新高考2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破精練第21講數(shù)列求和教師版

第21講數(shù)列求和一、單選題1．（2024·山東·嘉祥縣第一中學(xué)高三期中）在進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，德國大數(shù)學(xué)家高斯提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)肯定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數(shù)列滿意，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用倒序相加法得到，得到答案.【詳解】依題意，記，則，又，兩式相加可得，則.故選：B．2．（2024·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若等比數(shù)列滿意，則（）．A．2024 B． C．2 D．【答案】A【分析】由函數(shù)解析式可知，，而依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)恰好滿意兩兩互為倒數(shù).因此可以利用函數(shù)特征代入，利用倒序求和解決求和問題【詳解】∵，∴．∵數(shù)列為等比數(shù)列，且，∴．∴，∴由倒序求和可得．故選：A．3．（2024·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求的值是（）A． B．0 C．59 D．【答案】A【分析】由題得①，②，兩式相加化簡即得解.【詳解】令①則②①+②可得：，，..故選：A4．（2024·江西·新余市第一中學(xué)高二月考）已知函數(shù)，數(shù)列滿意，則（）A．2024 B．2024 C．4036 D．4038【答案】A【分析】依據(jù)函數(shù)解析式確定為常數(shù)，再得到，然后利用倒序相加法求和即可.【詳解】∵，∴．又∵，∴．令，則，兩式相加得，∴．故選：A5．（2024·全國·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)，則的值為（）A．1 B．2 C．2024 D．2024【答案】C【分析】設(shè)，得到，再利用倒序相加求和得解.【詳解】解：函數(shù)，設(shè)，則有，所以，所以當(dāng)時(shí)，，令，所以，故．故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）錯(cuò)位相減法；（3）裂項(xiàng)相消法；（4）分組求和法；（5）倒序相加法.要依據(jù)已知條件敏捷選擇方法求解.6．（2024·河南南陽·高二期中）已知數(shù)列滿意，，，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用累加法得到，帶入得到，再利用分組求和法計(jì)算得到答案.【詳解】，即...故.故選：A.7．（2024·河南南陽·高三期中（文））意大利數(shù)學(xué)家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)”?化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列的各項(xiàng)除以2的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為（）A．2024 B．1348 C．1347 D．672【答案】B【分析】求出已知數(shù)列除以2所得的余數(shù)，歸納可得是周期為3的周期數(shù)列，求出一個(gè)周期中三項(xiàng)和，從而可得結(jié)果.【詳解】由數(shù)列各項(xiàng)除以2的余數(shù)，可得為，所以是周期為3的周期數(shù)列，一個(gè)周期中三項(xiàng)和為，因?yàn)椋詳?shù)列的前2024項(xiàng)的和為，故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)列的周期性以及應(yīng)用，考查了遞推關(guān)系求數(shù)列各項(xiàng)的和，利用遞推關(guān)系求數(shù)列中的項(xiàng)或求數(shù)列的和：（1）項(xiàng)的序號較小時(shí)，逐步遞推求出即可；（2）項(xiàng)的序數(shù)較大時(shí)，考慮證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列，或者是周期數(shù)列.8．（2024·云南大理·模擬預(yù)料（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿意，則的值為（）A．7 B．126 C．247 D．254【答案】C【分析】依據(jù)和的關(guān)系得到，計(jì)算，，故，利用分組求和法計(jì)算得到答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，，相減得到，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，驗(yàn)證時(shí)成立，故，，，.故選：C.9．（2024·西藏·拉薩中學(xué)高二月考）數(shù)列滿意，則它的前20項(xiàng)和等于（）A．-10 B．-20 C．10 D．20【答案】D【分析】依據(jù)，利用并項(xiàng)求和法即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所?故選：D.10．（2024·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列中，，，則（）．A．3009 B．3031 C．3010 D．3030【答案】B【分析】由條件求數(shù)列的前幾項(xiàng)，由此確定數(shù)列具有周期性，利用組合求合法求.【詳解】在數(shù)列中，，，可得，，，…，即奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為2，則．故選：B．11．（2024·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，其前項(xiàng)和，則項(xiàng)數(shù)（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】利用分組求和的方法，求出數(shù)列的前項(xiàng)和，解方程即可.【詳解】由題知，．又，由得．故選：C12．（2024·河南·高二月考（文））設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．620 B．630 C．640 D．650【答案】A【分析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，可得的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的求和公式可得奇數(shù)項(xiàng)的和，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，可計(jì)算偶數(shù)項(xiàng)的和，由分組求和即可求解.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，故數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，，，，所以，所以.故選：A.二、多選題13．（2024·全國·高二單元測試）已知數(shù)列滿意，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（）A．