押安徽中考數(shù)學(xué)第16-20題(幾何作圖、列方程解應(yīng)用題、規(guī)律探究幾何證明與解直角三角形)(原卷版+解析)

押安徽中考數(shù)學(xué)第16—20題幾何作圖、列方程解應(yīng)用題、規(guī)律探究、幾何證明與解直角三角形安徽中考數(shù)學(xué)近幾年整體變化不大，解答題的前5道題主要考查幾何中有關(guān)圖形變換的作圖、代數(shù)的規(guī)律探究、幾何的證明與計(jì)算以及解三角形的實(shí)際應(yīng)用等相關(guān)知識(shí)?？疾轫樞螂m有所改變，但知識(shí)點(diǎn)變化不大。題號(hào)第16題第17題第18題第19題第20題2022年平移(作圖)；畫旋轉(zhuǎn)圖形銷售、利潤(rùn)問(wèn)題(二元一次方程組的應(yīng)用)數(shù)字類規(guī)律探索；運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算；運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算；運(yùn)用平方差公式分解因式圓與三角形的綜合方位角問(wèn)題(解直角三角形的應(yīng)用)2021年平移(作圖)；畫旋轉(zhuǎn)圖形矩形性質(zhì)理解；其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）用代數(shù)式表示數(shù)、圖形的規(guī)律；幾何問(wèn)題(一元一次方程的應(yīng)用)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合直角三角形的兩個(gè)銳角互余；用勾股定理解三角形；利用垂徑定理求值；圓周角定理2020年畫軸對(duì)稱圖形；畫旋轉(zhuǎn)圖形數(shù)字類規(guī)律探索；分式加減乘除混合運(yùn)算仰角俯角問(wèn)題(解直角三角形的應(yīng)用)一元一次方程的應(yīng)用用ASA（AAS）證明三角形全等；利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證；半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角；切線的性質(zhì)定理1.在解答作圖題時(shí)，應(yīng)注意掌握軸對(duì)稱、中心對(duì)稱的概念以及平移與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。2.在做列方程解應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)注意解題步驟：設(shè)未知數(shù)，找等量關(guān)系，列出方程，解方程，檢驗(yàn)和回答。3.解此類題型時(shí)應(yīng)注意：仔細(xì)觀察題目給出的解題過(guò)程，總結(jié)規(guī)律或探究解題方法，得出結(jié)論并運(yùn)用結(jié)論解決新的問(wèn)題。4.解此類題型對(duì)考生的要求比較高，一方面需要考生熟記各特殊角的三角函數(shù)值和正弦、余弦、正切的概念，一方面要求考生熟練的運(yùn)用知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，利用解直角三角形的相關(guān)知識(shí)求解問(wèn)題。5.幾何證明題主要考查幾何圖形的基本性質(zhì)，既考查三角形、四邊形、圓的性質(zhì)與判定，又考查三角形全等、相似圖形以及圖形變換等幾何關(guān)系。在解題時(shí)要善于運(yùn)用幾何圖形的基本性質(zhì)和判定定理，再根據(jù)幾何概念構(gòu)建輔助線和數(shù)學(xué)模型。1．(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．(1)將△ABC向上平移6個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位，得到，請(qǐng)畫出﹔(2)以邊AC的中點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°，得到，請(qǐng)畫出．2．(2023·寧夏·中考真題）如圖，是邊長(zhǎng)為的小正方形組成的方格，線段的端點(diǎn)在格點(diǎn)上．建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為和．(1)畫出該平面直角坐標(biāo)系；(2)畫出線段關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的線段；(3)畫出以點(diǎn)A、B、O為其中三個(gè)頂點(diǎn)的平行四邊形．（畫出一個(gè)即可）3．(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）某地區(qū)2020年進(jìn)出口總額為520億元．2021年進(jìn)出口總額比2020年有所增加，其中進(jìn)口額增加了25%，出口額增加了30%．注：進(jìn)出口總額＝進(jìn)口額＋出口額．(1)設(shè)2020年進(jìn)口額為x億元，出口額為y億元，請(qǐng)用含x，y的代數(shù)式填表：年份進(jìn)口額/億元出口額/億元進(jìn)出口總額/億元2020xy52020211.25x1.3y(2)已知2021年進(jìn)出口總額比2020年增加了140億元，求2021年進(jìn)口額和出口額度分別是多少億元？4．(2023·內(nèi)蒙古·中考真題）某商店決定購(gòu)進(jìn)A、B兩種北京冬奧會(huì)紀(jì)念品．若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品10件，B種紀(jì)念品5件，需要1000元；若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品3件，需要550元．(1)求購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價(jià)；(2)若該商店決定拿出1萬(wàn)元全部用來(lái)購(gòu)進(jìn)這兩種紀(jì)念品，考慮市場(chǎng)需求，要求購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量不少于B種紀(jì)念品數(shù)量的6倍，且購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品數(shù)量不少于20件，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？(3)若銷售每件A種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)20元，每件B種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)30元，在第（2）問(wèn)的各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤(rùn)．5．(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，……按照以上規(guī)律．