新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題命題點(diǎn)6數(shù)列練習(xí)含答案

命題點(diǎn)6數(shù)列預(yù)測說明數(shù)列問題特別突出對(duì)數(shù)學(xué)思維能力的考查,問題的設(shè)計(jì)始終貫穿觀察、分析、歸納、類比、遞推、運(yùn)算、概括、猜想、證明、應(yīng)用等.既通過歸納、類比、遞推等方法的應(yīng)用突出數(shù)學(xué)探究、理性思維的培養(yǎng),又通過通項(xiàng)公式、遞推公式、前n項(xiàng)和公式等內(nèi)容進(jìn)行大量技能訓(xùn)練,培養(yǎng)邏輯思維、運(yùn)算求解能力.從近幾年的高考題可以看出,數(shù)列部分以考查基礎(chǔ)知識(shí)為主,同時(shí)鍛煉運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力等.重點(diǎn)考查對(duì)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度及靈活運(yùn)用,同時(shí)也要重視對(duì)通性通法的培養(yǎng).命題方向:1.對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查,主要包括:對(duì)數(shù)列的概念及表示方法的理解和應(yīng)用;等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式、遞推公式、前n項(xiàng)和公式中基本量的運(yùn)算或者利用它們之間的關(guān)系式通過多角度觀察所給條件的結(jié)構(gòu),深入剖析其特征,利用其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)變形與轉(zhuǎn)化求解數(shù)列的問題;利用等差、等比數(shù)列的定義判斷或證明數(shù)列問題等.2.對(duì)綜合能力的考查,如:通過轉(zhuǎn)化與化歸思想利用錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消、分組求和等方法求數(shù)列的前n項(xiàng)和;數(shù)列與不等式、函數(shù)等的綜合問題.在最新的考卷結(jié)構(gòu)中,新定義的數(shù)列題也會(huì)以壓軸的身份出現(xiàn)在最后一題的位置,此類問題突顯了數(shù)列表示數(shù)字規(guī)律的特點(diǎn),對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力要求極高,應(yīng)予以重視.預(yù)測探究識(shí)透高頻考點(diǎn)1.(2024浙江紹興二模,3)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S55-S22=6,則a7-a4=(A.9B.10C.11D.122.(2024福建百強(qiáng)校5月模擬,5)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若Sn=2an-1,則a6+a9a3+A.4B.14C.183.(2024廣東廣州二模,16)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a2n+1=2an+2,且Snn(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)在2an2與2an+12之間插入n個(gè)數(shù),使這n+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為dn(dn>0)的等差數(shù)列,記數(shù)列1dn的前n項(xiàng)和為綜合知識(shí)運(yùn)用等差數(shù)列;錯(cuò)位相減法求和解析(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則an=a1+(n-1)d.在a2n+1=2an+2中,令n=1,得a3=2a1+2,所以a1+2d=2a1+2,即a1=2d-2.①因?yàn)镾nn+1為等差數(shù)列,則S12化簡得a12+3a1聯(lián)立①②,解得a1=d=2,所以an=2n.(2)證明:由(1)得2an2=2n,2a所以dn=2n+1?所以Tn=1d1+1d2+1d3+…+1dn=12Tn=222+323兩式相減得12Tn=221+122+=1+1221?12n?1所以Tn=3-n+324.(2024河南名校聯(lián)考,19)在等差數(shù)列{an}中,已知a3=7,a4,a5,4a2成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)數(shù)列{2an}是不是等比數(shù)列?若是,求其前n項(xiàng)和,若不是,(3)設(shè)logqdn=(n?1)an3n?20<q<12,且?k∈N*,?n∈N*,dk-dn=綜合能力考查數(shù)列的綜合問題解析(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,因?yàn)閍3=7,a4,a5,4a2成等差數(shù)列,所以a解得a1=1,d=3,所以an=3n-2.