數(shù)學化表征一般化模型遷移性應用

【摘

要】模型思想在聯(lián)系現(xiàn)實世界和數(shù)學世界上起著至關重要的作用。“鋪地磚問題”中存在典型的數(shù)學模型。教師以“鋪地磚問題”為載體設計測評工具，分析學生的建模水平，由此提出了“放大數(shù)學化表征、構建一般化模型、嘗試遷移性應用”等教學策略，從而幫助學生建立數(shù)學模型，提升數(shù)學建模力。【關鍵詞】數(shù)學建模力；鋪地磚問題；數(shù)學化；一般化模型；遷移應用模型思想在聯(lián)系現(xiàn)實世界和數(shù)學世界上起著至關重要的作用。“鋪地磚問題”中存在典型的數(shù)學模型，與現(xiàn)實世界中的“密鋪”現(xiàn)象聯(lián)系緊密。“密鋪”的本質是將線、面、體等研究對象用相應的度量單位占滿。為幫助學生感受“密鋪”現(xiàn)象，建立“鋪地磚問題”模型，人教版教材先后在三年級下冊和五年級下冊設計了相應的學習內容。在三年級下冊，教材先通過“選用哪種圖形作為面積單位”的問題，引導學生初步感受“密鋪”現(xiàn)象，然后讓學生通過解決“鋪地磚問題”，經(jīng)歷按“邊”或“面”鋪設的過程，從而初步構建相應模型。到了五年級下冊，教材又通過《長方體與正方體的表面積》一課的內容，引導學生經(jīng)歷從面到體的遷移應用過程。那么，經(jīng)過這些內容的學習，學生是否已經(jīng)建立了“鋪地磚問題”模型？他們的建模力又達到了何種水平？針對這兩個問題，筆者以“鋪地磚問題”為載體，設計測評工具，分析學生的建模水平，并提出相應的教學策略。一、測評工具設計為探究五年級學生對“密鋪問題”的建模水平，以便為后續(xù)立體圖形“密鋪問題”的教學提供指導，筆者以“鋪地磚問題”為載體，開展了建模力測評研究。（一）測評工具《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》要求學生能在現(xiàn)實生活中發(fā)現(xiàn)并構建普適的數(shù)學模型。生活中的“鋪地磚問題”是構建“密鋪”模型的典型素材，教師可根據(jù)學生的年齡特征，通過豐富現(xiàn)實背景和擴充問題結構，設計測評工具?！締栴}情境】小晴家計劃裝修新居（平面圖如圖1所示），小晴媽媽準備在A、B兩款地磚中（如圖2）選擇一款來鋪設廚房地面（不計損耗，可分割使用），請你幫助她設計一個地磚購買方案。單位：米【任務設計】（1）你獲取了哪些數(shù)學信息？需要解決什么數(shù)學問題？（2）你準備如何設計購買方案？請用畫一畫、算一算、寫一寫的方式表示你的思考過程。