解決下列問(wèn)題：(1)寫出第5個(gè)等式：________；(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．6．(2023·浙江舟山·中考真題）觀察下面的等式：，，，……(1)按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）(2)請(qǐng)運(yùn)用分式的有關(guān)知識(shí)，推理說(shuō)明這個(gè)結(jié)論是正確的．7．(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D為BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD．(1)如圖1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的長(zhǎng)；(2)如圖2，若DC與⊙O相切，E為OA上一點(diǎn)，且∠ACD＝∠ACE，求證：CE⊥AB．8．(2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于⊙O，交⊙O于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接．(1)求證：；(2)若⊙O的半徑為3，，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．9．(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，數(shù)學(xué)興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測(cè)點(diǎn)C，測(cè)得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測(cè)點(diǎn)D，測(cè)得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B兩點(diǎn)間的距離．參考數(shù)據(jù)：，，．10．(2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量居民樓的高度，在居民樓前方有一斜坡，坡長(zhǎng)，斜坡的傾斜角為，．小文在點(diǎn)處測(cè)得樓頂端的仰角為，在點(diǎn)處測(cè)得樓頂端的仰角為（點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)）．(1)求，兩點(diǎn)的高度差；(2)求居民樓的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）1．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度．(1)將沿x軸方向向右平移7個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，請(qǐng)畫出．(2)將關(guān)于x軸對(duì)稱得到，請(qǐng)畫出．2．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．(1)將先向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到，畫出；(2)將繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，畫出．3．（2023·安徽滁州·統(tǒng)考一模）如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．(1)將先向上平移6個(gè)單位，再向右平移5個(gè)單位，得到，請(qǐng)畫出；(2)以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到，請(qǐng)畫出．4．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)，，均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上．(1)畫出將沿軸方向向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的；(2)畫出關(guān)于軸的對(duì)稱圖形，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在軸上找一點(diǎn)，使得的值最?。ūＡ糇鲌D痕跡）5．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）某公司為迎接哈洽會(huì)請(qǐng)甲乙兩個(gè)廣告公司布置展廳，若兩公司合作天就可以完成任務(wù)，若甲公司先做天，剩余部分再由兩公司合做，還需天才能完成任務(wù)．(1)甲公司與乙公司單獨(dú)完成這項(xiàng)任務(wù)各需多少天？(2)甲公司每天所有費(fèi)用為萬(wàn)元，乙公司每天所有費(fèi)用為萬(wàn)元，要使這項(xiàng)工作的總費(fèi)用不超過(guò)萬(wàn)元，則甲公司至多工作多少天？6．（2023·安徽宿州·宿州市第十一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）為了豐富同學(xué)們的課余生活、拓展同學(xué)們的視野，學(xué)校書店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩類中學(xué)生書刊，已知甲類書刊比乙類書刊每本貴2元，若購(gòu)買500本甲類書刊和400本乙類書刊共需要8200元，其中甲、乙兩類書刊的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表：甲乙進(jìn)價(jià)/（元/本）售價(jià)/（元/本）2013(1)求，的值；(2)第二次小賣部購(gòu)進(jìn)了1000本甲書刊和500本乙書刊，為了擴(kuò)大銷量，小賣部準(zhǔn)備對(duì)甲書刊進(jìn)行打折出售，乙書刊價(jià)格不變，全部售完后總利潤(rùn)為8500元，求甲書刊打了幾折？7．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考一模）我國(guó)航天事業(yè)的飛速發(fā)展引發(fā)了航空航天紀(jì)念品的熱銷，某商店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩類關(guān)于航空航天的紀(jì)念品進(jìn)行銷售.已知甲類紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)為m元/件，乙類紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)比甲類的進(jìn)價(jià)多5元/件.若每件甲類紀(jì)念品的售價(jià)是在其進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上提高了，每件乙類紀(jì)念品的售價(jià)是在其進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上提高了，根據(jù)上述條件，回答下面問(wèn)題：(1)請(qǐng)用含有m的代數(shù)式填寫下表：進(jìn)價(jià)/元售價(jià)/元甲類紀(jì)念品m乙類紀(jì)念品(2)該商店分別購(gòu)進(jìn)甲類紀(jì)念品100件，乙類紀(jì)念品80件.