2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)解題技巧方法第七章第1節(jié)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題教師版

點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題學(xué)問與方法1.如右圖所示，已知點(diǎn)和直線，求P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)這類問題，通?？梢栽O(shè)的坐標(biāo)為，利用的中點(diǎn)在對(duì)稱軸l上，以及來建立方程組，求解a和b.2.技巧：當(dāng)對(duì)稱軸直線的斜率是時(shí)，可干脆由對(duì)稱軸方程將x、y反解出來，再將點(diǎn)P的坐標(biāo)分別代入即可得出所求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).典型例題【例題】已知點(diǎn)，則A關(guān)于直線的對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_______.【解析】如圖，設(shè)，則的中點(diǎn)為，點(diǎn)G在直線上，所以①，又，所以②，聯(lián)立①②可解得：，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】變式1已知點(diǎn)，則：（1）點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_______；（2）點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_______；【解析】（1），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入這兩個(gè)式子的右側(cè)可得，所以；（2），點(diǎn)A的坐標(biāo)代入這兩個(gè)式子的右側(cè)可得，所以.【答案】（1）；（2）【反思】當(dāng)對(duì)稱軸的斜率為時(shí)，可以運(yùn)用小技巧來求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，若斜率不是，則不能這樣做.變式2已知直線和點(diǎn)，，點(diǎn)P在直線l上，則的最小值為_______.【解析】如圖，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入這兩個(gè)式子的右側(cè)可得，所以A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，由圖可知，從而，故當(dāng)P為線段與直線l交點(diǎn)時(shí)，最小，且最小值為.【答案】變式3一只蟲子從原點(diǎn)動(dòng)身，先爬到直線上的點(diǎn)P，再爬到點(diǎn)，則蟲子爬行的最短路程為_______.【解析】問題等價(jià)于求直線l上的動(dòng)點(diǎn)P到原點(diǎn)O和點(diǎn)A的距離之和的最小值，如圖，，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入這兩個(gè)式子的右側(cè)可得，所以點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，從而，故，由圖可知當(dāng)P為線段與l交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，此時(shí)也最小，且最小值為2.【答案】2【反思】求直線l上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l同側(cè)兩定點(diǎn)A、B距離之和的最小值問題的解題步驟是：（1）求點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)；（2）求的長(zhǎng)，即為所求最小值.強(qiáng)化訓(xùn)練1.（★★）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_______.【解析】設(shè)，如圖，一方面，的中點(diǎn)在直線上，所以①，另一方面，，所以②，聯(lián)立①②解得：，所以的坐標(biāo)為.【答案】2.（★★）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_______.【解析】將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入這兩個(gè)式子的右側(cè)可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】3.（★★★）已知P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，，則的最小值為_______.【解析】，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入這兩個(gè)式子的右側(cè)可得，