十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項匯編（全國）專題23 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用大題綜合（教師卷）

專題23導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用大題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1切線方程及其應(yīng)用（10年10考）2024·全國新Ⅱ卷、2024·天津卷、2023·北京卷2023·全國乙卷、2023·全國乙卷、2023·天津卷2022·天津卷、2022·全國甲卷、2022·全國乙卷2022·北京卷、2021·天津卷、2021·北京卷2021·全國乙卷、2020·北京卷、2020·全國卷2019·北京卷、2018·北京卷、2018·北京卷2018·全國卷、2018·天津卷、2017·天津卷2017·山東卷、2017·北京卷、2016·北京卷2016·北京卷、2016·全國卷、2015·重慶卷2015·全國卷、2015·天津卷、2015·山東卷2015·北京卷1.能理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并會求切線方程，會求參數(shù)2.理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并會求單調(diào)區(qū)間，能夠利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)單調(diào)性的綜合問題，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，近年來導(dǎo)數(shù)和其他版塊知識點關(guān)聯(lián)密集，是新高考備考的重要內(nèi)容。3.能夠利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值以及在給定閉區(qū)間上的最大值、最小值，體會導(dǎo)數(shù)與極大(小)值、最大(小)值的關(guān)系，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，會結(jié)合導(dǎo)數(shù)來判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的極值或給定區(qū)間上的最值，熱點內(nèi)容，需綜合復(fù)習(xí)4.能進行函數(shù)轉(zhuǎn)化證明不等式，會函數(shù)中的恒成立問題與有解問題，會求零點及其應(yīng)用，會隱零點、雙變量、極偏等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，都可能成為高考命題方向考點2具體函數(shù)及含參函數(shù)的單調(diào)性（10年6考）2024·北京卷、2023·全國甲卷、2023·全國甲卷2022·全國新Ⅱ卷、2021·全國甲卷、2020·全國卷2018·全國卷考點3含參函數(shù)的單調(diào)性（10年10考）2024·全國甲卷、2023·北京卷、2023·全國新Ⅰ卷2022·浙江卷、2022·北京卷、2021·全國新Ⅱ卷2021·浙江卷、2021·全國甲卷、2021·全國乙卷2021·全國新Ⅰ卷、2020·全國卷、2020·全國卷2018·天津卷、2018·全國卷、2017·全國卷2017·天津卷、2017·天津卷、2017·全國卷2017·全國卷、2016·山東卷、2016·四川卷2016·全國卷、2016·北京卷、2016·山東卷2016·四川卷、2016·全國卷、2015·江蘇卷2015·重慶卷、2015·天津卷、2015·四川卷2015·四川卷、2015·北京卷考點4極值最值及其應(yīng)用（10年10考）2024·全國新Ⅱ卷、2024·全國甲卷、2023·北京卷2023·全國乙卷、2023·全國新Ⅱ卷、2022·全國乙卷2022·全國新Ⅰ卷、2021·北京卷、2021·天津卷2021·全國乙卷、2020·北京卷、2019·全國卷2019·江蘇卷、2018·北京卷、2018·北京卷2018·全國卷、2018·全國卷、2017·山東卷2017·江蘇卷、2017·全國卷、2017·山東卷2017·北京卷、2016·山東卷、2016·天津卷2016·全國卷、2015·重慶卷、2015·重慶卷2015·山東卷、2015·湖南卷、2015·安徽卷2015·山東卷、2015·全國卷考點5證明不等式（10年9考）2024·全國甲卷、2024·全國新Ⅰ卷、2023·天津卷2022·全國新Ⅱ卷、2021·全國乙卷、2019·北京卷2018·全國卷、2018·全國卷、2018·全國卷2017·全國卷、2016·浙江卷、2016·全國卷2015·全國卷、2015·湖北卷、2015·福建卷2015·北京卷考點6恒成立與能成立（有解）問題（10年9考）2024·天津卷、2024·全國甲卷、2023·全國甲卷2023·全國甲卷、2022·全國新Ⅰ卷、2022·全國甲卷2021·天津卷、2020·山東卷、2020·全國卷2019·全國卷、2017·天津卷、2017·全國卷2016·江蘇卷、2016·全國卷、2016·四川卷2015·四川卷、2015·山東卷、2015·湖南卷2015·湖南卷、2015·福建卷、2015·北京卷考點7零點問題（10年8考）2022·全國乙卷、2022·全國乙卷、2021·全國新Ⅱ卷2020·浙江卷、2020·全國卷、2020·全國卷2020·全國卷、2019·全國卷、2019·全國卷2018·浙江卷、2018·全國卷、2017·全國卷2016·江蘇卷、2016·北京卷、2016·全國卷2015·江蘇卷、2015·全國卷、2015·全國卷2015·陜西卷、2015·北京卷考點8方程的根（10年4考）2022·浙江卷、2022·全國新Ⅰ卷、2021·浙江卷2021·全國甲卷、2019·全國卷、2018·江蘇卷考點09雙變量問題（10年6考）2024·天津卷、2022·浙江卷、2022·北京卷2021·浙江