熱點(diǎn)10圓(原卷版+解析)

熱點(diǎn)10圓命題趨勢(shì)命題趨勢(shì)廣東中考中對(duì)圓這部分的知識(shí)，是必考知識(shí)點(diǎn)。題型主要有比較全面，可能是選擇題，填空題，簡(jiǎn)答題的相關(guān)證明與計(jì)算等。對(duì)考生考查要求高，考查學(xué)生們的推理能力、運(yùn)算能力，考查空間觀念與幾何直觀，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想。這幾年來(lái)均是第22題~24題中的簡(jiǎn)答形式進(jìn)行考查，難度較大。2020年中考第24題出現(xiàn)了幾何綜合題型，2022年中考第22題考查題型難度不大，知識(shí)綜合強(qiáng)度小，預(yù)測(cè)今年考查難度會(huì)有所提升。熱點(diǎn)解讀熱點(diǎn)解讀在備考中，要求考生熟練掌握與圓有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，三角函數(shù)，三角形相似，解直角三角形，勾股定理，平行性質(zhì)等知識(shí)．縱觀近幾年的中考試題，主要考查以下兩個(gè)方面：一是考查圓的切線與角度、平行四邊形等證明．二是考查線段長(zhǎng)度、角度等計(jì)算．滿分技巧滿分技巧命題熱點(diǎn)1：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)（1）圓:平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓,圓既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形.（2）圓具有對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)不變性.（3）不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.（4）圓上各點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑.（5）圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧,大于半圓周的弧稱為優(yōu)弧,小于半圓周的弧稱為劣弧.（6）連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦,經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑.（7）弧、弦、圓心角的關(guān)系定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦也相等.

推論：在同圓或等圓中,兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中如果有一組量相等,則它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也分別相等.

命題熱點(diǎn)2：*垂徑定理（1）定理：垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

（2）推論1：①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

②弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

③平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧.

（3）推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等.

注意:軸對(duì)稱性是圓的基本性質(zhì),垂徑定理及其推論就是根據(jù)圓的軸對(duì)稱性總結(jié)出來(lái)的,它們是證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系、弧相等和一條弦是直徑的重要依據(jù).遇弦作弦心距是圓中常用的輔助線.命題熱點(diǎn)3：與圓有關(guān)的角及其性質(zhì)（1）圓心角:頂點(diǎn)在圓心,角的兩邊和圓相交的角叫做圓心角.圓周角:頂點(diǎn)在圓上且角的兩邊和圓相交的角叫做圓周角.（2）圓周角定理定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.

推論：①同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.

②半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直徑,90°的圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑.

③圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

命題熱點(diǎn)4：圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)計(jì)算（1）半徑為R的圓周長(zhǎng)：C=πd=2πR.

（2）半徑為R的圓中,n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為l,則l=.

命題熱點(diǎn)5：圓、扇形面積計(jì)算（1）半徑為R的圓面積S=（2）半徑為R的圓中,圓心角為n°的扇形面積為S扇=或S扇=.

命題熱點(diǎn)6：圓柱、圓錐的有關(guān)計(jì)算（1）圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形,圓柱側(cè)面積S=2πRh,全面積S=2πRh+2πR2(R表示底面圓的半徑,h表示圓柱的高).

（2）圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形,圓錐側(cè)面積S=πRl,全面積S=πRl+πR2(R表示底面圓的半徑,l表示圓錐的母線).

（3）圓柱的體積=底面積×高,即V=Sh=πR2h.

圓錐的體積=×底面積×高,即V=πR2h.

命題熱點(diǎn)7：正多邊形與圓（1）正多邊形:各邊相等,各角相等的多邊形叫做正多邊形.（2）圓與正多邊形的有關(guān)概念:一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心,外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑;正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角,中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.（3）正多邊形的內(nèi)角和=(n-2)·180°;正多邊形的每個(gè)內(nèi)角=

;

正多邊形的周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×邊數(shù);正多邊形的面積=×周長(zhǎng)×邊心距.命題熱點(diǎn)8：點(diǎn)、線與圓的位置關(guān)系如果圓的半徑為r,某一點(diǎn)到圓心的距離為d,那么:（1）點(diǎn)在圓外?d>r;（2）點(diǎn)在圓上?d=r;（3）點(diǎn)在圓內(nèi)?d<r.2.直線與圓的位置關(guān)系有三種:相離、相切和相交位置關(guān)系相離相切相交圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)012數(shù)量關(guān)系d>rd=rd<r3.切線的性質(zhì)與判定（1）切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.（2）切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