兩類紀(jì)念品全部售出后所得的總利潤(rùn)為1080元，問(wèn)每件甲、乙兩類紀(jì)念品進(jìn)價(jià)分別多少元？8．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考一模）為弘揚(yáng)中華文化，鼓勵(lì)學(xué)生多讀書，讀好書，九年級(jí)(4)班班主任精選了《朝花夕拾》《平凡的世界》《長(zhǎng)征》《紅巖》《文化苦旅》5種書，準(zhǔn)備送給學(xué)生.(1)若由上述5種書各3本，小明同學(xué)從中任選一本，選中《紅巖》的概率是多少?(2)若小明同學(xué)從上述5種書中任選一本，選中《長(zhǎng)征》的概率是，則在(1)的基礎(chǔ)上，班主任老師只需要增加幾本《長(zhǎng)征》書？9．（2023·安徽六安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……(1)根據(jù)等式中的規(guī)律，寫出第6個(gè)等式：______；(2)猜想并寫出第個(gè)等式，并證明它的正確性．10．（2023·安徽合肥·合肥市第四十八中學(xué)校考一模）仔細(xì)觀察下列各式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；請(qǐng)你根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：(1)寫出第4個(gè)等式：___________；(2)寫出第（為正整數(shù)）個(gè)等式，并證明等式成立．11．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：第4個(gè)等式：，……請(qǐng)根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題(1)試寫出第5個(gè)等式；(2)請(qǐng)證明第4個(gè)等式．12．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中學(xué)?？家荒＃┯^察下列各式：①，

②，③，

④，……

……；按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：(1)寫出第6個(gè)等式：________；(2)寫出你猜想的第個(gè)等式：________（用含的等式表示），并證明.13．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，是的直徑，，都是上的點(diǎn)，平分，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的值．14．（2023·安徽滁州·統(tǒng)考一模）如圖1，是的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)是優(yōu)弧上一點(diǎn)，連接．(1)求證；(2)如圖2，若，，，求的長(zhǎng)．15．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考一模）如圖，過(guò)等邊的頂點(diǎn)A作的垂線，點(diǎn)為上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．(1)求證：；(2)連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)．若，①試猜想和的數(shù)量關(guān)系，并證明；②若，求的長(zhǎng).16．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知：如圖1，在中，，是的平分線，連接、，且于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖2，點(diǎn)分別是邊、上的點(diǎn)，且于點(diǎn)，求的值．17．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考一模）隨著科技的發(fā)展，無(wú)人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活，如代替人們?cè)诟呖諟y(cè)量距離和角度．某?！熬C合與實(shí)踐”活動(dòng)小組的同學(xué)要測(cè)量?jī)勺鶚侵g的距離，他們借助無(wú)人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：無(wú)人機(jī)在兩樓之間上方的點(diǎn)O處，點(diǎn)O距地面的高度為，此時(shí)觀測(cè)到樓底部點(diǎn)A處的俯角為70°，樓上點(diǎn)E處的俯角為，沿水平方向由點(diǎn)O飛行到達(dá)點(diǎn)F，測(cè)得點(diǎn)E處俯角為，其中點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O均在同一豎直平面內(nèi)．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓與之間的距離的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：，，，）．18．（2023·安徽滁州·統(tǒng)考一模）如圖，線段是南北方向的一段碼頭，點(diǎn)和點(diǎn)分別是碼頭的兩端，海里，某一時(shí)刻在點(diǎn)處測(cè)得貨船位于其北偏東75°的方向上，同時(shí)測(cè)得燈塔A位于其南偏東30°方向上，在點(diǎn)處測(cè)得燈塔A位于其北偏東75°方向上，已知貨船位于燈塔A北偏東30°方向上，求此時(shí)貨船距燈塔A的距離的長(zhǎng)（最終結(jié)果精確到0.1海里，參考數(shù)據(jù)：，，）．19．（2023·安徽蕪湖·蕪湖市第二十九中學(xué)?？家荒＃┥Ｌ菔俏覈?guó)古代發(fā)明的一種采桑工具．圖1是明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪的桑梯，其示意圖如圖2所示，已知米，米，與的張角為，為保證安全，的調(diào)整范圍是，為固定張角大小的繩索．(1)求繩索長(zhǎng)的最大值．(2)若時(shí)，求桑梯頂端到地面的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，最后結(jié)果精確到0.01米）20．（2023·安徽阜陽(yáng)·一模）圖1是一盞可調(diào)節(jié)臺(tái)燈，圖2為其平面示意圖，固定底座與水平面垂直，為固定支撐桿，為可繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的調(diào)節(jié)桿，燈體始終保持垂直，為臺(tái)燈照射在桌面的區(qū)域，如圖2，旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)桿使與水平面平行，此時(shí)是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，，，，，求臺(tái)燈照射桌面區(qū)域的長(zhǎng)度．