第13講 函數(shù)的應(yīng)用（學(xué)生版）-2023年新高一（初升高）暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第13講函數(shù)的應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象，了解函數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系2.結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點(diǎn)，了解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并會(huì)畫程序框圖，能借助計(jì)算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．3.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具，在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律．4.結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境中的具體問題，利用計(jì)算工具，比較對(duì)數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，理解“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語(yǔ)的現(xiàn)實(shí)含義．5.收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際或者經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型，體會(huì)人們是如何借助函數(shù)刻畫實(shí)際問題的，感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義．【基礎(chǔ)知識(shí)】一、函數(shù)的零點(diǎn)1.對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)解，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)．注意：函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是f(x)＝0的實(shí)數(shù)解．2.方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)．3.如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)＜0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是f(x)＝0的解．注意：(1)函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，f(a)·f(b)＜0不一定成立．4.若連續(xù)不斷的曲線y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)內(nèi)一定有零點(diǎn)，但不能確定有幾個(gè)．【解讀】1.一個(gè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)必須同時(shí)滿足：①函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；②f(a)·f(b)<0.這兩個(gè)條件缺一不可．可從函數(shù)y＝eq\f(1,x)來理解，易知f(－1)·f(1)＝－1×1<0，但顯然y＝eq\f(1,x)在(－1,1)內(nèi)沒有零點(diǎn)．2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的，且在兩端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)異號(hào)，則函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上的圖象至少穿過x軸一次，即方程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解C．3.函數(shù)零點(diǎn)存在定理只能判斷出零點(diǎn)的存在性，而不能判斷出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．如圖①②，雖然都有f(a)·f(b)<0，但圖①中函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，圖②中函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)僅有1個(gè)零點(diǎn)．4.函數(shù)零點(diǎn)存在定理是不可逆的，因?yàn)閒(a)·f(b)<0可以推出函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)．但是，已知函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)，不一定推出f(a)·f(b)<0.如圖③，雖然在區(qū)間(a，b)內(nèi)函數(shù)有零點(diǎn)，但f(a)·f(b)>0.5.如果單調(diào)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)解．二、二分法1.對(duì)于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間eq\o(□,\s\up1(03))一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．2.二分法求方程近似解的步驟給定精確度ε，用二分法求函數(shù)y＝f(x)零點(diǎn)x0的近似值的一般步驟如下：(1)確定零點(diǎn)x0的初始區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f(a)f(b)＜0.(2)求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)C．(3)計(jì)算f(c)，并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：①若f(c)＝0(此時(shí)x0＝c)，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若f(a)f(c)＜0(此時(shí)x0∈(a，c))，則令b＝c；③若f(c)f(b)＜0(此時(shí)x0∈(c，b))，則令a＝C．(4)判斷是否達(dá)到精確度ε：若|a－b|＜ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟(2)～(4)．三、函數(shù)模型1.函數(shù)模型應(yīng)用的兩個(gè)方面(1)利用已知函數(shù)模型解決問題．(2)建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象，對(duì)某些發(fā)展趨勢(shì)eq\o(□,\s\up1(04))進(jìn)行預(yù)測(cè)．2.用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，用函數(shù)刻畫實(shí)際問題，初步選擇模型．(2)建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的函數(shù)模型．(3)求模：求解函數(shù)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論．(4)還原：利用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論還原到實(shí)際問題中．可將這些步驟用框圖表示如下：3.數(shù)據(jù)擬合(1)定義：通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個(gè)函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具體的函數(shù)表達(dá)式，再做必要的檢驗(yàn)，基本符合實(shí)際，就可以確定這個(gè)函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合．(2)數(shù)據(jù)擬合的步驟①以所給數(shù)據(jù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中繪出各點(diǎn)；②依據(jù)點(diǎn)的整體特征，猜測(cè)這些點(diǎn)所滿足的函數(shù)形式，設(shè)其一般形式；③取特殊數(shù)據(jù)代入，求出函數(shù)的具體解析式；④做必要的檢驗(yàn)．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)例1．(2022學(xué)年廣東省茂名市重點(diǎn)中學(xué)高一下學(xué)期期中)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)A．0 B．1 C．2 D．3考點(diǎn)二：確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間例2．(2022學(xué)年陜西省安康中學(xué)高一上學(xué)期期末)已知函數(shù)，下列含有函數(shù)零點(diǎn)的區(qū)間是(

