《數(shù)字信號處理》課件1第3章

第3章離散傅里葉變換(DFT)3.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)

3.2離散傅里葉變換

3.3離散傅里葉變換的基本性質(zhì)

3.4頻域采樣與內(nèi)插

3.5離散傅里葉變換計算線性卷積

3.6離散傅里葉變換進行譜分析習(xí)題

3.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)

3.1.1周期序列

設(shè)x(n)是長度為N的有限長序列，0≤n≤N－1；表示以N為周期，對x(n)進行周期延拓后形成的周期序列，那么它們的關(guān)系可表示為(3.1.1)(3.1.2)上述關(guān)系如圖3.1.1所示。稱為x(n)的周期延拓序列，從n=0到N－1的一個周期稱為主值區(qū)間，x(n)作為主值區(qū)間上的序列，稱為主值序列。

為了簡便描述上述關(guān)系，可定義x((n))N，表示x(n)以N為周期進行延拓后的周期延拓序列，即

式中，((n))N表示n對N求余。若n=mN+n′，0≤n′≤N－1，m為整數(shù)，那么((n))N=n′。

例如，N=6，=x((n))6，則有(3.1.3)圖3.1.1有限長序列與周期序列的關(guān)系示意圖

由于周期序列不滿足絕對可和條件，根據(jù)DTFT存在條件可知，DTFT不存在；同樣，也不能用Z變換表示，因為對于任意z值，Z變換也不收斂，即

因此，周期序列的DTFT和Z變換都不存在。但是，與周期連續(xù)信號類似，周期序列可以展開為離散傅里葉級數(shù)的形式。(3.1.4)3.1.2周期序列的DFS

下面首先從周期連續(xù)信號的傅里葉級數(shù)入手，得到周期序列的離散傅里葉級數(shù)展開式，然后推導(dǎo)了展開式的系數(shù)表達式，最后定義了離散傅里葉級數(shù)的正變換(DFS)和逆變換(IDFS)。

1.周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)展開形式

假設(shè)是周期為N的周期序列，通過對周期為T的連續(xù)時間信號x(t)采樣得到，采樣間隔為Ts=T/N，則(3.1.5)利用x(t)的傅里葉級數(shù)展開式：

其中， 為系數(shù)， 表示離散譜線間的角頻率間隔，k為諧波序號。將式(3.1.6)代入式(3.1.5)，可得(3.1.6)(3.1.7)可以看出，周期序列可以展開為復(fù)指數(shù)序列的加權(quán)和形式。復(fù)指數(shù)序列包括基頻序列和諧波序列，第k次諧波序列為

其中，k=1時表示基頻序列，第k次諧波的數(shù)字頻率成分為

，這些諧波成分表征了周期序列的頻譜分布規(guī)律。由于數(shù)字頻率ω以2π為周期，即有(3.1.8)(3.1.9)，m為整數(shù)這說明，第k次諧波和第k+mN次諧波完全相同，諧波數(shù)目實際上只有N個。因此，的離散傅里葉級數(shù)(DFS)展開式可以描述如下：

式中，是第k次諧波的系數(shù)，引入常數(shù)是為了的計算方便和描述簡潔。(3.1.10)

2.離散傅里葉級數(shù)(DFS)的系數(shù)的表達式

為了從周期序列的DFS中得到系數(shù)，對式(3.1.10)兩邊同乘以 ，并對n=0到N－1的一個周期求和，可得(3.1.11)由于

因此(3.1.13)(3.1.12)利用變量k表示，即有

式(3.1.14)就是第k次諧波系數(shù)的表達式。同樣地，根據(jù)式(3.1.14)，也可以推導(dǎo)出的離散傅里葉級數(shù)展開式(3.1.10)。由于(3.1.14)(3.1.15)因此，具有周期性，周期為N。這表明周期序列及其離散傅里葉級數(shù)的周期是相同的。

3.離散傅里葉級數(shù)(DFS)變換對

基于和的關(guān)系式(3.1.10)和式(3.1.15)，定義離散傅里葉級數(shù)的變換對：

離散傅里葉級數(shù)正變換(DFS)

(3.1.16)離散傅里葉級數(shù)逆變換(InverseDiscreteFourierSeries，IDFS)

其中，DFS［·］表示從時域到頻域的正變換，IDFS［·］則表示從頻域到時域的反變換。DFS和IDFS具有相同的周期N，若取一個周期，如主值區(qū)間0≤n≤N－1和0≤k≤N－1，即可代表和的完整信息。(3.1.17)從上述討論可以看出，周期序列和有限長序列有著緊密的聯(lián)系，若只考慮周期序列主值區(qū)間內(nèi)的DFS，也可以代表整個周期序列的DFS，而主值區(qū)間內(nèi)的DFS正是有限長序列的離散傅里葉變換(DFT)，這將在下一節(jié)中進行介紹。

例3.1.1設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期進行周期延拓后得到周期序列，如圖3.1.2(a)，求的DFS。

解根據(jù)DFS計算式(3.1.16)，可得

的幅度特性|

|如圖3.1.2(b)所示。圖3.1.2例3.1.1中周期序列及其離散傅里葉級數(shù)的幅度特性圖從圖3.1.2中可以看出，|

|的周期也為8，一個周期內(nèi)有8根譜線；對比例2.4.1中R4(n)的DTFT幅度特性|X(ejω)|的頻譜樣式圖2.4.1，|

|可以視為|X(ejω)|在頻域上以2π/N(N=8)為間隔進行抽樣后得到的，|X(ejω)|的主瓣和旁瓣內(nèi)各有2根譜線。顯然，若N=16，則|

|每個周期內(nèi)將會有16根譜線，|X(ejω)|每個瓣內(nèi)有4根譜線。

3.2離散傅里葉變換

3.2.1

DFT的定義

設(shè)x(n)是長度為M的有限長序列，x(n)以N為周期進行延拓得到周期序列。采用DFS定義式(3.1.16)和IDFS定義式(3.1.17)，將主值區(qū)間上的離散傅里葉級數(shù)變換對定義為離散傅里葉變換對，即x(n)的N點離散傅里葉變換(DFT)定義為(3.2.1)X(k)的離散傅里葉逆變換(InverseDiscreteFourierTransform，IDFT)為

式中， ，N表示DFT變換區(qū)間的長度，M≤N。當M<N時，x(n)補0進行運算。

這里首先從DFS、IDFS出發(fā)，分別定義了DFT和IDFT，兩者構(gòu)成一對離散傅里葉變換對。下面將從用DFT和IDFT定義式本身出發(fā)，通過推導(dǎo)來證明兩者之間存在的變換關(guān)系。(3.2.2)將DFT定義式(3.2.1)代入IDFT定義式(3.2.2)，可得

