2024年江蘇省常州市鐘樓區(qū)北郊初級中學中考數(shù)學一模試卷

第1頁（共1頁）2024年江蘇省常州市鐘樓區(qū)北郊初級中學中考數(shù)學一模試卷一、選擇題：（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1．（2分）﹣5的絕對值是（）A． B．5 C．﹣5 D．﹣2．（2分）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)3+a2＝a5 B．a(chǎn)3﹣a2＝a C．a(chǎn)3?a2＝a6 D．a(chǎn)3÷a2＝a3．（2分）若一個幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖是半徑相等的圓，則這個幾何體是（）A．圓柱 B．圓錐 C．球 D．正方體4．（2分）下列四個圖形分別是四屆國際數(shù)學家大會的會標，其中屬于中心對稱圖形的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2分）直線a∥b，直角三角形如圖放置，若∠1+∠A＝65°（）A．15° B．20° C．25° D．30°6．（2分）若點A（a，﹣1）與點B（2，b）關于y軸對稱（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．27．（2分）分式的值，可以等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．（2分）如圖，點A坐標為（﹣4，3），點B坐標為（0，4），若點C恰好落在x軸上，則點D到x軸的距離為（）A． B． C． D．二、填空題：（本大題共10小題，每小題2分，共20分）9．（2分）計算：（a2b）3＝．10．（2分）分解因式：4x2﹣4＝．11．（2分）如果分式有意義，那么x的取值范圍是．12．（2分）如圖所示，OA＝OB，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是．13．（2分）如果圓錐的底面圓的半徑是8，母線的長是15，那么這個圓錐側面展開圖的扇形的圓心角的度數(shù)是度．14．（2分）小明和爸爸媽媽三人玩蹺蹺板，三人的體重一共為150千克，爸爸坐在蹺蹺板的一端，這時爸爸那端仍然著地．那么小明的體重應小于千克．15．（2分）如圖，在?ABCD中，AD＝7，且AE＝4，則AB的長為.16．（2分）如圖，每一個小方格的邊長都相等，點A、B、C三點都在格點上．17．（2分）阿基米德說：“給我一個支點，我就能撬動地球．”（如圖1）這句話形容杠桿的作用之大：只要有合適的工具和一個合適的支點（或像地球一樣重的物體），他想知道這塊球形石頭的半徑為多少，他找來一塊棱長為20cm的正方體和長度為200cm的木棒，如圖2，木棒和石頭相切于點N，點M，A，E，F(xiàn)在一條直線上．若木棒與水平面的夾角∠BAF＝45°，則石頭的半徑為cm．（結果保留根號）18．（2分）如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，得到△EFG，連接EC、GC．則EC+GC的最小值為.三、解答題（本大題共10小題，第19、20題每題6分，第21-25題每題8分，第26-27題每題10分，第28題12分，共84分）19．（6分）計算：．20．（6分）解不等式組：，并求出它的正整數(shù)解．21．（8分）小紅家到學校有兩條公共汽車線路．為了解兩條線路的乘車所用時間，小紅做了試驗，第一周（5個工作日），第二周（5個工作日）選擇B線路（單位：min）數(shù)據(jù)統(tǒng)計表實驗序號12345678910A線路所用時間15321516341821143520B線路所用時間25292325272631283024根據(jù)以上信息解答下列問題：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差A線路所用時間22a1563.2B線路所用時間b26.5c6.36（1）填空：a＝；b＝；c＝；（2）應用你所學的統(tǒng)計知識，幫助小紅分析如何選擇乘車線路．22．（8分）現(xiàn)有長度分別為2，3，4的三條線段，小明想從三條線段中選出兩條與長度為5的線段組成一個三角形．（1）請用畫樹狀圖（或列表）的方法，求小明選擇的兩條線段能與長度為5的線段組成一個三角形的概率．（2）小明將每個組成的三角形分別畫在一張卡片上，將所有畫有三角形的卡片洗勻然后背面朝上，從中任意抽取一張．23．（8分）如圖，△ABD中，∠ABD＝∠ADB．（1）作點A關于BD的對稱點C．