的值為2B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為C．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列D．【答案】ACD【分析】對于A，令干脆求解，對于B，當(dāng)時(shí)，，然后與已知的式子相減可求出，對于C，利用進(jìn)行推斷，對于D，利用錯(cuò)位相減法求解即可【詳解】當(dāng)時(shí)，，∴，∴A正確；當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵上式對也成立，∴（），∴B錯(cuò)誤；∵，∴數(shù)列為遞減數(shù)列，∴C正確；∵，∴，兩式相減得，∴，∴．∴D正確．故選：ACD．14．（2024·河北衡水中學(xué)高三月考）提丟斯·波得定律是關(guān)于太陽系中行星軌道的一個(gè)簡潔的幾何學(xué)規(guī)則，它是在1766年由德國的一位中學(xué)老師戴維斯·提丟斯發(fā)覺的，后來被柏林天文臺(tái)的臺(tái)長波得歸納成一條定律，即數(shù)列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太陽系第顆行星與太陽的平均距離(以天文單位為單位).現(xiàn)將數(shù)列的各項(xiàng)乘以10后再減，得到數(shù)列，可以發(fā)覺數(shù)列從第3項(xiàng)起，每項(xiàng)是前一項(xiàng)的2倍，則下列說法正確的是（）A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為B．?dāng)?shù)列的第2024項(xiàng)為C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和【答案】CD【分析】由題意可得數(shù)列由此可得數(shù)列從第2項(xiàng)起構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，從而可求出其通項(xiàng)公式，推斷選項(xiàng)A，由于，所以可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可推斷B，對于C，利用分組求和可求出數(shù)列的前項(xiàng)和，對于D，利用錯(cuò)位相減法可求出數(shù)列的前項(xiàng)和【詳解】數(shù)列各項(xiàng)乘以10再減4得到數(shù)列故該數(shù)列從第2項(xiàng)起構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，所以故A錯(cuò)誤；從而所以故B錯(cuò)誤當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)0.3.當(dāng)時(shí)也符合上式，所以故C正確因?yàn)樗援?dāng)時(shí)當(dāng)2時(shí)，所以所以又當(dāng)時(shí)也滿意上式，所以，故D正確.故選：CD.15．（2024·廣東荔灣·高二期末）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，若數(shù)列滿意：，且，則以下說法正確的是（）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C． D．【答案】ACD【分析】利用求得通項(xiàng)公式，即可得推斷A；化簡推斷的正負(fù)可推斷單調(diào)性推斷B；利用錯(cuò)位相減法可求得，再作差推斷的正負(fù)可推斷D.【詳解】，則當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，也適合，故，則，則，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故A正確；，，當(dāng)時(shí)，，即，則數(shù)列不是遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；，，兩式相減可得，所以，故C正確；，當(dāng)時(shí)，，則,當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，綜上可得，故D正確.故選：ACD.16．（2024·江蘇·蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)高二月考）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列正確的結(jié)論是（）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列C． D．【答案】BCD【分析】推導(dǎo)出，可推斷AB選項(xiàng)的正誤；利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可推斷C選項(xiàng)的正誤；利用裂項(xiàng)求和法可推斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】因?yàn)椋?，，，則，，，以此類推可知，對隨意的，，所以，，則，故數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，所以，，，，所以，.所以，BCD選項(xiàng)正確，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BCD.17．（2024·全國·高三月考）已知數(shù)列滿意，（），則下列說法正確的有（）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和不超過C．存在等差數(shù)列，使得對恒成立D．不存在實(shí)數(shù)，使得對恒成立【答案】ABC【分析】先由題意求得，將其代入A選項(xiàng)干脆得出結(jié)論；B選項(xiàng)，利用放縮技巧將其裂項(xiàng)求和得結(jié)論；C選項(xiàng)，利用超越不等式得到結(jié)論；D選項(xiàng)，由錯(cuò)位相減法可得結(jié)論.【詳解】將兩邊同除以，得到，所以為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為1，所以，對于A選項(xiàng)，，此時(shí)令，則，所以數(shù)列是等差數(shù)列，正確；B選項(xiàng)，，所以，所以正確；C選項(xiàng)，，又令，則，令，則，令，則，所以在單減，在單增，又，所以，即成立，所以，所以存在等差數(shù)列，使得對恒成立所以正確；D選項(xiàng)，令，則，所以，令,則，所以，所以，故錯(cuò)誤，故選：ABC18．（2024·江蘇·海安高級中學(xué)高二期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，若，則正整數(shù)的值可以為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】CD【分析】由題意，項(xiàng)和轉(zhuǎn)換可得，裂項(xiàng)相消可得，令，解不等式即可【詳解】由已知可得，當(dāng)時(shí)，，即，∴，，令，得，即解得（舍去）或，∴結(jié)合選項(xiàng)，知正整數(shù)的值可以為8或9．故選：CD19．（2024·江蘇·高二單元測試）設(shè)數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】對于AB，通過累乘法求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式，即可求解；對于CD，通過的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)公式，再通過裂項(xiàng)相消求，進(jìn)而求解.