黑龍江省龍東地區(qū)2024年中考數(shù)學(xué)試卷【附真題答案】

黑龍江省龍東地區(qū)2024年中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）1．下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)3?a2＝a6 B．（a2）5＝a7C．（﹣2a3b）3＝﹣8a9b3 D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b22．下列圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B．C． D．3．一個(gè)由若干個(gè)大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的主視圖和左視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最少是（）A．6 B．5 C．4 D．34．一組數(shù)據(jù)2，3，3，4，則這組數(shù)據(jù)的方差為（）A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.55．關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≤4 B．m≥4C．m≥﹣4且m≠2 D．m≤4且m≠26．已知關(guān)于x的分式方程2無(wú)解，則k的值為（）A．k＝2或k＝﹣1 B．k＝﹣2C．k＝2或k＝1 D．k＝﹣17．國(guó)家“雙減”政策實(shí)施后，某班開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動(dòng)．班級(jí)決定為在活動(dòng)中表現(xiàn)突出的同學(xué)購(gòu)買筆記本和碳素筆進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)（兩種獎(jiǎng)品都買）．其中筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費(fèi)28元，則共有幾種購(gòu)買方案（）A．5 B．4 C．3 D．28．如圖，雙曲線y（x＞0）經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，連接OA、AB，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸，垂足為D，BD交OA于點(diǎn)E，且E為AO的中點(diǎn)，則△AEB的面積是（）A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.59．如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，AM⊥BC，垂足為M，AM交BD于點(diǎn)N，OM＝2，BD＝8，則MN的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．10．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)H在AD邊上（不與點(diǎn)A、D重合），∠BHF＝90°，HF交正方形外角的平分線DF于點(diǎn)F，連接AC交BH于點(diǎn)M，連接BF交AC于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)N，連接BD．則下列結(jié)論：①∠HBF＝45°；②點(diǎn)G是BF的中點(diǎn)；③若點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，則sin∠NBC；④BNBM；⑤若AHHD，則S△BNDS△AHM．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤二、填空題（每小題3分，共30分）11．國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布數(shù)據(jù)顯示，2023年我國(guó)糧食總產(chǎn)量是13908億斤，將13908億用科學(xué)記數(shù)法表示為．12．在函數(shù)y中，自變量x的取值范圍是．13．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得菱形ABCD為正方形．14．七年一班要從2名男生和3名女生中選擇兩名學(xué)生參加朗誦比賽，恰好選擇1名男生和1名女生的概率是．15．關(guān)于x的不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是．16．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是直徑，若∠B＝25°，則∠CAD＝°．17．若圓錐的底面半徑為3，側(cè)面積為36π，則這個(gè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是°．18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC，BC＝2，AD＝1，線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，則BP的最大值是．19．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，將AB沿過(guò)點(diǎn)A的一條直線折疊，折痕交直線BC于點(diǎn)P（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)落在矩形對(duì)角線所在的直線上，則PC長(zhǎng)為．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OMNP頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0），△OAB是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是（1，0），△OAB在正方形OMNP內(nèi)部緊靠正方形OMNP的邊（方向?yàn)镺→M→N→P→O→M（→…）做無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A1，A1的坐標(biāo)是（2，0）；第二次滾動(dòng)后，A1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A2，A2的坐標(biāo)是（2，0）；第三次滾動(dòng)后，A2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A3，A3的坐標(biāo)是（3，）；如此下去，……，則A2024的坐標(biāo)是．三、解答題（滿分60分）21．先化簡(jiǎn)，再求值：（1），其中m＝cos60°．22．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣5，2）．⑴畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo)；⑵畫出△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△AB2C2，并寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo)；⑶在（2）的條件下，求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B2的過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．23．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中B（1，0），C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）在第二象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△APC的面積最大．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)和△APC的面積最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．24．為貫徹落實(shí)教育部辦公廳關(guān)于“保障學(xué)生每天校內(nèi)、校外各一小時(shí)體育活動(dòng)時(shí)間”的要求，某學(xué)校要求學(xué)生每天堅(jiān)持體育鍛煉．學(xué)校從全體男生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，調(diào)查他們的立定跳遠(yuǎn)成績(jī)，整理如下不完整的頻數(shù)分布表和統(tǒng)計(jì)圖，結(jié)合圖解答下列問(wèn)題：組別分組（cm）頻數(shù)A50＜x≤1003B100＜x≤150mC150＜x≤20020D200＜x≤25014E250＜x≤3005（1）頻數(shù)分布表中m＝，扇形統(tǒng)計(jì)圖中n＝；（2）本次調(diào)查立定跳遠(yuǎn)成績(jī)的中位數(shù)落在組別；（3）該校有600名男生，若立定跳遠(yuǎn)成績(jī)大于200cm為合格，請(qǐng)估計(jì)該校立定跳遠(yuǎn)成績(jī)合格的男生有多少人？25．甲、乙兩貨車分別從相距225km的A、B兩地同時(shí)出發(fā)，甲貨車從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時(shí)，停下來(lái)卸貨，半小時(shí)后繼續(xù)駛往B地，乙貨車沿同一條公路從B地駛往A地，但乙貨車到達(dá)配貨站時(shí)接到緊急任務(wù)立即原路原速返回B地，結(jié)果比甲貨車晚半小時(shí)到達(dá)B地．如圖是甲、乙兩貨車距A地的距離y（km）與行駛時(shí)間x（h）之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問(wèn)題：（1）甲貨車到達(dá)配貨站之前的速度是km/h，乙貨車的速度是km/h；（2）求甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地的過(guò)程中，甲貨車距A地的距離y（km）與行駛時(shí)間x（h）之間的函數(shù)解析式；（3）直接寫出甲、乙兩貨車在行駛的過(guò)程中，出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．26．已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠MAN∠BAC，∠MAN在∠BAC的內(nèi)部，點(diǎn)M、N在BC上，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，探究線段BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖①，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，探究如下：由∠BAC＝90°，AB＝AC可知，將△ACN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABP，則CN＝BP且∠PBM＝90°，連接PM，易證△AMP≌△AMN，可得MP＝MN，在Rt△PBM中，BM2+BP2＝MP2，則有BM2+NC2＝MN2．

