第15講 雙曲線（學(xué)生版）-2023年新高二暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第15講雙曲線【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2.通過(guò)雙曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想．【基礎(chǔ)知識(shí)】一、雙曲線定義1.平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．2.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0.(1)當(dāng)2a<|F1F2|時(shí),P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí),P點(diǎn)的軌跡是以F1,F2為端點(diǎn)的兩條射線；(3)當(dāng)2a>|F1F2|時(shí),P點(diǎn)不存在．3.雙曲線定義中距離的差要加絕對(duì)值,否則只為雙曲線的一支.設(shè)F1,F2表示雙曲線的左、右焦點(diǎn),若|MF1|-|MF2|=2a,則點(diǎn)M在右支上;若|MF2|-|MF1|=2a,則點(diǎn)M在左支上.二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0,b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0,b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a,y∈Rx∈R,y≤－a或y≥a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0),A2(a,0)A1(0,－a),A2(0,a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a),e∈(1,＋∞),其中c＝eq\r(a2＋b2)實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸,它的長(zhǎng)|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸,它的長(zhǎng)|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng),b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)a、b、c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c>a>0,c>b>0)【解讀】1.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一般用待定系數(shù)法,用待定系數(shù)法求雙曲線方程具體過(guò)程中先定形,再定量,即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,注意焦點(diǎn)F1,F2的位置是雙曲線定位的條件,它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型.“焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走”,若x2項(xiàng)的系數(shù)為正,則焦點(diǎn)在x軸上;若y2項(xiàng)的系數(shù)為正,那么焦點(diǎn)在y軸上.確定方程的形式后,然后再根據(jù)a,b,c,e及漸近線之間的關(guān)系,求出a,b的值,當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)的位置不確定時(shí),為了避免討論焦點(diǎn)的位置,常設(shè)雙曲線方程為Ax2＋By2＝1(A·B＜0),這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.2.在“焦點(diǎn)三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,經(jīng)常結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a,運(yùn)用平方的方法,建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系．3.雙曲線漸近線的說(shuō)明(1)隨著x和y趨向于無(wú)窮大,雙曲線將無(wú)限地與漸近線接近,但永遠(yuǎn)沒(méi)有交點(diǎn).(2)由漸近線方程可確定a與b或b與a的比值,但無(wú)法確定焦點(diǎn)位置.(3)求漸近線的方程,常把雙曲線的方程右邊的常數(shù)寫(xiě)成0,分解因式即得漸近線方程,(4)如果已知雙曲線的漸近線方程,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,可設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0),再由條件求出λ的值即可．(5)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0,b>0)有共同漸近線的方程可表示eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．4.求雙曲線離心率的常見(jiàn)方法(1)依據(jù)條件求出a,c,再計(jì)算e=.(2)依據(jù)條件建立參數(shù)a,b,c的關(guān)系式,一種方法是消去b轉(zhuǎn)化成關(guān)于的齊次方程,再轉(zhuǎn)化為離心率e的方程求解,另一種方法是利用離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±eq\f(b,a)滿足關(guān)系式e2＝1＋k2.5.求離心率的范圍,一般根據(jù)條件建立a,b,c的不等式,再轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的不等式,通過(guò)解不等式求得離心率的范圍,求解時(shí)應(yīng)找好題中的等量關(guān)系或不等關(guān)系,構(gòu)造出關(guān)于a,c的齊次式,進(jìn)而求解.要注意對(duì)題目中隱含條件的挖掘,如對(duì)雙曲線上點(diǎn)的幾何特征eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))≥2c的運(yùn)用.三、直線與雙曲線1.直線與雙曲線位置關(guān)系的處理方法把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組,通過(guò)消元后化為一元二次方程,在二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情況下考察方程的判別式.(1)Δ>0時(shí),直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).(2)Δ=0時(shí),直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).(3)Δ<0時(shí),直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn).2.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí),此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行,直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn).特別提醒:利用判別式來(lái)判斷直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的前提是通過(guò)消元化為一元二次方程.四、雙曲線中的結(jié)論1.點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.2.PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角,則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓,除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).3.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.(內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支)4.若在雙曲線(a＞0,b＞0)上,則過(guò)的雙曲線的切線方程是.5.若在雙曲線(a＞0,b＞0)外,則過(guò)作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.6.過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn),A1P和A2Q交于點(diǎn)M,A2P和A1Q交于點(diǎn)N,則MF⊥NF.7.AB是雙曲線(a＞0,b＞0)的不平行于對(duì)稱軸的弦,M為AB的中點(diǎn),則,即.8.若在雙曲線(a＞0,b＞0)內(nèi),則被所平分的中點(diǎn)弦的方程是.9.雙曲線(a＞0,b＞0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為,,與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.10.過(guò)雙曲線(a＞0,b＞0)上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn),則直線BC有定向且(常數(shù)).【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：求雙曲線的方程例1．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為8，離心率為2，則該雙曲線的方程為()A． B．C． D．考點(diǎn)二：雙曲線定義的應(yīng)用例2．(2022學(xué)年四川省遂寧市射洪中學(xué)高二下學(xué)期月考)已知P是雙曲線上的點(diǎn)，，是其焦點(diǎn)，雙曲線的離心率是，且，若的面積為9，則的值為_(kāi)_________.考點(diǎn)三：求雙曲線的離心率例3．已知直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則C的離心率等于________．考點(diǎn)四：求雙曲線離心率的取值范圍例4．(2022學(xué)年四川省攀枝花市高二上學(xué)期期末)已知圓的半徑為，平面上一定點(diǎn)到圓心的距離，是圓上任意一點(diǎn).