由于(3.2.3)r為整數(shù)在限定變換區(qū)間n=0，1，…，N－1的情況下，有r=0，因此，式(3.2.3)表示為

IDFT［X(k)］=x(n)，n=0，1，…，N－1

上述推導(dǎo)過程表明，DFT和IDFT存在著一一對應(yīng)的變換關(guān)系。

例3.2.1設(shè)長度M=4的有限長序列x(n)=R4(n)，求x(n)的DTFT以及N=4，8，16點DFT。

解

(1)x(n)的離散時間傅里葉變換(DTFT)為

(2)x(n)的4點DFT為

(3)x(n)的8點DFT為

(4)x(n)的16點DFT為

圖3.2.1給出了x(n)的DTFT和DFT幅頻特性曲線。可以看出，N點DFT相當于DTFT在區(qū)間［0，2π］上的N點等間隔采樣。N決定了譜線的根數(shù)，N越大，頻譜越密，|X(k)|的包絡(luò)就越接近于|X(ejω)|。圖3.2.1

R4(n)的DTFT與DFT的關(guān)系3.2.2

DFT和ZT、DTFT以及DFS的關(guān)系

1.DFT和ZT、DTFT的關(guān)系

設(shè)序列x(n)的長度為N，其ZT、DTFT和N點DFT分別為可以看出，三種變換的關(guān)系：

上述兩個關(guān)系式說明：N點離散傅里葉變換(DFT)是Z變換(ZT)在單位圓上的N點等間隔采樣，也是離散時間傅里葉變換(DTFT)在區(qū)間［0，2π］上的N點等間隔采樣。(3.2.4)(3.2.5)

2.DFT和DFS的關(guān)系

DFT是有限長序列的離散傅里葉變換，DFS是周期序列的離散傅里葉級數(shù)，對比DFT定義式(3.2.1)和DFS定義式(3.1.16)，可以看出兩者之間有著緊密的聯(lián)系。

有限長序列x(n)和X(k)構(gòu)成一個離散傅里葉變換對，周期序列和構(gòu)成DFS變換對，它們在時域和頻域上都是離散的。若將有限長序列x(n)以周期N進行周期延拓后，將會形成一個周期序列，通過DFS可得到。因此，DFT和DFS的關(guān)系可以表示為

也就是說，DFT可以看做是DFS在主值區(qū)間上的變換，有限長序列x(n)和X(k)分別是和的主值序列，x(n)和X(k)都隱含著周期性，周期均為N，這就是DFT的隱含周期特性。(3.2.7)(3.2.6) 3.3離散傅里葉變換的基本性質(zhì)

3.3.1線性特性

設(shè)x1(n)和x2(n)是有限長序列，長度分別為N1和N2，取N=max［N1，N2］，計算N點DFT，令X1(k)=DFT［x1(n)］，X2(k)=DFT［x2(n)］，若y(n)=ax1(n)+bx2(n)，a、b為常數(shù)，則

Y(k)=DFT［ax1(n)+bx2(n)］=aX1(k)+bX2(k)，0≤k≤N－1

(3.3.1)

需要說明的是，當N1和N2不相等時，需要對x1(n)和x2(n)分別補N－N1、N－N2個0，使序列長度增加到N。3.3.2循環(huán)移位特性

1.序列的循環(huán)移位

設(shè)x(n)為長度為N的有限長序列，其循環(huán)移位定義為 y(n)=x((n+m))NRN(n)

(3.3.2)

整個循環(huán)移位過程可以分為三步：

(1)周期延拓：將x(n)以N為周期進行周期延拓得到=x((n))N；

(2)移位：將左移m位得到；

(3)取主值區(qū)間：取的主值序列，得到循環(huán)移位序列y(n)。序列x(n)及其循環(huán)移位過程如圖3.3.1所示。顯然，y(n)仍是長度為N的有限長序列，由圖可見，循環(huán)移位的實質(zhì)是將x(n)左移m位，而移出主值區(qū)間［0，N－1］的序列值又依次從右側(cè)進入主值區(qū)間，因此稱為“循環(huán)移位”。圖3.3.1循環(huán)移位過程示意圖(N=6)

2.時域循環(huán)移位定理

設(shè)x(n)是長度為N的有限長序列，X(k)=DFT［x(n)］，0≤k≤N－1，y(n)為x(n)的循環(huán)移位，即y(n)=x((n+m))NRN(n)，那么，y(n)的DFT為

證明

(3.3.3)令n+m=n′，則有n=n′－m

由于上式中求和項

以N為周期，所以在任一周期上的求和結(jié)果相同。不妨將求和區(qū)間改為主值區(qū)間［0，N－1］，可得

3.頻域循環(huán)移位定理

設(shè)x(n)是長度為N的有限長序列，X(k)=DFT［x(n)］，0≤k≤N－1，Y(k)為X(k)的循環(huán)移位，即

Y(k)=X((k+l))NRN(k)

則

證明

(3.3.4)令k+l=k′，則有k=k′－l

同理，上式中求和項

以N為周期，可將求和區(qū)間改為主值區(qū)間［0，N－1］，可得3.3.3循環(huán)卷積定理

1.循環(huán)卷積的定義和計算

設(shè)有限長序列x1(n)和x2(n)長度分別為N1和N2，N=max［N1，N2］，則x1(n)和x2(n)循環(huán)卷積定義為

或(3.3.5)(3.3.6)與循環(huán)卷積相比較，線性卷積表達式為

循環(huán)卷積和線性卷積的區(qū)別在于：一是卷積對象不同，循環(huán)卷積針對有限長序列，線性卷積無明確要求，可以是有限長序列或者無限長序列；二是求和區(qū)間不同，循環(huán)卷積只在主值區(qū)間［0，N－1］求和，線性卷積的求和區(qū)間則是(－

∞，+∞)。

觀察循環(huán)卷積的定義式(3.3.5)或式(3.3.6)可以看出，循環(huán)卷積的計算步驟分為三步：①循環(huán)反轉(zhuǎn)；②循環(huán)移位；③乘累加。(3.3.7)

不妨以式(3.3.5)為參考，整個循環(huán)卷積過程描述如下：

(1)循環(huán)反轉(zhuǎn)。將序列x2(m)進行周期為N的周期延拓，得到x2((m))N，再以縱軸為中心，左右反轉(zhuǎn)得到x2((－m))N，取主值序列得到x2((－m))NRN(m)，該序列稱為x2(m)的循環(huán)反轉(zhuǎn)序列。

(2)循環(huán)移位。將x2((－m))NRN(m)向右循環(huán)移位n，形成x2((－(m－n)))NRN(m)，即為x2((n－m))NRN(m)。

