ICTAM2012大會對外宣傳工作進展匯報

趙沛浙江大學交叉力學中心浙江大學工程力學系2019年4月16日第五章基本變形（4）：彎曲（3）材料力學（乙）重要基本概念的回顧與強化1、剪力方程和彎矩方程。

2、剪力圖和彎矩圖。

3、q(x)、FS(x)圖、M(x)圖三者間的關系。內力包括：剪力；彎矩；軸力。平面剛架是由在同一平面內，不同取向的桿件，通過桿端相互剛性連結而組成的結構。彎矩圖：畫在受壓（凹入）側，不注明正、負號。剪力圖及軸力圖：可畫在軸線的任一側（通常正值畫在剛架的外側），注明正、負號。內力圖符號的規(guī)定4、平面剛架和曲桿的內力平面曲桿是軸線為一平面曲線的桿件。AOABC重要基本概念的回顧與強化彎矩：使剛架桿外側受拉或曲桿的曲率增加的彎矩為正。平面剛架是由在同一平面內，不同取向的桿件，通過桿端相互剛性連結而組成的結構。平面曲桿是軸線為一平面曲線的桿件。AABC重要基本概念的回顧與強化MFNFSql＋－＋內力包括：剪力；彎矩；軸力。4、平面剛架和曲桿的內力O5、微分關系繪制剪力圖和彎矩圖的方法根據載荷及約束力的作用位置，確定控制面（在集中力和集中力偶作用處的兩側截面、均布載荷兩側截面、以及支座反力內側截面均為控制面）。應用截面法確定控制面上的剪力和彎矩數值。建立FS-x和M-x坐標系，并將控制面上的剪力和彎矩值標在相應的坐標系中。應用平衡微分方程確定各段控制面之間的剪力圖和彎矩圖的形狀，進而畫出剪力圖與彎矩圖。重要基本概念的回顧與強化6、幾種載荷下剪力圖和彎矩圖的特征向下傾斜的直線上凸的二次拋物線在FS=0的截面或起始點水平直線一般直線或在C處有轉折在剪力突變的截面在緊靠C的某一側截面在C處有突變F在C處有突變m在C處無變化C無載荷集中力FC集中力偶mC梁上外力情況剪力圖的特征彎矩圖的特征Mmax所在的可能面q<0均布載荷全梁或梁的邊界截面重要基本概念的回顧與強化（3）建立坐標系建立FS-x和M-x坐標系（5）根據微分關系連圖線（4）應用截面法確定控制面上的剪力和彎矩值，并將其標在FS-x和M-x

坐標系中。簡支梁受力的大小和方向如圖示。試畫出其剪力圖和彎矩圖。解：例題5.37重要基本概念的回顧與強化(+)(-)BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2

kNEDCFM(kN.m)xO0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS

(kN)O=0.89kN＝1.11kN第五章基本變形（4）彎曲（3）內力應力FSM受力特點拉伸扭轉彎曲5.19彎曲正應力（5.1-5.3）1、梁橫截面上的應力mmFSM當梁上有橫向外力作用時，一般情況下，梁的橫截面上既又彎矩M，又有剪力FS。彎矩M

正應力σ只有與正應力有關的法向內力元素dFN=dA才能合成彎矩。剪力FS

切應力τ內力只有與切應力有關的切向內力元素dFS=dA才能合成剪力。所以，在梁的橫截面上一般既有正應力又有切應力。mmFS

mmM

5.19彎曲正應力（5.1-5.3）AB段：AC和BD段：內力圖中（純彎曲）（橫力彎曲）2、純彎曲和橫力彎曲5.19彎曲正應力（5.1-5.3）幾何關系物理關系靜力關系觀察變形提出假設變形的分布規(guī)律應力的分布規(guī)律建立公式從三方面考慮變形問題：

幾何關系、物理關系、靜力關系純彎曲情形：5.19彎曲正應力（5.1-5.3）較易變形材料制成的矩形截面等直梁實驗現象3、幾何關系5.19彎曲正應力（5.1-5.3）縱向線各橫向線仍保持為直線；相對轉過了一個角度；仍與變形后的縱向弧線垂直。各縱向線段彎成弧線；靠近頂端的縱向線縮短；靠近底端的縱向線段伸長。橫向線aabbmnnmm′a′a′b′b′m′nn′變形觀察3、幾何關系5.19彎曲正應力（5.1-5.3）aabbmnnmm′a′a′b′b′m′nn′3、幾何關系（1）平面假設：變形前為平面的橫截面變形后仍保持為平面，且垂直于變形后的梁軸線，只是繞截面內某一軸線偏轉了一個角度。變形觀察5.19彎曲正應力（5.1-5.3）aabbmnnmm′a′a′b′b′m′nn′3、幾何關系（2）單向受力假設：縱向纖維不相互擠壓，只受單向拉壓。變形觀察5.19彎曲正應力（5.1-5.3）3、幾何關系中性層與橫截面的交線：中性軸

