第13講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（學(xué)生版）-2023年新高二暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第13講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題【基礎(chǔ)知識(shí)】一、直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直線l:Ax+By+C=0,圓心C(a,b)到直線l的距離d=?,由?消去y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,其判別式為Δ.位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2

1

0

幾何法

d<r

d=r

d>r

代數(shù)法Δ>0

Δ=0

Δ<0

二、圓的切線1.若點(diǎn)在圓外,則過此點(diǎn)可以作圓的兩條切線;2.若點(diǎn)在圓上,則過此點(diǎn)只能作圓的一條切線,且此點(diǎn)是切點(diǎn);3.若點(diǎn)在圓內(nèi),則過此點(diǎn)不能作圓的切線.4.過點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程的求法(1)若點(diǎn)P在圓上,求點(diǎn)P與圓心連線的斜率,若斜率存在且不為0,記為k,則切線斜率為-?;若斜率為0,則切線斜率不存在;若斜率不存在,則切線斜率為0.(2)若點(diǎn)P在圓外,設(shè)切線斜率為k,寫出切線方程,利用圓心到切線的距離等于半徑r,解出k即

可(若僅求出一個(gè)k值,則有一條斜率不存在的切線).5.過圓上一點(diǎn)的切線僅有一條,可熟記下列結(jié)論(1)若點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2=r2(r>0)上,則過點(diǎn)P的切線方程為x0x+y0y=r2;(2)若點(diǎn)P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則過點(diǎn)P的切線方程為(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2;(3)若點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,則過點(diǎn)P的切線方程為x0x+y0y+D·

+E·+F=0.三、圓的弦長(zhǎng)的方法1.交點(diǎn)法:若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)容易求出,則直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.2.弦長(zhǎng)公式:設(shè)直線l:y=kx+b與圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),將直線l的方程代入圓的方程,消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系得弦長(zhǎng)公式:|AB|=.(3)幾何法:圓的半徑r、圓心到弦的距離d、弦長(zhǎng)l三者之間的關(guān)系為r2=d2+,即弦長(zhǎng)l=四、利用圓的方程解決最大(小)值問題的方法1.由某些代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想其幾何意義,然后利用直線與圓的方程及解析幾何的有關(guān)

知識(shí)并結(jié)合圖形的直觀性來分析解決問題,常涉及的幾何量有:①關(guān)于x、y的一次分式形式常轉(zhuǎn)化為直線的斜率;②關(guān)于x、y的一次式常轉(zhuǎn)化為直線的截距;③關(guān)于x、y的二次式常轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離等.2.轉(zhuǎn)化成函數(shù)解析式,利用函數(shù)的性質(zhì)解決.3.利用三角代換,若點(diǎn)P(x,y)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則設(shè)?(θ為參數(shù)),代入目標(biāo)函數(shù),利用三角函數(shù)知識(shí)求最大(小)值.五、圓與圓的位置關(guān)系1.兩圓的位置關(guān)系外離、外切、相交、內(nèi)切和內(nèi)含.2.兩圓的位置關(guān)系的判定(1)代數(shù)法:設(shè)兩圓的一般方程為C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),聯(lián)立得方程組?消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,則要求出方程組的解進(jìn)行判斷),計(jì)算判別式Δ的值,按(2)的表中的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷.(2)幾何法:兩圓的半徑分別為r1,r2,計(jì)算兩圓連心線的長(zhǎng)為d,按表中標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷.位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示?????公共點(diǎn)個(gè)數(shù)01210位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含Δ的值Δ<0Δ=0Δ>0Δ=0Δ<0d與的關(guān)系

公切線條數(shù)4

32

10

3.兩圓的公共弦所在直線方程的求法設(shè)☉C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),☉C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),聯(lián)立?①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③若兩圓交點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B的坐標(biāo)適合方程①②,也適合方程③,因此方程③就是經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程.故當(dāng)兩圓相交時(shí),(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程,即公共弦所在直線的方程.當(dāng)兩圓外離時(shí),(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于兩圓圓心連線的一條直線方程.當(dāng)兩圓相切時(shí),(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是兩圓的一條公切線的方程.若兩圓是等圓,則(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以兩圓圓心為端點(diǎn)的線段的垂直平分線的方程.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：直線與圓位置關(guān)系的判斷例1．(2022學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校高二上學(xué)期期中)直線與圓的位置關(guān)系是(