押安徽中考數(shù)學(xué)第16—20題幾何作圖、列方程解應(yīng)用題、規(guī)律探究、幾何證明與解直角三角形安徽中考數(shù)學(xué)近幾年整體變化不大，解答題的前5道題主要考查幾何中有關(guān)圖形變換的作圖、代數(shù)的規(guī)律探究、幾何的證明與計(jì)算以及解三角形的實(shí)際應(yīng)用等相關(guān)知識(shí)。考查順序雖有所改變，但知識(shí)點(diǎn)變化不大。題號(hào)第16題第17題第18題第19題第20題2022年平移(作圖)；畫旋轉(zhuǎn)圖形銷售、利潤(rùn)問(wèn)題(二元一次方程組的應(yīng)用)數(shù)字類規(guī)律探索；運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算；運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算；運(yùn)用平方差公式分解因式圓與三角形的綜合方位角問(wèn)題(解直角三角形的應(yīng)用)2021年平移(作圖)；畫旋轉(zhuǎn)圖形矩形性質(zhì)理解；其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）用代數(shù)式表示數(shù)、圖形的規(guī)律；幾何問(wèn)題(一元一次方程的應(yīng)用)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合直角三角形的兩個(gè)銳角互余；用勾股定理解三角形；利用垂徑定理求值；圓周角定理2020年畫軸對(duì)稱圖形；畫旋轉(zhuǎn)圖形數(shù)字類規(guī)律探索；分式加減乘除混合運(yùn)算仰角俯角問(wèn)題(解直角三角形的應(yīng)用)一元一次方程的應(yīng)用用ASA（AAS）證明三角形全等；利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證；半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角；切線的性質(zhì)定理1.在解答作圖題時(shí)，應(yīng)注意掌握軸對(duì)稱、中心對(duì)稱的概念以及平移與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。2.在做列方程解應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)注意解題步驟：設(shè)未知數(shù)，找等量關(guān)系，列出方程，解方程，檢驗(yàn)和回答。3.解此類題型時(shí)應(yīng)注意：仔細(xì)觀察題目給出的解題過(guò)程，總結(jié)規(guī)律或探究解題方法，得出結(jié)論并運(yùn)用結(jié)論解決新的問(wèn)題。4.解此類題型對(duì)考生的要求比較高，一方面需要考生熟記各特殊角的三角函數(shù)值和正弦、余弦、正切的概念，一方面要求考生熟練的運(yùn)用知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，利用解直角三角形的相關(guān)知識(shí)求解問(wèn)題。5.幾何證明題主要考查幾何圖形的基本性質(zhì)，既考查三角形、四邊形、圓的性質(zhì)與判定，又考查三角形全等、相似圖形以及圖形變換等幾何關(guān)系。在解題時(shí)要善于運(yùn)用幾何圖形的基本性質(zhì)和判定定理，再根據(jù)幾何概念構(gòu)建輔助線和數(shù)學(xué)模型。1．(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．(1)將△ABC向上平移6個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位，得到，請(qǐng)畫出﹔(2)以邊AC的中點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°，得到，請(qǐng)畫出．分析：（1）根據(jù)平移的方式確定出點(diǎn)A1，B1，C1的位置，再順次連接即可得到；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得出確定出點(diǎn)A2，B2，C2的位置，再順次連接即可得到．【詳解】（1）如圖，即為所作；（2）如圖，即為所作；2．(2023·寧夏·中考真題）如圖，是邊長(zhǎng)為的小正方形組成的方格，線段的端點(diǎn)在格點(diǎn)上．建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為和．(1)畫出該平面直角坐標(biāo)系；(2)畫出線段關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的線段；(3)畫出以點(diǎn)A、B、O為其中三個(gè)頂點(diǎn)的平行四邊形．（畫出一個(gè)即可）分析：（1）根據(jù)其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可確定原點(diǎn)位置；（2）根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，即可畫出線段A1B1；（3）根據(jù)平行四邊形的判定即可畫出圖形．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：如圖，線段即為所求；（3）解：如圖，平行四邊形即為所求答案不唯一．3．(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）某地區(qū)2020年進(jìn)出口總額為520億元．2021年進(jìn)出口總額比2020年有所增加，其中進(jìn)口額增加了25%，出口額增加了30%．注：進(jìn)出口總額＝進(jìn)口額＋出口額．(1)設(shè)2020年進(jìn)口額為x億元，出口額為y億元，請(qǐng)用含x，y的代數(shù)式填表：年份進(jìn)口額/億元出口額/億元進(jìn)出口總額/億元2020xy52020211.25x1.3y(2)已知2021年進(jìn)出口總額比2020年增加了140億元，求2021年進(jìn)口額和出口額度分別是多少億元？答案:(1)1.25x+1.3y(2)2021年進(jìn)口額億元，出口額億元．分析：（1）根據(jù)進(jìn)出口總額＝進(jìn)口額＋出口額計(jì)算即可；（2）根據(jù)2021年進(jìn)出口總額比2020年增加了140億元，列方程1.25x+1.3y=520+140，然后聯(lián)立方程組，解方程組即可．【詳解】（1）解：年份進(jìn)口額/億元出口額/億元進(jìn)出口總額/億元2020xy52020211.25x1.3y1.25x+1.3y故答案為：1.25x+1.3y；（2）解：根據(jù)題意1.25x+1.3y=520+140，∴，解得：，2021年進(jìn)口額1.25x=億元，2021年出口額是億元．4．(2023·內(nèi)蒙古·中考真題）某商店決定購(gòu)進(jìn)A、B兩種北京冬奧會(huì)紀(jì)念品．若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品10件，B種紀(jì)念品5件，需要1000元；若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品3件，需要550元．