（2）當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，如圖②：當(dāng)∠BAC＝120°時(shí)，如圖③，分別寫出線段BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇圖②或圖③進(jìn)行證明．27．為了增強(qiáng)學(xué)生的體質(zhì)，某學(xué)校倡導(dǎo)學(xué)生在大課間開展踢毽子活動(dòng)，需購(gòu)買甲、乙兩種品牌毽子．已知購(gòu)買甲種品牌毽子10個(gè)和乙種品牌毽子5個(gè)共需200元；購(gòu)買甲種品牌毽子15個(gè)和乙種品牌毽子10個(gè)共需325元．（1）購(gòu)買一個(gè)甲種品牌毽子和一個(gè)乙種品牌毽子各需要多少元？（2）若購(gòu)買甲、乙兩種品牌毽子共花費(fèi)1000元，甲種品牌毽子數(shù)量不低于乙種品牌毽子數(shù)量的5倍且不超過(guò)乙種品牌毽子數(shù)量的16倍，則有幾種購(gòu)買方案？（3）若商家每售出一個(gè)甲種品牌毽子利潤(rùn)是5元，每售出一個(gè)乙種品牌毽子利潤(rùn)是4元，在（2）的條件下，學(xué)校如何購(gòu)買毽子商家獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？28．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形OAB的邊OB在x軸上，點(diǎn)A在第一象限，OA的長(zhǎng)度是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的根，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OA﹣AB運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OB﹣BA運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜3.6），△OPQ的面積為S．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，當(dāng)S＝6時(shí)，點(diǎn)M在y軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)O、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】D6．【答案】A7．【答案】B8．【答案】A9．【答案】C10．【答案】A11．【答案】1.3908×101212．【答案】x≥313．【答案】AC＝BD14．【答案】15．【答案】a＜016．【答案】6517．【答案】9018．【答案】19．【答案】、或1020．【答案】（1，3）21．【答案】解：原式＝1﹣m，當(dāng)m＝cos60°時(shí)，原式＝1．22．【答案】解：⑴△A1B1C1如圖所示，