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）所作的圖中，連接BC，連接AC，交BD于點O．求證：四邊形ABCD是菱形．24．（8分）某品牌畫冊每本成本為40元，當售價為60元時，平均每天的銷售量為100本．為了吸引消費者，如果畫冊售價每降低1元時，那么平均每天就能多售出10本．商家想要使這種畫冊的銷售利潤平均每天達到2240元，求每本畫冊應降價多少元？25．（8分）如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+5的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A（4，a）（1）求k的值；（2）點P在線段AB上，過點P作x軸的垂線，交反比例函數(shù)，若△POQ的面積為1，求點P的坐標．26．（10分）定義：如果一個點能與另外兩個點構成直角三角形，則稱這個點為另外兩個點的勾股點．如矩形OBCD中，點C為O，已知OD＝4，在DC上取點E（1）如果點E是O，B兩點的勾股點（點E不在點C），試求OB的長；（2）如果OB＝12，分別以OB，OD為坐標軸建立如圖2的直角坐標系（5，0）．在線段DC上取點P，過點P的直線l∥y軸①當點P在DE之間，以EF為直徑的圓與直線l相切，試求t的值；②當直線l上恰好有2點是E，F(xiàn)兩點的勾股點時，試求相應t的取值范圍．27．（10分）【綜合與實踐】【問題背景】在四邊形ABCD中，E是CD邊上一點，延長BC至點F使得CF＝CE，延長BE交DF于點G．【特例感知】（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形時，①求證：△BCE≌△DCF；②當G是DF中點時，∠F＝度；【深入探究】（2）如圖2，若四邊形ABCD是菱形，AB＝2，求CE的長；【拓展提升】（3）如圖3，若四邊形ABCD是矩形，AB＝3，點H在BE的延長線上，且滿足BE＝5EH，請直接寫出CE的長．28．（12分）如圖1，拋物線L：y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（0，1），對稱軸為直線x＝1與x軸的交于點B．（1）求拋物線L的解析式；（2）點C在拋物線上，若△ABC的內心恰好在x軸上，求點C的坐標；（3）如圖2，將拋物線L向上平移k（k＞0）個單位長度得到拋物線L1，拋物線L1與y軸交于點M，過點M作y軸的垂線交拋物線L1于另一點N．P為線段OM上一點．若△PMN與△POB相似，并且符合條件的點P恰有2個，求k的值．

2024年江蘇省常州市鐘樓區(qū)北郊初級中學中考數(shù)學一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1．（2分）﹣5的絕對值是（）A． B．5 C．﹣5 D．﹣【解答】解：﹣5的絕對值是5，故選：B．2．（2分）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)3+a2＝a5 B．a(chǎn)3﹣a2＝a C．a(chǎn)3?a2＝a6 D．a(chǎn)3÷a2＝a【解答】解：A、a3與a2不能進行合并，故該項不正確；B、a6與a2不能進行合并，故該項不正確；C、a3?a7＝a5，故該項不正確，不符合題意；D、a3÷a8＝a，故該項正確；故選：D．3．（2分）若一個幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖是半徑相等的圓，則這個幾何體是（）A．圓柱 B．圓錐 C．球 D．正方體【解答】解：主視圖、俯視圖和左視圖都是圓的幾何體是球．故選：C．4．（2分）下列四個圖形分別是四屆國際數(shù)學家大會的會標，其中屬于中心對稱圖形的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：第一個圖形是中心對稱圖形，第二個圖形不是中心對稱圖形，第三個圖形是中心對稱圖形，第四個圖形不是中心對稱圖形，故選：B．5．（2分）直線a∥b，直角三角形如圖放置，若∠1+∠A＝65°（）A．15° B．20° C．25° D．30°【解答】解：如圖所示，∵∠BDE是△ADE的外角，∴∠BDE＝∠3+∠A＝∠1+∠A＝65°，∵a∥b，∴∠DBF＝∠BDE＝65°，又∵∠ABC＝90°，∴∠7＝180°﹣90°﹣65°＝25°．故選：C．6．（2分）若點A（a，﹣1）與點B（2，b）關于y軸對稱（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．