2024-2025學(xué)年度北師版九上數(shù)學(xué)2.4用因式分解法求解一元二次方程【課件】

第二章一元二次方程4用因式分解法求解一元二次方程數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版課前預(yù)習(xí)典例講練目錄CONTENTS課前導(dǎo)入數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版01課前預(yù)習(xí)1.因式分解法的定義.當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個(gè)

的乘積時(shí)，可把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，這兩個(gè)一元一次方程的解就是原一元二次方程的解，這種解一元二次方程的方法稱為因式分解法.一次因式

2.用因式分解法求解一元二次方程的一般步驟.一般步驟示例（3x2＝8x＋3）一整理首先將原方程化為一般形式

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）3x2－8x－3＝0二化積將ax2＋bx＋c因式分解（x－3）（3x＋1）＝0一般步驟示例（3x2＝8x＋3）三轉(zhuǎn)化令每一個(gè)因式為0，轉(zhuǎn)化為兩

個(gè)一元一次方程x－3＝0，或3x＋1＝0四求解解每一個(gè)一元一次方程，它

們的解就是原一元二次方程

的解.數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版02課前導(dǎo)入情境引入

我們知道，若

ab=0，則

a=0或

b=0．類似地，解方程

(x+1)(x

-

1)=0時(shí)，可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程

x+1=0或

x-1=0來解．你能求出方程(x+3)(x

-

5)=0的解嗎？因式分解法解一元二次方程引例：根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果把一個(gè)物體從地面以

10m/s

的速度豎直上拋，那么經(jīng)過

xs

物體離地面的高度為(10x

-

4.9x2)m.

你能根據(jù)上述規(guī)律求出物體經(jīng)過多少秒落回地面嗎?(精確到

0.01

s)分析：設(shè)物體經(jīng)過xs

落回地面，這時(shí)它離地面的高度為

0m，即10x-4.9x2=0.①

解：解：∵

a=4.9，b=-10，c=

0，∴b2－4ac

=(-10)2

-

4×4.9×0

=100.公式法解方程

10x-4.9x2=0.配方法解方程

10x-4.9x2=0.4.9x2

-

10x=0因式分解如果

a·

b=0，那么a=0

或b=0.兩個(gè)因式乘積為

0，說明什么？或

10

-4.9x=0降次，化為兩個(gè)一次方程解兩個(gè)一次方程，得出原方程的根這種解法是不是更簡單？10x-

4.9x2=

0①

x(10

-

4.9x)=0②

x=0當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，就可以用前面的方法求解.這種解一元二次方程的方法稱為因式分解法.要點(diǎn)歸納因式分解法的概念因式分解法的基本步驟一移—

—使方程的右邊為

0；二分—

—將方程的左邊因式分解；三化—

—將方程化為兩個(gè)一元一次方程；四解—

—寫出方程的兩個(gè)解.簡記歌訣右化零，左分解；兩因式，各求解.試一試：下列各方程的根分別是多少？(1)x(x-2)=0；

(1)x1=0，x2

=2.(2)(y+2)(y

-

3)=0；

(2)y1

=

-2，y2

=3.(3)(3x+6)(2x

-

4)=0；

(3)x1

=-2，x2

=2.(4)m2

=m.(4)m1

=0，m2

=1.數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版03典例講練

用因式分解法解下列方程：（1）3x2＝2x；

用因式分解法解下列方程：（2）5x（x＋1）＝6（x＋1）；

用因式分解法解下列方程：（3）2x（x－3）＝3x－9；

用因式分解法解下列方程：（4）（x－3）2＝（2x＋1）2.

【點(diǎn)撥】因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：若兩個(gè)因式的積為0，則這兩個(gè)因式至少有一個(gè)因式等于0.因式分解的常用方法有：提公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法.這幾種方法需要靈活并熟練運(yùn)用.

用因式分解法解下列方程：（1）（x＋8）（7x－5）＝0；

（2）（6x－1）2＝6x－1；

（3）x（4x＋11）＝8x＋22；

（4）2（x－3）＝x2－9.解：x1＝3，x2＝－1.

用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）（2x－3）2＝9（2x＋3）2；

用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）x2－6x＋5＝0；（3）原方程可變形為（x－1）（x－5）＝0.∴x1＝1，x2＝5.

用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）（x＋4）2－4（x＋4）＋3＝0.（4）原方程可變形為[（x＋4）－1][（x＋4）－3]＝0.∴（x＋4）－1＝0，或（x＋4）－3＝0.∴x1＝－3，x2＝－1.【點(diǎn)撥】通過對(duì)比此題中的各種解法，我們可以知道：①解一元二次方程，優(yōu)先選擇因式分解法；②若無法進(jìn)行因式分解，再考慮公式法.其中，“十字相乘法”需要熟練掌握.同時(shí)需要注意的是，公式法能處理所有一元二次方程，但是計(jì)算量較大，可作為最后的解題手段.

用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

（2）（3x－4）2＝（4x－3）2；解：x1＝－1，x2＝1.（3）3x2＋2x－5＝0；

（4）（x－3）（x＋1）＝5.解：x1＝－2，x2＝4.

已知一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋k＝0.（1）求證：該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（2）已知△ABC的兩邊AB，AC的長是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且第三邊BC的長為5.當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，求k的值.（1）證明：∵Δ＝[－（2k＋1）]2－4（k2＋k）＝1＞0，∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（2）已知△ABC的兩邊AB，AC的長是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且第三邊BC的長為5.當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，求k的值.（2）解：∵x2－（2k＋1）x＋k2＋k＝0，∴x2－[k＋（k＋1）]x＋k（k＋1）＝0.∴（x－k）[x－（k＋1）]＝0.∴x1＝k，x2＝k＋1.∵k＜k＋1，∴AB≠AC.

①當(dāng)AB＝k，AC＝k＋1，且AB＝BC時(shí)，k＝5，三邊長5，5，6能組成三角形，符合題意.②當(dāng)AB＝k，AC＝k＋1，且AC＝BC時(shí)，k＋1＝5.解得k＝4.三邊長4，5，5能組成三角形，符合題意.綜上所述，k的值為4或5.【點(diǎn)撥】對(duì)于含參數(shù)的一元二次方程，若題目中的條件涉及根的值，可用十字相乘法求根，或者直接用公式法求根，且求出的根含有參數(shù).對(duì)于一元二次方程與實(shí)際結(jié)合的問題，最后一定要檢查解是否符合題意.

已知關(guān)于x的方程kx2－（4k－3）x＋3k－3＝0.（1）求證：無論k取何值，該方程都有實(shí)數(shù)根；（1）證明：當(dāng)k≠0時(shí)，Δ＝[－（4k－3）]2－4k（3k－3）＝4

k2－12k＋9＝（2k－3）2≥0.