第09講 空間向量的應(yīng)用（教師版）-2023年新高二暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第09講空間向量的應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能用向量語(yǔ)言描述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量2.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線，直線與平面，平面與平面的夾角以及垂直與平行關(guān)系3.能用向量方法證明有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的判定定理4.能用向量方法解決點(diǎn)到直線，點(diǎn)到平面，相互平行的直線、相互平行的平面的距離問(wèn)題和簡(jiǎn)單夾角問(wèn)題，并能描述解決這一類問(wèn)題的程序，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用．【基礎(chǔ)知識(shí)】一、空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示1.點(diǎn)的位置向量在空間中,我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn),那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量來(lái)表示.我們把向量稱為點(diǎn)P的位置向量.2.空間直線的向量表示式a是直線l的方向向量,在直線l上取=a,設(shè)P是直線l上的任意一點(diǎn),由向量共線的條件可知,點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使得=ta,即.進(jìn)一步地,取定空間中的任意一點(diǎn)O,可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使③

ta(i),將=a代入(i)式,得(ii).(i)式和(ii)式都稱為空間直線的向量表示式.3.空間平面的向量表示式取定空間中的任意一點(diǎn)O,可以得到點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)使得，該式稱為空間平面的向量表示式。二、平面的法向量求法設(shè)a,b是平面α內(nèi)兩不共線向量,n為平面α的法向量,則求法向量的方程組為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))三、用向量證明空間中的平行關(guān)系1.設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2.2.設(shè)直線l的方向向量為v,與平面α共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2,則l∥α或l?α?存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x,y,使v＝xv1＋yv2.3.設(shè)直線l的方向向量為v,平面α的法向量為u,則l∥α或l?α?v⊥u.4.設(shè)平面α和β的法向量分別為u1,u2,則α∥β?u1∥u2.【解讀】用向量證明直線與平面平行,可以通過(guò)證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行,也可以通過(guò)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直,當(dāng)然,直線要在平面外．用向量證明直線和平面垂直,可以通過(guò)證明直線的方向向量和平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量分別垂直,也可以通過(guò)證明該直線的方向向量和平面的法向量平行．四、用向量證明空間中的垂直關(guān)系1.設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.2.設(shè)直線l的方向向量為v,平面α的法向量為u,則l⊥α?v∥u.3.設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2,則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.【解讀】利用空間向量證明面面垂直的基本方法：①證明兩平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理,只要能證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個(gè)平面的法向量即可．五、兩條異面直線所成角的求法設(shè)a,b分別是兩異面直線l1,l2的方向向量,則l1與l2所成的角θa與b的夾角β范圍eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))[0,π]求法cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)cosβ＝eq\f(a·b,|a||b|)【解答】要求異面直線AG與CE所成角的余弦值,可利用向量的數(shù)量積,求出eq\o(AG,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))及|eq\o(AG,\s\up6(→))|和|eq\o(CE,\s\up6(→))|的值,再套用公式cos〈eq\o(AG,\s\up6(→)),eq\o(CE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AG,\s\up6(→))·\o(CE,\s\up6(→)),|\o(AG,\s\up6(→))||\o(CE,\s\up6(→))|)求得eq\o(AG,\s\up6(→))與eq\o(CE,\s\up6(→))所成角的余弦值,但上述結(jié)果并不一定是異面直線所成的角,由于異面直線所成角的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))),所以,若求得的余弦值為負(fù)值,則取其絕對(duì)值．六、直線與平面所成角的求法設(shè)直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,直線l與平面α所成的角為θ,a與n的夾角為β,則sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).【解讀】利用空間向量求直線與平面所成的角,可以有兩種方法：①通過(guò)平面的法向量來(lái)求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,取其余角就是斜線和平面所成的角；②分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影的方向向量,再轉(zhuǎn)化為求這兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)．注意：直線與平面所成角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).七、求二面角的大小1.如圖①,AB,CD分別是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小θ＝〈eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(CD,\s\up6(→))〉．2.如圖②③,n1,n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)．八、利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離的距離為|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：求平面的法向量例1．(多選)(2022學(xué)年山東省濟(jì)寧市兗州區(qū)高二上學(xué)期期中)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，是棱長(zhǎng)為1的正方體，給出下列結(jié)論中，正確的是(