4.*切線長(zhǎng)定理（1）切線長(zhǎng)：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上,這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長(zhǎng),叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).（2）定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.限時(shí)檢測(cè)限時(shí)檢測(cè)1．如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于P，若∠A＝30°，∠APD＝60°，則∠B等于（

）A．30° B．40° C．50° D．60°2．如圖所示，點(diǎn)在圓上，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)畫(huà)的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線和的外接圓相交于點(diǎn)，連接，，，若，則的大小為（

）A． B． C． D．5．如圖，在半徑為，圓心角等于45°的扇形AOB內(nèi)部作一個(gè)矩形CDEF，使點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D、E在OB上，點(diǎn)F在弧AB上，且．則圖中陰影那分的面積（

）A． B． C． D．6．如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，⊙O的切線EF分別交PA，PB于點(diǎn)E，F(xiàn)，切點(diǎn)C在弧AB上，若PA長(zhǎng)為8，則△PEF的周長(zhǎng)是_____．7．如圖，等邊三角形ABC中，AB=4，圓O與三角形內(nèi)切，則陰影部分的面積為_(kāi)_______．8．如圖，兩個(gè)圓都是以點(diǎn)O為圓心，大圓的弦AB是小圓的切線，點(diǎn)P為切點(diǎn)，，則圖中圓環(huán)的面積為_(kāi)________．9．如圖，已知⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，且半徑為2，則陰影部分的面積為_(kāi)___．10．如圖，⊙O的直徑CD為6cm，OA，OB都是⊙O的半徑，∠AOD＝2∠AOB＝60°，點(diǎn)P在直徑CD上移動(dòng)，則AP+BP的最小值為_(kāi)_____．11．如圖，AB是⊙O的直徑，AD⊥AB于A，點(diǎn)E為⊙O上一點(diǎn)，AD＝DE，連接DE并延長(zhǎng)，交AB延長(zhǎng)線于C．（1）求證：CD與⊙O相切；（2）若AC＝6，∠C＝30°，求線段EC的長(zhǎng)．12．如圖，AB為⊙O的弦，D，C為的三等分點(diǎn)，AC∥BE．（1）求證：∠A＝∠E；（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的長(zhǎng)．13．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABED中，∠BAD＝90°，AB＝AE，AD，BE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)C，DF是⊙O的切線．（1）求證：FD＝FC；（2）若EF＝3，DE＝4，求AB的長(zhǎng)．14．(2023·廣東佛山·一模）如圖，在⊙O上有位于直徑AB的兩側(cè)的定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，=2，點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)C作直線PB的垂AC線CD，垂足為點(diǎn)D．（1）如圖1，求證：△ABC∽△PCD；（2）類比（1）中的情況，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ABC≌△PCD？請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出△PCD，并說(shuō)明理由．（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，有CP⊥AB時(shí)，求∠BCD的度數(shù)．15．如圖，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，是的弦，．（1）求證：直線是的切線；（2）若，求的半徑；（3）若于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，，，請(qǐng)找出，，之間的關(guān)系，并證明．中考連接1．(2023·湖南婁底）如圖，等邊內(nèi)切的圖形來(lái)自我國(guó)古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于等邊的內(nèi)心成中心對(duì)稱，則圓中的黑色部分的面積與的面積之比是（

）A． B． C． D．2．(2023·山東聊城）如圖，AB，CD是的弦，延長(zhǎng)AB，CD相交于點(diǎn)P．已知，，則的度數(shù)是（

）A．30° B．25° C．20° D．10°3．(2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，有一個(gè)半徑為2的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)刻度間的弧長(zhǎng)均相等，過(guò)9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．4．(2023·湖北宜昌·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，連接，，，若，則（

）A． B． C． D．5．(2023·廣西賀州）如圖，在等腰直角中，點(diǎn)E在OA上，以點(diǎn)O為圓心、OE為半徑作圓弧交OB于點(diǎn)F，連接EF，已知陰影部分面積為，則EF的長(zhǎng)度為（

