湖南長沙市雅禮洋湖實驗中學2025屆九年級數學第一學期期末綜合測試試題含解析

湖南長沙市雅禮洋湖實驗中學2025屆九年級數學第一學期期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．對于不為零的兩個實數a，b，如果規(guī)定：a★b＝，那么函數y＝2★x的圖象大致是（）A． B． C． D．2．一塊矩形菜地的面積是120平方米，如果它的長減少2米，菜地就變成正方形，則原菜地的長是（）A．10 B．12 C．13 D．143．方程x2﹣x＝0的解為（）A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝0 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝﹣14．若拋物線經過點，則的值在（）．A．0和1之間 B．1和2之間 C．2和3之間 D．3和4之間5．如圖，一個透明的玻璃正方體表面嵌有一根黑色的鐵絲．這根鐵絲在正方體俯視圖中的形狀是（）A． B． C． D．6．如圖，電路圖上有四個開關A、B、C、D和一個小燈泡，則任意閉合其中兩個開關，小燈泡發(fā)光的概率是（）A． B． C． D．7．小軍旅行箱的密碼是一個六位數，由于他忘記了密碼的末位數字，則小軍能一次打開該旅行箱的概率是（）A． B． C． D．8．如圖，PA，PB切⊙O于點A，B，點C是⊙O上一點，且∠P＝36°，則∠ACB＝()A．54° B．72° C．108° D．144°9．下列倡導節(jié)約的圖案中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．10．用圖中兩個可自由轉動的轉盤做“配紫色”游戲：分別旋轉兩個轉盤，若其中一個轉出紅色，另-個轉出藍色即可配成紫色，則可配成紫色的概率是（）轉盤一轉盤二A． B． C． D．11．在平面直角坐標系中，點P（–2，3）關于原點對稱的點Q的坐標為（）A．（2，–3） B．（2，3） C．（3，–2） D．（–2，–3）12．若扇形的半徑為2，圓心角為，則這個扇形的面積為（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．若，則x＝__．14．關于的方程的一個根是1，則方程的另一個根是____．15．已知，則的值為_______．16．已知＜cosA＜sin70°，則銳角A的取值范圍是_________17．如圖，為了測量某棵樹的高度，小明用長為2m的竹竿做測量工具，移動竹竿，使竹竿、樹的頂端的影子恰好落在地面的同一點.此時，竹竿與這一點距離相距6m，與樹相距15m，則樹的高度為_________m.18．已知的半徑點在內,則_________（填>或=，<）三、解答題（共78分）19．（8分）若x1、x2是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根，則方程的兩個根x1、x2和系數a、b、c有如下關系：，.我們把它們稱為根與系數關系定理.如果設二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸的兩個交點為A(x1，0)，B(x2，0).利用根與系數關系定理我們又可以得到A、B兩個交點間的距離為：AB=====請你參考以上定理和結論，解答下列問題：設二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸的兩個交點為A(x1，0)，B(x2，0)，拋物線的頂點為C，顯然△ABC為等腰三角形.(1)當△ABC為等腰直角三角形時，直接寫出b2-4ac的值；(2)當△ABC為等腰三角形，且∠ACB=120°時，直接寫出b2-4ac的值；(3)設拋物線y=x2+mx+5與x軸的兩個交點為A、B，頂點為C，且∠ACB=90°，試問如何平移此拋物線，才能使∠ACB=120°.20．（8分）用配方法解方程2x2-4x-3=0.21．（8分）在中，分別是的中點，連接求證：四邊形是矩形；請用無刻度的直尺在圖中作出的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）．22．（10分）小寇隨機調查了若干租用共享單車市民的騎車時間t（單位：分），將獲得的據分成四組（A：0＜t≤10，B：10＜t≤20，C：20＜t≤30，D：t＞30），繪制了如下統計圖，根據圖中信息，解答下列問題：（1）小寇調查的總人數是人；（2）表示C組的扇形統計圖的圓心角的度數是°；（3）如果小寇想從D組的甲、乙、丙、丁四人中隨機選擇兩人進一步了解平時租用共享單車情況，請用列表或畫樹狀圖的方法求出丁被選中的概率．23．（10分）如圖.已知為半圓的直徑，，為弦，且平分.（1）若，求的度數：（2）若，，求的長.24．（10分）如圖，在長為32m，寬為20m的矩形地面上修筑同樣寬的道路(圖中陰影部分)，余下的部分種上草坪，要使道路的面積比草坪面積少440．（1）求草坪面積；（2）求道路的寬．25．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，有一個，頂點的坐標分別是.將繞原點順時針旋轉90°得到，請在平面直角坐標系中作出，并寫出的頂點坐標.26．解方程：（1）x2﹣2x+1=0（2）2x2﹣3x+1=0

