寧夏石嘴山市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考理試題含解析

Page18寧夏石嘴山市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考（理）試題一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分.）1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：D2.已知：，：，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】依據(jù)充分條件、必要條件的定義推斷即得.【詳解】由可得，或，，所以由推不出，，由，，可以推出，故是的必要不充分條件.故選：B.3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】由>0得：x∈(?∞,?2)∪(4,+∞)，令t=，則y=lnt，∵x∈(?∞,?2)時(shí),t=為減函數(shù)；x∈(4,+∞)時(shí),t=為增函數(shù)；y=lnt為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)=ln()的單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞)，故選D.點(diǎn)睛：形如的函數(shù)為,的復(fù)合函數(shù)，為內(nèi)層函數(shù),為外層函數(shù).當(dāng)內(nèi)層函數(shù)單增，外層函數(shù)單增時(shí)，函數(shù)也單增；當(dāng)內(nèi)層函數(shù)單增，外層函數(shù)單減時(shí)，函數(shù)也單減；當(dāng)內(nèi)層函數(shù)單減，外層函數(shù)單增時(shí)，函數(shù)也單減；當(dāng)內(nèi)層函數(shù)單減，外層函數(shù)單減時(shí)，函數(shù)也單增.簡稱為“同增異減”.4.若不等式對(duì)一切恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】探討二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，結(jié)合判別式符號(hào)可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，原式化為，明顯恒成立；當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)一切恒成立，則有且，解得.綜上可得，.故選：C5.函數(shù)的圖像為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性及其在上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合解除法可得出合適的選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，函?shù)為奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；又當(dāng)時(shí)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D.6.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意可知，即可解得，再依據(jù)即可解出．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋砸李}可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿意題意，即有．故選：B.7.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)中間值法就可比較大小.【詳解】,，則,,,故選：D.8.《九章算術(shù)》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問題的一般解法：如圖1，用對(duì)角線將長和寬分別為和的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形（黃）和兩個(gè)小直角三角形（朱、青）．將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形．該矩形長為，寬為內(nèi)接正方形的邊長．由劉徽構(gòu)造的圖形還可以得到很多重要的結(jié)論，如圖3．設(shè)為斜邊的中點(diǎn)，作直角三角形的內(nèi)接正方形對(duì)角線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則下列推理正確的是（）①由圖1和圖2面積相等得；②由可得；③由可得；④由可得．A.①②③④ B.①②④ C.②③④ D.①③【答案】A【解析】【分析】依據(jù)圖形進(jìn)行計(jì)算．【詳解】①由面積相等得，，正確；②在圖3中，由三角形面積得，又，由得，所以，正確；③，由得，所以，正確；④由由得，所以，正確．四個(gè)推理都正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查推理，通過構(gòu)造幾何圖形推導(dǎo)出基本不等式及其推論．本題考查數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性．9.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分析函數(shù)的性質(zhì)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)增函數(shù)，函數(shù)值集合是，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，函數(shù)值集合是，關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，在坐標(biāo)系內(nèi)作出直線和函數(shù)的圖象，如圖，視察圖象知，當(dāng)時(shí)，直線和函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A10.已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過時(shí)，恒成立可得到在上遞增，通過是偶函數(shù)可得到的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即可求出答案詳解】解：∵當(dāng)時(shí)，恒成立，∴當(dāng)時(shí)，，即，∴函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，∵函數(shù)是偶函數(shù)，即，∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，∴，又函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，∴，即，∴，故選：B．11.已知定義在上的奇函數(shù)滿意，當(dāng)時(shí)，，則（）A.3 B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性以及函數(shù)的解析式進(jìn)行求解處理.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的周期?，所以，又是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，又因?yàn)樵谥校?，得，所以，又?dāng)時(shí)，，所以令，，所以.故A，B，C錯(cuò)誤.故選：D.12.已知定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由變形得，即可構(gòu)造，結(jié)合的奇偶性可得是上的奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，則可對(duì)的符號(hào)分類探討，可將化為關(guān)于的不等式，最終結(jié)合單調(diào)性求解即可【詳解】當(dāng)時(shí)，，∴，令，∴在上單調(diào)遞減，又是定義在上的偶函數(shù)，∴是上的奇函數(shù)，即在上單調(diào)遞減，∵，∴，當(dāng)，即時(shí)，，∴；當(dāng)，即時(shí)，，∴，則故不等式的解集為.故選：A.二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.若實(shí)數(shù)，滿意約束條件，則的最大值為______．【答案】5【解析】【分析】畫出線性可行域，結(jié)合目標(biāo)式的幾何意義推斷取最大時(shí)所過的點(diǎn)，即可求最大值.【詳解】由約束條件得可行域如下圖示：要使最大，只需其對(duì)應(yīng)直線與數(shù)軸截距最大即可，所以，當(dāng)表示直線過的交點(diǎn)時(shí)，.故答案為：514.已知函數(shù)，則不等式的解集為______.【答案】【解析】【分析】首先推斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，則不等式等價(jià)于，依據(jù)單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】解：因?yàn)槎x域?yàn)?