2023-2024學(xué)年福建省莆田市高二下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年福建省莆田市高二下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是s=t3，則該質(zhì)點(diǎn)在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度是(

)A.4 B.6 C.8 D.122.已知某次考試的成績(jī)X～N80,102，若P(70≤X≤80)=a，則P(X≥90)=A.12?a B.1?a C.a23.已知向量AB=(1,m,?3)，AC=(?3,6,9)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則m=(

)A.?3 B.?2 C.2 D.34.隨機(jī)變量ξ服從兩點(diǎn)分布，其分布列如下ξ01P6p則p=(

)A.?12 B.12 C.13 5.斜三棱柱ABC?A1B1C1中，設(shè)AB=a，AC=A.13a+23b+236.函數(shù)f(x)=e|x|?2x2，A. B.

C. D.7.?x1，x2∈(0,a)，且x1<xA.(0,e] B.0,e2 C.[e,+∞) 8.在三棱錐P?ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=2.若M為該三棱錐外接球上的一點(diǎn)，則MB?MC的最大值為(

)A.2 B.4 C.2+23 二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.對(duì)于變量x和變量y，設(shè)經(jīng)過(guò)隨機(jī)抽樣獲得的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)為x1,y1，x2,y2，…，xn,yn，其中x1，x2，…，xn和y1，A.該樣本相關(guān)系數(shù)|r|越接近0時(shí)，其線性相關(guān)程度越弱

B.假設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1+a，x2+a，…，xn+a，則該組數(shù)據(jù)的方差為sx2

C.10.甲箱中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和2個(gè)黑球，乙箱中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球和4個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球.用A1，A2，A3分別表示從甲箱取出的球是紅球，白球，黑球；用B表示從乙箱取出的球是紅球.則下列結(jié)論正確的是A.PA1B=845 B.P(B)=3190 11.M是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1BA.當(dāng)M在線段C1D1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐A1?BCM的體積為定值43

B.當(dāng)M在線段B1D1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AM與BD所成角的取值范圍是π3,π2

C.設(shè)E是AB的中點(diǎn)，若ME?A1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知Pχ2≥6.635=0.01，Pχ2≥10.828=0.001.13.已知A(1,0,0)，B(2,1,0)，C(1,1,1)三點(diǎn)，則A到直線BC的

距離為

．14.已知f(x)和g(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，滿足：g(x)=f(1?x)+1，g′x=f′x?1，且f(x+1)為奇函數(shù).寫出函數(shù)f′x圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，可以為

.若f(0)=1，則k=110四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=12x(1)若a=1，求f(x)在[1,4]上的值域；(2)討論f(x)的單調(diào)性．16.(本小題12分)人均可支配收入的高低，直接影響到居民的生活質(zhì)量水平，是衡量一個(gè)國(guó)家或地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r的重要依據(jù).下圖是某市2015～2023年城鎮(zhèn)居民人均可支配收入(單位：萬(wàn)元)的折線圖，發(fā)現(xiàn)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入與年份具有線性相關(guān)關(guān)系．

(注：年份代碼1～9分別對(duì)應(yīng)年份2015～2023)(1)建立y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，并預(yù)測(cè)2024年該市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入；(2)為進(jìn)一步對(duì)該市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，某分析員從2015～2023年中任取兩年的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，將選出的人均可支配收入超過(guò)4.5萬(wàn)元的年份數(shù)記為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．附注：參考數(shù)據(jù)：i=19yi=35.37，i=19tiy17.(本小題12分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB//CD，CD⊥BC，AB=2CD=4，∠BAD=45°，PD=2(1)若Q為PB的中點(diǎn)，求證：CQ//平面PAD；(2)求二面角A?PD?C的正弦值．18.(本小題12分)甲、乙兩人為了提升籃球的競(jìng)技水平，進(jìn)行投籃比賽.已知甲和乙每次進(jìn)球的概率分別是12和p，且每人每次進(jìn)球與否互不影響.制定比賽規(guī)則如下：一輪比賽，甲、乙雙方需各投籃3次.一輪比賽結(jié)束后，當(dāng)一方的進(jìn)球數(shù)比另一方的進(jìn)球數(shù)至少多2個(gè)時(shí)，則該方獲勝并得1分，另一方不得分.(1)若p=2(i)假設(shè)甲、乙兩人各投籃一次，求至少有一人進(jìn)球的概率；(ii)求在一輪比賽結(jié)束后，乙獲得1分的概率．(2)若12≤p≤2319.(本小題12分)設(shè)P是直角坐標(biāo)平面xOy上的一點(diǎn)，曲線Γ是函數(shù)y=f(x)的圖象.若過(guò)點(diǎn)P恰能作曲線Γ的k條切線(k∈N)，則稱P是函數(shù)y=f(x)的“k度點(diǎn)”.已知f(x)=e(1)求證：f(x)≥x+1；(2)設(shè)P(a,a+1)，判斷P為函數(shù)f(x)的“幾度點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)M(0,m)，若M為函數(shù)y=xex的“3度點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．答案解析1.D