(2)因?yàn)?a1=21=2,2an+12所以{2an}是首項(xiàng)為2,公比為8所以數(shù)列{2an}的前n項(xiàng)和為2(1?8(3)因?yàn)閘ogqdn=(n所以dn=q(n?1)an因?yàn)?k∈N*,?n∈N*,dk-dn=dk+1+dk+2,所以d1-d2-d3=1-q-q2=qm(m=n-1,m∈N),當(dāng)m=0時(shí),q無解;當(dāng)m=1時(shí),得q=2-1;當(dāng)m≥2(m∈N)時(shí),1-q-q2=qm,即qm+q2+q=1(*),令f(q)=qm+q2+q,則f(q)是關(guān)于q的單調(diào)遞增函數(shù),因?yàn)?<q<12,所以f(q)=qm+q2+q<12m+122+12≤122+122所以q的取值為2-1,進(jìn)一步得,當(dāng)q=2-1時(shí),對(duì)任意的正整數(shù)k,dk-dk+1-dk+2=dk(1-q-q2)=dkq=dk+1,滿足:?k∈N*,?k+1∈N*,dk-dk+1=dk+1+dk+2,所以q的所有取值為2-1.參透創(chuàng)新情境1.(多選)(2024江蘇南京寧海中學(xué)4月模擬,11)定義Hn=a1+2a2+…+2n?1ann為數(shù)列{an}的“優(yōu)值”,已知某數(shù)列{an}的“優(yōu)值”Hn=2n,前n項(xiàng)和為A.數(shù)列{an}為等差數(shù)列B.數(shù)列{an}為遞增數(shù)列C.S20222022=20252D.S2,S4,2.(2024廣東深圳二調(diào),19)無窮數(shù)列a1,a2,…,an,…的定義如下:如果n是偶數(shù),就對(duì)n盡可能多次地除以2,直到得出一個(gè)奇數(shù),這個(gè)奇數(shù)就是an;如果n是奇數(shù),就對(duì)3n+1盡可能多次地除以2,直到得出一個(gè)奇數(shù),這個(gè)奇數(shù)就是an.(1)寫出這個(gè)數(shù)列的前7項(xiàng);(2)如果an=m且am=n,求m,n的值;(3)記an=f(n),n∈N*,求一個(gè)正整數(shù)n,滿足n<f(n)<f(f(n))<…<f(f(…f2024個(gè)f(創(chuàng)新情境數(shù)列中的新定義問題解析(1)根據(jù)題意,a1=(3×1+1)÷2÷2=1,a2=2÷2=1,a3=(3×3+1)÷2=5,a4=4÷2÷2=1,a5=(3×5+1)÷24=1,a6=6÷2=3,a7=(3×7+1)÷2=11.(2)由已知,m,n均為奇數(shù),不妨設(shè)n≤m.當(dāng)n=1時(shí),因?yàn)閍1=1,所以m=1,故m=n=1;當(dāng)n>1時(shí),因?yàn)?n+14<n≤m,而n為奇數(shù),an=m,所以m=3n+12.又m為奇數(shù),am=n,所以存在k∈N*,所以2kn=3m+1=3(3n+1)2而4n<9n+52<6n,所以4n<2kn<6n,即4<2k<6,k∈N*,無解.所以m=(3)顯然n不能為偶數(shù),否則f(n)≤n2<n,不滿足n<f(n),所以n為正奇數(shù).又f(1)=a1=1,所以n≥3設(shè)n=4k+1或n=4k-1,k∈N*.當(dāng)n=4k+1時(shí),f(n)=3(4k+1)+14=3k+1<4k+1=n,不滿足n<f當(dāng)n=4k-1時(shí),f(n)=3(4k?1)+12=6k-1>4k-1=n,即n<f(所以,當(dāng)n=22025k-1,k∈N*時(shí),n<f(n)=3(22025k?1)+12=3×22024k-1<f(f(n))=3(3×22024k?1)+12=32×22023k-1<…<f(f(…f2023個(gè)f(n)…))=3(32022×23即n<f(n)<f(f(n))<…<f(f(…f2024個(gè)f(可取k=1,則n=22025-1,即滿足要求的一個(gè)正整數(shù)n的值可以是22025-1.3.(2024吉林長春東北師大附中第五次模擬,19)對(duì)于數(shù)列{an},稱{Δan}為數(shù)列{an}的一階差分?jǐn)?shù)列,其中Δan=an+1-an(n∈N*).對(duì)正整數(shù)k(k≥2),稱{Δkan}為數(shù)列{an}的k階差分?jǐn)?shù)列,其中Δkan=Δ(Δk-1an)=Δk-1an+1-Δk-1an.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,且{Δan+1-an-2n}為{an}的二階差分?jǐn)?shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=12(n2-n+2),{xn}為數(shù)列{bn}的一階差分?jǐn)?shù)列,?n∈N*,是否都有i=1nxiCni=an成立?并說明理由(3)對(duì)于(2)中的數(shù)列{xn},令yn=txn+t?xn2,其中12<t<2.證明創(chuàng)新情境數(shù)列中的新定義問題解析(1)因?yàn)閧Δan+1-an-2n}為{an}的二階差分?jǐn)?shù)列,所以Δan+1-an-2n=Δ2an,將Δ2an=Δan+1-Δan代入得Δan+1-an-2n=Δan+1-Δan,整理得Δan-an=2n,即an+1-2an=2n,所以an+12n+1-an2n=12.又a1=1,故數(shù)列an2n是首項(xiàng)為12,公差為12的等差數(shù)列,因此,an2n=1(2)因?yàn)閧xn}為數(shù)列{bn}的一階差分?jǐn)?shù)列,所以xn=bn+1-bn=n.對(duì)于i=1nxiCni=Cn1+2Cn2+…+n當(dāng)n=1時(shí),①式成立;當(dāng)n≥2時(shí),因?yàn)閚·2n-1=n·(1+1)n-1=n·(Cn?10+Cn?11+…+Cn?1n?1),且故?n∈N*