小學(xué)五年級(jí)第16講：棋盤(pán)中的數(shù)學(xué)(教師版)

第十六講棋盤(pán)中的數(shù)學(xué)1．棋盤(pán)中的圖形與面積；2．棋盤(pán)中的覆蓋問(wèn)題：（1）概念：用某種形狀的卡片，按一定要求將棋盤(pán)覆蓋住，就是棋盤(pán)的覆蓋問(wèn)題。實(shí)際上，這里并不要求一定是某種棋盤(pán)，只要是有關(guān)覆蓋若干行、若干列的方格網(wǎng)的問(wèn)題，就是棋盤(pán)的覆蓋問(wèn)題。（2）分類：棋盤(pán)的覆蓋問(wèn)題可以分為三類，一是能不能覆蓋的問(wèn)題，二是最多能用多少種圖形覆蓋的問(wèn)題，三是有多少種不同的覆蓋方法問(wèn)題。（3）重要結(jié)論：①m×n棋盤(pán)能被2×1骨牌覆蓋的條件是m、n中至少有一個(gè)是偶數(shù)．②2×n的方格棋盤(pán)能用形骨牌覆蓋的條件是3｜n．3、棋盤(pán)中的象棋問(wèn)題：所謂棋盤(pán)，常見(jiàn)的有中國(guó)象棋棋盤(pán)（下圖（1）），圍棋盤(pán)（下圖（2）），還有國(guó)際象棋棋盤(pán)（下圖（3））．以這些棋盤(pán)為背景而提出的問(wèn)題統(tǒng)稱為棋盤(pán)問(wèn)題。這里面與數(shù)學(xué)推理、計(jì)算相關(guān)的棋盤(pán)問(wèn)題，就叫做棋盤(pán)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。解決棋盤(pán)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題所使用的數(shù)學(xué)知識(shí)，統(tǒng)稱棋盤(pán)中的數(shù)學(xué)。1、利用卡片覆蓋已知圖形，掌握一是能不能覆蓋的問(wèn)題，二是最多能用多少種圖形覆蓋的問(wèn)題，三是有多少種不同的覆蓋方法問(wèn)題；2、利用象棋知識(shí)尋找路線；問(wèn)：這三個(gè)棋子（一個(gè)黑“象”和兩個(gè)紅“相”）各在什么位置時(shí)，以這三個(gè)棋子為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積最大？答案：黑“象”在2或3的位置，兩個(gè)紅“相”分別在10，12的位置時(shí)，以這三個(gè)棋子為頂點(diǎn)的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面積最大，如下圖所示．分析：我們?cè)O(shè)每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1單位．則小方格正方形面積為1平方單位．由于三個(gè)頂點(diǎn)都在長(zhǎng)方形邊上的三角形面積至多為這個(gè)長(zhǎng)方形面積的一半．所以要比較三角形面積的大小，只要比較三角形的三個(gè)頂點(diǎn)所在邊的外接長(zhǎng)方形面積的大小就可見(jiàn)端倪．直觀可見(jiàn)，只須比較（3，10，12）或（2，10，12）與（3，10，13）或（2，12，14）這兩類三角形面積就可以了．頂點(diǎn)為（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面積等于：所以頂點(diǎn)在（2，10，12）或（3，10，12）時(shí)三角形面積最大．例6、如下圖是半張棋盤(pán)，請(qǐng)你用兩個(gè)車、兩個(gè)馬、兩個(gè)炮、一個(gè)相和一個(gè)兵這八個(gè)子放在這半個(gè)棋盤(pán)上，使得其余未被占據(jù)的點(diǎn)都在這八個(gè)點(diǎn)的控制之下（要符合象棋規(guī)則，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同樣“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．