(3)乘累加。將x1(m)和x2((n－m))NRN(m)相乘，并在區(qū)間［0，N－1］上對m求和，得到x(n)值。當n=0，1，2，…，N－1時，即可獲得x1(n)和x2(n)的循環(huán)卷積x(n)。

例3.3.1設(shè)序列x1(n)=［1，1，1，1，0，0，0，0］，x2(n)=［0，0，1，1，1，1，0，0］，n=0～7，試畫出N=8時兩個序列的循環(huán)卷積示意圖。

解根據(jù)循環(huán)卷積定義式(3.3.5)，序列x1(n)和x2(n)的循環(huán)卷積示意圖如圖3.3.2所示。其中圖3.3.2(b)為x2(m)的周期延拓序列，圖3.3.2(c)為x2(m)的循環(huán)反轉(zhuǎn)序列，圖3.3.2(d)和3.3.2(e)為循環(huán)移位序列，圖3.3.2(f)為最終的循環(huán)卷積結(jié)果。圖3.3.2循環(huán)卷積過程示意圖

2.時域循環(huán)卷積定理

設(shè)有限長序列x1(n)和x2(n)長度分別為N1和N2，N=max［N1，N2］，x1(n)和x2(n)的N點DFT為

X1(k)=DFT［x1(n)］，X2(k)=DFT［x2(n)］

若X(k)=X1(k)·X2(k)，則

證明對式(3.3.8)兩邊進行DFT，可得(3.3.8)令n－m=n′，則有n=n′+m，得

由于求和項 以N為周期，可將求和區(qū)間改為主值區(qū)間［0，N－1］，得到由于式(3.3.8)表示序列x1(n)和x2(n)的時域循環(huán)卷積，因此有

x(n)=IDFT［X(k)］=x1(n)

x2(n)=x2(n)

x1(n)

(3.3.9)

式(3.3.8)或式(3.3.9)表明：兩個有限長序列的循環(huán)卷積的DFT就是兩個序列DFT的乘積。該特性類似于ZT和DTFT性質(zhì)中針對序列線性卷積的時域卷積定理，只不過這里考慮有限長序列的循環(huán)卷積，并針對DFT，因此，該性質(zhì)稱為時域循環(huán)卷積定理。

3.頻域循環(huán)卷積定理

若有限長序列x1(n)和x2(n)的長度均為N，序列x(n)=x1(n)·x2(n)，則x(n)的DFT為(3.3.10)或

上述兩式可利用循環(huán)卷積定義加以證明，具體過程略。

3.3.4復(fù)共軛序列的DFT

設(shè)有限長序列x(n)的長度為N，其復(fù)共軛序列表示為x*(n)，若X(k)=DFT［x(n)］，則

DFT［x*(n)］=X*(N－k)

(3.3.12)

并且X(N)=X(0)。(3.3.11)

證明根據(jù)DFT的定義

由于DFT具有隱含周期特性，且周期為N，因此有X(N)=X(0)。同理，可以證明：

DFT［x*(N－n)］=X*(k)

(3.3.13)

證明

令N－n=n′，則n=N－n′，有

3.3.5帕斯維爾定理

若有限長序列x(n)和y(n)的長度均為N，X(k)=DFT［x(n)］，Y(k)=DFT［y(n)］，則

證明(3.3.14)若令y(n)=x(n)，則有

即

上式就是有限長序列DFT的帕斯維爾(Parseval)定理，表示有限長序列在時域和頻域的總能量相等。(3.3.15)3.3.6共軛對稱性

在第2章中已經(jīng)詳細討論了離散時間傅里葉變換(DTFT)的對稱性，其對稱性是指關(guān)于坐標原點對稱，即序列關(guān)于n=0對稱，DTFT關(guān)于ω=0對稱。離散傅里葉變換(DFT)也具有類似的對稱性，只不過DFT涉及的序列x(n)和X(k)均是有限長，且定義區(qū)間［0，N－1］。因此，DFT對稱性是指關(guān)于N/2對稱。下面討論DFT的共軛對稱特性。

1.有限長序列和DFT的共軛對稱性

令xep(n)表示有限長共軛對稱序列，xop(n)表示有限長共軛反對稱序列，則xep(n)和xop(n)滿足如下關(guān)系式：

其中，n=1與n=N－1對稱，n=2與n=N－2對稱，n=0無對稱點。為區(qū)別第2章中共軛對稱序列xe(n)和共軛反對稱序列xo(n)，這里針對有限長特別引入下標(·)p，蘊含隱含周期性之義。(3.3.16)與DTFT的對稱性類似，有限長序列的共軛對稱可以理解為在偶對稱的基礎(chǔ)上引入共軛，共軛反對稱可以理解為奇對稱的基礎(chǔ)上引入共軛。對于有限長序列，共軛對稱、共軛反對稱、偶對稱、奇對稱均關(guān)于N/2對稱。

當N為偶數(shù)時，n=N/2的對稱點存在，式(3.3.16)所示的對稱關(guān)系可重新表述為(3.3.17)當N為奇數(shù)時，n=N/2的對稱點不存在，對稱關(guān)系為

圖3.3.3(a)和(b)分別給出了N為偶數(shù)和奇數(shù)條件下共軛對稱序列和共軛反對稱序列的示意圖，圖中*表示序列取復(fù)共軛。(3.3.18)圖3.3.3

N=8和N=7時共軛對稱、共軛反對稱序列示意圖與DTFT的對稱性相同，有限長序列可以分解為共軛對稱序列和共軛反對稱序列兩部分，即

x(n)=xep(n)+xop(n)，0≤n≤N－1

(3.3.19)

為了得到xep(n)和xop(n)的表達式，將上式中n替換為N－n，取復(fù)共軛，可得

將式(3.3.19)、式(3.3.20)分別相加和相減，有(3.3.20)(3.3.21)同理，X(k)也可以分解為共軛對稱和共軛反對稱兩部分，分別記為Xep(k)、Xop(k)，那么

X(k)=Xep(k)+Xop(k)

(3.3.22)(3.3.23)

2.有限長序列和DFT的共軛對稱性的關(guān)系

1)序列實虛部DFT的對稱性

設(shè)有限長序列x(n)是一個復(fù)序列，其實部和虛部分別為xR(n)、xI(n)，即

x(n)=xR(n)+jxI(n)

(3.3.24)

其中

利用復(fù)共軛序列的DFT特性，即式(3.3.12)，對上述兩式進行DFT，可得

根據(jù)DFT的線性特性，上述兩式相加，正好得到式(3.3.22)。因此，序列實部的DFT對應(yīng)于序列DFT的共軛對稱部分，j和虛部的DFT對應(yīng)于序列DFT的共軛反對稱部分。(3.3.25)(3.3.26)

