第13講 函數(shù)的應用（學生版）-2023年新高一（初升高）暑期數(shù)學銜接（新人教版）

第13講函數(shù)的應用【學習目標】1.結(jié)合學過的函數(shù)圖象，了解函數(shù)零點與方程解的關(guān)系2.結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點，了解函數(shù)零點存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并會畫程序框圖，能借助計算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．3.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學語言和工具，在實際情境中，會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律．4.結(jié)合現(xiàn)實情境中的具體問題，利用計算工具，比較對數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異，理解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實含義．5.收集、閱讀一些現(xiàn)實生活、生產(chǎn)實際或者經(jīng)濟領(lǐng)域中的數(shù)學模型，體會人們是如何借助函數(shù)刻畫實際問題的，感悟數(shù)學模型中參數(shù)的現(xiàn)實意義．【基礎(chǔ)知識】一、函數(shù)的零點1.對于函數(shù)y＝f(x)，把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．函數(shù)y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數(shù)解，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的公共點的橫坐標．注意：函數(shù)的零點不是一個點，而是f(x)＝0的實數(shù)解．2.方程f(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點．3.如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)＜0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是f(x)＝0的解．注意：(1)函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)有零點，f(a)·f(b)＜0不一定成立．4.若連續(xù)不斷的曲線y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)內(nèi)一定有零點，但不能確定有幾個．【解讀】1.一個函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點必須同時滿足：①函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；②f(a)·f(b)<0.這兩個條件缺一不可．可從函數(shù)y＝eq\f(1,x)來理解，易知f(－1)·f(1)＝－1×1<0，但顯然y＝eq\f(1,x)在(－1,1)內(nèi)沒有零點．2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的，且在兩端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)異號，則函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上的圖象至少穿過x軸一次，即方程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個實數(shù)解C．3.函數(shù)零點存在定理只能判斷出零點的存在性，而不能判斷出零點的個數(shù)．如圖①②，雖然都有f(a)·f(b)<0，但圖①中函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有4個零點，圖②中函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)僅有1個零點．4.函數(shù)零點存在定理是不可逆的，因為f(a)·f(b)<0可以推出函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點．但是，已知函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點，不一定推出f(a)·f(b)<0.如圖③，雖然在區(qū)間(a，b)內(nèi)函數(shù)有零點，但f(a)·f(b)>0.5.如果單調(diào)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一的零點，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的實數(shù)解．二、二分法1.對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間eq\o(□,\s\up1(03))一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．2.二分法求方程近似解的步驟給定精確度ε，用二分法求函數(shù)y＝f(x)零點x0的近似值的一般步驟如下：(1)確定零點x0的初始區(qū)間[a，b]，驗證f(a)f(b)＜0.(2)求區(qū)間(a，b)的中點C．(3)計算f(c)，并進一步確定零點所在的區(qū)間：①若f(c)＝0(此時x0＝c)，則c就是函數(shù)的零點；②若f(a)f(c)＜0(此時x0∈(a，c))，則令b＝c；③若f(c)f(b)＜0(此時x0∈(c，b))，則令a＝C．(4)判斷是否達到精確度ε：若|a－b|＜ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復步驟(2)～(4)．三、函數(shù)模型1.函數(shù)模型應用的兩個方面(1)利用已知函數(shù)模型解決問題．(2)建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型，并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象，對某些發(fā)展趨勢eq\o(□,\s\up1(04))進行預測．2.用函數(shù)模型解決實際問題的步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，用函數(shù)刻畫實際問題，初步選擇模型．(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，利用數(shù)學知識，建立相應的函數(shù)模型．(3)求模：求解函數(shù)模型，得到數(shù)學結(jié)論．(4)還原：利用數(shù)學知識和方法得出的結(jié)論還原到實際問題中．可將這些步驟用框圖表示如下：3.數(shù)據(jù)擬合(1)定義：通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標系中的點，觀察這些點的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個函數(shù)的一般表達式，求出具體的函數(shù)表達式，再做必要的檢驗，基本符合實際，就可以確定這個函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合．(2)數(shù)據(jù)擬合的步驟①以所給數(shù)據(jù)作為點的坐標，在平面直角坐標系中繪出各點；②依據(jù)點的整體特征，猜測這些點所滿足的函數(shù)形式，設(shè)其一般形式；③取特殊數(shù)據(jù)代入，求出函數(shù)的具體解析式；④做必要的檢驗．【考點剖析】考點一：確定函數(shù)零點個數(shù)例1．(2022學年廣東省茂名市重點中學高一下學期期中)函數(shù)的零點的個數(shù)為(

)A．0 B．1 C．2 D．3考點二：確定函數(shù)零點所在區(qū)間例2．(2022學年陜西省安康中學高一上學期期末)已知函數(shù)，下列含有函數(shù)零點的區(qū)間是(