中性軸橫截面對稱軸必有一層變形前后長度不變的纖維：中性層

中性層

縱向對稱面中性層和中性軸5.19彎曲正應力（5.1-5.3）幾何關系物理關系靜力關系觀察變形提出假設變形的分布規(guī)律應力的分布規(guī)律建立公式從三方面考慮變形問題：

幾何關系、物理關系、靜力關系純彎曲情形：平面假設單向受力假設中性層、中性軸5.19彎曲正應力（5.1-5.3）dxdxyzxOybbyρzyxO’b’b’幾何關系的三維圖示3、幾何關系5.19彎曲正應力（5.1-5.3）幾何關系的二維圖示3、幾何關系中性層變形前變形后中性層弧長=dx橫截面上距中性層（軸）y處其縱向線應變?yōu)閼兎植家?guī)律直梁純彎曲時縱向線應變與它到中性層的距離成正比5.19彎曲正應力（5.1-5.3）幾何關系物理關系靜力關系觀察變形提出假設變形的分布規(guī)律應力的分布規(guī)律建立公式從三方面考慮變形問題：

幾何關系、物理關系、靜力關系純彎曲情形：平面假設單向受力假設中性層、中性軸5.19彎曲正應力（5.1-5.3）根據胡克定律MyzOx等直梁純彎曲時橫截面上任意一點的正應力，與它到中性軸的距離成正比。應力分布規(guī)律：?中性軸的位置中性層的曲率半徑??單向受力假設：假設各縱向纖維之間互不擠壓。4、物理關系5.19彎曲正應力（5.1-5.3）幾何關系物理關系靜力關系觀察變形提出假設變形的分布規(guī)律應力的分布規(guī)律建立公式從三方面考慮變形問題：

幾何關系、物理關系、靜力關系純彎曲情形：平面假設單向受力假設中性層、中性軸5.19彎曲正應力（5.1-5.3）橫截面上內力系為垂直于橫截面空間平行力系簡化得到三個內力分量5、靜力關系5.19彎曲正應力（5.1-5.3）考察中性軸過截面的形心5、靜力關系5.19彎曲正應力（5.1-5.3）若一對坐標軸中有一軸為截面圖形的對稱軸，則截面對該對坐標軸的慣性積必為零5、靜力關系5.19彎曲正應力（5.1-5.3）考察（慣性積）y軸為對稱軸5、靜力關系5.19彎曲正應力（5.1-5.3）研究1/ρ為梁彎曲后的曲率ρ為曲率半徑M為梁橫截面上的彎矩y為梁橫截面上任意一點到中性軸的距離Iz為梁橫截面對中性軸的慣性矩5、靜力關系5.19彎曲正應力（5.1-5.3）幾何關系物理關系靜力關系觀察變形提出假設變形的分布規(guī)律應力的分布規(guī)律建立公式從三方面考慮變形問題：

幾何關系、物理關系、靜力關系純彎曲情形：平面假設單向受力假設中性層、中性軸5.19彎曲正應力（5.1-5.3）M與中性軸距離相等的點正應力相等；正應力大小與其到中性軸距離成正比；中性軸上正應力為零。6、橫截面上的正應力分布5.19彎曲正應力（5.1-5.3）M應用公式時，一般將M、y以絕對值代入，根據梁變形的情況直接判斷