馬走“日”字，“車”走直線，“炮”隔子控制等）．答案：這仍是一個(gè)占位問(wèn)題，只需要把指出的幾個(gè)子排布成所要求的陣勢(shì)即可，如下圖所示．分析：主要考查棋盤(pán)中的覆蓋問(wèn)題：完全覆蓋問(wèn)題。只要把每個(gè)棋的走法掌握該類型題應(yīng)該沒(méi)有太大問(wèn)題。A檔1、在4×4的正方形中，至少要放多少個(gè)形如所示的卡片，才能使得在不重疊的情形下，不能再在正方形中多放一個(gè)這樣的卡片？（要求卡片的邊緣與格線重合）答案與提示：3個(gè)。提示：右圖是一種放法。2、能否用9個(gè)形如的卡片覆蓋6×6的棋盤(pán)？答案與提示：不能。右圖中黑、白格各18個(gè)，每張卡片蓋住的黑格數(shù)是奇數(shù)，9張卡片蓋住的黑格數(shù)之和仍是奇數(shù)，不可能蓋住18個(gè)黑格。3、有若干個(gè)邊長(zhǎng)為1、邊長(zhǎng)為2、邊長(zhǎng)為3的小正方形，從中選出一些拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為4的大正方形，共有多少種不同拼法？（只要選擇的各種小正方形的數(shù)目相同就算相同的拼法）答案與提示：6種。用小正方形拼成邊長(zhǎng)為4的大正方形有6種情形：（1）1個(gè)3×3，7個(gè)1×1；（2）1個(gè)2×2，12個(gè)1×1；（3）2個(gè)2×2，8個(gè)1×1；（4）3個(gè)2×2，4個(gè)1×1；（5）4個(gè)2×2；（6）16個(gè)1×1。 B檔4、要不重疊地剛好覆蓋住一個(gè)正方形，最少要用多少個(gè)右圖所示的圖形？答案與提示：因?yàn)閳D形由3個(gè)小方格構(gòu)成，所以要拼成的正方形內(nèi)所含的小方格數(shù)應(yīng)是3的倍數(shù)，從而正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)是3的倍數(shù)。經(jīng)試驗(yàn)，不可能拼成邊長(zhǎng)為3的正方形。所以拼成的正方形的邊長(zhǎng)最少是6（見(jiàn)右圖），需要用題目所示的圖形36÷3=12（個(gè)）。5、下圖的七種圖形都是由4個(gè)相同的小方格組成的?，F(xiàn)在要用這些圖形拼成一個(gè)4×7的長(zhǎng)方形（可以重復(fù)使用某些圖形），那么，最多可以用上幾種不同的圖形？答案與提示：先從簡(jiǎn)單的情形開(kāi)始考慮。顯然，只用1種圖形是可以的，例如用7個(gè)（7）；用2種圖形也沒(méi)問(wèn)題，例如用1個(gè)（7），6個(gè)（1）。經(jīng)試驗(yàn)，用6種圖形也可以拼成4×7的長(zhǎng)方形（見(jiàn)下圖）。能否將7種圖形都用上呢？7個(gè)圖形共有4×7=28（個(gè)）小方格，從小方格的數(shù)量看，如果每種圖形用1個(gè)，那么有可能拼成4×7的長(zhǎng)方形。但事實(shí)上卻拼不成。為了說(shuō)明，我們將4×7的長(zhǎng)方形黑、白相間染色（見(jiàn)右圖），圖中黑、白格各有14個(gè)。在7種圖形中，除第（2）種外，每種圖形都覆蓋黑、白格各2個(gè)，共覆蓋黑、白格各12個(gè)，還剩下黑、白格各2個(gè)。第（2）種圖形只能覆蓋3個(gè)黑格1個(gè)白格或3個(gè)白格1個(gè)黑格，因此不可能覆蓋住另6種圖形覆蓋后剩下的2個(gè)黑格2個(gè)白格。綜上所述，要拼成4×7的長(zhǎng)方形，最多能用上6種圖形。6、用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一個(gè)11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少個(gè)？答案與提示：用3個(gè)2×2正方形和2個(gè)3×3正方形可以拼成1個(gè)5×6的長(zhǎng)方形（見(jiàn)左下圖）。