）A． B．2 C． D．6．(2023·黑龍江大慶）已知圓錐的底面半徑為5，高為12，則它的側(cè)面展開(kāi)圖的面積是(

)A． B． C． D．7．(2023·四川遂寧·中考真題）如圖，圓錐底面圓半徑為7cm，高為24cm，則它側(cè)面展開(kāi)圖的面積是（

）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm28．(2023·浙江湖州·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足為C，OC的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D．若∠APD是所對(duì)的圓周角，則∠APD的度數(shù)是______．9．(2023·云南·中考真題）某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生到教具加工廠制作圓錐，他們制作的圓錐，母線長(zhǎng)為30cm，底面圓的半徑為10cm，這種圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)是_____．10．(2023·浙江寧波·中考真題）如圖，在△ABC中，AC=2，BC=4，點(diǎn)O在BC上，以O(shè)B為半徑的圓與AC相切于點(diǎn)A，D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ACD為直角三角形時(shí)，AD的長(zhǎng)為_(kāi)__________．11．(2023·江蘇泰州）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO與⊙O相交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在上，且與點(diǎn)A，B不重合，若∠P=26°，則∠C的度數(shù)為_(kāi)________°．12．(2023·黑龍江哈爾濱）一個(gè)扇形的面積為，半徑為，則此扇形的圓心角是___________度．13．(2023·四川宜賓）如圖，點(diǎn)C是以AB為直徑的上一點(diǎn)，點(diǎn)D是AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作AB的垂線交AC于點(diǎn)G，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且．(1)求證：DE是的切線；(2)若點(diǎn)F是OA的中點(diǎn)，，，求EC的長(zhǎng)．14．(2023·湖北十堰）如圖，中，，為上一點(diǎn)，以為直徑的與相切于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，垂足為．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．15．(2023·四川雅安）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分線，以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O與直線AO交于點(diǎn)E和點(diǎn)D．(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)連接CE，求證：△ACE∽△ADC；(3)若＝，⊙O的半徑為6，求tan∠OAC．16．(2023·四川成都·中考真題）如圖，在中，，以為直徑作⊙，交邊于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使，連接，作射線交邊于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求及的長(zhǎng)．17．(2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，為的弦，交于點(diǎn)，交過(guò)點(diǎn)的直線于點(diǎn)，且．(1)試判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，求的長(zhǎng)．18．(2023·黑龍江哈爾濱）已知是的直徑，點(diǎn)A，點(diǎn)B是上的兩個(gè)點(diǎn)，連接，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是半徑的中點(diǎn)，連接，且．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)G是上一點(diǎn)，連接，若，，求的長(zhǎng)．熱點(diǎn)10圓命題趨勢(shì)命題趨勢(shì)廣東中考中對(duì)圓這部分的知識(shí)，是必考知識(shí)點(diǎn)。題型主要有比較全面，可能是選擇題，填空題，簡(jiǎn)答題的相關(guān)證明與計(jì)算等。對(duì)考生考查要求高，考查學(xué)生們的推理能力、運(yùn)算能力，考查空間觀念與幾何直觀，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想。這幾年來(lái)均是第22題~24題中的簡(jiǎn)答形式進(jìn)行考查，難度較大。2020年中考第24題出現(xiàn)了幾何綜合題型，2022年中考第22題考查題型難度不大，知識(shí)綜合強(qiáng)度小，預(yù)測(cè)今年考查難度會(huì)有所提升。熱點(diǎn)解讀熱點(diǎn)解讀在備考中，要求考生熟練掌握與圓有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，三角函數(shù)，三角形相似，解直角三角形，勾股定理，平行性質(zhì)等知識(shí)．縱觀近幾年的中考試題，主要考查以下兩個(gè)方面：一是考查圓的切線與角度、平行四邊形等證明．二是考查線段長(zhǎng)度、角度等計(jì)算．滿分技巧滿分技巧命題熱點(diǎn)1：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)（1）圓:平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓,圓既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形.（2）圓具有對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)不變性.（3）不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.（4）圓上各點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑.（5）圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧,大于半圓周的弧稱為優(yōu)弧,小于半圓周的弧稱為劣弧.（6）連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦,經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑.（7）弧、弦、圓心角的關(guān)系定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦也相等.

推論：在同圓或等圓中,兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中如果有一組量相等,則它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也分別相等.

命題熱點(diǎn)2：*垂徑定理（1）定理：垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

（2）推論1：①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

②弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

③平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧.

（3）推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等.