【詳解】由題意，得，∴當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)也符合上式，∴，易得，∴，故A，B正確；，∴，易知單調(diào)遞增，∴，∴，故C錯(cuò)誤，D正確.故選:ABD．三、填空題20．（2024·上海市行知中學(xué)高二期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為___．【答案】【分析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可得的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)求和即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闈M意上式，所以，所以所以，故答案為：.21．（2024·上海市復(fù)興高級中學(xué)高二期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則滿意的最小值為___________【答案】【分析】先求得，由，可得，由此即可求解【詳解】因?yàn)?，所以，由，可得，解得，所以滿意的最小值為，故答案為：22．（2024·寧夏·六盤山高級中學(xué)高二月考（理））無窮數(shù)列滿意：只要必有則稱為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”.已知為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”，且前四項(xiàng)成等比數(shù)列，，則=_________.【答案】7578【分析】依據(jù)新定義得數(shù)列是周期數(shù)列，從而易求得．【詳解】∵成等比數(shù)列，，∴，又，為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”，∴，，，，…，∴數(shù)列是周期數(shù)列，周期為4．∴．故答案為：7578．23．（2024·全國·模擬預(yù)料）已知數(shù)列滿意，，，則下列表達(dá)式的值為____________．【答案】【分析】依次求得，由此求得所求表達(dá)式的值.【詳解】，，，，，，，，．故答案為：四、解答題24．（2024·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的值；（3）令，求數(shù)列的前2024項(xiàng)和.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由題意可得：，由即可求解；（2）求出的表達(dá)式，由指數(shù)的運(yùn)算即可求解；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，利用倒序相加法即可求解.（1）因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，適合上式，所以.（2）因?yàn)?，所以，所?（3）由（1）知，可得，所以，①又因?yàn)?，②因?yàn)椋寓佗?，得，所?25．（2024·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，(n－1)an＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，n∈N*.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記Tn＝S1＋S2＋…＋Sn，求Tn.【答案】（1）證明見解析（2）Tn＝(n－1)×2n＋1＋2－【分析】（1）依據(jù)an＝Sn－Sn－1得到，即，得到證明.（2）計(jì)算Sn＝n·2n－n，依據(jù)錯(cuò)位相加法結(jié)合分組求和法計(jì)算得到答案.（1）當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，所以(n－1)(Sn－Sn－1)＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，即(n－1)Sn＝2nSn－1＋n(n－1)，則，所以，又＋1＝2，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.（2）知，所以Sn＝n·2n－n，故Tn＝(1×2＋2×22＋…＋n·2n)－(1＋2＋…＋n).設(shè)M＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，則2M＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1，所以－M＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，所以M＝(n－1)×2n＋1＋2，所以Tn＝(n－1)×2n＋1＋2－.26．（2024·陜西西安·模擬預(yù)料（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．【答案】（1）；（2）【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，可得，兩式相減即可求解；（2）由（1）可求得，進(jìn)而可得，，利用乘公比錯(cuò)位相減求和即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，兩式相減可得：，即，所以，不滿意，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）當(dāng)時(shí)，由，，可得，，滿意，所以，可得，，，，兩式相減可得：，所以.27．（2024·廣東順德·一模）已知數(shù)列，的各項(xiàng)均為正數(shù)．在等差數(shù)列中，，；在數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．【答案】（1）；（2）【分析】（1）結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，將詳細(xì)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的關(guān)系式，可求通項(xiàng)，，可求解的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知，再采納錯(cuò)位相減法即可求解．（1）（1）方法1：設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意得：，解得，，故；由可得：，即有或（舍），從而有數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，即可得；（2）（2）由（1）得，①，②，①②得：，故．28．（2024·浙江·模擬預(yù)料）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.數(shù)列滿意，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）依據(jù)與的關(guān)系以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.（2）由，利用疊加，裂項(xiàng)相消法即可證明.（1）∵，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，有，∴，∴，∵，∴∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，，偶數(shù)項(xiàng)是以3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，，∴.（2），所以得，從而，從而可得29．（2024·新疆·克拉瑪依市教化探討所模擬預(yù)料（理））已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，，且是與的等比中項(xiàng)．