)A． B． C． D．考點(diǎn)三：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)滿足條件求參數(shù)范圍例3．(2022學(xué)年黑龍江省佳木斯市第一中學(xué)高一下學(xué)期開學(xué)考試)已知函數(shù)，若恰有兩個(gè)零點(diǎn).則正數(shù)a的取值范圍______.考點(diǎn)四：二分法的應(yīng)用例4．(2022學(xué)年江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校高一下學(xué)期期中)用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，第一次計(jì)算，得，，第二次應(yīng)計(jì)算，則等于(

)A．1 B． C．0.25 D．0.75考點(diǎn)五：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型例5.(2022學(xué)年湖南省天壹名校聯(lián)盟高一上學(xué)期期中聯(lián)考)某社區(qū)超市的某種商品的日利潤(rùn)y(單位：元)與該商品的當(dāng)日售價(jià)x(單位：元)之間的關(guān)系為，那么該商品的日利潤(rùn)最大時(shí)，當(dāng)日售價(jià)為___________元.考點(diǎn)六：指數(shù)函數(shù)模型例6．(2022學(xué)年陜西省銅川市第一中學(xué)高一上學(xué)期期中)某工廠新購(gòu)置并安裝了先進(jìn)的廢氣處理設(shè)備，使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，以降低對(duì)空氣的污染.已知過濾過程中廢氣中的污染物數(shù)量P(單位：)與過濾時(shí)間(單位：)間的關(guān)系為(，均為非零常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，其中為時(shí)廢氣中的污染物數(shù)量，經(jīng)測(cè)試過濾5h后還剩余80%的污染物.(1)求常數(shù)的值；(2)試計(jì)算廢氣中的污染物減少到40%至少需要多長(zhǎng)時(shí)間.(精確到1，參考數(shù)據(jù)：，)考點(diǎn)七：對(duì)數(shù)函數(shù)模型例7．據(jù)統(tǒng)計(jì)，每年到鄱陽(yáng)湖國(guó)家濕地公園越冬的白鶴數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)近似滿足關(guān)系y＝alog3(x＋2)，觀測(cè)發(fā)現(xiàn)2013年冬(作為第1年)有越冬白鶴3000只，估計(jì)到2019年冬有越冬白鶴(

)A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只考點(diǎn)八：分段函數(shù)模型例8．(2022學(xué)年湖北省云學(xué)新高考聯(lián)盟學(xué)校高一下學(xué)期5月聯(lián)考)某科技企業(yè)生產(chǎn)一種電子設(shè)備的年固定成本為600萬元，除此之外每臺(tái)機(jī)器的額外生產(chǎn)成本與產(chǎn)量滿足一定的關(guān)系式.設(shè)年產(chǎn)量為x(，)臺(tái)，若年產(chǎn)量不足70臺(tái)，則每臺(tái)設(shè)備的額外成本為萬元；若年產(chǎn)量大于等于70臺(tái)不超過200臺(tái)，則每臺(tái)設(shè)備的額外成本為萬元.每臺(tái)設(shè)備售價(jià)為100萬元，通過市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)的電子設(shè)備能全部售完.(1)寫出年利潤(rùn)W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(臺(tái))的關(guān)系式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大值為多少？考點(diǎn)九：函數(shù)模型的選擇例9．某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，一組同學(xué)得到下面的試驗(yàn)數(shù)據(jù)：現(xiàn)有如下個(gè)模擬函數(shù)：①；②；③；④.請(qǐng)從中選擇一個(gè)模擬函數(shù)，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應(yīng)選________．【真題演練】1．(2022學(xué)年山西省高一下學(xué)期期中)函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(