)A． B． C． D．考點三：根據(jù)函數(shù)零點滿足條件求參數(shù)范圍例3．(2022學年黑龍江省佳木斯市第一中學高一下學期開學考試)已知函數(shù)，若恰有兩個零點.則正數(shù)a的取值范圍______.考點四：二分法的應用例4．(2022學年江蘇省南京師范大學附屬中學江寧分校高一下學期期中)用二分法研究函數(shù)的零點時，第一次計算，得，，第二次應計算，則等于(

)A．1 B． C．0.25 D．0.75考點五：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型例5.(2022學年湖南省天壹名校聯(lián)盟高一上學期期中聯(lián)考)某社區(qū)超市的某種商品的日利潤y(單位：元)與該商品的當日售價x(單位：元)之間的關(guān)系為，那么該商品的日利潤最大時，當日售價為___________元.考點六：指數(shù)函數(shù)模型例6．(2022學年陜西省銅川市第一中學高一上學期期中)某工廠新購置并安裝了先進的廢氣處理設(shè)備，使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，以降低對空氣的污染.已知過濾過程中廢氣中的污染物數(shù)量P(單位：)與過濾時間(單位：)間的關(guān)系為(，均為非零常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù))，其中為時廢氣中的污染物數(shù)量，經(jīng)測試過濾5h后還剩余80%的污染物.(1)求常數(shù)的值；(2)試計算廢氣中的污染物減少到40%至少需要多長時間.(精確到1，參考數(shù)據(jù)：，)考點七：對數(shù)函數(shù)模型例7．據(jù)統(tǒng)計，每年到鄱陽湖國家濕地公園越冬的白鶴數(shù)量y(只)與時間x(年)近似滿足關(guān)系y＝alog3(x＋2)，觀測發(fā)現(xiàn)2013年冬(作為第1年)有越冬白鶴3000只，估計到2019年冬有越冬白鶴(

)A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只考點八：分段函數(shù)模型例8．(2022學年湖北省云學新高考聯(lián)盟學校高一下學期5月聯(lián)考)某科技企業(yè)生產(chǎn)一種電子設(shè)備的年固定成本為600萬元，除此之外每臺機器的額外生產(chǎn)成本與產(chǎn)量滿足一定的關(guān)系式.設(shè)年產(chǎn)量為x(，)臺，若年產(chǎn)量不足70臺，則每臺設(shè)備的額外成本為萬元；若年產(chǎn)量大于等于70臺不超過200臺，則每臺設(shè)備的額外成本為萬元.每臺設(shè)備售價為100萬元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的電子設(shè)備能全部售完.(1)寫出年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(臺)的關(guān)系式；(2)當年產(chǎn)量為多少臺時，年利潤最大，最大值為多少？考點九：函數(shù)模型的選擇例9．某學校開展研究性學習活動，一組同學得到下面的試驗數(shù)據(jù)：現(xiàn)有如下個模擬函數(shù)：①；②；③；④.請從中選擇一個模擬函數(shù)，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應選________．【真題演練】1．(2022學年山西省高一下學期期中)函數(shù)的零點所在的區(qū)間是(

)A． B． C． D．2.(2022學年重慶市石柱中學校高一上學期月考)某超市宣傳在“雙十一”期間對顧客購物實行一定的優(yōu)惠，超市規(guī)定：①如一次性購物不超過元不予以折扣；②如一次性購物超過元但不超過元的，按標價給予九折優(yōu)惠；③如一次性購物超過元的，其中元給予折優(yōu)惠，超過元的部分給予八五折優(yōu)惠.某人兩次去該超市購物分別付款元和元，如果他只去一次購買同樣的商品，則應付款(

)A．元 B．元 C．元 D．元3.已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是(

)A． B．C． D．4.(多選)(2022學年福建省莆田第二十五中學高一上學期期末)設(shè)，某學生用二分法求方程的近似解(精確度為)，列出了它的對應值表如下：0123若依據(jù)此表格中的數(shù)據(jù)，則得到符合要求的方程的近似解可以為(

)A．1.31 B．1.38 C．1.43 D．1.445.(多選)(2022學年江蘇省南通市海安市高一上學期期末)已知函數(shù)的圖象在區(qū)間上是一條連續(xù)不斷的曲線，則下列結(jié)論正確的是(