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）①；②；③．從上面三個(gè)條件中任選一個(gè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）選①時(shí)，；選②時(shí)，；選③時(shí)，.【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可構(gòu)造方程組求得，由此可得；（2）選①時(shí)，得到，利用裂項(xiàng)相消法可求得；選②時(shí)，得到，利用分組求和法，結(jié)合等差等比求和公式求得；選③時(shí)，得到，利用錯(cuò)位相減法可求得.（1）是遞增的等差數(shù)列，數(shù)列的公差，由題意得：，解得：，，．（2）選①時(shí)，．，．選②時(shí)，，．選③時(shí)，，，則，兩式作差得：．30．（2024·浙江·模擬預(yù)料）已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，且.數(shù)列滿意：(b1+b2.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）依據(jù)題意得到和，兩式相減得，解得答案.（2）計(jì)算，，放縮和，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算得到證明.（1）由得，兩式相減得，由，得，數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)分別是公差為2的等差數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.綜上所述.（2）由，，，，兩式相減得，，驗(yàn)證成立，故.則，那么，故，同理，故，得證.【點(diǎn)睛】本題考查了求數(shù)列的通項(xiàng)公式，證明數(shù)列不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，轉(zhuǎn)化實(shí)力和綜合應(yīng)用實(shí)力，其中數(shù)列的放縮是解題的關(guān)鍵，同學(xué)們須要敏捷駕馭.31．（2024·上?！つM預(yù)料）已知無窮數(shù)列滿意，.（1）若；（i）求證：；（ii）數(shù)列的前項(xiàng)和為且，求證：；（2）若對隨意的，都有，寫出的取值范圍并說明理由.【答案】（1）（i）證明見解析，（ii）證明見解析；（2）.【分析】（1）（i）首先依據(jù)已知條件推出與的大小關(guān)系，計(jì)算出，然后求出的取值范圍，從而可使問題得證；（ii）首先依據(jù)條件求出，然后求出，從而結(jié)合（i）的結(jié)論使問題得證；（2）首先分，，三種狀況求出的取值范圍，當(dāng)時(shí)，求出的取值范圍，從而可推出在時(shí)，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，即可求解的取值范圍．【詳解】（1）（i）由可得，①當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，②假設(shè)時(shí)，，則，∴時(shí)，，，由①②可知對一切正整數(shù)都有，∴，∴，∴，∴，但當(dāng)時(shí)，，∴．（ii）∵，∴，∴，∴，∴，由（i）知，可得，即，∴．（2）∵對隨意的，都有，且，∴明顯，由（1）證明知，①若，則，∴，∴；②若，則為常數(shù)列，∴；③若，則，∴，又，若，則，則，∴，∴當(dāng)時(shí)，有，∴當(dāng)時(shí)，，不符合題意．綜上可知，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于數(shù)列不等式的證明、不等式恒成立問題．解題中留意問題的轉(zhuǎn)化，如利用，求出這個(gè)式子的取值范圍后可證明不等式，利用裂項(xiàng)相消求和法求出，利用分類探討求出參數(shù)的取值范圍.32．（2024·四川遂寧·模擬預(yù)料（文））已知數(shù)列為等比數(shù)列，正項(xiàng)數(shù)列滿意，且，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）若從中去掉與數(shù)列中相同的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原來的依次組成數(shù)列，設(shè)，求.【答案】（1），（2）【分析】（1）先推斷數(shù)列是等差數(shù)列，再由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）由分組轉(zhuǎn)化求和法即可求解（1）因?yàn)?，所以，又，所?即，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列.所以，即，設(shè)的公比為，又，，所以，解得，所以.綜上，數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，；（2）由（1）知，，，，，，，，.所以..33．（2024·全國·模擬預(yù)料）已知數(shù)列滿意，若數(shù)列滿意，．（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）利用遞推作差法求出通項(xiàng)公式，且證明當(dāng)時(shí)也符合，再利用構(gòu)造法結(jié)合已知條件求出的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）借助分組求和、等差、等比數(shù)列求和公式即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】（Ⅰ）由得當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以，當(dāng)時(shí)也滿意上式，所以的通項(xiàng)公式為，因?yàn)?，因?yàn)?，所以，即，且，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，故．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．34．（2024·廣東·江門市培英高級中學(xué)模擬預(yù)料）已知數(shù)列滿意：，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列并求數(shù)列的前項(xiàng)和為．（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析，；（2）.【分析】（1）要證數(shù)列是等比數(shù)列，只需證明等于同一個(gè)常數(shù)即可，依據(jù)構(gòu)造即可得證；求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）求出數(shù)列得通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，即，，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，則，故，所以；（2）解：，則①②①②得：所以.35．（2024·山東肥城·模擬預(yù)料）設(shè)各項(xiàng)均為正的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由求出的值，當(dāng)時(shí)，由與的關(guān)系推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)與公差，可求得的通項(xiàng)公式；（2）計(jì)算出，然后利用等差數(shù)列的求和