(1)求購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價(jià)；(2)若該商店決定拿出1萬(wàn)元全部用來(lái)購(gòu)進(jìn)這兩種紀(jì)念品，考慮市場(chǎng)需求，要求購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量不少于B種紀(jì)念品數(shù)量的6倍，且購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品數(shù)量不少于20件，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？(3)若銷售每件A種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)20元，每件B種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)30元，在第（2）問(wèn)的各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤(rùn)．答案:(1)購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價(jià)分別為50元、100元(2)共有6種進(jìn)貨方案(3)當(dāng)購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品160件B種紀(jì)念品20件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是3800元分析：（1）根據(jù)題意列出二元一次方程組進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意列出一元一次不等式組進(jìn)行求解即可；（3）設(shè)總利潤(rùn)為W元，求出W和x之間的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）設(shè)A種紀(jì)念品單價(jià)為a元，B種紀(jì)念品單價(jià)為b元根據(jù)題意，得

解得∴購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價(jià)分別為50元、100元.（2）設(shè)該商店購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品x個(gè)，購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品y個(gè)根據(jù)題意，得變形得由題意得：由①得：由②得：∴∵x，y均為正整數(shù)∴x可取的正整數(shù)值是150，152，154，156，158，160與x相對(duì)應(yīng)的y可取的正整數(shù)值是25，24，23，22，21，20∴共有6種進(jìn)貨方案.（3）設(shè)總利潤(rùn)為W元?jiǎng)t∵∴W隨x的增大而增大∴當(dāng)時(shí)，W有最大值：（元）∴當(dāng)購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品160件，B種紀(jì)念品20件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是3800元．5．(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，……按照以上規(guī)律．解決下列問(wèn)題：(1)寫出第5個(gè)等式：________；(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．答案:(1)(2)，證明見解析分析：（1）觀察第1至第4個(gè)等式中相同位置的數(shù)的變化規(guī)律即可解答；（2）觀察相同位置的數(shù)變化規(guī)律可以得出第n個(gè)等式為，利用完全平方公式和平方差公式對(duì)等式左右兩邊變形即可證明．【詳解】（1）解：觀察第1至第4個(gè)等式中相同位置數(shù)的變化規(guī)律，可知第5個(gè)等式為：，故答案為：；（2）解：第n個(gè)等式為，證明如下：等式左邊：，等式右邊：，故等式成立．6．(2023·浙江舟山·中考真題）觀察下面的等式：，，，……(1)按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）(2)請(qǐng)運(yùn)用分式的有關(guān)知識(shí)，推理說(shuō)明這個(gè)結(jié)論是正確的．答案:(1)(2)見解析分析：（1）根據(jù)所給式子發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第一個(gè)式子的左邊分母為2，第二個(gè)式子的左邊分母為3，第三個(gè)式子的左邊分母為4，…；右邊第一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母為3，4，5，…，另一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母為前面兩個(gè)分母的乘積；所有的分子均為1；所以第（n+1）個(gè)式子為．（2）由（1）的規(guī)律發(fā)現(xiàn)第（n+1）個(gè)式子為，用分式的加法計(jì)算式子右邊即可證明．【詳解】（1）解：∵第一個(gè)式子，第二個(gè)式子，第三個(gè)式子，……∴第（n+1）個(gè)式子；（2）解：∵右邊==左邊，∴．7．(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D為BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD．(1)如圖1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的長(zhǎng)；(2)如圖2，若DC與⊙O相切，E為OA上一點(diǎn)，且∠ACD＝∠ACE，求證：CE⊥AB．答案:(1)(2)見解析分析：（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)（在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）及勾股定理可求出OD，進(jìn)而求出AD的長(zhǎng)；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)可得OCCD，根據(jù)同一個(gè)圓的半徑相等及等腰三角形的性質(zhì)可得∠OCA=∠OAC，由各個(gè)角之間的關(guān)系以及等量代換可得答案．【詳解】（1）解：∵OA=1=OC，COAB，∠D=30∴CD=2?OC=2∴∴（2）證明：∵DC與⊙O相切∴OCCD即∠ACD+∠OCA=90∵OC=OA∴∠OCA=∠OAC∵∠ACD=∠ACE∴∠OAC+∠ACE=90∴∠AEC=90∴CEAB8．(2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于⊙O，交⊙O于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接．(1)求證：；(2)若⊙O的半徑為3，，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．