)A．若，則在內(nèi)至少有一個零點B．若，則在內(nèi)沒有零點C．若在內(nèi)沒有零點，則必有D．若在內(nèi)有唯一零點，，則在上是單調(diào)函數(shù)6.(2022學年安徽省江淮十校高一上學期11月檢測)2021年3月20日，國家文物局公布，四川三星堆考古發(fā)掘取得重大進展，考古人員在三星堆遺址內(nèi)新發(fā)現(xiàn)6座祭祀坑，經(jīng)碳14測年法測定，這6座祭祀坑為商代晚期遺址，碳14測年法是根據(jù)碳14的衰變程度測度樣本年代的一種測量方法，已知樣本中碳14的原子數(shù)隨時間(單位：年)的變化規(guī)律是，則該樣本中碳14的原子數(shù)由個減少到個時所經(jīng)歷的時間(單位：年)為______．7.(2022學年四川省攀枝花市第七高級中學校高一上學期期中)已知為上的偶函數(shù)，當時，，對于結(jié)論(1)當時，；(2)方程根的個數(shù)可以為；(3)若函數(shù)在區(qū)間上恒為正，則實數(shù)的范圍是；(4)若，關(guān)于的方程有個不同的實根.說法正確的序號是___．8.(2022學年湖北省部分重點中學(六校)高一下學期五月聯(lián)考)自2020新冠疫情爆發(fā)以來，直播電商迅猛發(fā)展，以信息流為代表的各大社交平臺也相繼入場，平臺用短視頻和直播的形式，激發(fā)起用戶情感與場景的共鳴，讓用戶在大腦中不知不覺間自我說服，然后引起消費行動.某廠家往年不與直播平臺合作時，每年都舉行多次大型線下促銷活動，經(jīng)測算，只進行線下促銷活動時總促銷費用為24萬元.為響應當?shù)卣酪哒?，決定采用線上(直播促銷)線下同時進行的促銷模式，與某直播平臺達成一個為期4年的合作協(xié)議，直播費用(單位：萬元)只與4年的總直播時長x(單位：小時)成正比，比例系數(shù)為0.12.已知與直播平臺合作后該廠家每年所需的線下促銷費C(單位：萬元)與總直播時長x(單位：小時)之間的關(guān)系為(，k為常數(shù)).記該廠家線上促銷費用與4年線下促銷費用之和為y(單位：萬元).(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)該廠家直播時長x為多少時，可使y最小？并求出y的最小值.【過關(guān)檢測】1.(2022學年云南省昆明市第三中學高一下學期期中)第19屆亞洲運動會將于2022年9月10日至2022年9月25日在浙江省杭州市舉行，換上智慧腦、聰明肺的黃龍體育中心將承辦足球、體操、水球等項目．為了倡導綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進的污水、雨水過濾系統(tǒng)．已知過濾過程中廢水污染物數(shù)量與時間t的關(guān)系為(N0為最初污染物數(shù)量)．如果前4小時消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%還需要(

)A．3.6小時 B．3.8小時 C．4小時 D．4.2小時2．(2022學年新疆喀什第二中學高一下學期考試)函數(shù)的零點所在區(qū)間為(

)A． B． C． D．3．已知函數(shù)，則使函數(shù)有零點的實數(shù)m的取值范圍是(

)A． B．C． D．4.(2022學年天津市河西區(qū)高一上學期期末)為了保護水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”，計費方法如下表：每戶每月用水量水價不超過12m3的部分3元/m3超過12m3但不超過18m3的部分6元/m3超過18m3的部分9元/m3若某戶居民本月繳納的水費為90元，則此戶居民本月的用水量為(

)A．17 B．18 C．19 D．205.(多選)(2022學年貴州省黔東南州高一上學期期末)若函數(shù)y＝(ax－1)(x＋2)的唯一零點為－2，則實數(shù)a可取值為(

)A．－2 B．0 C． D．－6.(多選)(2022學年廣東省茂名市“五校聯(lián)盟”高一上學期期末聯(lián)考)甲、乙兩位股民以相同的資金進行股票投資，在接下來的交易時間內(nèi)，甲購買的股票先經(jīng)歷了一次漲停(上漲10%)，又經(jīng)歷了一次跌停(下跌10%)，乙購買的股票先經(jīng)歷了一次跌停(下跌10%)，又經(jīng)歷了一次漲停(上漲10%)，則甲，乙的盈虧情況(不考慮其他費用)為(

)A．甲、乙都虧損 B．甲盈利，乙虧損 C．甲虧損，乙盈利 D．甲、乙虧損的一樣多7.(多選)(2022學年云南省昆明市第十中學高一上學期第二次階段考試)在學校周二數(shù)學選修課上，姜老師讓問學們研究函數(shù)的性質(zhì)時，某同學得到如下結(jié)論，則正確的是(

)A．的圖像關(guān)于原點對稱 B．的值域是C．在區(qū)間上是增函數(shù) D．有三個零點8.端午節(jié)來臨之際，商家推出了兩種禮盒進行售賣．A類禮盒中有4個甜味粽，4個肉餡粽；B類禮盒中有2個甜味粽，4個肉餡粽，6個咸鴨蛋，兩種禮盒的成本分別為盒中食品的成本之和，包裝費用忽略不計．其中，每個咸鴨蛋的成本為每個肉餡粽成本的，每個甜味粽的成本比每個肉餡粽的成本少，且每個甜味粽和每個肉餡粽的成本均為整數(shù)．已知A類禮盒的售價為50元，利潤率為25%．端午節(jié)當天一共賣出了兩類禮盒共計128盒，且賣出的B類禮盒至少50盒．后續(xù)工作人員在核算總成本的過程中，把每個甜味粽和每個肉餡