卷、2020·天津卷、2018·全國卷2015·湖北卷考點10隱零點問題（10年4考）2023·全國甲卷、2017·全國卷2016·全國卷、2015·全國卷考點11極值點偏移問題（10年4考）2022·全國甲卷、2019·天津卷2016·全國卷、2015·天津卷考點12導(dǎo)數(shù)與其他知識點聯(lián)動問題（10年4考）2024·北京卷、2023·全國新Ⅰ卷2021·全國新Ⅱ卷、2021·全國乙卷考點01切線方程及其應(yīng)用1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；【答案】(1)【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；【詳解】（1）當(dāng)時，則，，可得，，即切點坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即.2．（2024·天津·高考真題）設(shè)函數(shù)．(1)求圖象上點處的切線方程；【答案】(1)【分析】（1）直接使用導(dǎo)數(shù)的幾何意義；【詳解】（1）由于，故.所以，，所以所求的切線經(jīng)過，且斜率為，故其方程為.3．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；【答案】(1)【分析】（1）先對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可；【詳解】（1）因為，所以，因為在處的切線方程為，所以，，則，解得，所以.4．（2023·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程．【答案】(1)；【分析】（1）由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；【詳解】（1）當(dāng)時，，則，據(jù)此可得，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.5．（2023·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；【答案】(1)；【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；【詳解】（1）當(dāng)時，，則，據(jù)此可得，函數(shù)在處的切線方程為，即.6．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線斜率；【答案】(1)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求斜率；【詳解】（1），則，所以，故處的切線斜率為；7．（2022·天津·高考真題）已知，函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程；【答案】(1)【分析】（1）求出可求切線方程；【詳解】（1），故，而，曲線在點處的切線方程為即.8．（2022·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；【答案】(1)3【分析】（1）先由上的切點求出切線方程，設(shè)出上的切點坐標(biāo)，由斜率求出切點坐標(biāo)，再由函數(shù)值求出即可；【詳解】（1）由題意知，，，，則在點處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點，，則，解得，則，解得；9．（2022·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；【答案】(1)【分析】（1）先算出切點,再求導(dǎo)算出斜率即可【詳解】（1）的定義域為當(dāng)時,,所以切點為,所以切線斜率為2所以曲線在點處的切線方程為10．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；【答案】(1)【分析】（1）先求出切點坐標(biāo)，在由導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；【詳解】（1）解：因為，所以，即切點坐標(biāo)為，又，∴切線斜率∴切線方程為：11．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點處的切線方程：【答案】（I）；（II）證明見解析；（III）【分析】（I）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；【詳解】（I），則，又，則切線方程為；12．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；【答案】（1）；【分析】（1）求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；【詳解】（1）當(dāng)時，，則，，，此時，曲線在點處的切線方程為，即；13．（2021·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過坐標(biāo)原點的切線與曲線的公共點的坐標(biāo)．【答案】(1)答案見解析；(2)和.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；(2)首先求得導(dǎo)數(shù)過坐標(biāo)原點的切線方程，然后將原問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題，據(jù)此即可求得公共點坐標(biāo).