2)序列DFT實虛部的對稱性

若將有限長序列x(n)分解為共軛對稱序列xep(n)和共軛反對稱序列xop(n)，即式(3.3.19)，分別對xep(n)和xop(n)求DFT，利用式(3.3.21)和式(3.3.13)，可得

(3.3.28)(3.3.27)上述兩式相加有

X(k)=DFT［x(n)］=DFT［xep(n)］+DFT［xop(n)］ =XR(k)+jXI(k)

(3.3.29)

其中XR(k)和XI(k)分別表示X(k)的實部和虛部?？梢姡蛄泄曹棇ΨQ部分的DFT對應(yīng)于序列DFT的實部，而共軛反對稱部分的DFT對應(yīng)于序列DFT的虛部和j。

綜上所述，DFT的共軛對稱性可以歸納如下：不管是序列還是序列DFT，實部始終對應(yīng)于變換(DFT或IDFT)的共軛對稱部分，j和虛部對應(yīng)于變換的共軛反對稱部分。表3.3.1給出了有限長序列和DFT的共軛對稱性的對應(yīng)關(guān)系。表3.3.1有限長序列和DFT的共軛對稱性的對應(yīng)關(guān)系

3.共軛對稱性的應(yīng)用

在實際數(shù)字信號處理系統(tǒng)中，常常通過A/D采樣得到實數(shù)序列，進行分析處理。下面以實序列為例，討論如何利用共軛對稱性來分析實序列DFT的特點以及如何計算實序列DFT，從而達到減少DFT計算量、提高計算效率的目的。

1)實序列的DFT特性

設(shè)x(n)是長度為N的實數(shù)序列，X(k)=DFT［x(n)］，

(1)實序列無虛部，DFT無共軛反對稱部分，即X(k)共軛對稱：

X(k)=X*(N－k)

(3.3.30)

(2)若x(n)=x(N－n)，x(n)為共軛對稱序列，那么X(k)只有實部，無虛部，并且關(guān)于N/2偶對稱，即實偶對稱：

X(k)=X(N－k)

(3.3.31)

(3)若x(n)=－x(N－n)，x(n)為共軛反對稱序列，那么X(k)只有j和虛部，無實部，并且關(guān)于N/2奇對稱，即純虛奇對稱：

X(k)=－X(N－k)

(3.3.32)

利用上述對稱特性，可以減小實序列DFT的計算量。例如，計算實序列的N點DFT，當N為偶數(shù)時，只需要計算前面的N/2+1點值；當N為奇數(shù)時，計算前面的(N+1)/2點值，其它值按照式(3.3.30)即可求得。如X(N－1)=X*(1)，X(N－2)=X*(2)，這樣可以減少一半左右的運算量。

2)兩個實序列的DFT計算

由于序列實部、j和虛部的DFT分別對應(yīng)于序列DFT的共軛對稱和共軛反對稱部分，如果將兩個實序列合成一個復(fù)序列，通過計算復(fù)序列的N點DFT，可以同時得到兩個實序列的N點DFT。

設(shè)x1(n)和x2(n)表示長度為N的兩個實序列，將x1(n)和x2(n)分別作為實部和虛部，構(gòu)造新的復(fù)序列x(n)如下：

x(n)=x1(n)+j－x2(n)

(3.3.33)令X(k)=DFT［x(n)］，X1(k)=DFT［x1(n)］，X2(k)=DFT［x2(n)］，k=0，1，…，N－1，根據(jù)序列實部和虛部DFT的

對稱性，即式(3.3.25)和式(3.3.26)，可得

有限長序列的DFT的性質(zhì)見表3.3.2所示。(3.3.35)(3.3.34)表3.3.2有限長序列的DFT的基本性質(zhì) 3.4頻域采樣與內(nèi)插

由時域采樣定理可知，若采樣頻率大于等于信號最高頻率的2倍，可以由離散時間信號恢復(fù)原來的連續(xù)信號。對于有限長序列，根據(jù)DFT與ZT、DTFT的關(guān)系，DFT可看做ZT在單位圓上或者DTFT在［0，2π］上的等間隔采樣，即DFT實現(xiàn)了頻域采樣。那么，能否由離散的頻域采樣值恢復(fù)出連續(xù)的頻譜呢？如果可以，條件是什么？內(nèi)插公式是什么形式？下面圍繞這些問題進行討論。3.4.1頻域采樣定理

假設(shè)任意長序列x(n)滿足絕對可和條件，則DTFT和ZT存在，分別表示為X(ejω)和X(z)。由于X(z)收斂域中包含單位圓，若在單位圓上對X(z)進行N點等間隔采樣，可得

用DTFT表示有

式(3.4.2)表明：X(k)相當于在頻率區(qū)間［0，2π］上對DTFT進行N點等間隔采樣。(3.4.2)(3.4.1)由于X(k)為離散的頻域采樣值，可以看做是一個長度為N的有限長序列xN(n)的DFT，即

xN(n)=IDFT［X(k)］，0≤n≤N－1

(3.4.3)

針對頻域采樣后能否由離散X(k)恢復(fù)出連續(xù)頻譜的問題，該問題相當于能否由X(k)恢復(fù)出原始序列x(n)；而

X(k)與xN(n)存在變換關(guān)系。因此，頻域上的問題完全可以轉(zhuǎn)化時域上的問題，即xN(n)能否恢復(fù)出x(n)?這需要通過探討有限長序列xN(n)和原始序列x(n)的關(guān)系來確定。下面推導(dǎo)xN(n)和x(n)的關(guān)系，并進一步導(dǎo)出頻域采樣定理。由于原始序列x(n)長度沒有指定為有限長或無限長，而xN(n)為有限長序列，無法直接建立兩者之間的關(guān)系。但是，從DFT和DFS的關(guān)系可知，xN(n)和X(k)具有隱含周期性，若分別以周期N進行周期延拓得到和，那么，X(k)可以視為周期延拓序列的離散傅里葉級數(shù)的主值序列。此時，從無限長周期延拓序列的主值序列角度來看待xN(n)，就便于建立與x(n)的關(guān)系。即有根據(jù)IDFS有

將式(3.4.1)代入上式可得(3.4.4)(3.4.5)式中

由于m、n均沒有限定，r取值從－∞到∞，因此有

式(3.4.6)表明：由得到的周期序列是原始序列x(n)以N為周期的周期延拓序列。由時域采樣定理可知，時域的采樣造成頻域的周期延拓，延拓周期為采樣頻率。這里可以對應(yīng)地看到：頻域的采樣同樣會造成時域的周期延拓，延拓周期為采樣點數(shù)。這正是傅里葉變換在時域和頻域?qū)ΨQ關(guān)系的反映。(3.4.6)r為整數(shù)取的主值序列得到：