2【解答】解：∵點A（a，﹣1）與點B（2，∴a＝﹣7，b＝﹣1，∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣4）＝﹣1，故選：A．7．（2分）分式的值，可以等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：＝1+，當x＝2時，原式＝2，故選：D．8．（2分）如圖，點A坐標為（﹣4，3），點B坐標為（0，4），若點C恰好落在x軸上，則點D到x軸的距離為（）A． B． C． D．【解答】解：設D到x軸距離為h，由旋轉可知△OAB≌△OCD，∵A（﹣4，3），7），∴OB＝4，OA＝，，∴，∴；故選：B．二、填空題：（本大題共10小題，每小題2分，共20分）9．（2分）計算：（a2b）3＝a6b3．【解答】解：（a2b）3＝（a4）3b3＝a6b3．故答案為：a6b2．10．（2分）分解因式：4x2﹣4＝4（x+1）（x﹣1）．【解答】解：原式＝4（x2﹣5）＝4（x+1）（x﹣2）．故答案為：4（x+1）（x﹣8）．11．（2分）如果分式有意義，那么x的取值范圍是x≠1．【解答】解：依題意得1﹣x≠0，解得x≠4．故答案為：x≠1．12．（2分）如圖所示，OA＝OB，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是﹣．【解答】解：OB＝＝．∵OA＝OB，∴OA＝．∴數(shù)軸上點A表示的數(shù)是：﹣．故答案為：﹣．13．（2分）如果圓錐的底面圓的半徑是8，母線的長是15，那么這個圓錐側面展開圖的扇形的圓心角的度數(shù)是192度．【解答】解：圓錐底面周長＝2×8π＝16π，∴扇形的圓心角的度數(shù)＝圓錐底面周長×180÷15π＝192°．故本題答案為：192°．14．（2分）小明和爸爸媽媽三人玩蹺蹺板，三人的體重一共為150千克，爸爸坐在蹺蹺板的一端，這時爸爸那端仍然著地．那么小明的體重應小于25千克．【解答】解：設小明體重為x，由體重只有媽媽一半的小明得：媽媽體重為2x．由三人體重一共為150kg得：爸爸的體重為：150﹣2x﹣x＝150﹣6x．由爸爸坐在蹺蹺板一端，體重只有媽媽一半的小明和媽媽同坐在蹺蹺板的另一端，爸爸的那一端仍然著地得：150﹣3x＞x+2x，8x＜150，x＜25．故小明的體重應＜25kg．故答案為：25．15．（2分）如圖，在?ABCD中，AD＝7，且AE＝4，則AB的長為3.【解答】解：∵在?ABCD中，CE平分∠BCD交AD于點E，∴∠DEC＝∠ECB，∠DCE＝∠BCE，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC＝AB，∵AD＝7，AE＝4，∴DE＝DC＝AB＝5．故答案為：3．16．（2分）如圖，每一個小方格的邊長都相等，點A、B、C三點都在格點上．【解答】解：連接CH，由圖可知∠CHA＝90°，設小方格的邊長為a，則AH＝a，CH＝a，故tan∠BAC＝＝＝，故答案為：．17．（2分）阿基米德說：“給我一個支點，我就能撬動地球．”（如圖1）這句話形容杠桿的作用之大：只要有合適的工具和一個合適的支點（或像地球一樣重的物體），他想知道這塊球形石頭的半徑為多少，他找來一塊棱長為20cm的正方體和長度為200cm的木棒，如圖2，木棒和石頭相切于點N，點M，A，E，F(xiàn)在一條直線上．若木棒與水平面的夾角∠BAF＝45°，則石頭的半徑為（20+10）cm．（結果保留根號）【解答】解：如圖，過點N作NG⊥OM于點G，∵NH⊥AF，CE⊥AF，∴NH∥CE，∵點N為AC的中點，∴NH是△ACE的中位線，∴NH＝CE＝10cm，∵∠NGM＝∠GMH＝∠NHM＝90°，∴四邊形GMHN是矩形，∴GM＝NH＝10cm，由（1）知∠MON＝∠BAF＝45°，∴△OGN是等腰直角三角形，∴OG＝GN，ON＝，設石頭的半徑為rcm，則OG＝GN＝（r﹣10）cm，∵ON＝OG，∴r＝（r﹣10），解得r＝20+10，∴石頭的半徑為（20+10）cm．故答案為：18．（2分）如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，得到△EFG，連接EC、GC．則EC+GC的最小值為2.