2024-2025學(xué)年新教材高考數(shù)學(xué)空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示3練習(xí)含解析選擇性必修第一冊(cè)

PAGE8-空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示（45分鐘100分）一、選擇題(每小題6分,共30分)1.假如向量a,b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則肯定有()A.a與b共線 B.a與b同向C.a與b反向 D.a與b共面2.(2013·石家莊高二檢測(cè))設(shè)向量a,b,c不共面,則下列各組向量可作為空間的一個(gè)基底的是()A.{a+b,b-a,a} B.{a+b,b-a,b}C.{a+b,b-a,c} D.{a+b+c,a+b,c}3.(2013·珠海高二檢測(cè))在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M是上底面對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn),若A1B1→=a,A1D1→=b,A1A.12a+12b+c B.12a-1C.-12a-12b+c D.-12a+14.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若點(diǎn)F是側(cè)面CDD1C1的中心,且AF→=AD→+mAB→-nA.m=12,n=-B.m=-12,n=-C.m=-12,n=D.m=12,n=5.(2013·大理高二檢測(cè))平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M為AC和BD的交點(diǎn),若A1B→=a,A1D→=b,A1A→A.-12a+12b+c B.12a+1C.12a-12b+c D.-12a-1二、填空題(每小題8分,共24分)6.如圖,在空間四邊形OABC中,已知E是線段BC的中點(diǎn),G是AE的中點(diǎn),若OA→,OB→,OC→分別記為a,b,c,則用a,b,c表示7.正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別是底面A1C1和側(cè)面CD1的中心,若EF→+λA1D→=0(λ∈8.(2013·金華高二檢測(cè))已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E,F分別是棱BB1,DC的中點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則向量EF→的坐標(biāo)為三、解答題(9題,10題14分,11題18分)9.已知矩形ABCD,P為平面ABCD外一點(diǎn),且PA⊥平面ABCD,M,N分別為PC,PD上的點(diǎn),且PM→=2MC→,PN→=ND→,求滿意10.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)E,F分別在線段A1D,AC上,且EF⊥A1D,EF⊥AC,以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1分別作為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示).(1)試求向量EF(2)求證:EF∥BD1.11.(實(shí)力挑戰(zhàn)題)如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=2,DC=3,AD=1,E是DC上一點(diǎn),且DE=1,連接AE,將△DAE沿AE折起到△D1AE的位置,使得∠D1AB=30°,設(shè)AC與BE的交點(diǎn)為O.(1)試用基向量AB→,AE→,(2)求直線OD1與BC所成角的余弦值.答案解析1.【解析】選A.依據(jù)題意向量a,b與任何向量都共面,所以只有在a,b共線的條件下才有可能.2.【解析】選C.由已知條件及向量共面定理,易得a+b,b-a,c不共面,故可作為空間的一個(gè)基底.3.【解析】選D.結(jié)合圖形,依據(jù)三角形法則和平行四邊形法則計(jì)算得B1B1B→+BM→=A1A→+12(BA→+BC→)=-1【舉一反三】若把條件A1A→=c改為A1【解析】如圖,B1M→=B1A=-A1B1→=-A1B1→=-A1B1→+A1C→=-32A1B=-32a-12b+4.【解析】選A.AF→=AD→+DF→=AD=AD→+12DC→+12D∵DC→=AB→,∴m=12,n=-15.【解析】選A.

6.【解析】連接OE.OG→=OE→+EG→=12=12(OB→+OC→)-14=12(OB→+OC→)-14[(OC=12(OB→+OC→)-14(=14OB→+14OC→+12OA→=答案:12a+14b+7.【解題指南】通過(guò)向量的運(yùn)算與代換,把EF→用A1【解析】如圖,連接A1C1,C1D,則E在A1C1上,F在C1D上,易知EF=12A1∴EF→=∴12A1D→+∴λ=-12答案:-1【變式備選】如圖所示,已知ABCD-A1B1C1D1是平行六面體,且AA1→=a,AB→=b,AD→=c,且B1G→(1)A1(2)BG【解析】(1)A1C→=A1A→+AD→=-a+b+c.(2)BG→=BB1→+=BB1→+13(BA→+BC→)=8.【解析】由圖易知E(1,1,12),F(0,12,0),∴EF→=(-1,-答案:(-1,-12,-19.【解題指南】解決本題可以結(jié)合圖形,從向量MN→動(dòng)身,利用向量的運(yùn)算法則不斷進(jìn)行分解,直到全部向量都用AB→,【解析】方法一:如圖所示,取PC的中點(diǎn)E,連接NE,則MN→=EN∵EN→=1=-12AB→,EM=23PC→-1連接AC,則PC→=AC→-AP→=∴MN→=-12AB→-16(AB→+AD∴x=-23,y=-16,z=方法二:如圖所示,在PD上取一點(diǎn)F,使PF∶FD=2∶1,連接MF,則MN→=MF而MF→=23FN→=D=12DP=16DP→=16(∴MN→=-23AB→∴x=-23,y=-16,z=方法三:MN→=PN→-P=12(PA→+AD→)-2=-12AP→+12AD→-23=-23AB→-∴x=-23,y=-16,z=10.【解題指南】確定此空間向量的單位正交基底,并用單位正交基底表示向量EF→,【解析】(1)∵正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,依據(jù)題意知{DA→,DC→,DD1→}為單位正交基底,設(shè)DA→=i,DC→=j,DD1→=kED→+DC→+CF→,ED→與DA1→共線,CF→與CA→共線,∴+DC→+μCA→=λ(DA→+DD1→)+DC→+μ(DA→-DC→)=(λ+μ)DA→+(1-μ)D∵EF⊥A1D,EF⊥AC,即EF→⊥A1D→∴EF→·A1D→又A1D→=-i-k,AC→整理得-(λ+μ)-λ=0,解得λ=-13,μ=23,∴EF∴EF→的坐標(biāo)是(13,1(2)∵BD1→=BD→+DD1∴EF→=-13BD又EF與BD1無(wú)公共點(diǎn),∴EF∥BD1.11.【解析】(1)CD1→=CA→+AD=EA→+BA→+AD1→(2)∵OD1→=OA→+=-12AB→-1BC→=又∵<AB→,AE→>=45°,<AD1→,AE→∴cos<OD1→,=-1又異面直線OD1與BC所成角的范圍為(0,π2∴OD1與BC的夾角的余弦值為15【拓展提升】求解折疊問(wèn)題的妙招——向