新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題六數(shù)列微專題一數(shù)列中的奇偶項問題練習(xí)含答案

微專題一數(shù)列中的奇偶項問題1.(2024安徽皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考,13)已知數(shù)列{an}滿足(-1)n+1an+2+(-1)nan=3(-1)n+1(n∈N*),若a1=a2=1,則{an}的前20項和S20=-250.

2.(2024福建廈門畢業(yè)班第四次質(zhì)量檢測,15)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知a1=1,S4=10,且Snn(1)求{an}的通項公式;(2)若bn=an,n為奇數(shù),1anan+2,n為偶數(shù),解析(1)設(shè)等差數(shù)列Snn的公差為d,因為a1=S1所以S44-S11=3d,即104-1=3d所以Snn=1+12(n-1),即Sn當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n(n+1)2-當n=1時,a1=1滿足上式,所以an=n,n∈N*.(2)由(1)知bn=n則T2n=(b1+b3+b5+…+b2n-1)+(b2+b4+b6+…+b2n)=(1+3+5+…+2n-1)+12×4+14×6+16×8+…+=n(1+2n?1)2+1212-14+14=n2+14-1所以數(shù)列{bn}的前2n項和為T2n=n2+14-13.(2024山東齊魯名校聯(lián)考七,17)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S6-S3=27,數(shù)列{cn}滿足c1=a2=3,cn+1=2cn,n是偶數(shù),cn?1,n是奇數(shù),bn(1)求{an}的通項公式,并證明:bn+1=2bn-3;(2)設(shè)tn=an(bn-3),求數(shù)列{tn}的前n項和Qn.解析(1)設(shè){an}的公差為d.∵{an}是等差數(shù)列,S6-S3=27,∴a4+a5+a6=27,即3a5=27,a5=9,又a2=3,∴d=a5?a25?2=2,∴an=a2+(n-2)d=3+(n-2)·2=2n-1.(3分)由{cn}的遞推關(guān)系可得c2n=c2n-1-1,c2n+1=2c2n,c2n+2=c2n+1-1,(4分)∴bn=c2n+c2n-1=2c2n+1.∵bn+1=c2n+2+c2n+1=4c2n-1=2(2c2n+1)-3,∴bn+1=2bn-3.(7分)(2)由(1)可知bn+1-3=2(bn-3),又∵b1-3=c1+c2-3=2≠0,∴數(shù)列{bn-3}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,∴bn-3=2×2n-1=2n,(9分)∴tn=(2n-1)×2n,(10分)∴Qn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n,∴2Qn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1,(11分)兩式相減,可得-Qn=1×2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)×2n+1=2+8(1?2n?1)1?2-(2n-1)×2n+1=2+2n+2-8-(2n=(3-2n)×2n+1-6,(14分)∴Qn=(2n-3)×2n+1+6.(15分)4.(2024山東青島二中二模,16)歐拉函數(shù)φ(n)(n∈N*)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n且與n互素的正整數(shù)的個數(shù),例如:φ(1)=1,φ(4)=2,φ(8)=4,數(shù)列{an}滿足an=φ(2n)(n∈N*).(1)求a1,a2,a3,并求數(shù)列{an}的通項公式;(2)記bn=(-1)nlog2a2na2n,求數(shù)列{b解析(1)由題意可知a1=φ(2)=1,a2=φ(4)=2,a3=φ(8)=4,(4分)由題意可知,正偶數(shù)與2n不互素,所有正奇數(shù)與2n互素,比2n小的正奇數(shù)有2n-1個,所以an=φ(2n)=2n-1.(6分)(2)由(1)知an=φ(2n)=2n-1,所以a2n=φ(22n)=22n-1,所以bn=(-1)nlog2a2na2n=(-1)nlog222n?122n?1=(-1)n(所以Sn=2×?141+6×?142+…+(4n-6)×?14n?1?14Sn=2×?142+6×?143+…+(4n-6)×?14n+(4n①-②得54Sn=2×?141+4?142+…+?14n-(4n-2)=-12+151??14n?1-(4n-2)×?所以Sn=-625+20n+625×(?4)n5.(2024河北石家莊二模,17)已知數(shù)列{an}滿足a1=7,an+1=a(1)寫出a2,a3,a4;(2)證明:數(shù)列{a2n-1-6}為等比數(shù)列;(3)若bn=a2n,求數(shù)列{n·(bn-3)}的前n項和Sn.解析(1)因為a1=7,所以a2=a1-3=4,(1分)a3=2a2=8,(2分)a4=a3-3=5.(3分)(2)證明:因為an+1=a所以a2n+1-6=2a2n-6=2(a2n-1-3)-6=2(a2n-1-6),(5分)即a2n+1?6a2n所以數(shù)列{a2n-1-6}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.(7分)(3)由(2)可知a2n-1-6=1·2n-1,即a2n-1=2n-1+6,因為2n為偶數(shù),2n-1為奇數(shù),所以bn=a2n=a2n-1-3=2n-1+3,(9分)所以n·(bn-3)=n·(2n-1+3-3)=n·2n-1,(10分)則Sn=1·20+2·2