)A． B． C． D．2.(2022學(xué)年重慶市石柱中學(xué)校高一上學(xué)期月考)某超市宣傳在“雙十一”期間對(duì)顧客購(gòu)物實(shí)行一定的優(yōu)惠，超市規(guī)定：①如一次性購(gòu)物不超過元不予以折扣；②如一次性購(gòu)物超過元但不超過元的，按標(biāo)價(jià)給予九折優(yōu)惠；③如一次性購(gòu)物超過元的，其中元給予折優(yōu)惠，超過元的部分給予八五折優(yōu)惠.某人兩次去該超市購(gòu)物分別付款元和元，如果他只去一次購(gòu)買同樣的商品，則應(yīng)付款(

)A．元 B．元 C．元 D．元3.已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A． B．C． D．4.(多選)(2022學(xué)年福建省莆田第二十五中學(xué)高一上學(xué)期期末)設(shè)，某學(xué)生用二分法求方程的近似解(精確度為)，列出了它的對(duì)應(yīng)值表如下：0123若依據(jù)此表格中的數(shù)據(jù)，則得到符合要求的方程的近似解可以為(

)A．1.31 B．1.38 C．1.43 D．1.445.(多選)(2022學(xué)年江蘇省南通市海安市高一上學(xué)期期末)已知函數(shù)的圖象在區(qū)間上是一條連續(xù)不斷的曲線，則下列結(jié)論正確的是(

)A．若，則在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)B．若，則在內(nèi)沒有零點(diǎn)C．若在內(nèi)沒有零點(diǎn)，則必有D．若在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，，則在上是單調(diào)函數(shù)6.(2022學(xué)年安徽省江淮十校高一上學(xué)期11月檢測(cè))2021年3月20日，國(guó)家文物局公布，四川三星堆考古發(fā)掘取得重大進(jìn)展，考古人員在三星堆遺址內(nèi)新發(fā)現(xiàn)6座祭祀坑，經(jīng)碳14測(cè)年法測(cè)定，這6座祭祀坑為商代晚期遺址，碳14測(cè)年法是根據(jù)碳14的衰變程度測(cè)度樣本年代的一種測(cè)量方法，已知樣本中碳14的原子數(shù)隨時(shí)間(單位：年)的變化規(guī)律是，則該樣本中碳14的原子數(shù)由個(gè)減少到個(gè)時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間(單位：年)為______．7.(2022學(xué)年四川省攀枝花市第七高級(jí)中學(xué)校高一上學(xué)期期中)已知為上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，對(duì)于結(jié)論(1)當(dāng)時(shí)，；(2)方程根的個(gè)數(shù)可以為；(3)若函數(shù)在區(qū)間上恒為正，則實(shí)數(shù)的范圍是；(4)若，關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)根.說法正確的序號(hào)是___．8.(2022學(xué)年湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)(六校)高一下學(xué)期五月聯(lián)考)自2020新冠疫情爆發(fā)以來，直播電商迅猛發(fā)展，以信息流為代表的各大社交平臺(tái)也相繼入場(chǎng)，平臺(tái)用短視頻和直播的形式，激發(fā)起用戶情感與場(chǎng)景的共鳴，讓用戶在大腦中不知不覺間自我說服，然后引起消費(fèi)行動(dòng).某廠家往年不與直播平臺(tái)合作時(shí)，每年都舉行多次大型線下促銷活動(dòng)，經(jīng)測(cè)算，只進(jìn)行線下促銷活動(dòng)時(shí)總促銷費(fèi)用為24萬元.為響應(yīng)當(dāng)?shù)卣酪哒撸瑳Q定采用線上(直播促銷)線下同時(shí)進(jìn)行的促銷模式，與某直播平臺(tái)達(dá)成一個(gè)為期4年的合作協(xié)議，直播費(fèi)用(單位：萬元)只與4年的總直播時(shí)長(zhǎng)x(單位：小時(shí))成正比，比例系數(shù)為0.12.已知與直播平臺(tái)合作后該廠家每年所需的線下促銷費(fèi)C(單位：萬元)與總直播時(shí)長(zhǎng)x(單位：小時(shí))之間的關(guān)系為(，k為常數(shù)).記該廠家線上促銷費(fèi)用與4年線下促銷費(fèi)用之和為y(單位：萬元).(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)該廠家直播時(shí)長(zhǎng)x為多少時(shí)，可使y最??？并求出y的最小值.【過關(guān)檢測(cè)】1.(2022學(xué)年云南省昆明市第三中學(xué)高一下學(xué)期期中)第19屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2022年9月10日至2022年9月25日在浙江省杭州市舉行，換上智慧腦、聰明肺的黃龍?bào)w育中心將承辦足球、體操、水球等項(xiàng)目．為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場(chǎng)館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng)．已知過濾過程中廢水污染物數(shù)量與時(shí)間t的關(guān)系為(N0為最初污染物數(shù)量)．如果前4小時(shí)消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%還需要(