答案:(1)證明見解析；(2)分析：（1）根據(jù)已知條件可證明四邊形是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得，等量代換可得，即可得出答案；（2）連接，由（1）中結(jié)論可計(jì)算出的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理可計(jì)算出的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，∴．（2）解：連接，如圖，由（1）得，∵，∴，∴的長(zhǎng)．9．(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，數(shù)學(xué)興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測(cè)點(diǎn)C，測(cè)得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測(cè)點(diǎn)D，測(cè)得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B兩點(diǎn)間的距離．參考數(shù)據(jù)：，，．答案:96米分析：根據(jù)題意可得是直角三角形，解可求出AC的長(zhǎng)，再證明是直角三角形，求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)AB=AC-BC可得結(jié)論．【詳解】解：∵A，B均在C的北偏東37°方向上，A在D的正北方向，且點(diǎn)D在點(diǎn)C的正東方，∴是直角三角形，∴，∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°，在Rt△ACD中，，CD=90米，∴米，∵，∴∴，∴即是直角三角形，∴，∴米，∴米，答：A，B兩點(diǎn)間的距離為96米．10．(2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量居民樓的高度，在居民樓前方有一斜坡，坡長(zhǎng)，斜坡的傾斜角為，．小文在點(diǎn)處測(cè)得樓頂端的仰角為，在點(diǎn)處測(cè)得樓頂端的仰角為（點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)）．(1)求，兩點(diǎn)的高度差；(2)求居民樓的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）答案:(1)9m；(2)24m分析：（1）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案．（2）過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中，，，．．答：，兩點(diǎn)的高度差為．（2）過(guò)點(diǎn)作于，由題意可得，，設(shè)，在中，，解得，在中，，，，解得，．答：居民樓的高度約為．1．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度．(1)將沿x軸方向向右平移7個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，請(qǐng)畫出．(2)將關(guān)于x軸對(duì)稱得到，請(qǐng)畫出．分析：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，找到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接，即為所求；（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，找到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接，即為所求；【詳解】（1）如圖，即為所求；（2）如圖，即為所求2．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．(1)將先向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到，畫出；(2)將繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，畫出．分析：（1）將三個(gè)頂點(diǎn)分別向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到其對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再首尾順次連接即可；（2）將三個(gè)頂點(diǎn)分別繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到其對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再首尾順次連接即可得．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求．（2）解：如圖所示，即為所求．3．（2023·安徽滁州·統(tǒng)考一模）如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．(1)將先向上平移6個(gè)單位，再向右平移5個(gè)單位，得到，請(qǐng)畫出；(2)以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到，請(qǐng)畫出．分析：（1）將點(diǎn)A、B、C分別向上平移6個(gè)單位、向右平移5個(gè)單位得到平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再首尾順次連接即可；（2）將點(diǎn)分別繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再與點(diǎn)首尾順次連接即可．【詳解】（1）如圖所示；（2）如圖所示4．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)，，均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上．(1)畫出將沿軸方向向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的；(2)畫出關(guān)于軸的對(duì)稱圖形，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在軸上找一點(diǎn)，使得的值最?。ūＡ糇鲌D痕跡）分析：（1）分別作出點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再順次連接，即可；（2）分別作出點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再順次連接，即可；（3）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)M，即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求作三角形；（2）解：如圖所示，即為所求作三角形；點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)即為所求．