯形ABCD中，OA=OD,OB=OC,由旋轉得：,∴,即,∴