注意:軸對(duì)稱性是圓的基本性質(zhì),垂徑定理及其推論就是根據(jù)圓的軸對(duì)稱性總結(jié)出來(lái)的,它們是證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系、弧相等和一條弦是直徑的重要依據(jù).遇弦作弦心距是圓中常用的輔助線.命題熱點(diǎn)3：與圓有關(guān)的角及其性質(zhì)（1）圓心角:頂點(diǎn)在圓心,角的兩邊和圓相交的角叫做圓心角.圓周角:頂點(diǎn)在圓上且角的兩邊和圓相交的角叫做圓周角.（2）圓周角定理定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.

推論：①同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.

②半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直徑,90°的圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑.

③圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

命題熱點(diǎn)4：圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)計(jì)算（1）半徑為R的圓周長(zhǎng)：C=πd=2πR.

（2）半徑為R的圓中,n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為l,則l=.

命題熱點(diǎn)5：圓、扇形面積計(jì)算（1）半徑為R的圓面積S=（2）半徑為R的圓中,圓心角為n°的扇形面積為S扇=或S扇=.

命題熱點(diǎn)6：圓柱、圓錐的有關(guān)計(jì)算（1）圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形,圓柱側(cè)面積S=2πRh,全面積S=2πRh+2πR2(R表示底面圓的半徑,h表示圓柱的高).

（2）圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形,圓錐側(cè)面積S=πRl,全面積S=πRl+πR2(R表示底面圓的半徑,l表示圓錐的母線).

（3）圓柱的體積=底面積×高,即V=Sh=πR2h.

圓錐的體積=×底面積×高,即V=πR2h.

命題熱點(diǎn)7：正多邊形與圓（1）正多邊形:各邊相等,各角相等的多邊形叫做正多邊形.（2）圓與正多邊形的有關(guān)概念:一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心,外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑;正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角,中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.（3）正多邊形的內(nèi)角和=(n-2)·180°;正多邊形的每個(gè)內(nèi)角=

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正多邊形的周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×邊數(shù);正多邊形的面積=×周長(zhǎng)×邊心距.命題熱點(diǎn)8：點(diǎn)、線與圓的位置關(guān)系如果圓的半徑為r,某一點(diǎn)到圓心的距離為d,那么:（1）點(diǎn)在圓外?d>r;（2）點(diǎn)在圓上?d=r;（3）點(diǎn)在圓內(nèi)?d<r.2.直線與圓的位置關(guān)系有三種:相離、相切和相交位置關(guān)系相離相切相交圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)012數(shù)量關(guān)系d>rd=rd<r3.切線的性質(zhì)與判定（1）切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.（2）切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

4.*切線長(zhǎng)定理（1）切線長(zhǎng)：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上,這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長(zhǎng),叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).（2）定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.限時(shí)檢測(cè)限時(shí)檢測(cè)1．如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于P，若∠A＝30°，∠APD＝60°，則∠B等于（

）A．30° B．40° C．50° D．60°答案:A分析：要求∠B的度數(shù)，可以求出同弧所對(duì)的圓周角∠C的度數(shù)；△APC中，已知了∠A及外角∠APD的度數(shù)，即可由三角形的外角性質(zhì)求出∠C的度數(shù)，由此得解．【詳解】解：∵∠APD是△APC的外角，∴∠APD=∠C+∠A，∵∠A=30°，∠APD=60°，∴∠C=∠APD-∠A=60°-30°=30°，∵∠B和∠C是同弧所對(duì)的圓周角，∴∠B=∠C=30°，故A正確．故選：A．2．如圖所示，點(diǎn)在圓上，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．答案:C分析：根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】∵點(diǎn)A、B、C在圓上∴又∵∴故選：C3．如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)畫(huà)的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．答案:B分析：根據(jù)切線的性質(zhì)得到BA⊥AD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠B，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，進(jìn)而求出∠BAC，根據(jù)垂徑定理得到BA⊥EC，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵AD是⊙O的切線，∴BA⊥AD，∵∠ADB=58.5°，∴∠B=90°-∠ADB=31.5°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°-∠B=58.5°，∵點(diǎn)A是弧EC的中點(diǎn)，∴BA⊥EC，∴∠ACE=90°-∠BAC=31.5°，故選：B．4．如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線和的外接圓相交于點(diǎn)，連接，，，若，則的大小為（