B1的坐標(biāo)為（2，3）；⑵△AB2C2如圖所示，B2的坐標(biāo)為（﹣3，0）；⑶∵AB，∠BAB2＝90°，∴點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B2的過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為：．23．【答案】（1）解：將B（1，0），C（0，3）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c中，，解得：，∴拋物線y＝﹣x2﹣2x+3．（2）解：存在，P的坐標(biāo)為（，）；△APC面積的最大值為.24．【答案】（1）8；40（2）C（3）解：600228（名），答：估計(jì)該校立定跳遠(yuǎn)成績(jī)合格的男生有228人．25．【答案】（1）30；40（2）解：∵3.5+0.5＝4（h），6﹣0.5＝5.5（h），∴點(diǎn)E（4，105），F(xiàn)（5.5，225）．設(shè)線段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）．將坐標(biāo)E（4，105）和F（5.5，225）分別代入y＝kx+b，得，解得，∴甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地的過(guò)程中，甲貨車距A地的距離y與行駛時(shí)間x之間的函數(shù)解析式為y＝80x﹣215（4≤x≤5.5）．（3）解：出發(fā)h或h或5h甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．26．【答案】解：圖②的結(jié)論是BM2+NC2+BM?NC＝MN2．證明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在△ABC外作∠ABK＝60°，在BK上截取BQ＝CN，連接QA、QM，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC，垂足為H，

∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，CN＝BQ，

∴△ACN≌△ABQ（SAS），

∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB，

又∵∠CAN+∠BAM＝30°，

∴∠BAM+∠QAB＝30°，

即∠QAM＝∠MAN，

又∵AM＝AM，

∴△AQM≌△ANM（SAS），

∴MN＝QM；

∵ABQ＝60°，∠ABC＝60°，

∴∠QBH＝60°，

∴∠BQH＝30°，

∴BHBQ，QHBQ，

∴HM＝BM+BH＝BMBQ，

在Rt△QHM中，可得：QH2+HM2＝QM2，即（BQ）2+（BMBQ）2＝QM2，

整理得BM2+BQ2+BM?BQ＝QM2．

∴BM2+NC2+BM?NC＝MN2．

圖③的結(jié)論是：BM2+NC2﹣BM?NC＝MN2．

證明：以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在△ABC外作∠ABK＝30°，在BK上截取BQ＝CN，連接QA、QM，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC，垂足為H，

∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，CN＝BQ，

∴△ACN≌△ABQ（SAS），

∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB，

又∵∠CAN+∠BAM＝60°，

∴∠BAM+∠QAB＝60°，即∠QAM＝∠MAN，

又∵AM＝AM，

∴△AQM≌△ANM（SAS），

∴MN＝QM，

在Rt△BQH中，∠QBH＝60°，∠BQH＝30°，

∴BHBQ，QHBQ，

HM＝BM﹣BH＝BMBQ，

在Rt△QHM中，可得：QH2+HM2＝QM2，即（BQ）2+（BMBQ）2＝QM2，

整理得BM2+BQ2﹣BM?BQ＝QM2．

∴BM2+NC2﹣BM?NC＝MN2．27．【答案】（1）解：設(shè)購(gòu)買一個(gè)甲種品牌毽子需要x元，一個(gè)乙種品牌毽子需要y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：購(gòu)買一個(gè)甲種品牌毽子需要15元，一個(gè)乙種品牌毽子需要10元；（2）解：設(shè)購(gòu)買m個(gè)甲種品牌毽子，則購(gòu)買（100m）個(gè)乙種品牌毽子，根據(jù)題意得：，解得：m≤64，又∵m，（100m）均為正整數(shù)，∴m可以為60，62，64，∴學(xué)校共有3種購(gòu)買方案，方案1：購(gòu)買60個(gè)甲種品牌毽子，10個(gè)乙種品牌毽子；方案2：購(gòu)買62個(gè)甲種品牌毽子，7個(gè)乙種品牌毽子；方案3：購(gòu)買64個(gè)甲種品牌毽子，4個(gè)乙種品牌毽子；（3）解：學(xué)校選擇方案1商家可獲得的總利潤(rùn)為5×60+4×10＝340（元）；學(xué)校選擇方案2商家可獲得的總利潤(rùn)為5×62+4×7＝338（元）；學(xué)校選擇方案3商家可獲得的總利潤(rùn)為5×64+4×4＝336（元）．∵340＞338＞336，∴在（2）的條件下，學(xué)校購(gòu)買60個(gè)甲種品牌毽子，10個(gè)乙種品牌毽子時(shí)，商家獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是340元．28．【答案】（1）解：x2﹣5x﹣6＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1，∵OA的長(zhǎng)度是x2﹣5x﹣6＝0的根，∴OA＝6，∵△OAB是等邊三角形，∴OA＝OB＝OC＝6，∠OAB＝∠AOB＝∠ABO＝60°，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸，垂足為C，在Rt△AOC中，∠AOC＝60°，∴∠OAC＝30°，∴OCOA6＝3，∴AС3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為