)A．3.6小時(shí) B．3.8小時(shí) C．4小時(shí) D．4.2小時(shí)2．(2022學(xué)年新疆喀什第二中學(xué)高一下學(xué)期考試)函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(

)A． B． C． D．3．已知函數(shù)，則使函數(shù)有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A． B．C． D．4.(2022學(xué)年天津市河西區(qū)高一上學(xué)期期末)為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對(duì)居民生活用水實(shí)行“階梯水價(jià)”，計(jì)費(fèi)方法如下表：每戶每月用水量水價(jià)不超過12m3的部分3元/m3超過12m3但不超過18m3的部分6元/m3超過18m3的部分9元/m3若某戶居民本月繳納的水費(fèi)為90元，則此戶居民本月的用水量為(

)A．17 B．18 C．19 D．205.(多選)(2022學(xué)年貴州省黔東南州高一上學(xué)期期末)若函數(shù)y＝(ax－1)(x＋2)的唯一零點(diǎn)為－2，則實(shí)數(shù)a可取值為(

)A．－2 B．0 C． D．－6.(多選)(2022學(xué)年廣東省茂名市“五校聯(lián)盟”高一上學(xué)期期末聯(lián)考)甲、乙兩位股民以相同的資金進(jìn)行股票投資，在接下來的交易時(shí)間內(nèi)，甲購(gòu)買的股票先經(jīng)歷了一次漲停(上漲10%)，又經(jīng)歷了一次跌停(下跌10%)，乙購(gòu)買的股票先經(jīng)歷了一次跌停(下跌10%)，又經(jīng)歷了一次漲停(上漲10%)，則甲，乙的盈虧情況(不考慮其他費(fèi)用)為(

)A．甲、乙都虧損 B．甲盈利，乙虧損 C．甲虧損，乙盈利 D．甲、乙虧損的一樣多7.(多選)(2022學(xué)年云南省昆明市第十中學(xué)高一上學(xué)期第二次階段考試)在學(xué)校周二數(shù)學(xué)選修課上，姜老師讓問學(xué)們研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，某同學(xué)得到如下結(jié)論，則正確的是(

)A．的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．的值域是C．在區(qū)間上是增函數(shù) D．有三個(gè)零點(diǎn)8.端午節(jié)來臨之際，商家推出了兩種禮盒進(jìn)行售賣．A類禮盒中有4個(gè)甜味粽，4個(gè)肉餡粽；B類禮盒中有2個(gè)甜味粽，4個(gè)肉餡粽，6個(gè)咸鴨蛋，兩種禮盒的成本分別為盒中食品的成本之和，包裝費(fèi)用忽略不計(jì)．其中，每個(gè)咸鴨蛋的成本為每個(gè)肉餡粽成本的，每個(gè)甜味粽的成本比每個(gè)肉餡粽的成本少，且每個(gè)甜味粽和每個(gè)肉餡粽的成本均為整數(shù)．已知A類禮盒的售價(jià)為50元，利潤(rùn)率為25%．端午節(jié)當(dāng)天一共賣出了兩類禮盒共計(jì)128盒，且賣出的B類禮盒至少50盒．后續(xù)工作人員在核算總成本的過程中，把每個(gè)甜味粽和每個(gè)肉餡