）A． B． C． D．答案:C解析：解：在⊙O中，∠CBD=25°，∴∠CAD=25°，∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAC=2∠CAD=50°，∴∠EBC+∠ECB=（180°-50°）÷2=65°，∴∠BEC=180°-65°=115°．故選：C．5．如圖，在半徑為，圓心角等于45°的扇形AOB內(nèi)部作一個(gè)矩形CDEF，使點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D、E在OB上，點(diǎn)F在弧AB上，且．則圖中陰影那分的面積（

）A． B． C． D．答案:B解析：連接OF，設(shè)CD＝x，則DE＝2x∵∠O＝45°，則OD＝x，在RtΔOEF中，由勾股定理得OE2+EF2＝OF2，即，解得x＝±1（舍去負(fù)數(shù)），∴OD＝1，S陰影＝S扇形AOB﹣S△OCD﹣S矩形CDFE，，．故選B．6．如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，⊙O的切線EF分別交PA，PB于點(diǎn)E，F(xiàn)，切點(diǎn)C在弧AB上，若PA長(zhǎng)為8，則△PEF的周長(zhǎng)是_____．答案:16分析：由切線長(zhǎng)定理知，AE＝CE，F(xiàn)B＝CF，PA＝PB＝12，然后根據(jù)△PEF的周長(zhǎng)公式即可求出其結(jié)果．【詳解】解：∵PA、PB、EF分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B、C，∴AE＝CE，F(xiàn)B＝CF，PA＝PB＝8，∴△PEF的周長(zhǎng)＝PE+EF+PF＝PA+PB＝16．故答案為：16．7．如圖，等邊三角形ABC中，AB=4，圓O與三角形內(nèi)切，則陰影部分的面積為_(kāi)_______．答案:分析：首先連接圓心和切點(diǎn)，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可以得到CD=AC=2，OD=DC·tan∠OCD=，進(jìn)一步求出，，最后利用陰影部分面積=得出結(jié)果.【詳解】解：設(shè)圓O分別與AC和CB的切點(diǎn)為點(diǎn)D和E，連接OD、OE、OC，OC交圓O于點(diǎn)F，∴∠ODC=∠OEC=90°，∴∠OCD=∠OCE=∠DCE=30°，