（3）從以下現(xiàn)象（如圖3）中選擇1個或多個，嘗試運用前面的經(jīng)驗進行解釋，你有什么發(fā)現(xiàn)？（二）關鍵要素和模型分析設計一個合理的廚房地磚購買方案需要關注以下關鍵要素。①廚房面積。通過割補法求出廚房的面積。②地磚塊數(shù)。邊對邊分別密鋪，分割多余部分統(tǒng)一處理（進一法取整），用“每行塊數(shù)×行數(shù)”求地磚塊數(shù)。③磚塊選擇。比較總價；比較單價，用“每塊地磚價格÷地磚面積=每平方米地磚價格”進行判斷，得出A磚的性價比高。學生在解決問題的過程中，需關聯(lián)這三個關鍵要素，構建數(shù)學模型，具體有如下四種方法。方法1：用“廚房面積÷地磚面積×對應單價（A或B）”進行計算，不經(jīng)過比較，直接提出購買方案。方法2：分別求使用A、B兩種地磚的總價，并進行比較，再提出省錢方案——購買A磚。方法3：先求A、B兩種地磚每平方米的單價，并進行比較，提出省錢方案——購買A磚，再求出所需A磚的總價。方法4：分別用A、B兩種地磚沿邊鋪，用“每行塊數(shù)×行數(shù)”求出總塊數(shù)，再分別求總價，比較后提出省錢方案。從面到邊，從隨意選到比總價、比單價，學生所構建數(shù)學模型的變化，代表學生的數(shù)學建模力的不同水平。二、框架與數(shù)據(jù)（一）測評框架，明晰總體水平結合測評工具、要素分析與相關模型，筆者從“識別理解、表征聯(lián)結、解答反思、解釋應用”四個維度設計測評框架，對所任教的五年級81名學生進行測試。學生測試結果如表1所示，其中“分值0～2”分別對應“不合理、部分合理、合理”三個層次。由表1的數(shù)據(jù)可知，識別理解和表征聯(lián)結兩個層次的均值相對較高，解答反思和解釋應用兩個層次的均值則較低。這說明學生在面對較復雜的“鋪地磚問題”時，識別信息和表征聯(lián)結的能力較強，但建構模型并將其遷移應用到新情境的能力較弱，“鋪地磚問題”的一般化模型構建不夠完善。（二）分項剖析，聚焦建模困惑點接下來，結合測評數(shù)據(jù)分析學生在“鋪地磚問題”上的數(shù)學建模力，以發(fā)現(xiàn)其能力水平的優(yōu)勢與不足。1.識別關鍵信息與提出問題的能力較強從豐富的現(xiàn)實情境中準確識別關鍵信息，將現(xiàn)實問題簡化為數(shù)學問題，是學生建模的基礎。由表2的數(shù)據(jù)可知，54.32%的學生能夠精準識別現(xiàn)實情境，并將“設計購買方案”簡化為數(shù)學問題“選擇哪種地磚密鋪更合理”?？梢姡瑢W生識別稍復雜現(xiàn)實情境中關鍵信息的能力較強。表2“鋪地磚問題”識別力測評統(tǒng)計[具體表現(xiàn)