【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，導(dǎo)函數(shù)的判別式，當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時，的解為：，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；綜上可得：當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)由題意可得：，，則切線方程為：，切線過坐標(biāo)原點，則：,整理可得：，即：，解得：，則，切線方程為：,與聯(lián)立得，化簡得,由于切點的橫坐標(biāo)1必然是該方程的一個根，是的一個因式，∴該方程可以分解因式為解得,，綜上，曲線過坐標(biāo)原點的切線與曲線的公共點的坐標(biāo)為和.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，和過曲線外一點所做曲線的切線問題，注意單調(diào)性研究中對導(dǎo)函數(shù)，要依據(jù)其零點的不同情況進行分類討論；再求切線與函數(shù)曲線的公共點坐標(biāo)時，要注意除了已經(jīng)求出的切點，還可能有另外的公共點(交點),要通過聯(lián)立方程求解，其中得到三次方程求解時要注意其中有一個實數(shù)根是求出的切點的橫坐標(biāo)，這樣就容易通過分解因式求另一個根.三次方程時高考壓軸題中的常見問題，不必恐懼，一般都能容易找到其中一個根，然后在通過分解因式的方法求其余的根.14．（2020·北京·高考真題）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；【答案】（Ⅰ），【分析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點的坐標(biāo)，然后由點斜式可得結(jié)果；【詳解】（Ⅰ）因為，所以，設(shè)切點為，則，即，所以切點為，由點斜式可得切線方程為：，即.15．（2020·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．【答案】（1）；【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，解方程即可；【詳解】（1）因為，由題意，，即：，則．16．（2019·北京·高考真題）已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；【答案】（Ⅰ）和.【分析】(Ⅰ)首先求解導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)求得切點的橫坐標(biāo)，據(jù)此求得切點坐標(biāo)即可確定切線方程；【詳解】（Ⅰ），令得或者.當(dāng)時，，此時切線方程為，即；當(dāng)時，，此時切線方程為，即；綜上可得所求切線方程為和.17．（2018·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)=[]．（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；【答案】(1)1

【詳解】分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)得a；（2）先求導(dǎo)數(shù)的零點：，2；再分類討論，根據(jù)是否滿足在x=2處取得極小值，進行取舍，最后可得a的取值范圍．詳解：解：（Ⅰ）因為=[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由題設(shè)知f′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．此時f(1)=3e≠0．所以a的值為1．18．（2018·北京·高考真題）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點處的切線斜率為0，求a；【答案】（Ⅰ）【詳解】分析：（1）求導(dǎo)，構(gòu)建等量關(guān)系，解方程可得參數(shù)的值；詳解：解：（Ⅰ）因為，所以.，由題設(shè)知，即，解得.19．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；【答案】（1）切線方程是；【分析】（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程．【詳解】（1），．因此曲線在點處的切線方程是．20．（2018·天津·高考真題）已知函數(shù)，，其中a>1.（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）若曲線在點處的切線與曲線在點處的切線平行，證明：；（III）證明：當(dāng)時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.【答案】(Ⅰ)單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)證明見解析.【分析】（I）由題意可得，由以及即可解出；（II）分別求出兩切線方程，根據(jù)直線平行的條件得，兩邊取對數(shù)即可證出；（III）方法一：分別求出兩曲線的切線的方程，則問題等價于當(dāng)時，存在，，使得l1和l2重合，構(gòu)造函數(shù)，令，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)存在零點，即可證出.【詳解】（I）由已知，，有.令，解得x=0.由a>1，可知當(dāng)x變化時，，的變化情況如下表：x00+極小值所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（II）由，可得曲線在點處的切線斜率為.由，可得曲線在點處的切線斜率為.因為這兩條切線平行，故有，即.兩邊取以a為底的對數(shù)，得，所以.（III）［方法一］：導(dǎo)數(shù)的幾何意義＋零點存在性定理曲線在點處的切線l1：.曲線在點處的切線l2：.要證明當(dāng)時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線，只需證明當(dāng)時，存在，，使得l1和l2重合.即只需證明當(dāng)時，方程組有解，由①得，代入②，得.