【解析】s′=3t2，當(dāng)t=2時(shí)，故質(zhì)點(diǎn)在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度為12．故選：D2.A

【解析】由正態(tài)分布對(duì)稱性可知，P(X≥90)=1?2P(70≤X≤80)故選：A3.B

【解析】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，則AB=λAC，又向量AB=(1,m,?3)所以1=?3λm=6λ?3=9λ，解得故選：B．4.C

【解析】由題知，6p2+p=1，解得p=13或?故選：C．5.C

【解析】因?yàn)锳P=1故選：C．6.A

【解析】因?yàn)閤∈[?2,2]，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(?x)=e即f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=ex?2令?(x)=ex?4x，則?′(x)=ex?x0∈1,2，使當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，?′(x0即f′(x)=?(x)=ex?4x，在區(qū)間(0,所以f′(x)又f′(2)=e2?8<0，f′(?t0∈14,12，當(dāng)所以f(x)在

區(qū)間(0,t0)上單調(diào)遞增，在區(qū)間t0,2上單調(diào)遞減，且t故選：A．7.B

【解析】因?yàn)閤1<x2，不等式即x1lnx2?整理得到lnx2?1令?(x)=lnx?1x，所以?(x)=又?′(x)=1?(lnx?1)當(dāng)x∈(0,e2)，?′(x)>0，即?(x)=所以(0,a)?(0,e2)故選：B．8.C

【解析】如圖，將三棱錐放置在正方體中，三棱錐的外接球就是正方體的外接球，球心為正方體對(duì)角線的交點(diǎn)，

P0,0,0，A2,0,0，B0,2,0，C0,0,2，設(shè)三棱錐外接球的半徑為R，2R=22MB?=MOMO2=R2=3OB+OC=OB+所以MB?當(dāng)cosOB+OC,MO故選：C9.ABD

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由樣本相關(guān)系數(shù)的

意義可知，樣本相關(guān)系數(shù)|r|越接近0時(shí)，其線性相關(guān)程度越弱，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)閤1+a，x2+a，…，方差為1n所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，該成對(duì)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)均在直線y=0.92x+0.53上，則樣本相關(guān)系數(shù)r=1，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，由最小二乘法知，樣本中心x,y在線性回歸方程上，所以選項(xiàng)故選：ABD．10.AB

【解析】由題知P(AP(B|A對(duì)于A，因?yàn)镻A1B對(duì)于B，因?yàn)镻(B)=P(B|=49×對(duì)于C，PA2|B對(duì)于D，P(AP(A3)P(B)=故選：AB．11.BCD

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，如圖1，連接D1C，因?yàn)閂A1?BCM過(guò)M作MH⊥D1C于H，因?yàn)锳1D1⊥所以A1D1⊥MH，又A1D1∩D又?A1BC的面積為定值，而MH隨著M的變化而變化，所以三棱錐A對(duì)于選項(xiàng)B，如圖2，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎叫蔚睦忾L(zhǎng)為2，則D(0,0,0),B(2,2,0),D1(0,0,2),B1又BD=(?2,?2,0)，AM設(shè)AM與BD所成的角為θ∈0,則cosθ=當(dāng)λ=12時(shí)，cosθ=0當(dāng)λ≠12又t∈0,12，得到1+3故π3≤θ≤π對(duì)于選項(xiàng)C，如圖3，取AD,DD1,連接EF,FH,HQ,QN,NP,PE,HP,BD,B易知EF//BD//B1D1//QN//HP，所以EF由正方體性質(zhì)知EQ與HP相交，所以HP?α，連接AC，易知AC⊥EF，又AA1⊥EF，AC∩AA1所以EF⊥面A1AC，又A1C?面A1又EF∩FH=F，所以A1C⊥面因?yàn)镸E?A1C=0，所以ME⊥A1C，故M∈面EFHQNP，又由對(duì)稱性知，當(dāng)M與Q重合時(shí)，線段ME長(zhǎng)度最大，最大值為EQ=BC1=2對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)橹本€AM與平面ABCD所成的角為π4若點(diǎn)M在平面BCC1B1內(nèi)，如圖4，過(guò)MO⊥BC，連接AO，則∠MAO為直線由題知∠MAO=π4，則AO=MO，顯然只有M與同理可知若點(diǎn)M在平面DCC1D1內(nèi)，又因?yàn)锳A1⊥面ABCD，得直線AM與A若點(diǎn)M在平面ADD1A1內(nèi)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是若點(diǎn)M在平面ABB1A1內(nèi)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是若點(diǎn)M在平面A1B1C1D1時(shí)，作MP⊥因?yàn)椤螾AM=π4，所以AP=PM，又PM=AB，所以得到點(diǎn)M的軌跡是以A1為圓心，以2為半徑的四分之一的圓，此時(shí)軌跡長(zhǎng)為1所以點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為π+42，故選項(xiàng)故選：BCD．12.99