又∵CD=AC=2，∴OD=DC·tan∠OCD=，∴，同理，∴，,所以陰影部分的面積=，故答案為.8．如圖，兩個(gè)圓都是以點(diǎn)O為圓心，大圓的弦AB是小圓的切線，點(diǎn)P為切點(diǎn)，，則圖中圓環(huán)的面積為_(kāi)________．答案:分析：連接OP，OA，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OP⊥AB，根據(jù)垂徑定理求出AP=5，最后根據(jù)圓的面積公式計(jì)算即可達(dá)到答案.【詳解】解：連接OP，OA，∵大圓的弦AB是小圓的切線，∴OP⊥AB，∴，又AB=10，∴AP=5，在中，，∴，∴圓環(huán)的面積為．故答案為．9．如圖，已知⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，且半徑為2，則陰影部分的面積為_(kāi)___．答案:分析：由⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓可求得∠AOB，進(jìn)而求得圓的半徑為OA，由扇形的面積公式求得S扇形OAB，由三角形的面積公式求出S△OAB，根據(jù)S陰影=S扇形OAB-S△OAB即可求得結(jié)果．【詳解】解：∵⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，∴∠AOB=360°÷6=60°，∵OA=OB，∴△OAB是等邊三角形，∴OA=AB=2，∴S扇形OAB=，過(guò)O作OH⊥AB于H，如下圖所示：∴∠AOH=∠AOB=30°，∴AH=AB=，∴OH=，∴S△OAB=AB×OH=，∴S陰影=S扇形OAB-S△OAB=，故答案為：．10．如圖，⊙O的直徑CD為6cm，OA，OB都是⊙O的半徑，∠AOD＝2∠AOB＝60°，點(diǎn)P在直徑CD上移動(dòng)，則AP+BP的最小值為_(kāi)_____．答案:分析：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD，交⊙O于E，連接AE，交CD于P，連接BP，OE，根據(jù)垂徑定理可得CD垂直平分線BE，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BP=PE，可得PA+PB=PA+PE，即可得出AE為AP+BP的最小值，根據(jù)∠AOD＝2∠AOB＝60°可得∠BOD=30°，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得∠DOE=∠BOD=30°，可得∠AOE=90°，根據(jù)CD為直徑可得OA的長(zhǎng)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AE的長(zhǎng)即可得答案．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD，交⊙O于E，連接AE，交CD于P，連接BP，OE，∵CD是⊙O的直徑，BE⊥CD，∴CD垂直平分線BE，∴BP=PE，∴PA+PB=PA+PE，∴AE為AP+BP的最小值，∵∠AOD＝2∠AOB＝60°，∴∠BOD=30°，∵OB=OE，OD⊥BE，∴∠DOE=∠BOD=30°，∴∠AOE=90°，∴△AOE是等腰直角三角形，∵CD=6，∴OA=CD=3，∴AE==，∴AP+BP的最小值為．故答案為：11．如圖，AB是⊙O的直徑，AD⊥AB于A，點(diǎn)E為⊙O上一點(diǎn)，AD＝DE，連接DE并延長(zhǎng)，交AB延長(zhǎng)線于C．（1）求證：CD與⊙O相切；（2）若AC＝6，∠C＝30°，求線段EC的長(zhǎng)．答案:(1)見(jiàn)解析(2)分析：（1）連接，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而得到，根據(jù)切線的判定即可得出結(jié)論；（2）設(shè)的半徑為，則，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)得到，解方程即可求出，在中，根據(jù)勾股定理即可求出長(zhǎng)．【詳解】(1)如圖：連接，，是的半徑與相切(2)設(shè)的半徑為，則與相切解得：在中,12．如圖，AB為⊙O的弦，D，C為的三等分點(diǎn)，AC∥BE．（1）求證：∠A＝∠E；（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的長(zhǎng)．答案:(1)證明見(jiàn)解析(2)分析：（1）如圖，連接，根據(jù)等弧對(duì)等角，可知，進(jìn)而可得，，四邊形是平行四邊形，可證；（2）證明，則，證明，則，求解的值，對(duì)計(jì)算求解即可．【詳解】(1)證明：如圖，連接∵D，C為的三等分點(diǎn)∴，∴∵，∴∴∵，∴四邊形是平行四邊形∴．(2)解：在和中∵∴∴∵∴∴∵，∴∴即解得∴∴的長(zhǎng)為．13．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABED中，∠BAD＝90°，AB＝AE，AD，BE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)C，DF是⊙O的切線．（1）求證：FD＝FC；（2）若EF＝3，DE＝4，求AB的長(zhǎng)．答案:(1)見(jiàn)解析(2)分析：（1）連接，根據(jù)半圓所對(duì)的圓周角是直角得到是的直徑，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，求得，由等腰三角形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理得到，，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求得，又根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】(1)解：證明：連接，，是的直徑，是的切線，，，，，，，，，，；(2)解：，，在中，，，，在中，，，，，，，，，，，，，．14．(2023·廣東佛山·一模）如圖，在⊙O上有位于直徑AB的兩側(cè)的定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，=2，點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)C作直線PB的垂AC線CD，垂足為點(diǎn)D．（1）如圖1，求證：△ABC∽△PCD；（2）類比（1）中的情況，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ABC≌△PCD？請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出△PCD，并說(shuō)明理由．（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，有CP⊥AB時(shí)，求∠BCD的度數(shù)．答案:(1)見(jiàn)解析(2)當(dāng)PC是⊙O的直徑時(shí)，△PCD≌△ABC，畫(huà)圖見(jiàn)解析(3)30°解析：分析：（1）由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑對(duì)的圓周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由PD⊥CD，可得∠D=∠ACB，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可得∠A=∠P，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即可判定：△PCD∽△ABC．（2）同（1）證∠D=∠ACB，∠A=∠P，即可得到答案．（3）由∠ACB=90°，，可求得∠ABC的度數(shù)，然后利用相似，即可得∠PCD的度數(shù)，又由垂徑定理，求得，然后利用圓周角定理求得∠ACP的度數(shù)，從而求得答案．【詳解】(1)解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∵PD⊥CD，∴∠D=90°．∴∠D=∠ACB．∵∠A與∠P是所對(duì)的圓周角，∴∠A=∠P，∴△PCD∽△ABC．(2)當(dāng)PC是⊙O的直徑時(shí)，△PCD≌△ABC．理由如下：∵AB，PC是⊙O的半徑，∴AB=PC．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∵PD⊥CD，∴∠D=90°．∴∠D=∠ACB．∵∠A與∠P是所對(duì)的圓周角，∴∠A=∠P，∴△ABC≌△PCD（AAS）畫(huà)圖如下：(3)解：∵∠ACB=90°，，∴∴∠ABC=30°．∵△PCD∽△ABC，∴∠PCD=∠ABC=30°．∵CP⊥AB，AB是⊙O的直徑，∴．∴∠ACP=∠ABC=30°．∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°．15．如圖，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，是的弦，．（1）求證：直線是的切線；（2）若，求的半徑；（3）若于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，，，請(qǐng)找出，，之間的關(guān)系，并證明．答案:（1）見(jiàn)解析；（2）3；（3），理由見(jiàn)解析解析：分析：（1）先求出∠BAD＝120°，再求出∠OAB，進(jìn)而得出∠OAD＝90°，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出△AOC是等邊三角形，得出AC＝OC，再判斷出AC＝CD，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出∠CAP＝∠CEM，進(jìn)而得出△ACP≌△ECM（SAS），進(jìn)而得出CM＝CP，∠APC＝∠M＝30°，再判斷出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，，，，，點(diǎn)在上，∴直線是的切線；（2）解：如圖1，連接，由（1）知，，，，是等邊三角形，，，，，，即的半徑為3；（3），理由：如圖，，，連接，延長(zhǎng)至，使，連接，，為的直徑，，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，，過(guò)點(diǎn)作于，，在中，，，，，，，即．中考連接1．(2023·湖南婁底）如圖，等邊內(nèi)切的圖形來(lái)自我國(guó)古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于等邊的內(nèi)心成中心對(duì)稱，則圓中的黑色部分的面積與的面積之比是（