5．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）某公司為迎接哈洽會(huì)請(qǐng)甲乙兩個(gè)廣告公司布置展廳，若兩公司合作天就可以完成任務(wù)，若甲公司先做天，剩余部分再由兩公司合做，還需天才能完成任務(wù)．(1)甲公司與乙公司單獨(dú)完成這項(xiàng)任務(wù)各需多少天？(2)甲公司每天所有費(fèi)用為萬(wàn)元，乙公司每天所有費(fèi)用為萬(wàn)元，要使這項(xiàng)工作的總費(fèi)用不超過(guò)萬(wàn)元，則甲公司至多工作多少天？答案:(1)甲公司單獨(dú)完成這項(xiàng)任務(wù)需天，乙公司單獨(dú)完成這項(xiàng)任務(wù)需天(2)甲公司至多工作天分析：設(shè)甲公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程天，乙公司天，利用若甲公司先做天，剩余部分再由甲、乙兩公司合作，還需要天才能完成，設(shè)總工作量為，得出等式方程，求出即可；設(shè)甲公司施工天，利用中所求數(shù)據(jù)得出甲乙兩公司每人一天完成的工作量，進(jìn)而得出不等式求出即可．【詳解】（1）設(shè)甲公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程天，由題意得解得：經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，則答：甲公司單獨(dú)完成這項(xiàng)任務(wù)需天，乙公司單獨(dú)完成這項(xiàng)任務(wù)需天．（2）設(shè)甲公司施工天，由題意得解得：，答：甲公司至多工作天．6．（2023·安徽宿州·宿州市第十一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）為了豐富同學(xué)們的課余生活、拓展同學(xué)們的視野，學(xué)校書店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩類中學(xué)生書刊，已知甲類書刊比乙類書刊每本貴2元，若購(gòu)買500本甲類書刊和400本乙類書刊共需要8200元，其中甲、乙兩類書刊的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表：甲乙進(jìn)價(jià)/（元/本）售價(jià)/（元/本）2013(1)求，的值；(2)第二次小賣部購(gòu)進(jìn)了1000本甲書刊和500本乙書刊，為了擴(kuò)大銷量，小賣部準(zhǔn)備對(duì)甲書刊進(jìn)行打折出售，乙書刊價(jià)格不變，全部售完后總利潤(rùn)為8500元，求甲書刊打了幾折？答案:(1)(2)八折分析：（1）根據(jù)“購(gòu)買500本甲和400本乙共需要8200元”和“甲類書刊比乙類書刊每本貴2元”列出方程組求解即可；（2）先求出兩類書刊進(jìn)價(jià)設(shè)甲書刊打了x折，再根據(jù)“全部售完后總利潤(rùn)為8500元”列出方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意可得：，解得：．（2）解：根據(jù)題意，得兩類書刊進(jìn)價(jià)共為元，設(shè)甲書刊打了折，則兩類書刊售價(jià)為（元），根據(jù)題意，得，解得．答：甲書刊打了八折．7．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考一模）我國(guó)航天事業(yè)的飛速發(fā)展引發(fā)了航空航天紀(jì)念品的熱銷，某商店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩類關(guān)于航空航天的紀(jì)念品進(jìn)行銷售.已知甲類紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)為m元/件，乙類紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)比甲類的進(jìn)價(jià)多5元/件.若每件甲類紀(jì)念品的售價(jià)是在其進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上提高了，每件乙類紀(jì)念品的售價(jià)是在其進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上提高了，根據(jù)上述條件，回答下面問(wèn)題：(1)請(qǐng)用含有m的代數(shù)式填寫下表：進(jìn)價(jià)/元售價(jià)/元甲類紀(jì)念品m乙類紀(jì)念品(2)該商店分別購(gòu)進(jìn)甲類紀(jì)念品100件，乙類紀(jì)念品80件.兩類紀(jì)念品全部售出后所得的總利潤(rùn)為1080元，問(wèn)每件甲、乙兩類紀(jì)念品進(jìn)價(jià)分別多少元？答案:(1)見解析(2)每件甲、乙兩類紀(jì)念品進(jìn)價(jià)分別為10元和15元分析：（1）根據(jù)題意列代數(shù)式填表即可；注意“提高”，“多”等關(guān)鍵字；（2）根據(jù)該商店分別購(gòu)進(jìn)甲類紀(jì)念品100件，乙類紀(jì)念品80件，兩類紀(jì)念品全部售出后所得的總利潤(rùn)為1080元以及售價(jià)、進(jìn)價(jià)、利潤(rùn)之間的關(guān)系列出方程，然后解方程即可．【詳解】（1）解：∵甲類紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)為m元/件，乙類紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)比甲類的進(jìn)價(jià)多5元/件、若每件甲類紀(jì)念品的售價(jià)是在其進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上提高了，每件乙類紀(jì)念品的售價(jià)是在其進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上提高了，∴乙類紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)為元/件，每件甲類紀(jì)念品的售價(jià)是元/件，每件乙類紀(jì)念品的售價(jià)是元/件，故可填寫下表：進(jìn)價(jià)/元售價(jià)/元甲類紀(jì)念品m乙類紀(jì)念品（2）解：該商店分別購(gòu)進(jìn)甲類紀(jì)念品100件，乙類紀(jì)念品80件，兩類紀(jì)念品全部售出后所得的總利潤(rùn)為1080元，∵，解得，，（元），答：每件甲、乙兩類紀(jì)念品進(jìn)價(jià)分別為10元和15元．8．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考一模）為弘揚(yáng)中華文化，鼓勵(lì)學(xué)生多讀書，讀好書，九年級(jí)(4)班班主任精選了《朝花夕拾》《平凡的世界》《長(zhǎng)征》《紅巖》《文化苦旅》5種書，準(zhǔn)備送給學(xué)生.(1)若由上述5種書各3本，小明同學(xué)從中任選一本，選中《紅巖》的概率是多少?