式(3.4.7)表明了有限長序列xN(n)和原始序列x(n)的關(guān)系，即xN(n)是x(n)以N為周期進行周期延拓后的主值序列。xN(n)和x(n)的關(guān)系可分為以下兩種情況：

(1)若x(n)是無限長序列，無論N取何值，周期延拓都會引起時域混疊，不可能從中提取主值區(qū)間來不失真地恢復(fù)出x(n)。即xN(n)和x(n)始終存在誤差，只是隨著N的增大，頻域采樣越密，誤差越小。(3.4.7)

(2)若x(n)是有限長序列，長度為M，顯然，如果采樣點數(shù)N≥M，周期延拓將不會產(chǎn)生混疊現(xiàn)象，可以無失真地恢復(fù)x(n)，即有x(n)=xN(n)。否則，如果N<M，將有時域混疊，無法不失真地恢復(fù)x(n)。此時，只有通過增大N，滿足N≥M條件。

通過以上討論，可以得出以下結(jié)論：對于長度為M的序列x(n)，只有當頻域采樣點數(shù)N≥M時，才可由頻域采樣X(k)無失真地恢復(fù)x(n)，即

這就是頻域采樣定理。(3.4.8)3.4.2頻域內(nèi)插公式

根據(jù)頻域采樣定理，既然由頻域采樣X(k)可以無失真地恢復(fù)出序列x(n)，而x(n)進行ZT可得到X(z)，因此，可以方便地由X(k)得到X(z)或者X(ejω)，相當于由離散的頻域采樣值表示整個X(z)函數(shù)以及連續(xù)的頻率響應(yīng)X(ejω)。

假設(shè)序列x(n)的長度為N，0≤n≤N－1，X(k)表示X(z)在單位圓的N點等間隔采樣，將式(3.4.8)代入ZT表達式，可得(3.4.9)由于 ，因此

令

那么，式(3.4.10)可以重新表述為

式(3.4.12)就是用頻域采樣X(k)表示X(z)的內(nèi)插公式，其中Φk(z)稱為內(nèi)插函數(shù)。

(3.4.10)(3.4.11)(3.4.12)

下面來討論頻率響應(yīng)。將z=ejω代入式(3.4.11)，可得(3.4.13)式中，Φ(ω)與k無關(guān)，稱為頻率響應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)，表達式為

結(jié)合式(3.4.13)和式(3.4.12)，頻率響應(yīng)的內(nèi)插公式表示為(3.4.15)(3.4.14) 3.5離散傅里葉變換計算線性卷積

離散傅里葉變換有快速算法，稱為快速傅里葉變換(FFT)，相關(guān)知識將在第4章進行介紹。FFT算法的出現(xiàn)使得DFT在數(shù)字通信、信號處理等領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用，特別是許多應(yīng)用場合涉及序列的線性卷積和相關(guān)運算，或者運用DFT進行頻譜分析。本節(jié)將介紹如何利用DFT來計算線性卷積，下節(jié)介紹用DFT對連續(xù)時間信號和序列進行譜分析，這些是用DFT來解決數(shù)字濾波和系統(tǒng)分析等問題的基礎(chǔ)。例如，線性時不變系統(tǒng)或者數(shù)字濾波器，其輸出等于輸入與系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的線性卷積，如果能夠?qū)⒕€性卷積轉(zhuǎn)化為循環(huán)卷積，根據(jù)DFT的時域循環(huán)卷積定理，循環(huán)卷積可以用DFT(FFT)來計算，這樣，就能夠用FFT來計算線性卷積，提高運算速度。

下面首先討論用循環(huán)卷積計算線性卷積的條件是什么？即什么條件下兩者是等價的？然后介紹具體的計算方法。3.5.1線性卷積和循環(huán)卷積的等價條件

設(shè)h(n)和x(n)均為有限長序列，長度分別為N和M，循環(huán)卷積長度L≥max［N，M］，則線性卷積和循環(huán)卷積分別表示為

式中x((n))L表示x(n)的周期延拓，可表示為

(3.5.2)(3.5.1)(3.5.3)將上式代入式(3.5.2)，可得

對比式(3.5.1)，可以看出(3.5.5)(3.5.4)因此，有

上式表明：循環(huán)卷積yc(n)相當于線性卷積yl(n)周期延拓后的主值序列，延拓周期正好是循環(huán)卷積長度L。而線性卷積yl(n)的長度為N+M－1，因此，只有當循環(huán)卷積長度L≥N+M－1

時，yl(n)進行周期延拓才無混疊現(xiàn)象，此時主值序列就是yl(n)，式(3.5.6)即為yc(n)=yl(n)，兩者等價。由此得出結(jié)論：線性卷積和循環(huán)卷積的等價條件是循環(huán)卷積長度大于等于線性卷積的長度，即

L≥N+M－1

(3.5.7)(3.5.6)圖3.5.1給出了循環(huán)卷積和線性卷積的對比圖。圖(a)和圖(b)分別表示長度為N=4和M=5的矩形序列，圖(c)表示長度為N+M－1=8的線性卷積，圖(d)～(f)分別為L=6，8，10時的循環(huán)卷積?？梢钥闯觯挥挟擫≥8時，循環(huán)卷積和線性卷積的結(jié)果才相同。圖3.5.1循環(huán)卷積和線性卷積的對比圖3.5.2線性卷積的DFT計算方法

基于線性卷積和循環(huán)卷積的等價條件，利用DFT計算線性卷積的框圖如圖3.5.2所示。h(n)和x(n)需要補零達到循環(huán)卷積長度L，圖中輸出y(n)為

y(n)=h(n)*x(n)=h(n)

x(n)，L≥N+M－1

(3.5.8)

在實際應(yīng)用中，DFT和IDFT通常采用快速傅里葉變換(FFT)來實現(xiàn)，能夠大大減少運算量。FFT的運算量分析以及IDFT的FFT計算將在第5章進行介紹。當序列h(n)和x(n)的長度相對比較長，并且相差不大時，與直接計算線性卷積耗用的乘法和加法運算相比，采用FFT計算線性卷積的運算量較低，因此，該方法也稱為快速卷積法。圖3.5.2