)A．直線的一個(gè)方向向量為B．直線的一個(gè)方向向量為C．平面的一個(gè)法向量為D．平面的一個(gè)法向量為【答案】AC【解析】由題意，,,,,,∵，∴向量為直線的一個(gè)方向向量，故正確,不正確；設(shè)平面的法向量為，則,由，得，令得，則正確;設(shè)平面的法向量為，則，由，得，令得，則不正確.故選.考點(diǎn)二：用空間向量判斷或證明平行關(guān)系例2．已知?分別為不重合的兩直線?的方向向量，?分別為不重合的兩平面?的法向量，則下列所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.①；②；③；④.【答案】①②③④【解析】因?yàn)?分別為不重合的兩直線?的方向向量，?分別為不重合的兩平面?的法向量；直線，的方向向量平行(垂直)等價(jià)于直線?平行(垂直)，故①、②正確；平面，的法向量平行(垂直)等價(jià)于平面，平行(垂直)、故③、④正確；故答案為：①②③④考點(diǎn)三：用向量判斷或證明垂直關(guān)系例3．(2022學(xué)年江蘇省鹽城市濱?？h五汛中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知平面的法向量為，，則直線與平面的位置關(guān)系為(

)A． B． C． D．或【答案】B【解析】因?yàn)?，即與平行，所以直線與平面垂直.故選B考點(diǎn)四：用空間向量求異面直線所成角例4．(2022學(xué)年四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟高二下學(xué)期期中聯(lián)考)將正方形沿對(duì)角線折起，使得平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】取中點(diǎn)為，連接，所以，又面面且交線為，面，所以面，面，則.設(shè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度為2，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，，所以，.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選A考點(diǎn)五：用空間向量求線面角例5．如果平面的一條斜線與它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是，，那么這條斜線與平面所成角的大小為_(kāi)__________.【答案】60°【解析】∵，∴，又∵斜線和平面夾角的范圍是，∴這條斜線與平面所成角的大小為．考點(diǎn)六：用空間向量求二面角例6．(2022學(xué)年江西省南昌市六校高二下學(xué)期期中聯(lián)考)如圖，在四棱錐中，平面平面，是等邊三角形，四邊形為平行四邊形，，.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【解析】(1)證明：在平行四邊形中，令，則，在中，，所以.又平面平面，且平面平面，所以平面.又因?yàn)槠矫?，所以平面平面?2)由(1)得，以為空間直角原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，令，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則得令，得，，所以平面的法向量為；設(shè)平面的法向量為，即令，得，所以平面的法向量為.所以，由圖可知二面角為鈍角，所以所求二面角的余弦值為.考點(diǎn)七：用空間向量求距離例7.(2022學(xué)年福建省龍巖第一中學(xué)高二下學(xué)期第二次月考)已知平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在內(nèi)，則到的距離為(

)A． B． C．4 D．10【答案】C【解析】由題意，得，又知平面的一個(gè)法向量，則到平面的距離，故選C.【真題演練】1.(2022學(xué)年江蘇省宿遷市三校高二5月聯(lián)考)已知向量，分別為直線方向向量和平面的法向量，若，則實(shí)數(shù)的值為(

)A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由題意得：，所以，解得：，故選C2.(2022學(xué)年貴州省遵義市第五中學(xué)高二上學(xué)期期中)在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC，M、N分別為AC、AB的中點(diǎn)，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，則，，設(shè)異面直線PN和BM所成角為，則.故選B.3.(2022學(xué)年廣東省廣州市奧林匹克中學(xué)高二6月月考)如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(

)A．//B．C．//平面D．平面【答案】B【解析】在正四棱柱中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則，，，對(duì)于A，顯然與不共線，即與不平行，A不正確；對(duì)于B，因，則，即，B正確；對(duì)于C，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，因此與不垂直，即不平行于平面，C不正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，與不共線，即不垂直于平面，D不正確.故選B4.(多選)(2022學(xué)年重慶市南華中學(xué)校高二上學(xué)期10月月考)以下命題正確的是(