，且，即為奇函?shù)，又與在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則不等式等價(jià)為，即，解得，即不等式的解集為.故答案為：15.已知函數(shù)對(duì)隨意的，都有，函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則方程在區(qū)間內(nèi)的全部零點(diǎn)之和為_____________.【答案】4【解析】【分析】由已知可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由可得函數(shù)的周期為2，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱，從而畫出函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像可得出結(jié)果【詳解】∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，∴把函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位可得函數(shù)的圖象，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，又∵，∴，從而，∴，即，∴函數(shù)的周期為2，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱，畫出函數(shù)的圖象如圖所示：∴結(jié)合圖象可得區(qū)間內(nèi)有8個(gè)零點(diǎn)，且全部零點(diǎn)之和為.故答案為：4.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，考查函數(shù)與方程，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.16.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿意，且當(dāng)時(shí)，若對(duì)隨意，都有，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)給定條件分段求解析式及對(duì)應(yīng)函數(shù)值集合，再利用數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】因，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，由，解得或，當(dāng)時(shí)，，，明顯，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的大致圖象，對(duì)隨意，都有，必有，所以m的取值范圍是.故答案為：.三、解答題：（本大題共6小題，共70分，解答時(shí)必需寫出文字說明或演算步驟.）17.（1）設(shè)，，求證：；（2）已知，求的最小值.【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）由基本不等式證明；（2）利用柯西不等式求最小值．【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以原不等式成立．（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是．18.已知函數(shù)（1）若，求的值域；（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）把代入中,得到是關(guān)于的二次函數(shù),依據(jù)定義域求值域即可.（2）令,將表示為關(guān)于的二次函數(shù),分,,三種狀況探討,即可得出最小值.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí),則因?yàn)?所以,.（2）令,因?yàn)?故,函數(shù)可化為,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；綜上,【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)、函數(shù)的性質(zhì),考查了換元法、分類探討思想、邏輯推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力.19.已知函數(shù)在上的最大值與最小值之和為．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）對(duì)于隨意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，進(jìn)而得，解方程得；（2）依據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于隨意的，恒成立，進(jìn)而求函數(shù)的最值即可.【詳解】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在上的單調(diào)性相同，所以函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)在上的最大值與最小值之和為，所以，解得和（舍）所以實(shí)數(shù)的值為.（2）由（1）得，因?yàn)閷?duì)于隨意的，不等式恒成立，所以對(duì)于隨意的，恒成立，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，即所以實(shí)數(shù)的取值范圍【點(diǎn)睛】本題考查指對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，不等式恒成立求參數(shù)范圍，考查運(yùn)算求解實(shí)力，回來轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.本題其次問解題的關(guān)鍵在于依據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為隨意的，恒成立求解.20.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，探討函數(shù)在上的單調(diào)性；【答案】（1）；（2）在上單調(diào)遞增.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系可得出結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，又，∴切線斜率∴切線方程為，即；【小問2詳解】因?yàn)樗?，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增.21.已知函數(shù)．（1）探討的單調(diào)性；（2）探討在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）求得，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類探討，依據(jù)不同狀況下導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可推斷對(duì)應(yīng)的單調(diào)性；（2）依據(jù)（1）中所求函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，逐一分析每種狀況下函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可.【小問1詳解】因，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，可得，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，又，故當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)在無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，同時(shí)，此時(shí)在無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，若，即時(shí)，，故在無零點(diǎn)；若，即時(shí)，，此時(shí)在有一個(gè)零點(diǎn)；若，即時(shí)，，又因?yàn)?，故在上肯定存在一個(gè)零點(diǎn)；又因?yàn)?，且，故在上也肯定存在一個(gè)零點(diǎn)；下證：，令，則，即在單調(diào)遞減，故，即故.故當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).綜上所述：當(dāng)時(shí)，在無零點(diǎn)；時(shí)，在有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)探討含參函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，涉及零點(diǎn)存在定理，屬綜合中檔題.22.已知函數(shù)(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))（1）探討函數(shù)的單調(diào)性;（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