用4個(gè)5×6的長(zhǎng)方形和1個(gè)1×1的正方形可以拼成1個(gè)11×11的大正形（見(jiàn)右下圖）。上面說(shuō)明用1個(gè)1×1的正方形和若干2×2，3×3的正方形可以拼成11×11的大正方形。那么，不用1×1的正方形，只用2×2，3×3的正方形可以拼成11×11的正方形嗎？將11×11的方格網(wǎng)每隔兩行染黑一行（見(jiàn)下頁(yè)右上圖）。將2×2或3×3的正方形沿格線放置在任何位置，都將覆蓋住偶數(shù)個(gè)白格，所以無(wú)論放置多少個(gè)2×2或3×3的正方形，覆蓋住的白格數(shù)量總是偶數(shù)個(gè)。但是，右圖中的白格有11×7=77（個(gè)），是奇數(shù)，矛盾。由此得到，不用1×1的正方形不可能拼成11×11的正方形。綜上所述，要拼成11×11的正方形，至少要用1個(gè)1×1的小正方形。7、用七個(gè)1×2的小長(zhǎng)方形覆蓋下圖，共有多少種不同的覆蓋方法？答案與提示：盲目無(wú)章的試驗(yàn)，很難搞清楚。我們采用分類討論的方法。如下圖所示，蓋住A所在的小格只有兩種情況，其中左下圖中①②兩個(gè)小長(zhǎng)方形只能如圖覆蓋，其余部分有4種覆蓋方法：右下圖中①②③三個(gè)小長(zhǎng)方形只能如圖覆蓋，其余部分有3種覆蓋方法。所以，共有7種不同覆蓋方法。8、有許多邊長(zhǎng)為1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬紙片。用這些硬紙片拼成一個(gè)長(zhǎng)5厘米、寬3厘米的長(zhǎng)方形的紙板，共有多少種不同的拼法？（通過(guò)旋轉(zhuǎn)及翻轉(zhuǎn)能相互得到的拼法認(rèn)為是相同的拼法）答案與提示：有一個(gè)邊長(zhǎng)3厘米紙片有如下3種拼法：有兩個(gè)邊長(zhǎng)2厘米紙片的有如下4種拼法：有一個(gè)邊長(zhǎng)2厘米及11個(gè)邊長(zhǎng)1厘米紙片的有2種拼法，邊長(zhǎng)全是1厘米紙片的有1種拼法。共有不同的拼法3＋4＋2+1=10（種）。答：共有10種不同的拼法。C檔9、小明有8張連在一起的電影票（如右圖），他自己要留下4張連在一起的票，其余的送給別人。他留下的四張票可以有多少種不同情況？答案與提示：25種。形如圖（A）（B）（C）（D）的依次有3，10，6，6種。10、有若干個(gè)邊長(zhǎng)為1、邊長(zhǎng)為2、邊長(zhǎng)為3的小正方形，從中選出一些拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為4的大正方形，共有多少種不同拼法？（只要選擇的各種小正方形的數(shù)目相同就算相同的拼法）答案與提示：6種。用小正方形拼成邊長(zhǎng)為4的大正方形有6種情形：（1）1個(gè)3×3，7個(gè)1×1；（2）1個(gè)2×2，12個(gè)1×1；（3）2個(gè)2×2，8個(gè)1×1；（4）3個(gè)2×2，4個(gè)1×1；（5）4個(gè)2×2；（6）16個(gè)1×1。11、能不能用9個(gè)1×4的長(zhǎng)方形卡片拼成一個(gè)6×6的正方形？答案與提示：不能。用1，2，3，4對(duì)6×6棋盤(pán)中的小方格編號(hào)（見(jiàn)右圖）。一個(gè)1×4的矩形一次只能覆蓋1，2，3，4號(hào)各一個(gè)，而1，2，3，4號(hào)數(shù)目不等，分別有9，10，9，8個(gè)。12、一種游戲機(jī)的“方塊”游戲中共有如下頁(yè)圖所示的七種圖形，每種圖形都由4個(gè)面積為1的小方格組成．現(xiàn)用7個(gè)這樣的圖形拼成一個(gè)7×4的長(zhǎng)方形（可以重復(fù)使用某些圖形）．那么，最多可以用上面七種圖形中的幾種？答案：要拼成4×7的方格，最多能用上七種“方塊”中的6種圖形13、由1×1、2×2、3×3的小正方形拼成一個(gè)23×23的大正方形，在所有可能的拼法中，利用1×1的正方形最少個(gè)數(shù)是多少？試證明你的結(jié)論．答案：至少要用一個(gè)1×1的小正方形。