)A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定考點(diǎn)二：求圓的切線方程例2．(2022學(xué)年新疆石河子第二中學(xué)高二上學(xué)期月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，直線，圓C：．(1)求b的取值范圍，并求出圓心坐標(biāo)(2)若圓C的半徑為1，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；(3)有一動(dòng)圓M的半徑為1，圓心在l上，若動(dòng)圓M上存在點(diǎn)N，使，求圓心M的橫坐標(biāo)a的取值范圍．考點(diǎn)三：與切線長(zhǎng)有關(guān)的問題例3．(2022學(xué)年四川省巴中市南江中學(xué)高二上學(xué)期12月月考)直線上一點(diǎn)向圓引切線長(zhǎng)的最小值為(

)A． B．1 C． D．3考點(diǎn)四：與弦長(zhǎng)有關(guān)的問題例4．(2022學(xué)年遼寧省遼南協(xié)作校高二上學(xué)期期中)已知過點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，若，則直線的方程為___________.考點(diǎn)五：與圓有關(guān)的最值問題例5．過圓內(nèi)點(diǎn)作圓的兩條互相垂直的弦和，則的最大值為__．考點(diǎn)六：兩圓位置關(guān)系的判斷例6．(2022學(xué)年湖南省株洲市炎陵縣第一中學(xué)高二下學(xué)期3月月考)圓與圓的位置關(guān)系是(

)A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離考點(diǎn)七：兩圓的公切線與公共弦問題例7．(2022學(xué)年四川省綿陽(yáng)市綿陽(yáng)南山中學(xué)高二上學(xué)期期中)已知點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)到直線距離的最大值為(

)A．4 B．6 C． D．【真題演練】1.(2020年高考全國(guó)卷Ⅰ)已知⊙M：，直線：，為上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作⊙M的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為A．B． C． D．2．(2020年高考全國(guó)卷Ⅱ)若過點(diǎn)(2，1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為 A． B． C． D．3．(2018年高考全國(guó)卷Ⅲ)直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是 ()A． B． C． D．4．(2016高考全國(guó)卷Ⅱ)圓的圓心到直線的距離為1，則 ()A． B． C． D．5．(2021年新高考全國(guó)卷Ⅰ)已知點(diǎn)在圓上,點(diǎn),,則A．點(diǎn)到直線的距離小于10 B．點(diǎn)到直線的距離大于2 C．當(dāng)最小時(shí), D．當(dāng)最大時(shí),6.(2021年新高考全國(guó)卷Ⅱ)已知直線與圓,點(diǎn),則下列說法正確的是()A.若點(diǎn)A在圓C上,則直線l與圓C相切 B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi),則直線l與圓C相離C.若點(diǎn)A在圓C外,則直線l與圓C相離 D.若點(diǎn)A在直線l上,則直線l與圓C相切7.(2022年新高考全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)點(diǎn),若直線關(guān)于對(duì)稱的直線與圓有公共點(diǎn),則a的取值范圍是_____．8.(2022年新高考全國(guó)卷Ⅰ)寫出與圓和都相切的一條直線的方程_______．【過關(guān)檢測(cè)】1.(2022學(xué)年四川省涼山州寧南中學(xué)高二下學(xué)期月考)已知圓和直線，則圓心C到直線l的最大距離為(

)A．1 B．2 C．3 D．2.(2022學(xué)年安徽省皖南地區(qū)高二下學(xué)期開學(xué)調(diào)研)過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為B，則(

)A．2 B． C．3 D．3.(2022學(xué)年云南省保山市昌寧縣高二下學(xué)期期中)若直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是(

)A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．以上都有可能4.(2022學(xué)年河南省安陽(yáng)市高二下學(xué)期5月月考)已知圓：和圓：有且僅有4條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A． B．C． D．5.(多選)(2022學(xué)年重慶市清華中學(xué)高二上學(xué)期第二次月考)對(duì)于定點(diǎn)和圓：，下列說法正確的是(

)A．點(diǎn)在圓內(nèi)部B．過點(diǎn)有兩條圓的切線C．過點(diǎn)被圓截得的弦長(zhǎng)最大時(shí)的直線方程為D．過點(diǎn)被圓截得的弦長(zhǎng)最小值為6.(多選)(2022學(xué)年廣東省深圳市重點(diǎn)中學(xué)高二上學(xué)期期末)點(diǎn)P在圓上，點(diǎn)Q在圓上，則(

)A．兩個(gè)圓心所在的直線斜率為B．兩個(gè)圓相交弦所在直線的方程為C．兩圓公切線有兩條D．|PQ|的最小值為07.(2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)校高二上學(xué)期期末)過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為______.8.(2022學(xué)年江蘇省南京市江寧區(qū)高二下學(xué)期期末)若點(diǎn)到直線l的距離分別為1和4，則這樣的直線l共有__