【解析】因?yàn)?.635<7.235<10.828，又Pχ2≥6.635所以我們至少有99%把握認(rèn)為喜歡某種甜品與性別有關(guān)，故答案為：99．13.62或【解析】因?yàn)锽C=(?1,0,1)，AC=(0,1,1)，所以得到sinAC所以A到直線BC的距離為d=AC故答案為：614.(0,0)((2k,0)(k∈Z)，答案不唯一)；11

【解析】由g(x)=f(1?x)+1，求導(dǎo)得g′(x)=?f′(1?x)，又g′(x)=f′(x?1)，則f′(x?1)=?f′(1?x)=?f′[?(x?1)]，即f′(x)=?f′(?x)，所以函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即(0,0)為函數(shù)由f(x+1)為奇函數(shù)，得f(?x+1)=?f(x+1)，求導(dǎo)得?f′(?x+1)=?f′(x+1)，即f′(?x+1)=f′(x+1)，函數(shù)f′(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則點(diǎn)(2,0)是顯然有f′(x+1)=?f′(x?1)，即f′(x+2)=?f′(x)，于是f′(x+4)=?f′(x+2)=f′(x)，函數(shù)f′(x)是以所以函數(shù)f′(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)由g′(x)=f′(x?1)，得[g(x)?f(x?1)]′=0，即有g(shù)(x)?f(x?1)=C(C為常數(shù))，而g(x)=f(1?x)+1，則f(1?x)+1?f(x?1)=C，取x=1，得C=f(0)+1?f(0)=1，因此f(1?x)=f(x?1)，又f(?x+1)=?f(x+1)，則f(x+1)=?f(x?1)，即f(x+2)=?f(x)，f(x+4)=?f(x+2)=f(x)，于是函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，又g(x)=f(x?1)+1，則函數(shù)g(x)的圖象可由f(x)的圖象平移而得，從而函數(shù)g(x)是周期為4的周期函數(shù)，k=110顯然f(1)+f(3)=0,f(2)+f(4)=0，因此g(2)+g(4)=f(1)+1+f(3)+1=2，g(1)+g(3)=f(0)+1+f(2)+1=2+f(2)+f(4)=2，則k=14又f(1)=0，則g(1)=f(0)+1=2,g(2)=f(1)+1=1，所以k=110故答案為：(0,0)；1115.解：(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=1又f′(x)=x?2+1x=所以f(x)=12x得到f(x)在[1,4]上的最小值為f(1)=12?2=?所以f(x)在[1,4]上的值域?yàn)?3(2)易知定義域?yàn)?,+∞，因?yàn)閒′當(dāng)a≤0時(shí)，x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)0<a<1時(shí)，x∈(a,1)時(shí)，f′(x)<0，x∈0,a∪(1,+∞)時(shí)，當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)≥0在區(qū)間0,+∞上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，當(dāng)a>1時(shí)，x∈(1,a)時(shí)，f′(x)<0，x∈0,1∪(a,+∞)時(shí)，綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的減區(qū)間為(0,1)，增區(qū)間為(1,+∞)；當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)的減區(qū)間為(a,1)，增區(qū)間為(0,a),(1,+∞)；當(dāng)a=1時(shí)，f(x)的增區(qū)間為0,+∞，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)a>1時(shí)，f(x)的減區(qū)間為(1,a)，增區(qū)間為(0,1),(a,+∞)．

【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=12x2?2x+lnx(2)對(duì)f(x)求導(dǎo)，得到f′(x)=(x?a)(x?1)x，再對(duì)16.解：(1)依題意，t=19i=19ti則b=a=所以y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.24t+2.742024年即t=10，y=0.24×10+2.74=5.14所以預(yù)測(cè)2024年該市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入約為5.14萬(wàn)元．(2)2015～2023年中，人均可支配收入超過(guò)4.5萬(wàn)元的

年份數(shù)有3個(gè)，X的可能取值為0,1,2，P(X=0)=C62C9所以隨機(jī)變量X的分布列為：X012P511數(shù)學(xué)期望E(X)=0×5