)A．直線l方向向量為，直線m方向向量，則l與m垂直；B．直線l的方向向量，平面的法向量，則；C．平面的法向量分別為，則；D．平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，，，向量是平面的法向量，則．【答案】AD【解析】，直線l與m垂直，A正確；，或，B錯(cuò)誤；不共線，所以與不平行，故C錯(cuò)誤；，向量是平面的法向量，，即，則，D正確．故選AD．5.(2022學(xué)年廣東省潮州市高二上學(xué)期月考)兩平面的法向量分別為，，則兩平面的夾角為_(kāi)___【答案】【解析】?jī)善矫娴姆ㄏ蛄糠謩e為，，設(shè)兩平面的夾角為，所以，即，因?yàn)?，所以，即兩平面的夾角為．6.(2020-2021學(xué)年廣東省江門(mén)市廣雅中學(xué)高二下學(xué)期期中)如圖，在正三棱柱中，、分別是、的中點(diǎn).設(shè)D是線段上的(包括兩個(gè)端點(diǎn))動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成角的余弦值為，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)______.【答案】【解析】如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系：則設(shè)，則，設(shè)直線與所成角為所以，即，解得或(舍去)，所以，7.(2022新高考全國(guó)卷Ⅰ)如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．

(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．【解析】(1)在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，則，解得，所以點(diǎn)A到平面的距離為；(2)取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)?，所?又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由(1)得，所以，，所以，則,所以的中點(diǎn)，則，,設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.8.(2022新高考全國(guó)卷Ⅱ)如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．【解析】(1)證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面(2)解：過(guò)點(diǎn)作，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，又，所以，則，，所以，所以，，，，所以，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；所以設(shè)二面角為，由圖可知二面角為鈍二面角，所以，所以故二面角的正弦值為；【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1.(2022學(xué)年福建省古田縣高二下學(xué)期月考)已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若，，則直線與平面(

)A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．位置關(guān)系無(wú)法確定【答案】D【解析】由題意得，∵，∴⊥，∴直線l在平面α內(nèi)或直線l與平面α平行．故選D．2.(2022學(xué)年安徽省阜陽(yáng)市臨泉第一中學(xué)高二下學(xué)期月考)在正方體中，為正方形ABCD的中心，則直線與直線所成角的余弦值為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則,則，故，故線與直線所成角的余弦值為，故選B3.(2022學(xué)年福建省龍巖市一級(jí)校聯(lián)盟(九校)高二下學(xué)期期中)如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，E，F(xiàn)，G分別為AB，，的中點(diǎn)，則EF與平面所成角的正弦值為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，取的中點(diǎn)，連接，，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，故為平面的一個(gè)法向量，EF與平面所成角為，則EF與平面所成角的正弦值為，故選A．4.(2022學(xué)年江蘇省南京市第十三中學(xué)高二上學(xué)期12月月考)點(diǎn)A，B分別在空間直角坐標(biāo)系O-xyz的x，y正半軸上，點(diǎn)C(0，0，2)，平面ABC的法向量為，設(shè)二面角C—AB—O的大小為θ，則cosθ的值為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)平面ABO的法向量為，設(shè)，則，于是有：，因此，故選D5.(多選)(2022學(xué)年云南省會(huì)澤縣高二下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試)已知為直線l的方向向量，，分別為平面，的法向量(，不重合)，那么下列說(shuō)法中，正確的有(

)A． B．C． D．【答案】AB【解析】A選項(xiàng)，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量平行等價(jià)于平面α，β平行，故A正確；B選項(xiàng)，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量垂直等價(jià)于平面α，β垂直，故B正確；C選項(xiàng)，直線的方向向量平行于平面的法向量等價(jià)于直線垂直于平面，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，直線的方向向量垂直于平面的法向量等價(jià)于直線平行于平面或直線在平面內(nèi)，故D錯(cuò)誤.故選AB.6.(多選)(2022學(xué)年江蘇省南京市第十三中學(xué)高二上學(xué)期12月月考)已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，，，，下列結(jié)論中正確的是(

)A．AP⊥AB B．存在實(shí)數(shù)λ，使C．是平面ABCD的法向量 D．四邊形ABCD的面積為【答案】ACD【解