線段的垂直平分線和直線相交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為，當(dāng)時(shí)，軌跡對(duì)應(yīng)曲線的離心率取值范圍為(

)A． B．C． D．考點(diǎn)五：雙曲線的漸近線例5．(2022學(xué)年江西省宜春市銅鼓中學(xué)高二下學(xué)期月考)已知雙曲線的焦距為，實(shí)軸長(zhǎng)為4，則C的漸近線方程為(

)A． B． C． D．考點(diǎn)六：與雙曲線有關(guān)的最值例6．(2022學(xué)年廣東省梅州市大埔縣虎山中學(xué)高二下學(xué)期4月月考)已知雙曲線是其左右焦點(diǎn).圓，點(diǎn)P為雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓E上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是(

)A． B． C．7 D．8考點(diǎn)七：直線與雙曲線例7．(2022學(xué)年浙江省杭州地區(qū)高二下學(xué)期期中聯(lián)考)已知點(diǎn)為雙曲線右支上的點(diǎn)，雙曲線在點(diǎn)處的切線交漸近線于點(diǎn)，.(1)證明：為中點(diǎn)；(2)若雙曲線上存在點(diǎn)使的垂心恰為原點(diǎn)，求的取值范圍.【真題演練】1．(2021年高考全國(guó)卷甲)已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為 ()A． B． C． D．2．(2020年高考全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為 ()A．4 B．8 C．16 D．323．(2020年高考全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)雙曲線C：(a>0，b>0)左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．P是C上一點(diǎn)，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a= ()A．1 B．2 C．4 D．84.(2020年新高考山東卷)已知曲線.()A.若m>n>0,則C是橢圓,其焦點(diǎn)在y軸上B.若m=n>0,則C是圓,其半徑為C.若mn<0,則C是雙曲線,其漸近線方程為D.若m=0,n>0,則C是兩條直線5.(2021年新高考Ⅱ卷)已知雙曲線的離心率為2,則該雙曲線的漸近線方程為_(kāi)______________6．(2021年高考全國(guó)卷甲)已知為橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為_(kāi)_______．7.(2022新高考全國(guó)卷=2\*ROMANII)已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過(guò)F的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)在C上,且．過(guò)P且斜率為的直線與過(guò)Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分.8.(2022新高考全國(guó)卷=1\*ROMANI)已知點(diǎn)在雙曲線上,直線l交C于P,Q兩點(diǎn),直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若,求的面積．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1.(2022學(xué)年江蘇省鹽城市高二下學(xué)期期末)若直線與雙曲線的一條漸近線平行，則實(shí)數(shù)m的值為(

)A． B．9 C． D．32.(2022學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)南海中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知雙曲線的一條漸近線過(guò)圓的圓心，則C的離心率為(

)A． B． C． D．33.(2022學(xué)年吉林省吉林市第一中學(xué)高二6月月考)已知雙曲線C：的上、下焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在x軸上，線段PF1交C于Q點(diǎn)，△PQF2的內(nèi)切圓與直線QF2相切于點(diǎn)M，則線段MQ的長(zhǎng)為()A．1 B．2 C． D．4.(多選)(2022學(xué)年河南省豫北名校高二下學(xué)期5月調(diào)研)已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)，若C的右支上的任意一點(diǎn)M滿足，則C的離心率的取值范圍為(

)A． B．C． D．5.(多選)(2022學(xué)年吉林省吉林市吉化第一高級(jí)中學(xué)校高二上學(xué)期期末)下列雙曲線中以為漸近線的是(

)A． B． C． D．6.(多選)(2020-2021學(xué)年山東省日照市高二上學(xué)期期末校際聯(lián)合考試)已知曲線，下列結(jié)論正確的是(

)A．若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上B．若，則是雙曲線，其焦點(diǎn)在軸上C．若，則是圓D．若，，則是兩條直線7.(多選)(2022學(xué)年湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高二下學(xué)期5月月考)若P是雙曲線C：上一點(diǎn)，C的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列結(jié)論中正確的是(

)A． B．漸近線方程為C．的最小值是2 D．焦點(diǎn)到漸近線的距離是8.(2022學(xué)年江西省撫州市南城縣第二中學(xué)高二下學(xué)期月考)設(shè)為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線虛軸的下端點(diǎn)，為過(guò)點(diǎn)的圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為_(kāi)________；