(2)若小明同學(xué)從上述5種書中任選一本，選中《長(zhǎng)征》的概率是，則在(1)的基礎(chǔ)上，班主任老師只需要增加幾本《長(zhǎng)征》書？答案:(1)(2)要增加1本《長(zhǎng)征》分析：（1）根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)概率列出方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：總共有15本書，其中《紅巖》有3本，所以從這15本書中任選一本，選中《紅巖》的概率為=（2）設(shè)要增加x本《長(zhǎng)征》，由題意，得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，且符合題意.∴要增加1本《長(zhǎng)征》.9．（2023·安徽六安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……(1)根據(jù)等式中的規(guī)律，寫出第6個(gè)等式：______；(2)猜想并寫出第個(gè)等式，并證明它的正確性．答案:(1)(2)，證明見解析分析：（1）根據(jù)規(guī)律逐步增大即可；（2）先寫出等式，再展開，合并同類項(xiàng)，即可的證．【詳解】（1）；（2）；證明：左邊．右邊，左邊右邊．∴原式正確．10．（2023·安徽合肥·合肥市第四十八中學(xué)?？家荒＃┳屑?xì)觀察下列各式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；請(qǐng)你根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：(1)寫出第4個(gè)等式：___________；(2)寫出第（為正整數(shù)）個(gè)等式，并證明等式成立．答案:(1)(2)；證明見解析分析：（1）根據(jù)已知等式規(guī)律寫出第4個(gè)等式；（2）根據(jù)前幾個(gè)式子的規(guī)律寫出第（為正整數(shù)）個(gè)等式，，根據(jù)完全平方公式因式分解即可得證．【詳解】（1）解：第4個(gè)等式：，故答案為：．（2）解：第（為正整數(shù)）個(gè)等式，證明：左邊∴左邊右邊11．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：第4個(gè)等式：，……請(qǐng)根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題(1)試寫出第5個(gè)等式；(2)請(qǐng)證明第4個(gè)等式．答案:(1)(2)證明過(guò)程見解析分析：（1）根據(jù)題意即可得出結(jié)果；（2）方法一：設(shè)，可得且，得出，即可證明結(jié)論；方法二：從右邊證明左邊即；方法三：計(jì)算出左右兩邊算式的結(jié)果即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意可知：；（2）證明：方法一：設(shè)，∴，又∵，∴，∴，∴，即；方法二：，．∴原等式成立；方法三：右邊，左邊，∵左邊=右邊，∴原等式成立．12．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中學(xué)?？家荒＃┯^察下列各式：①，

②，③，

④，……

……；按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：(1)寫出第6個(gè)等式：________；(2)寫出你猜想的第個(gè)等式：________（用含的等式表示），并證明.答案:(1)(2)；證明見解析分析：（1）觀察每個(gè)式子右邊都等于2，左邊分子、分母共有三項(xiàng)相加，第n個(gè)式子的前兩項(xiàng)是，，分子第三項(xiàng)是，分母第三項(xiàng)是，根據(jù)此規(guī)律寫出第6個(gè)等式即可；（2）根據(jù)解析（1）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第n個(gè)式子即可；根據(jù)分式性質(zhì)化簡(jiǎn)分式即可．【詳解】（1）解：第6個(gè)等式為；故答案為：．（2）解：第個(gè)等式為，左邊右邊．故答案為：．13．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，是的直徑，，都是上的點(diǎn)，平分，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的值．答案:(1)見解析(2)分析：（1）連接，由題可知，已經(jīng)是圓上一點(diǎn)，想證為切線，只需證明/ODF-90°即可；（2）連接，根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而根據(jù)三角形的中位線定理可得的長(zhǎng)，從而得的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，平分，，，且在上，是的切線；（2）連接，交于，是的直徑，，，，，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，．14．（2023·安徽滁州·統(tǒng)考一模）如圖1，是的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)是優(yōu)弧上一點(diǎn)，連接．(1)求證；(2)如圖2，若，，，求的長(zhǎng)．答案:(1)見解析(2)分析：（1）連接，根據(jù)圓周角定理可知，進(jìn)而可證；（2）連接，由（1）可求出，可知是等邊三角形，再證明，可求出，根據(jù)勾股定理即可求的長(zhǎng)．【詳解】（1）如上圖，連接，∵是的切線，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：如圖2，連接，令與交點(diǎn)為E，∵，∴∴∴∵∴是等邊三角形．∴，又，∴∵，∴∴，即．在中，，∴，∴．15．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考一模）如圖，過(guò)等邊的頂點(diǎn)A作的垂線，點(diǎn)為上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．(1)求證：；(2)連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)．若，①試猜想和的數(shù)量關(guān)系，并證明；②若，求的長(zhǎng).答案:(1)見解析(2)①，證明見解析；②分析：（1）等邊三角形的性質(zhì)可得，由旋轉(zhuǎn)得則則；（2）①連接，旋轉(zhuǎn)得，則是等邊三角形，，是垂直平分線，即可得到②由（1）得，，求得，在，，則，【詳解】（1）證明：在等邊中，，由旋轉(zhuǎn)可得，

即

（2）猜想：①證明：連接，如圖：由旋轉(zhuǎn)可得，，是等邊三角形，

∴是垂直平分線，∵點(diǎn)B在上，

②由（1）得，，

，，，，在中，，，16．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知：如圖1，在中，，是的平分線，連接、，且于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖2，點(diǎn)分別是邊、上的