2024-2025學(xué)年度北師版八上數(shù)學(xué)1.1探索勾股定理（第二課時(shí)）【課件】

第一章勾股定理1探索勾股定理（第二課時(shí)）課前導(dǎo)入典例講練目錄CONTENTS課前預(yù)習(xí)數(shù)學(xué)八年級上冊BS版01課前預(yù)習(xí)

1.

勾股定理的驗(yàn)證.（1）通過測量，數(shù)格子等方法進(jìn)行驗(yàn)證；（2）用直角三角形和正方形通過拼圖進(jìn)行驗(yàn)證（利用兩次計(jì)算面積，即圖形整體的面積等于各部分面積之和，如圖1，圖2，圖3）.圖1

圖2

圖32.

在方格中，利用數(shù)格子計(jì)算面積的方法得到下列結(jié)論：（1）在鈍角三角形中：如圖1，已知三邊長a，b，c，且c為

最長邊，則a2＋b2

c2（填“＞”“＜”或“＝”）；＜

（2）在銳角三角形中：如圖2，已知三邊長a，b，c，且c為

最長邊，則a2＋b2

c2（填“＞”“＜”或“＝”）.圖1

圖2＞

02課前導(dǎo)入觀察與思考

活動(dòng)：請你利用自己準(zhǔn)備的四個(gè)全等的直角三角形拼出以斜邊為邊長的正方形．

有不同的拼法嗎？據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，驗(yàn)證的方法有400多種，你有自己的方法嗎？問題：上節(jié)課我們認(rèn)識了勾股定理，你還記得它的內(nèi)容嗎？那么如何驗(yàn)證勾股定理呢？勾股定理的驗(yàn)證證法1

畢達(dá)哥拉斯證法，請先用手中的四個(gè)全等的直角三角形按圖示進(jìn)行拼圖，然后分析其面積關(guān)系后證明吧.aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab.∴a2+b2=c2.證明：∵

S大正方形

=

(a

+

b)2

=

a2

+

b2

+

2ab，S大正方形

=4S直角三角形

+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，abbcabca證法2讓我們跟著我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽拼圖，再用所拼的圖形證明命題吧.abc∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-

a)2，∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形.趙爽弦圖b-a證明：

“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.因此，這個(gè)圖案被選為2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽.aabbcc∴a2+b2=c2.證法3美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”.如圖，圖中的三個(gè)三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.abc青入青方青出青出青入朱入朱方朱出青朱出入圖課外鏈接

如圖，過A

點(diǎn)畫一直線AL

使其垂直于DE，并交DE

于L，交BC

于M.通過證明△BCF≌△BDA，利用三角形面積與矩形面積的關(guān)系，得到正方形

ABFG

與矩形

BDLM等積，同理正方形

ACKH與矩形

MLEC

也等積，于是推得：歐幾里得證明勾股定理議一議觀察下圖，用數(shù)格子的方法判斷圖中三角形的三邊長是否滿足

a2+b2=c2.數(shù)學(xué)八年級上冊BS版03典例講練

（1）如圖1，分別以Rt△ABC的三邊為邊長向外作三個(gè)正方形，其面積分別用S1，S2，S3表示，則S1，S2，S3之間有什么關(guān)系？（2）如圖2，分別以Rt△ABC的三邊為直徑向外作三個(gè)半圓形，其面積分別用S1，S2，S3表示，則

S1，S2，S3之間有什么關(guān)系？圖1圖2

解：（1）根據(jù)正方形的面積公式，得S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＝BC2＋AC2.所以

S1＝S2＋S3.所以S1＝S2＋S3.

【點(diǎn)撥】符合以直角三角形的兩直角邊為邊長所作的兩個(gè)圖形的面積和等于以斜邊為邊長所作的圖形的面積的常見圖形有以下幾種（分別作正方形、正三角形、半圓形、等腰直角三角形），均滿足S3＝S1＋S2：

1.

下列圖形中，不能用來證明勾股定理的是（

D

）D2.

如圖，已知∠ADB＝90°，正方形ABCG和正方形AEFD的面積分別是100和36，則以BD為直徑的半圓形的面積是

?（結(jié)果保留π）.8π

某地創(chuàng)建文明城市期間，路邊設(shè)立了一塊宣傳牌，從該場景中抽象出的數(shù)學(xué)模型如圖所示，宣傳牌（AB）的頂端有一根繩子（AC），自然垂下后，繩子底端離地面還有0.7

m（即BC＝0.7

m）.工作人員將繩子底端拉到離宣傳牌3

m處（即點(diǎn)E到

AB的距離為3

m），繩子正好拉直.已知工作人員身高（DE）為1.7

m，求宣傳牌（AB）的高度.解：如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，則四邊形BDEF為長方形.所以BF＝DE＝1.7

m.設(shè)

AC

＝

AE

＝

x

m，在Rt△AFE中，因?yàn)镋F＝3

m，

AF＝AB－BF＝x＋0.7－1.7＝（x－1）m，根據(jù)勾股定理，得AF2＋EF2＝AE2，即（x－1）2＋32＝x2，解得x＝5.所以AB＝5＋0.7＝5.7（m）.即宣傳牌（AB）的高度為5.7

m.【點(diǎn)撥】對于實(shí)際問題，要仔細(xì)分析題意，從所給信息中抽象出直角三角形，再運(yùn)用勾股定理計(jì)算出所求線段的長.若圖中沒有直角三角形，常作垂線，構(gòu)造直角三角形.

學(xué)校內(nèi)有一塊如圖所示的三角形空地△ABC，計(jì)劃將這塊空地

建成一個(gè)花園，以美化校園環(huán)境.預(yù)計(jì)花園每平方米的造價(jià)為30

元，學(xué)校修建這個(gè)花園需要投資多少元？解：如答圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.

設(shè)BD＝x

m（x＞0），則DC＝（21－x）m.在Rt△ABD中，AD2＝102－x2；在Rt△ACD中，AD2＝172－（21－x）2，所以102－x2＝172－（21－x）2，

答圖

[嘗試探究]美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”如圖2所示，用

兩個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)直角梯形BCDE，其中△BCA

≌△ADE，∠C＝∠D＝90°.請根據(jù)拼圖驗(yàn)證勾股定理.[定理應(yīng)用]在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對的

邊長分別為a，b，c.試說明：a2c2＋a2b2＝c4－b4.圖1圖2

[定理應(yīng)用]因?yàn)閏4－b4＝（c2＋b2）（c2－b2）＝（

c2＋b2）

a2＝

a2c2＋a2b2，所以a2c2＋a2b2＝c4－