DFT計算線性卷積的框圖但是，快速卷積法在某些場合下并不一定“快速”。假設(shè)一長一短兩個序列進行線性卷積，長度相差較大，如M

N，如果選擇L≥N+M－1進行快速卷積，則短序列需要補充很多個零，而且FFT算法的點數(shù)比較大，運算效率比較低，與直接計算線性卷積相比，運算量不一定小。此時，直接計算或許是一個更好的選擇。＞＞此外，某些場合下長序列的長度不定，或者可以認為是無限長，如語音信號、數(shù)字通信信號等，往往要求隨時接收隨時處理，強調(diào)實時性。這種情況下，不能直接套用快速卷積方法。對此，解決思路是利用卷積的線性性質(zhì)，將長序列分段，每一段序列與短序列分別進行卷積，再合成最終結(jié)果。這就是分段處理的思想，具體方法包括重疊相加法和重疊保留法。3.5.3重疊相加法

設(shè)序列h(n)長度為N，x(n)為無限長序列，n≥0，將x(n)進行均勻分段，每段長度為M，則

式中，xk(n)=x(n)·RM(n－kM)。那么，h(n)與x(n)的線性卷積可表示為(3.5.10)(3.5.9)其中，yk(n)=h(n)*xk(n)表示第k段序列線性卷積的結(jié)果，其起始時刻為n=kM，長度為N+M－1。

式(3.5.10)表明：計算有限長序列h(n)與無限長序列x(n)的線性卷積時，可先將x(n)進行分段，計算每一段xk(n)與h(n)

的線性卷積，然后再將分段卷積的結(jié)果yk(n)重疊相加即可。分段卷積可以采用快速卷積方法或者直接進行計算。圖3.5.3給出了線性卷積的重疊相加法的示意圖。從圖中可以看出，由于分段卷積結(jié)果yk(n)長度為N+M－1，而起始時刻為n=kM，因此，yk+1(n)與yk(n)必然有N－1個點發(fā)生重疊，必須把yk+1(n)的重疊部分加到y(tǒng)k(n)上，才能得到完整的線性卷積序列y(n)。也就是說，當y0(n)計算完畢后，能輸出M個值；y1(n)計算完畢后，能輸出2M個值；當yk(n)計算完畢后，能輸出kM個值，其后續(xù)N－1個值等待yk+1(n)重疊相

加后才能確定。因此，該卷積方法稱為“重疊相加法”。圖3.5.3重疊相加法卷積示意圖3.5.4重疊保留法

與重疊相加法的分段卷積疊加思想不同，重疊保留法是由分段卷積結(jié)果銜接而成的。在按照式(3.5.9)對x(n)進行分段的同時，將輸出y(n)也進行均勻分段，每段長度為M，則有

式中，yk(n)=y(n)·RM(n－kM)。將y(n)線性卷積表達式(3.5.1)代入yk(n)可得(3.5.12)(3.5.11)由于yk(n)自變量取值為n=kM～(k+1)M－1，而h(m)自變量取值為m=0～N－1，因此，對于x(n)而言，其真正參與yk(n)線性卷積的只是變量n－m所對應(yīng)的序列，即x(n)中自變量取值為kM－(N－1)～(k+1)M－1的一段子序列，不妨記為x'k(n)。令n－m=l，式(3.5.12)可重新表示為(3.5.13)若從序列x(n)分段的角度來看，子序列x'k(n)按自變量取值范圍可分為kM－(N－1)～kM－1以及kM～(k+1)M－1兩部分，前一部分來自于xk－1(n)，后一部分正好為xk(n)。這說明：對于任一分段序列xk(n)，不僅要全部參與yk(n)卷積運算，而且要保留部分樣點參與yk+1(n)的卷積運算，因此，這種卷積方法稱為“重疊保留法”。

圖3.5.4給出了線性卷積的重疊保留法示意圖。整個卷積過程描述如下：

(1)將x(n)均勻分段，形成多個長度為M的分段序列xk(n)；

(2)保留前一個分段序列xk－1(n)的N－1點，并結(jié)合下一個完整的M點分段序列xk(n)，形成長度為M+N－1序列x'k(n)，與N點序列h(n)進行分段線性卷積。

(3)去掉分段線性卷積結(jié)果的頭尾各N－1點，將中間M點作為y(n)分段序列yk(n)。實際上，yk(n)就是h(n)與x'k(n)完全重合時產(chǎn)生的卷積結(jié)果。

(4)將分段序列yk(n)直接銜接起來，即可得到輸出y(n)。圖3.5.4重疊保留法卷積示意圖 3.6離散傅里葉變換進行譜分析

DFT具有時域和頻域離散化、有限長的特點，非常適合于數(shù)值處理，是計算機分析信號與系統(tǒng)的主要工具，DFT主要應(yīng)用之一就是對信號進行譜分析，用于頻偏估計、干擾抑制等場合。所謂譜分析就是指信號的傅里葉變換，獲得信號的頻譜。由于實際信號可能為連續(xù)時間信號或者序列，對于連續(xù)時間信號，要通過時域采樣，才可用DFT進行譜分析。下面分別針對連續(xù)時間信號和序列，介紹如何利用DFT進行譜分析，并探討影響譜分析效果的因素有哪些。3.6.1連續(xù)時間信號的譜分析

1.譜分析原理

連續(xù)時間信號的頻譜與信號周期性密切相關(guān)，對于非周期性的連續(xù)時間信號，其傅里葉變換存在，即頻譜函數(shù)存在且是連續(xù)的；而對于周期性的連續(xù)時間信號，其傅里葉變換為沖激函數(shù)，通常采用傅里葉級數(shù)來表示頻譜，并且頻譜是離散的。利用DFT進行頻譜分析，這里重點針對非周期性的連續(xù)時間信號，通過DFT離散頻譜來表征連續(xù)的頻譜函數(shù)。假設(shè)連續(xù)時間非周期信號為xa(t)，為了突出頻譜函數(shù)與頻率f的關(guān)系，采用Xa(jf)而非Xa(jΩ)來表示頻譜函數(shù)，其中Ω=2πf。那么xa(t)與Xa(jf)構(gòu)成的傅里葉變換對表示為(3.6.2)(3.6.1)利用DFT對xa(t)進行頻譜分析時，需要執(zhí)行以下三個步驟：

(1)時域采樣：對連續(xù)時間信號xa(t)進行等間隔時域采樣，得到離散時間信號，即序列x(n)。

(2)時域截短：將序列x(n)截短為N點有限長序列xN(n)。

(3)DFT(頻域采樣)：計算xN(n)的DFT得到XN(k)，由于XN(k)是頻域離散的，可理解為連續(xù)頻譜的頻域采樣。通過上述三步，得到的XN(k)就可作為連續(xù)時間信號xa(t)的譜分析結(jié)果。那么，現(xiàn)在的問題是，頻域離散的XN(k)是否能夠準確地代表連續(xù)頻譜Xa(jf)，XN(k)是否是Xa(jf)的準確采樣？要回答上述問題，需要探討XN(k)與Xa(jf)的關(guān)系，即有限長序列xN(n)的DFT和連續(xù)時間信號xa(t)的傅里葉變換到底有何關(guān)系。