【解析】(1)求出t,(2)求出隨機(jī)變量X的可能值，再求出各個(gè)值對(duì)應(yīng)概率，列出分布列并計(jì)算出期望．17.解：(1)取PA中點(diǎn)H，連接DH,HQ，因?yàn)镼為PB的中點(diǎn)，所以QH//AB且QH=12AB，又AB//CD所以QH//CD且QH=CD，所以DHQC是平行四邊形，得到DH//CQ，又DH?面PAD，CQ?面PAD，所以CQ//平面PAD．(2)過(guò)D作DM⊥AB于M，因?yàn)锳B//CD，CD⊥BC，AB=2CD=4，∠BAD=45所以AM=DM=BC=2，又?PBC為等邊三角形，所以PC=2，又PD=22，所以PC又CD⊥BC，PC∩CB=C，PC,CB?面PBC，所以CD⊥面PBC，又CD?面ABCD，所以面PBC⊥面ABCD，取BC中點(diǎn)E，連接PE，則PE⊥BC，又面PBC⊥面ABCD，面PBC∩面ABCD=BC，PE?面PBC，所以PE⊥面ABCD，過(guò)C作l//PE，以CD,CB,l所在的直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由AB=2CD=4，BC=2，知C0,0,0所以PD=(2,?1,?3)，設(shè)平面APD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)由n?PD=0n?AD=0，得到2x?y?設(shè)平面CPD的一個(gè)法向量為m=(a,b,c)由m?PD=0m?CP=0，得到2a?b?設(shè)二面角A?PD?C的平面角為θ，θ∈0,π因?yàn)閏osn所以sinθ=

【解析】(1)取PA中點(diǎn)H，連接DH,HQ，根據(jù)條件得到DHQC是平行四邊形，從而有DH//CQ，再利用線面平行的判定定理，即可證明結(jié)果；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面APD與面CPD的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出結(jié)果．18.解：(1)(i)因?yàn)榧缀鸵颐看芜M(jìn)球的概率分別是12和2所以甲、乙兩人各投籃一次，至少有一人進(jìn)球的概率為P=1?1(ii)由題知甲進(jìn)球0個(gè)，乙進(jìn)球2個(gè)或3個(gè)，或甲進(jìn)球1個(gè)，乙進(jìn)球3個(gè)，乙獲得1分，記事件A：甲進(jìn)球0個(gè)，乙進(jìn)球2個(gè)或3個(gè)，事件B：甲進(jìn)球1個(gè)，乙進(jìn)球3個(gè)，事件C表示乙獲得1分，則P(A)=(12)易知A,B互斥，所以P(C)=P(A)+P(B)=5(2)因?yàn)橐惠啽荣惤Y(jié)束后，乙獲得1分的概率為P=1設(shè)n輪比賽后，乙累計(jì)得分為X，則X～B(n,1由題知n×18(3p2+p所以764由11n54≥3，得到n≥15，所以至少進(jìn)行15輪比賽后，乙累計(jì)得分的期望值達(dá)到3分，此時(shí)【解析】(1)(i)根據(jù)條件，利用相互獨(dú)立事件和對(duì)立事件的概率公式，即可求出結(jié)果；(ii)記事件A：甲進(jìn)球0個(gè)，乙進(jìn)球2個(gè)或3個(gè)，事件B：甲進(jìn)球1個(gè)，乙進(jìn)球3個(gè)，分別求出事件A和事件B的概率，再利用互斥事件的概率公式，即可求出結(jié)果；(2)根據(jù)條件求出一輪比賽結(jié)束后，乙獲得1分的概率P，設(shè)n輪比賽后，乙累計(jì)得分為X，則X～B(n,119.解：(1)令函數(shù)g(x)=f(x)?x?1=ex?x?1當(dāng)x<0時(shí)，g′(x)<0，當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)>0，即函數(shù)g(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞增，在(0,+∞)上單調(diào)遞減，g(x)≥g(0)=0，所以f(x)≥x+1．(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線與函數(shù)f(x)=ex圖象相切的切點(diǎn)Q(x因此該切線方程為y?ex0整理得(a+1?x0)函數(shù)?(x)有k個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于過(guò)點(diǎn)P恰能作f(x)=ex圖象的k條切線，即P是f(x)的“求導(dǎo)得?′x=a?xex，當(dāng)x<a時(shí)，?′(x)>0即函數(shù)?(x)在(?∞,a)上單調(diào)遞增，在(0,+∞)上單調(diào)遞減，?(x)①當(dāng)a=0時(shí)，?(x)≤?(a)=0，此時(shí)函數(shù)?(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)，P是f(x)的“1度點(diǎn)”；②當(dāng)a≤?1時(shí)，?(a)=f(a)?a?1=e當(dāng)x<a時(shí)，a+1?x>a