【解答】解：在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝2，∠ABD＝30°，∵將△ABD沿射線BD的方向平移得到△EGF，∴EG＝AB＝2，EG∥AB，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴EG＝CD，EG∥CD，連接ED，∴四邊形EGCD是平行四邊形，∴ED＝GC，∴EC+GC的最小值＝EC+ED的最小值，∵點E在過點A且平行于BD的定直線上，∴作點D關于定直線的對稱點M，連接CM交定直線于E，則CM的長度即為EC+DE的最小值，∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝2，∴∠ADM＝60°，DH＝MH＝，∴DM＝2，∴DM＝CD，∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠M＝∠DCM＝30°，∴CM＝2×CD＝2．故答案為：2．三、解答題（本大題共10小題，第19、20題每題6分，第21-25題每題8分，第26-27題每題10分，第28題12分，共84分）19．（6分）計算：．【解答】解：＝2﹣2﹣4×+＝7﹣2﹣8+＝3+．20．（6分）解不等式組：，并求出它的正整數(shù)解．【解答】解：，解不等式①得：x≤3，解不等式②得：x＜14，所以不等式組的解集為x≤5，則不等式組的正整數(shù)解為1，7，3，4，8．21．（8分）小紅家到學校有兩條公共汽車線路．為了解兩條線路的乘車所用時間，小紅做了試驗，第一周（5個工作日），第二周（5個工作日）選擇B線路（單位：min）數(shù)據(jù)統(tǒng)計表實驗序號12345678910A線路所用時間15321516341821143520B線路所用時間25292325272631283024根據(jù)以上信息解答下列問題：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差A線路所用時間22a1563.2B線路所用時間b26.5c6.36（1）填空：a＝19；b＝26.8；c＝25；（2）應用你所學的統(tǒng)計知識，幫助小紅分析如何選擇乘車線路．【解答】解：（1）求中位數(shù)a首先要先排序，從小到大順序為：14，15，16，20，32，35，中位數(shù)在第5和6個數(shù)為18和20，所以中位數(shù)為＝19，求平均數(shù)b＝＝26.8，眾數(shù)c＝25，故答案為：19，26.8．（2）小紅統(tǒng)計的選擇A線路平均數(shù)為22，選擇B線路平均數(shù)為26.5．而方差63.2＞6.36，所以選擇B路線更優(yōu)．22．（8分）現(xiàn)有長度分別為2，3，4的三條線段，小明想從三條線段中選出兩條與長度為5的線段組成一個三角形．（1）請用畫樹狀圖（或列表）的方法，求小明選擇的兩條線段能與長度為5的線段組成一個三角形的概率．（2）小明將每個組成的三角形分別畫在一張卡片上，將所有畫有三角形的卡片洗勻然后背面朝上，從中任意抽取一張．【解答】解：（1）列表如下：2352（3，4）（4，2）7（2，3）（7，3）4（3，4）（3，7）由表知，共有6種等可能結果，所以小明選擇的兩條線段能與長度為5的線段組成一個三角形的概率為＝；（2）由題意知，將每個組成的三角形畫在一張卡片上有（2，4、（6，4，抽取的卡牌恰好畫有直角三角形的有1種結果，所以抽取的卡牌恰好畫有直角三角形的概率為，故答案為：．23．（8分）如圖，△ABD中，∠ABD＝∠ADB．（1）作點A關于BD的對稱點C．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）所作的圖中，連接BC，連接AC，交BD于點O．求證：四邊形ABCD是菱形．【解答】（1）解：如圖所示，點C即為所求作的點．（2）證明：∵∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∵點C是點A關于BD的對稱點，∴BD垂直平分AC，∴CB＝AB，CD＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．24．（8分）某品牌畫冊每本成本為40元，當售價為60元時，平均每天的銷售量為100本．為了吸引消費者，如果畫冊售價每降低1元時，那么平均每天就能多售出10本．商家想要使這種畫冊的銷售利潤平均每天達到2240元，求每本畫冊應降價多少元？【解答】解：設每本畫冊應降價x元，則每本畫冊的銷售利潤為（60﹣x﹣40）元，根據(jù)題意得：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，整理得：x2﹣10x+24＝0，解得：x3＝4，x2＝4，當x＝4時，60﹣x＝60﹣4＝56＞55；當x＝5時，60﹣x＝60﹣6＝54＜55，舍去．答：每本畫冊應降價4元．25．