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【解析】先根據規(guī)定得出函數y＝2★x的解析式，再利用一次函數與反比例函數的圖象性質即可求解．【詳解】由題意，可得當2＜x，即x＞2時，y＝2+x，y是x的一次函數，圖象是一條射線除去端點，故A、D錯誤；當2≥x，即x≤2時，y＝﹣，y是x的反比例函數，圖象是雙曲線，分布在第二、四象限，其中在第四象限時，0＜x≤2，故B錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了新定義，函數的圖象，一次函數與反比例函數的圖象性質，根據新定義得出函數y＝2★x的解析式是解題的關鍵．2、B【分析】設原菜地的長為，根據正方形的性質可得原矩形菜地的寬，再根據矩形的面積公式列出方程求解即可．【詳解】設原菜地的長為，則原矩形菜地的寬由題意得：解得：，(不合題意，舍去)故選：B【點睛】本題考查了一元二次方程的實際應用，依據題意正確建立方程是解題關鍵．3、C【解析】通過提取公因式對等式的左邊進行因式分解，然后解兩個一元一次方程即可．【詳解】解：∵x2﹣x＝0，∴x（x﹣1）＝0，∴x＝0或x﹣1＝0，∴x1＝0，x2＝1，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，屬于基本題型，熟練掌握分解因式的方法是解題的關鍵.4、D【分析】將點A代入拋物線表達式中，得到，根據進行判斷．【詳解】∵拋物線經過點，∴，∵，∴的值在3和4之間，故選D．【點睛】本題考查拋物線的表達式，無理數的估計，熟知是解題的關鍵．5、A【解析】從上面看得到的圖形是A表示的圖形，故選A．6、A【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與小燈泡發(fā)光的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】解：畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結果，現任意閉合其中兩個開關，則小燈泡發(fā)光的有6種情況，∴小燈泡發(fā)光的概率為＝．故選：A．【點睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．用到的知識點為：概率所求情況數與總情況數之比．7、A【解析】∵密碼的末位數字共有10種可能（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、0都有可能），∴當他忘記了末位數字時，要一次能打開的概率是.故選A.8、B【解析】連接AO,BO,∠P=36°，所以∠AOB=144°，所以∠ACB=72°.故選B.9、C【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，根據軸對稱圖形的概念求解．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