下面圍繞上述三個步驟，詳細討論XN(k)和Xa(jf)之間的關(guān)系。

1)時域采樣

設(shè)連續(xù)時間信號xa(t)的最高頻率為fc，在對xa(t)進行時域采樣時，要滿足時域采樣定理，即采樣頻率必須大于等于最高頻率的2倍，否則會引起頻域混疊現(xiàn)象。令fs表示采樣頻率，T表示采樣間隔，則

采樣后得到的序列x(n)為

(3.6.4)(3.6.3)并且x(n)的離散時間傅里葉變換(DTFT)為

通過時域采樣，由連續(xù)時間信號xa(t)得到序列x(n)，從頻域角度來看，連續(xù)頻譜Xa(jf)和X(ejω)也存在相互關(guān)系。

在第2章中，由DTFT和連續(xù)時間信號的傅里葉變換關(guān)系可知：(3.6.6)(3.6.5)上式表明：X(ejω)可由Xa(jf)來表示，Xa(jf)以周期fs=1/T進行周期延拓后再乘以1/T即可得到X(ejω)，模擬頻率和數(shù)字頻率的對應(yīng)關(guān)系為ω=ΩT=2πfT。根據(jù)積分的定義，可將積分視為分割、取點、求和、求極限的結(jié)果，令t=nT，dt=T，式(3.6.1)可表示為

比較式(3.6.5)和式(3.6.7)，并利用ω=ΩT=2πfT，可得(3.6.8)(3.6.7)上式表明：Xa(jf)可由X(ejω)表示，X(ejω)乘T后再以T→0取極限就可得到Xa(jf)。對比式(3.6.6)與式(3.6.8)可知，T→0意味著頻域延拓周期fs→∞，實際上已無周期延拓，兩式是一致的，即(3.6.9)

當滿足時域采樣定理時， ，式(3.6.7)可以近似為

從上式可以看出，xa(t)頻譜函數(shù)Xa(jf)可由序列x(n)的DTFTX(ejω)加以逼近，并且逼近式是f的連續(xù)周期函數(shù)，周期為fs=1/T。(3.6.10)

2)時域截短

從序列x(n)中截取一段長度為N的有限長序列，記為xN(n)，可以表示為

xN(n)=x(n)·w(n)

(3.6.11)

其中，w(n)是一個有限長序列，0≤n≤N－1，稱為窗函數(shù)。兩個序列相乘就體現(xiàn)為時域截短，相當于對x(n)進行加窗操作，窗內(nèi)序列保留，窗外序列置0，窗函數(shù)詳細內(nèi)容將在第6章介紹。典型窗函數(shù)為矩形窗w(n)=RN(n)，此時，xN(n)=x(n)·RN(n)，式(3.6.10)用xN(n)表示為(3.6.12)從序列頻譜角度來看，根據(jù)DTFT的性質(zhì)，時域相乘對應(yīng)于頻域卷積，因此，xN(n)的DTFT為

其中，W(ejω)為窗函數(shù)w(n)的DTFT。對比式(3.6.13)和式(3.6.12)可知，利用xN(n)頻譜函數(shù)XN(ejω)可逼近xa(t)頻譜函數(shù)Xa(jf)，即

Xa(jf)≈T·XN(ejω)

(3.6.14)(3.6.13)

3)DFT(頻域采樣)

對有限長序列xN(n)進行N點DFT，可得

XN(k)相當于XN(ejω)在數(shù)字頻率0～2π之間進行N點等間隔采樣；對應(yīng)到Xa(jf)，相當于在模擬頻率0～fs之間進行N點等間隔采樣。

設(shè)模擬頻率采樣間隔為F，則參數(shù)fs、N、T和F的關(guān)系為(3.6.15)(3.6.16)由于NT就是有限長序列xN(n)對應(yīng)的采樣時間，不妨記為Tp=NT，那么

將f=kF及式(3.6.16)代入式(3.6.12)，可得

利用DFT定義式(3.6.15)，可得

Xa(jkF)≈T·XN(k)=T·DFT［xN(n)］ (3.6.19)(3.6.18)(3.6.17)如果直接從XN(k)與XN(ejω)關(guān)系出發(fā)，將f=kF及ω=2πk/N代入式(3.6.14)，也可得到式(3.6.19)。

若利用連續(xù)時間信號xa(t)表達式(3.6.2)，在滿足時域采樣定理的條件下，限定在頻域的一個周期內(nèi)積分，令t=nT，f=kF，df=F，0≤n≤N－1，0≤k≤N－1，則(3.6.20)式(3.6.19)表明：連續(xù)時間信號xa(t)頻譜函數(shù)Xa(jf)可由時域采樣和截短后的序列的DFT來逼近。式(3.6.20)表明時域采樣后的序列可由離散頻譜Xa(jkF)恢復(fù)得到?；氐介_始的問題，這里給出了答案，即離散的DFT并不是Xa(jf)的準確頻域采樣，只能近似地代表連續(xù)頻譜Xa(jf)。

從上述三步驟討論來看，連續(xù)時間信號的DFT譜分析實際上是對連續(xù)時間信號頻譜的一個逼近過程，依次通過序列的DTFT、截短序列的DTFT以及DFT(頻域采樣)來逼近，整個逼近過程如圖3.6.1所示。圖3.6.1連續(xù)時間信號DFT譜分析的逼近過程圖3.6.2給出了連續(xù)時間信號和序列的時域以及頻域示意圖，通過比較，可以看出時域上的相互關(guān)系以及頻域上的逼近過程，即在時域上呈現(xiàn)采樣、截短，而頻域上體現(xiàn)周期延拓、卷積以及頻域采樣，最終得到連續(xù)時間信號的DFT譜分析結(jié)果。圖3.6.2連續(xù)時間信號的頻譜逼近示意圖

2.譜分析參數(shù)選擇

在對連續(xù)時間信號進行譜分析時，主要考慮兩個方面的參數(shù)：譜分析范圍和頻率分辨率。

(1)譜分析范圍：信號最高頻率fc代表了譜分析范圍。根據(jù)時域采樣定理，譜分析范圍受采樣頻率fs的限制。為了避免頻域混疊現(xiàn)象，信號最高頻率 ，即采樣間隔 。

若信號頻譜為無限寬，可以選取占信號總能量一定百分比的頻帶寬度(|f|<fc)來確定信號最高頻率fc，如百分比為90%或98%等。當信號最高頻率已經(jīng)確定時，選擇采樣頻率要滿足fs≥2fc。