）A． B． C． D．答案:A分析：由題意，得圓中黑色部分的面積是圓面積的一半，令BC=2a，則BD=a，根據(jù)勾股定理，得出AD=，同時(shí)在Rt△BOD中，OD=，進(jìn)而求出黑色部分的面積以及等邊三角形的面積，最后求出答案．【詳解】解：令內(nèi)切圓與BC交于點(diǎn)D，內(nèi)切圓的圓心為O，連接AD，OB，由題可知，圓中黑色部分的面積是圓面積的一半，令BC=2a，則BD=a，在等邊三角形ABC中AD⊥BC，OB平分∠ABC，∴∠OBD=∠ABC=30°，由勾股定理，得AD=，在Rt△BOD中，OD=tan30°×BD=，∴圓中的黑色部分的面積與的面積之比為．故選：A．2．(2023·山東聊城）如圖，AB，CD是的弦，延長(zhǎng)AB，CD相交于點(diǎn)P．已知，，則的度數(shù)是（

）A．30° B．25° C．20° D．10°答案:C分析：如圖，連接OB，OD，AC，先求解，再求解，從而可得，再利用周角的含義可得，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接OB，OD，AC，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．∴的度數(shù)20°．故選：C．3．(2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，有一個(gè)半徑為2的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)刻度間的弧長(zhǎng)均相等，過(guò)9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．答案:B分析：陰影部分的面積等于扇形面積減去三角形面積，分別求出扇形面積和等邊三角形的面積即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)OC作OD⊥AB于點(diǎn)D，∵∠AOB=2×=60°，∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1，∴OD=，∴陰影部分的面積為，故選：B．4．(2023·湖北宜昌·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，連接，，，若，則（

）A． B． C． D．答案:B分析：根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)計(jì)算即可．【詳解】∵四邊形內(nèi)接于，∴，由圓周角定理得，，∵∴故選：B．5．(2023·廣西賀州）如圖，在等腰直角中，點(diǎn)E在OA上，以點(diǎn)O為圓心、OE為半徑作圓弧交OB于點(diǎn)F，連接EF，已知陰影部分面積為，則EF的長(zhǎng)度為（

）A． B．2 C． D．答案:C分析：根據(jù)題意可得：OE=OF，∠O=90°，設(shè)OE=OF=x，利用陰影部分面積列出等式，得出，然后由勾股定理求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：OE=OF，∠O=90°，設(shè)OE=OF=x，∴，解得：，∴，故選：C．6．(2023·黑龍江大慶）已知圓錐的底面半徑為5，高為12，則它的側(cè)面展開(kāi)圖的面積是(

)A． B． C． D．答案:B分析：根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知，圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的半徑即圓錐的母線長(zhǎng)為，∴圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積為，故選B．7．(2023·四川遂寧·中考真題）如圖，圓錐底面圓半徑為7cm，高為24cm，則它側(cè)面展開(kāi)圖的面積是（