人數(shù)/人

占比

賦分0：無法識別信息，無法提出數(shù)學問題

14

17.28%

賦分1：識別信息時存在多余信息，提出的數(shù)學問題是無效問題

23

28.40%

賦分2：能識別關鍵信息，提出方案中需要的3個主要數(shù)學問題44

54.32%

]2.簡化信息能力較強，模型建構能力較弱能關聯(lián)關鍵信息，從不同角度建立數(shù)量關系，是一般化模型建構的核心環(huán)節(jié)。由表3的數(shù)據(jù)可知，超過60.00%的學生能用直接分割、等分分割、分割化歸等方法，正確地表征與關聯(lián)關鍵要素。但在解決問題的過程中，混淆邊和面的現(xiàn)象較為嚴重。僅有14.82%的學生能夠從面或邊的鋪設角度解決地磚數(shù)量問題，并制訂合理的購買方案。由此可見，面對較為復雜的情境，學生在建構“鋪地磚問題”模型方面存在一定的困難。3.自主遷移到新情境的應用能力較弱能自覺地將已有模型與新情境建立聯(lián)結，嘗試解決新問題，體現(xiàn)了建模力的較高水平。該層次的測評主要看學生能否充分運用“鋪地磚問題”模型結構，并將面的鋪設知識遷移應用至體的鋪設中，以解釋“茶葉盒問題”，構建線、面、體為一體的數(shù)學模型（如表4）。表4的數(shù)據(jù)表明，約有25.00%的學生具備主動嘗試解釋新問題的意識，但在運用“鋪地磚”經(jīng)驗解釋“茶葉盒問題”時，僅有4.93%的學生能運用密鋪思維，從節(jié)約空間、降低成本等角度對方案進行優(yōu)化。這表明學生在構建“鋪地磚問題”的一般化模型時，從面到體的遷移應用能力還有待提升。綜上所述，學生并未真正掌握“鋪地磚問題”的一般化模型，特別是在面臨“無法完全鋪滿”的情境時，學生的建模力顯得尤為薄弱。因此，要將二維“面的鋪設”知識遷移應用至三維“體的鋪設”中，對學生來說挑戰(zhàn)重重。三、教學思考數(shù)學建模力的形成是一個漸進、交替和螺旋上升的過程，有賴于進階學習活動的逐步推進。然而，人教版教材編排“鋪地磚問題”的方式，導致學生在從建模向應用進階的過程中，出現(xiàn)了思維的斷層。因此，教學時有必要讓學生對數(shù)學模型進行反復的鞏固與變式應用（如圖4），從而幫助他們更好地理解和掌握這一概念。具體而言，“鋪地磚問題”模型的構建可以從放大數(shù)學化表征、構建一般化模型、嘗試遷移性應用三個維度展開。（一）情境變式，放大數(shù)學化表征“鋪地磚問題”是建立數(shù)學模型的基石。在學生探究新知后，通過變化情境，能夠幫助學生鞏固和深化對“鋪地磚問題”模型結構的理解?！纠?】給一塊長100分米、寬30分米的長方形地面鋪上草皮，每塊草皮長5分米、寬4分米，價格4元。鋪完整塊地，需要花費多少元錢？要解決這個問題，教師需要引導學生從復雜的信息中識別出“草皮塊數(shù)”和“每塊價格”兩個關鍵信息，讓學生通過畫一畫、算一算、比一比，發(fā)現(xiàn)沿邊鋪設有兩種方法（如圖5），且這兩種方法都可以用“長邊塊數(shù)×寬邊塊數(shù)”或“總面積÷每塊草皮面積”來求草皮塊數(shù)。這樣的變式情境，不僅能提升學生的信息識別能力，還能放大對現(xiàn)實情境進行數(shù)學化表征的過程，從而提升學生建構沿邊鋪設模型的水平。（二）彌補斷層，構建一般化模型由于教材對“鋪地磚問題”的編排跨度過大，學生在將數(shù)學模型從面遷移應用到體的過程中，出現(xiàn)了理解上的斷層。此外，現(xiàn)實情境中剛好“密鋪”的情況也較為少見。因此，教師在教學五年級上冊“多邊形的面積”單元時，有必要增加一些學習任務。【例2】幼兒園打算用長70厘米、寬40厘米的長方形布料剪出各種圖形，具體包括：邊長8厘米的正方形；長3.5厘米、寬2厘米的長方形；底和高都是5厘米的等腰直角三角形；如圖所示的平行四邊形或梯形。任務以小組為單位完成。（1）你會怎么剪？能剪多少個？（畫一畫、算一算）（2）比一比，你有哪些發(fā)現(xiàn)？學生在裁剪過程中會遇到兩種情況：一種是正好剪完，這與他們已有的經(jīng)驗相符；另一種是至少有一邊有剩余（如正方形），這會強化他們對“鋪地磚問題”只能沿邊裁剪的理解。此外，等腰直角三角形和梯形也需要轉化為長方形或正方形來剪裁，這樣能夠豐富學生的知識結構?？梢姡@樣的學習任務能夠推動學生根據(jù)不同情況建立相應的一般化模型。（三）拓展情境，嘗試遷移性應用遷移應用是數(shù)學學習的最高水平，它能幫助學生從一個問題拓展到一類問題，從而提升建模力水平。在教學五年級下冊“長方體和正方體”單元時，教師可以通過具體的問題，引導學生將“鋪地磚問題”的一般化模型遷移應用到其他情境中?！纠?】一個棱長為40厘米的正方體大盒中最多能放下多少個長、寬為20厘米，高為10厘米的小茶葉盒？正方體大盒的棱長為30厘米呢？在教師的引導下，學生通過畫圖、計算等方式，發(fā)現(xiàn)數(shù)學模型也可以用于解決“茶葉盒問題”。當正方體棱長為40厘米時，它恰好可以實