(2)頻率分辨率：頻率采樣間隔F代表了頻率分辨率，表示譜分析中能夠分辨的最小頻率間隔。F越小，譜分析越接近Xa(jf)，稱頻率分辨率越高。

當給定頻率分辨率要求時，根據(jù)式(3.6.16) ，

在保證譜分析范圍不變(即fs不變)的情況下，采樣時間Tp和采樣點數(shù)N必須滿足：(3.6.21)若要提高頻率分辨率(即F減小)，只有增加采樣時間Tp和采樣點數(shù)N。

例3.6.1利用DFT對語音信號進行譜分析，要求頻率分辨率F≤10Hz，信號最高頻率為fc=4kHz，試確定以下參數(shù)：最小記錄時間Tpmin、最大采樣間隔Tmax、最少的采樣點數(shù)Nmin。如果fc不變，要求頻率分辨率增加1倍，最少的采樣點數(shù)和最小的記錄時間是多少？

解

即Tpmin=0.1s，而fs≥2fc，fsmin=2fc=8000Hz，因此

即Tmax=0.125×10－3s，Nmin=800。當頻率分辨率提高1倍時，F(xiàn)=5Hz，那么在實際應(yīng)用中，為了使用DFT的快速算法FFT，通常選取N為2的整數(shù)冪，此時若采樣頻率fs不變，即采樣時間T不變，那么采樣點數(shù)N分別選取為1024和2048，采樣時間Tp相應(yīng)增大，F(xiàn)值減小，具有更高的頻率分辨能力。

3.6.2序列的譜分析

利用DFT可以對序列進行譜分析，若從連續(xù)時間信號時域采樣得到序列的角度來看，序列譜分析只相當于連續(xù)時間信號譜分析步驟中的后兩步或者第三步，這與序列是無限長或有限長有關(guān)。設(shè)序列為x(n)，其離散時間傅里葉變換存在，即X(ejω)=DTFT［x(n)］，且是連續(xù)頻譜。

(1)若序列為有限長序列，長度為N，則直接進行N點DFT計算，得到X(k)=DFT［x(n)］，X(k)相當于X(ejω)在頻域0～2π上的N點等間隔采樣。根據(jù)頻率采樣定理和內(nèi)插公式，可以由X(k)無失真地恢復(fù)出連續(xù)頻譜X(ejω)。

(2)若序列為無限長序列，需要進行時域截短，得到有限長序列，才可計算DFT。此時，由于時域截短相乘對應(yīng)于頻域卷積，因而會產(chǎn)生頻譜的泄漏。

對于周期序列，其傅里葉變換不存在，此時可以采用離散傅里葉級數(shù)(DFS)來表征其頻譜。假定是周期為N的周期序列，其DFS表示為

且是以N為周期的離散頻譜。由DFT與DFS的關(guān)系可知，DFT相當于在主值區(qū)間上的DFS，周期延拓即可形成DFS。因此，從實現(xiàn)角度而言，從周期序列中截取主值序列 ，并進行N點DFT，同樣可以表征周期序列的頻譜。即(3.6.23)(3.6.22)在實際應(yīng)用場合中，周期序列由模/數(shù)轉(zhuǎn)換器對連續(xù)時間周期信號進行采樣得到，序列中除去有用信號成分以外，還可能包括噪聲成分。在利用DFT進行譜分析時，噪聲會對有用信號頻譜產(chǎn)生影響。為了提高噪聲條件下周期序列的譜分析效果，可以考慮截取多個周期進行DFT，相當于通過增加時間積累來抑制噪聲的影響。下面討論周期序列多個周期的DFT，并與單周期DFT進行比較。

假設(shè)截取的m個周期，m為正整數(shù)，截取序列長度為M=mN，序列表示對xM(n)進行M點DFT，可得

令n=n'+rN，則r=0，1，…，m－1，n'=0，1，…，N－1；那么由于

所以(3.6.24)上式表明：XM(k)也能表示的頻譜結(jié)構(gòu)，當k=rm時，XM(rm)=mX(r)，相當于單周期DFTX(r)幅度擴大m倍，而其它k值時，XM(k)=0；從頻率角度來看，單周期DFTX(r)與多周期DFT的XM(rm)的頻率是對應(yīng)的，即 。同時，由于多周期DFT的幅度擴大m倍，使得譜分析時具有更好的抗噪聲能力，更容易獲得原始周期序列的頻譜特性。3.6.3譜分析的誤差來源

從前兩節(jié)討論可以看出，DFT譜分析實際上是以離散頻譜對原始頻譜的一個逼近過程，這種逼近可能會帶來一定的誤差，而誤差來源則與譜分析步驟密切有關(guān)。對于連續(xù)時間信號，涉及時域采樣、時域截短和DFT(頻域采樣)，而序列譜分析包括頻域采樣甚至?xí)r域截短。下面就針對這些步驟，討論DFT譜分析的誤差問題。

(1)混疊現(xiàn)象。針對連續(xù)時間信號的時域采樣步驟。若時域采樣時未滿足采樣定理，則會引起頻域混疊現(xiàn)象，混疊出現(xiàn)在數(shù)字頻率ω=π和模擬頻率f=fs/2附近。為了避免頻域混疊，選擇采樣頻率要滿足fs≥2fc，通常為fs=(3～5)fc。在數(shù)字通信應(yīng)用中，典型值為fs=4fc。當采樣頻率確定的情況下，可以在時域采樣前對連續(xù)時間信號進行預(yù)濾波，濾除高于fs/2的頻率成分，避免混疊現(xiàn)象。

(2)柵欄效應(yīng)。針對DFT(頻域采樣)步驟，連續(xù)時間信號和序列都存在這種現(xiàn)象。由于N點DFT是頻譜X(ejω)在頻率0～2π上的等間隔采樣，DFT就像一個“柵欄”，只能在離散的頻率點上看到譜線，其它頻率點的頻譜看不到，這種現(xiàn)象稱為“柵欄效應(yīng)”。減輕柵欄效應(yīng)的思路是增加頻域采樣點數(shù)，使離散譜線更密，就可以看到原來看不到的頻譜分量，這些分量并不一定為零。具體做法可以采取序列尾部補0的

方式，進行更大點數(shù)的DFT來實現(xiàn)。

(3)頻譜泄漏。針對時域截短步驟，連續(xù)時間信號和無限長序列均存在這種現(xiàn)象。時域截短是為了得到有限長序列xN(n)=x(n)·w(n)，序列時域相乘對應(yīng)頻域卷積，即XN(ejω)=X(ejω)*W(ejω)。如果w(n)頻譜W(ejω)為單位沖激函數(shù)d(w)，那么卷積后XN(ejω)=X(ejω)，頻譜不變。但是，作為窗函數(shù)w(n)是有限長序列，W(ejω)不可能為單位沖激函數(shù)，如矩形窗w(n)=