B、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

C、是軸對稱圖形，故此選項正確；

D、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤．

故選C．【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．10、B【分析】將轉盤一平均分成3份，即將轉盤一標“藍”的部分平均分成兩部分，分別記為藍、藍，再利用列表法列出所有等可能事件，根據題意求概率即可.【詳解】解：將轉盤一標“藍”的部分平均分成兩部分，分別記為藍、藍，即轉盤-平均分成三等份，列表如下：紅紅藍黃紅（紅，紅）（紅，紅）（紅，藍）（紅，黃）藍（藍，紅）（藍，紅）（藍，藍）（藍，黃）藍（藍，紅）（藍，紅）（藍，藍）（藍，黃）由表格可知，共有12種等可能的結果，其中能配成紫色的結果有5種，所以可配成紫色的概率是.故選B.【點睛】本題考查了概率，用列表法求概率時，必須是等可能事件，這是本題的易錯點，熟練掌握列表法是解題的關鍵.11、A【解析】試題分析：根據“平面直角坐標系中任意一點P（x，y），關于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），即關于原點的對稱點，橫縱坐標都變成相反數”解答．根據關于原點對稱的點的坐標的特點，∴點P（﹣2，3）關于原點過對稱的點的坐標是（2，﹣3）．故選A．考點：關于原點對稱的點的坐標．12、B【分析】直接利用扇形的面積公式計算．【詳解】這個扇形的面積：．故選：B．【點睛】本題考查了扇形面積的計算：扇形面積計算公式：設圓心角是，圓的半徑為R的扇形面積為S，則或（其中為扇形的弧長）．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】用直接開平方法解方程即可.【詳解】,,,故答案為：.【點睛】此題考查一元二次方程的解法，依據方程的特點選擇恰當的方法.14、【分析】根據一元二次方程根與系數的關系求解即可．【詳解】設方程的另一個根為x1，∵方程的一個根是1，∴x1·1=1，即x1=1，故答案為：1．【點睛】本題主要考查一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理），掌握知識點是解題關鍵．15、【分析】令連等式的值為k，將a、b、c全部轉化為用k表示的形式，進而得出比值．【詳解】令則a=6k，b=5k，c=4k則故答案為：．【點睛】本題考查連比式的應用，是一類比較常見的題型，需掌握這種解題方法．16、20°＜∠A＜30°．【詳解】∵＜cosA＜sin70°，sin70°=cos20°，∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°．17、7【解析】設樹的高度為m，由相似可得，解得，所以樹的高度為7m18、<【分析】根據點與圓的位置關系，即可求解.【詳解】解：的半徑為點在內，．故答案為:．【點睛】本題考查的是點與圓的位置關系.三、解答題（共78分）19、(1)4；(2)；(3)拋物線向上平移個單位后，向左或向右平移任意個單位都能使得度數由90°變?yōu)?20°.【分析】（1）根據上述結論及直角三角形的性質列出等式，計算出即可；（2）根據上述結論及含120°的等腰三角形的邊角關系，列出方程，解出方程即可；（3）根據（1）中結論，計算出m的值，設出平移后的函數解析式，根據（2）中結論，列出等量關系即可解出．【詳解】解：(1)由y=ax2+bx+c(a≠0)可知頂點C∵，∴當△ABC為等腰直角三角形時，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知：=，化簡得故答案為：4(2)由y=ax2+bx+c(a≠0)可知頂點C如圖，過點C作CD⊥AB交AB于點D，∵∠ACB=120°，∴∠A=30°∵tan30°=，即，又因為，∴化簡得故答案為：(3)∵因為向左或向右平移時的度數不變,所以只需將拋物線向上或向下平移使,然后向左或向右平移任意個單位即可.設向上或向下平移后的拋物線的解析式為:,平移后，所以，拋物線向上平移個單位后，向左或向右平移任意個單位都能使得度數由變?yōu)?【點睛】本題考查二次函數與幾何的綜合應用題，難度適中，關鍵是能夠根據特殊三角形的性質列出關系式．20、x1=1+，x2=1-.【分析】借助完全平方公式，將原方程變形為，開方，即可解決問題．【詳解】解：∵2x2-4x-3=0，點睛：用配方法解一元二次方程的步驟：移項（常數項右移）、二次項系數化為1、配方（方程兩邊同加一次項一半的平方）、開方、求解、定解21、（1）證明見解析；（2）作圖見解析.【解析】首先證明四邊形是平行四邊形，再根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可判斷．連接交于點，作射線即可．【詳解】證明：分別是的中點，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形連接交于點，作射線，射線即為所求．【點睛】本題考查三角形中位線定理，矩形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識.22、（1）50；（2）86.4；（3）【分析】（1）根據B組的人數和所占的百分比，即可求出這次被調查的總人數；（2）用總人數減去A、B、D組的人數，求出C組的人數；再用C組人數除以總人數乘360°即可得到C組扇形統計圖對應的圓心角度數；（3）畫出樹狀圖，由概率公式即可得出答案．【詳解】解：(1)調查的總人數是：19÷38%=50（人）；故答案為：50（人）(2)C組所占的人數為：50-15-19-4=12人故C組的扇形統計圖的圓心角的度數是：故答案為：(3)畫樹狀圖，如下圖所示，共有12個可能的結果，恰好選中丁的結果有6個，故P(丁被選中的概率)=.故答案為：【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法、條形統計圖的綜合運用．熟練掌握畫樹狀圖法，讀懂統計圖，從統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據．23、的度數為31°；（2）的長為.【分析】（1）利用角平分線定義以及圓周角定義，進行分析求的度數：（2）由題意AD與BC相交于E，過E作垂線交AB于F，根據勾股定理求出AE，并利用相似比求出AD即可.【詳解】解：（1）∵為半圓的直徑，，為弦，∴，∵平分，，∴,∴（2）如圖AD與BC相交于E，過E作垂線交AB于F，∵平分，AE為公共邊，，∴AC=AF,∵，，∴BC=，設EC=EF=x，則EB=-x，BF=4，由勾股定理：，解得x=，即EC=EF=，∴∵為公共角，，∴,∴解得.【點睛】本題結合圓相關性質考查相似三角形，結合角平分線定義以及圓周角定義和勾股定理進行分析判斷求值.24、（1）540；（2）2m【分析】(1)根據地面的長寬得到地面的面積，再根據草坪面積加道路面積等于地面面積列方程，求解即可得到答案；(2)設道路的寬為ym，根據題意列方程求解即可得到答案；【詳解】解:（1）設草坪面積為xcm，得，解得，所以，草坪面積為540．(2)設道路的寬為ym，原圖經過平移轉化為圖1．

因此，根據題意得整理得解得或(不合題意，舍去)因此，道路的寬為2m．【點睛】考查了一元二次方程、一元一次方程的實際應用應用，對于面積問題應熟記各種圖形的面積公式．本題中按原圖進行計算比較復雜時，可根據圖形的性質適當的進行轉換化簡，然后根據題意列出方程求解．25、作圖見解析，【分析】連接OA、OB、OC，以O為圓心，分別以OA、OB、OC為半徑，順