（8分）如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+5的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A（4，a）（1）求k的值；（2）點P在線段AB上，過點P作x軸的垂線，交反比例函數(shù)，若△POQ的面積為1，求點P的坐標．【解答】解：（1）∵點A（4，a）在一次函數(shù)y＝﹣x+5的圖象上，∴a＝﹣5+5＝1，∴A（5，1），∵A（4，7）在反比例函數(shù)y＝上，∴k＝4．（2）由（1）可知反比例函數(shù)解析式為y＝，聯(lián)立方程組，解得，，∴A（2，1），4），設點P坐標為（m，﹣m+7）1≤m≤4，），∴PQ＝﹣m+5﹣，∵△POQ的面積為5，∴＝1，整理得：m7﹣5m+6＝6解得m＝2或m＝3，∴P點坐標為（5，3）或（3．26．（10分）定義：如果一個點能與另外兩個點構成直角三角形，則稱這個點為另外兩個點的勾股點．如矩形OBCD中，點C為O，已知OD＝4，在DC上取點E（1）如果點E是O，B兩點的勾股點（點E不在點C），試求OB的長；（2）如果OB＝12，分別以OB，OD為坐標軸建立如圖2的直角坐標系（5，0）．在線段DC上取點P，過點P的直線l∥y軸①當點P在DE之間，以EF為直徑的圓與直線l相切，試求t的值；②當直線l上恰好有2點是E，F(xiàn)兩點的勾股點時，試求相應t的取值范圍．【解答】解：（1）如圖1，連接OE，若點E是O，B兩點的勾股點，則∠OEB＝90°，∴∠OED+∠CEB＝90°，∵∠OED+∠DOE＝90°，∴∠DOE＝∠CEB，又∵∠C＝∠ODE，∴△BCE∽△EDO，∴＝，即＝，∴CE＝2，∴OB＝DE＝8+2＝10；（2）①如圖2﹣4，設以EF為直徑的圓的圓心為Q，直線l與OB的交點為H，則∠FME＝90°，QM⊥PH，∴∠HMF+∠PME＝90°，∵∠PME+∠PEM＝90°，∴∠HMF＝∠PEM，又∵∠MHF＝∠EPM＝90°，∴△MHF∽△EPM，∴＝，∵QM⊥PH，l∥y軸，∴HF∥MQ∥PE，∴＝，∵FQ＝QE，∴HM＝MP＝2，又∵DP＝OH＝t，DE＝8，∴HF＝5﹣t，PE＝8﹣t，∴＝，解得，t8＝4，t2＝3（點P在DE之間，舍去），∴t＝4；②如圖2﹣6，當直線l在⊙Q的右側與⊙Q相切時，由①知△MHF∽△EPM，∴＝，此時，HM＝MP＝2，PE＝t﹣8，∴＝，解得，t1＝4，t4＝9，∴當t＝4或5時直線l與⊙Q相切，∵點E，F(xiàn)以及直線l上的點均可為直角三角形的直角頂點，∴當直線l上恰好有2點是E，F(xiàn)兩點的勾股點時．27．（10分）【綜合與實踐】【問題背景】在四邊形ABCD中，E是CD邊上一點，延長BC至點F使得CF＝CE，延長BE交DF于點G．【特例感知】（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形時，①求證：△BCE≌△DCF；②當G是DF中點時，∠F＝67.5度；【深入探究】（2）如圖2，若四邊形ABCD是菱形，AB＝2，求CE的長；【拓展提升】（3）如圖3，若四邊形ABCD是矩形，AB＝3，點H在BE的延長線上，且滿足BE＝5EH，請直接寫出CE的長．【解答】（1）①證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCF＝90°．在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；②解：連接BD，如圖，∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE＝∠CDF，∵∠CBE+∠CEB＝90°，∠CEB＝∠GED，∴∠CDF+∠GED＝90°．∴∠DGE＝90°，∴BG⊥DF．∵G是DF中點，∴BG為DF的垂直平分線，∴BD＝BF，∴∠F＝∠BDF．∵四邊形ABCD為正方形，∴∠DBC＝45°，∴∠F＝∠BDF＝＝67.5°．故答案為：67.6；（2）過點G作GH∥BC，交DC于點H，∵GH∥BC，G為DF的中點，∴GH為△DCF的中位線，∴GH＝CFCD＝1．設GH＝x，則CE＝CF＝6x，∴HE＝1﹣2x．∵GH∥BC，∴△GHE∽△BCE，∴，∴，∴x＝﹣1±（負數(shù)不合題意，∴x＝﹣6．∴CE＝2x＝﹣4+2．（3）CE的長為或或8∵四邊形ABCD是矩形，AB＝3，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝7，∴CE＜BC，∠BEC＞∠CBE．∴∠BEC＞45°，∵CE＝CF，∴∠CEF＝∠CFE＝45°，∴∠FEH＝180°﹣∠FEC﹣∠BEC＜90°．①當∠H＝90°時，如圖，設CE＝CF＝m，則BF＝BC+CF＝m+4＝．∵BE＝5EH，∴BH＝BE＝．∵∠BCE＝∠H＝90°，∠EBC＝∠