）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2答案:C分析：先利用勾股定理計(jì)算出AC=25cm，由于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，則可根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算出圓錐的側(cè)面積．【詳解】解：在中，cm，∴它側(cè)面展開(kāi)圖的面積是cm2．故選：C8．(2023·浙江湖州·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足為C，OC的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D．若∠APD是所對(duì)的圓周角，則∠APD的度數(shù)是______．答案:30°##30度分析：根據(jù)垂徑定理得出∠AOB=∠BOD，進(jìn)而求出∠AOD=60°，再根據(jù)圓周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．【詳解】∵OC⊥AB，OD為直徑，∴，∴∠AOB=∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°，∴∠APD=∠AOD=30°，故答案為：30°．9．(2023·云南·中考真題）某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生到教具加工廠制作圓錐，他們制作的圓錐，母線長(zhǎng)為30cm，底面圓的半徑為10cm，這種圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)是_____．答案:分析：設(shè)這種圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)為n，，進(jìn)行解答即可得．【詳解】解：設(shè)這種圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)為n°，故答案為：．10．(2023·浙江寧波·中考真題）如圖，在△ABC中，AC=2，BC=4，點(diǎn)O在BC上，以O(shè)B為半徑的圓與AC相切于點(diǎn)A，D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ACD為直角三角形時(shí)，AD的長(zhǎng)為_(kāi)__________．答案:或分析：根據(jù)切線的性質(zhì)定理，勾股定理，直角三角形的等面積法解答即可．【詳解】解：連接OA，①當(dāng)D點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)，∠CAD為90°，設(shè)圓的半徑=r，∴OA=r，OC=4-r，∵AC=4，在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理可得：r2+4=（4-r）2，解得：r=，即AD=AO=；②當(dāng)∠ADC=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵AO?AC=OC?AD，∴AD=，∵AO=，AC=2，OC=4-r=，∴AD=，綜上所述，AD的長(zhǎng)為或，故答案為：或．11．(2023·江蘇泰州）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO與⊙O相交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在上，且與點(diǎn)A，B不重合，若∠P=26°，則∠C的度數(shù)為_(kāi)________°．答案:32分析：連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)求出∠O=64°．再根據(jù)圓周角的定理，求解即可．【詳解】解：連接OA，∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠PAO=90°，∴∠O=90°-∠P，∵∠P=26°，∴∠O=64°，∴∠C=∠O=32°．故答案為：32．12．(2023·黑龍江哈爾濱）一個(gè)扇形的面積為，半徑為，則此扇形的圓心角是___________度．答案:70分析：設(shè)扇形的圓心角是，根據(jù)扇形的面積公式即可得到一個(gè)關(guān)于n的方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)扇形的圓心角是，根據(jù)扇形的面積公式得：

解得n=70．故答案是：．13．(2023·四川宜賓）如圖，點(diǎn)C是以AB為直徑的上一點(diǎn)，點(diǎn)D是AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作AB的垂線交AC于點(diǎn)G，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且．(1)求證：DE是的切線；(2)若點(diǎn)F是OA的中點(diǎn)，，，求EC的長(zhǎng)．答案:(1)見(jiàn)解析(2)分析：（1）連結(jié)OC，利用等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理證，即可由切線的判定定理得出結(jié)論；（2）解，求出，從而求得，則可求得，再證，得，即可求得，即可由求解．(1)證明：如圖，連結(jié)OC，∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴DE是的切線；(2)解：在中，，，∴，∴，∴，∴，又∵點(diǎn)F為AO中點(diǎn)，

∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．14．(2023·湖北十堰）如圖，中，，為上一點(diǎn)，以為直徑的與相切于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，垂足為．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．答案:(1)見(jiàn)解析(2)分析：（1）連接，設(shè)，，根據(jù)已知條件以及直徑所對(duì)的圓周角相等，證明，進(jìn)而求得，即可證明是的切線；（2）根據(jù)已知條件結(jié)合（1）的結(jié)論可得四邊形是正方形，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，根據(jù)，，即可求解．(1)如圖，連接，，則，設(shè)，，，，為的直徑，，，即，，，，，，，，為的半徑，是的切線；(2)如圖，連接，是的切線，則，又，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，在中，，，，，由（1）可得，，，，解得．15