14、如下左圖是一個(gè)國(guó)際象棋棋盤(pán)，A處有只螞蟻，螞蟻只能由黑格進(jìn)入白格再由白格進(jìn)入黑格這樣黑白交替地行走，已經(jīng)走過(guò)的格子不能第二次進(jìn)入．請(qǐng)問(wèn)，螞蟻能否從A出發(fā)，經(jīng)過(guò)每個(gè)格子最后返回到A處？若能，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種路線，若不能，請(qǐng)你說(shuō)明理由．解：這種爬行路線是存在的．具體的設(shè)計(jì)一條，如右圖所示．15、下圖是一個(gè)圍棋盤(pán)，另有一堆圍棋子，將這堆棋子往棋盤(pán)上放，當(dāng)按格點(diǎn)擺成某個(gè)正方陣時(shí)，尚多余12枚棋子，如果要將這個(gè)正方陣改擺成每邊各加一枚棋子的正方陣，則差9枚棋子才能擺滿．問(wèn)：這堆棋子原有多少枚？解：第一次排方陣剩余12枚，加上第二次排方陣所不足的9枚，恰是原正方陣擴(kuò)大后“貼邊”的部分（如下圖所示），共21枚，它恰是原正方陣每邊棋子數(shù)與“擴(kuò)陣”每邊棋子數(shù)之和．恰是兩個(gè)相鄰自然數(shù)之和，所以原正方陣每邊10枚棋子，新正方陣每邊11枚棋子．這堆棋子總數(shù)是102＋12＝112枚．答：這堆棋子原有112枚．1、如下左圖是一個(gè)國(guó)際象棋棋盤(pán)，A處有只螞蟻，螞蟻只能由黑格進(jìn)入白格再由白格進(jìn)入黑格這樣黑白交替地行走，已經(jīng)走過(guò)的格子不能第二次進(jìn)入．請(qǐng)問(wèn)，螞蟻能否從A出發(fā)，經(jīng)過(guò)每個(gè)格子最后返回到A處？若能，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種路線，若不能，請(qǐng)你說(shuō)明理由．答案：這種爬行路線是存在的．具體的設(shè)計(jì)一條，如右圖所示。2、在8×8的方格棋盤(pán)中，如下圖所示，填上了一些數(shù)字1，2，3，4．試將這個(gè)棋盤(pán)分成大小和形狀都相同的四塊，并且每塊中都恰有1、2、3、4四個(gè)數(shù)字．答案：①將兩個(gè)并列在一起的“4”分開(kāi)，先畫(huà)出這段劃分線，并將它分別繞中心旋轉(zhuǎn)90°，180°和270°，得到另外三段劃分線，如下圖（1）所示．②仿照上述方法，畫(huà)出所有這樣的劃分線，如上圖（2）所示．③從最里層開(kāi)始，沿著畫(huà)出的劃分線作設(shè)想分塊，如上圖（3），這個(gè)分塊中要含1，2，3，4各一個(gè)，且恰為16塊小方格．④將上面的陰影部分繞中心旋轉(zhuǎn)180°，可以得到符合條件的另一塊，空白部分的兩塊也符合條件，所求的劃分如上頁(yè)圖（4）所示3、要不重疊地剛好覆蓋住一個(gè)正方形，最少要用多少個(gè)右圖所示的圖形？答案：84、一種游戲機(jī)的“方塊”游戲中共有如下頁(yè)圖所示的七種圖形，每種圖形都由4個(gè)面積為1的小方格組成．現(xiàn)用7個(gè)這樣的圖形拼成一個(gè)8×4的長(zhǎng)方形（可以重復(fù)使用某些圖形）．那么，最少可以用上面七種圖形中的幾種？答案：要拼成8×4的方格，最多能用上七種“方塊”中的1種圖形5、能不能用9個(gè)1×4的長(zhǎng)方形卡片拼成一個(gè)12×3的正方形？答案與提示：能。1、要不重疊地剛好覆蓋住一個(gè)正方形，最少要用多少個(gè)右圖所示的圖形？答案：122、一種游戲機(jī)的“方塊”游戲中共有如下頁(yè)圖所示的七種圖形，每種圖形都由4個(gè)面積為1的小方格組成．現(xiàn)用7個(gè)這樣的圖形拼成一個(gè)8×4的長(zhǎng)方形（可以重復(fù)使用某些圖形）．那么，最少可以用上面七種圖形中的幾種？答案：要拼成8×4的方格，最多能用上七種“方塊”中的1種圖形3、能不能用9個(gè)2×3的長(zhǎng)方形卡片拼成一個(gè)7×8的正方形？答案與提示：不能。4、在