的正負號。以中性軸為界，梁變形后凸出邊的應力為拉應力（

為正號），凹入邊的應力為壓應力（

為負號）。6、橫截面上的正應力分布5.19彎曲正應力（5.1-5.3）MM最大壓應力最大拉應力最大拉應力最大壓應力6、橫截面上的正應力分布5.19彎曲正應力（5.1-5.3）當中性軸是橫截面的對稱軸時：抗彎截面系數當中性軸不是橫截面的對稱軸時：6、橫截面上的正應力分布5.19彎曲正應力（5.1-5.3）7、常見截面的IZ和WZ圓截面矩形截面空心圓截面空心矩形截面5.19彎曲正應力（5.1-5.3）圓截面空心圓截面7、常見截面的IZ和WZ5.19彎曲正應力（5.1-5.3）1620年，荷蘭物理學家和力學家比克門就發(fā)現了梁一側的纖維伸長，另一側的纖維縮短?！爸行暂S的位置”簡史5.19彎曲正應力（5.1-5.3）1638年，伽利略認為梁橫截面受到均勻拉應力作用。1678年，胡克指出，梁彎曲時凸面的纖維伸長，凹面縮短。1680年，馬略特認為，中性軸的位置是不重要的。1690年，萊布尼茨認為，彎曲破裂前梁的纖維伸長了。1704年，伯努利正式提出“中性軸的位置無關緊要”。5.19彎曲正應力（5.1-5.3）1713年，法國科學家帕倫認識到，截面上的抗力必須組成一個與載荷平衡的力系，朝中性軸的正確理論跨近一大步。1773年，庫侖斷定梁凸面受拉，凹面受壓，并求解出梁彎曲應力的正確結果。1819年，納維認為，中性軸的位置應該如此確定：橫截面上拉力對中性軸的力矩，等于壓力對該軸的力矩。1826年，納維獲得了最終正確的結論：當材料服從彈性定律時，中性軸必定通過橫截面的形心?！爸行暂S的位置”簡史純彎曲正應力公式上式是在平面假設和單向受力假設的基礎上推導的，實驗證明在純彎曲情況下這是正確的。對于橫力彎曲，由于剪力的存在，橫截面將產生剪切變形，使橫截面發(fā)生翹曲。此外，在與中性層平行的縱截面上，有時還有由橫向力引起的擠壓應力。因此，梁在純彎曲時所作的平面假設和單向受力假設都不成立。8、純彎曲理論的推廣5.19彎曲正應力（5.1-5.3）當梁上有橫向力作用時，橫截面上既又彎矩又有剪力，梁在此種情況下的彎曲稱為橫力彎曲。

彈性力學精確分析表明，當跨度l與橫截面高度h之比l/h>5（細長梁）時，純彎曲正應力公式對于橫力彎曲近似成立。9、橫力彎曲時的正應力5.19彎曲正應力（5.1-5.3）2、在彈性范圍內；3、平面彎曲（橫截面慣性積Iyz=0）。橫力彎曲正應力公式橫力彎曲最大正應力1、細長直梁的純彎曲或橫力彎曲；公式適用范圍9、橫力彎曲時的正應力5.19彎曲正應力（5.1-5.3）強度條件：梁內的最大工作應力不超過材料的許用應力。（2）設計截面（3）確定許可載荷（1）強度校核10、彎曲正應力的強度條件5.19彎曲正應力（5.1-5.3）強度條件：梁內的最大工作應力不超過材料的許用應力。10、彎曲正應力的強度條件5.19彎曲正應力（5.1-5.3）1、等截面梁彎矩最大的截面上2、離中性軸最遠處3、變截面梁要綜合考慮

與需要校核：強度條件：梁內的最大工作應力不超過材料的許用應力。10、彎曲正應力的強度條件5.19彎曲正應力（5.1-5.3）對于鑄鐵等脆性制成的梁，且梁橫截面的中性軸一般也不是對稱軸，所以梁的材料的拉、壓應力根據許用拉應力和許用壓應力分別校核：FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mM(x)x30zy180120K1、C截面上K點正應力2、C截面上最大正應力3、全梁上最大正應力4、已知E=200GPa，C截面的曲率半徑ρFS(x)x90kN90kN（壓應力）解：（1）求支反力例題5.405.19彎曲正應力（5.1-5.3）FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mM(x)x30zy180120K1、C截面上K點正應力2、C截面上最大正應力3、全梁上最大正應力4、已知E=200GPa，C截面的曲率半徑ρFS(x)x90kN90kN解：例題5.405.19彎曲正應力（5.1-5.3）C截面彎矩C截面慣性矩（2）求截面最大正應力FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mM(x)x30zy180120K1、C截面上K點正應力2、C截面上最大正應力3、全梁上最大正應力4、已知E=200GPa，C截面的曲率半徑ρFS(x)x90kN90kN解：例題5.405.19彎曲正應力（5.1-5.3）最大彎矩截面慣性矩（3）全梁最大正應力FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mM(x)x30zy180120K1、C截面上K點正應力2、C截面上最大正應力3、全梁上最大正應力4、已知E=200GPa，C截面的曲率半徑ρFS(x)x90kN90kN解：例題5.405.19彎曲正應力（5.1-5.3）（4）C截面的曲率半徑ρC截面慣性矩C截面彎矩解：圖示三種截面梁，材質、截面內Mmax、σmax全相同，指出哪種截面最經濟，并求三梁的重量比。即例題5.415.19彎曲正應力（5.1-5.3）分析：圖示鑄鐵梁，許用拉應力[

t]=30MPa，許用壓應力[

c]=60MPa，

試校核此梁的強度。對于鑄鐵梁，拉伸和壓縮力學性能不同，在危險截面處，拉伸強度和壓縮強度都應校核。例題5.425.19彎曲正應力（5.1-5.3）