③因此，只需證明當(dāng)時，關(guān)于x1的方程③存在實數(shù)解.設(shè)函數(shù)，即要證明當(dāng)時，函數(shù)存在零點.，可知時，；時，單調(diào)遞減，又，，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.由此可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.在處取得極大值.因為，故，所以.下面證明存在實數(shù)t，使得.由（I）可得，當(dāng)時，有，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，所以存在實數(shù)t，使得，因此，當(dāng)時，存在，使得.所以，當(dāng)時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.［方法二］：因為曲線在點處的切線斜率為，曲線在點處的切線斜率為，所以直線l滿足如下條件：．記，則是關(guān)于t的減函數(shù)．，使，即，即．當(dāng)時，；當(dāng)時，，，由（Ⅰ）可得當(dāng)時，．若．則，取，，所以在區(qū)間內(nèi)存在零點．所以當(dāng)時，存在直線l，使l曲線的切線，也是曲線的切線．【整體點評】（III）方法一：利用切線重合，建立等量關(guān)系，通過消元得出方程，根據(jù)方程有解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點，由零點存在性定理證出；方法二：根據(jù)斜率相等得出方程，引入新變元，構(gòu)建關(guān)于新變元的方程，再由方程有實根，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)有零點，即可證出．21．（2017·天津·高考真題）設(shè)，.已知函數(shù)，.（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）已知函數(shù)和的圖象在公共點（x0，y0）處有相同的切線，（i）求證：在處的導(dǎo)數(shù)等于0；（ii）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，求b的取值范圍.【答案】（I）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.（II）（i）見解析.（ii）.【詳解】試題分析：求導(dǎo)數(shù)后因式分解根據(jù)，得出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，給出單調(diào)區(qū)間，對求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)和的圖象在公共點（x0，y0）處有相同的切線，解得，根據(jù)的單調(diào)性可知在上恒成立，關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，得出，得，，求出的范圍，得出的范圍.試題解析：（I）由，可得，令，解得，或.由，得.當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.（II）（i）因為，由題意知，所以，解得.所以，在處的導(dǎo)數(shù)等于0.（ii）因為，，由，可得.又因為，，故為的極大值點，由（I）知.另一方面，由于，故，由（I）知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，故當(dāng)時，在上恒成立，從而在上恒成立.由，得，.令，，所以，令，解得（舍去），或.因為，，，故的值域為.所以，的取值范圍是.【考點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【名師點睛】利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)是歷年高考題中的難點問題，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值或最值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究曲線的切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點和值域也是常見考法，本題把恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題很巧妙，問題轉(zhuǎn)化為借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某區(qū)間上的取值范圍去解決，方法靈活思維巧妙，匠心獨運.22．（2017·山東·高考真題）已知函數(shù).(I)當(dāng)a=2時,求曲線在點處的切線方程；【答案】（Ⅰ）；試題解析：（Ⅰ）由題意，所以，當(dāng)時，，，所以，因此，曲線在點處的切線方程是，即.23．（2017·北京·高考真題）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；【答案】(Ⅰ)；試題解析：（Ⅰ）因為，所以.又因為，所以曲線在點處的切線方程為.24．（2016·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；【答案】（Ⅰ）;【詳解】試題分析：（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)，求切線方程；試題解析：（Ⅰ）由，得．因為，，所以曲線在點處的切線方程為．25．（2016·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，（1）求，的值；【答案】（Ⅰ），；試題解析：（Ⅰ）因為，所以.依題設(shè)，即解得.26．（2016·全國·高考真題）已知函數(shù).（I）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；【答案】（1）試題解析：（I）的定義域為.當(dāng)時，，曲線在處的切線方程為27．（2015·重慶·高考真題）設(shè)函數(shù)（1）若在處取得極值，確定的值，并求此時曲線在點處的切線方程；【答案】（1），切線方程為；試題解析：（1）對求導(dǎo)得因為在處取得極值，所以，即.當(dāng)時，,故,從而在點處的切線方程為,化簡得28．（2015·全國·高考真題）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)為何值時，軸為曲線的切線；【答案】（Ⅰ）；試題解析：（Ⅰ）設(shè)曲線與軸相切于點，則，，即，解得.因此，當(dāng)時，軸是曲線的切線.29．（2015·天津·高考真題）已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為,求證：對于任意的正實數(shù)，都有；【答案】（Ⅰ）當(dāng)為奇數(shù)時，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)為偶數(shù)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（Ⅱ）見解析；【詳解】（Ⅰ）由，可得，其中且，下面分兩種情況討論：（1）當(dāng)為奇數(shù)時：令，解得或，當(dāng)變化時，的變化情況如下表：所以，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.（2）當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（Ⅱ）證明：設(shè)點的坐標(biāo)為，則，，曲線在點處的切線方程為，即，令，即，則由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，又因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以對任意的正實數(shù)都有，即對任意的正實數(shù)，都有.30．（2015·山東·高考真題）設(shè)函數(shù).已知曲線在點處的切線與直線平行.（Ⅰ）求的值；【答案】（Ⅰ）；【詳解】（Ⅰ）由題意知，曲線在點處的切線斜率為，所以，又所以.31．（2015·北京·高考真題）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）證明見解析，（Ⅲ）的最大值為2.試題解析：（1），利用導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率：，又，由點斜式得切線方程：考點02具體函數(shù)的單調(diào)性1．（2024·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點處的切線．(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【分析】（1）直接代入，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可；【詳解】（1），當(dāng)時，；當(dāng)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.2．（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；【答案】(1)在上單調(diào)遞減【分析】（1）代入后，再對求導(dǎo)，同時利用三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡，再利用換元法判斷得其分子與分母的正負情況，從而得解；【詳解】（1）因為，所以，則，令，由于，所以，所以，因為，，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.3．（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析.【分析】（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號即可;【詳解】（1）令,則則當(dāng)當(dāng),即.當(dāng),即.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減4．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.5．（2021·全國甲卷·高考真題）已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】（1）當(dāng)時，,令得,當(dāng)時，,當(dāng)時，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；6．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，對函數(shù)求導(dǎo)，分別令導(dǎo)數(shù)大于零和小于零，求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；【詳解】（1）當(dāng)時，，，令，解得，令，解得，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為；7．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；【答案】（1）增區(qū)間是，，減區(qū)間是；【分析】（1）將代入，求導(dǎo)得，令求得增區(qū)間，令求得減區(qū)間；【詳解】（1）當(dāng)a=3時，，．令解得x=或x=．由解得：；由解得：．故函數(shù)的增區(qū)間是，，減區(qū)間是．考點03含參函數(shù)的單調(diào)性1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；【答案】(1)見解析【分析】（1）求導(dǎo)，含參分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】（1）定義域為，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.2．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點個數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）先對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可；（2）由（1）得的解析式，從而求得，利用數(shù)軸穿根法求得與的解，由此求得的單調(diào)區(qū)間；【詳解】（1）因為，所以，因為在處的切線方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設(shè)，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.3．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；【詳解】（1）因為，定義域為，所以，當(dāng)時，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.4．（2022·浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1），當(dāng)，；當(dāng)，，故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.5．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增.【分析】（1）先求出切點坐標(biāo)，在由導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；（2）在求一次導(dǎo)數(shù)無法判斷的情況下，構(gòu)造新的函數(shù)，再求一次導(dǎo)數(shù)，問題即得解；【詳解】（1）解：因為，所以，即切點坐標(biāo)為，又，∴切線斜率∴切線方程為：（2）解：因為，

所以，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增.6．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析；【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；7．（2021·浙江·高考真題）設(shè)a，b為實數(shù)，且，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【答案】(1)見解析【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】(1)，①若，則，所以在上單調(diào)遞增；②若，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.綜上可得，時，的單調(diào)遞增區(qū)間為,無減區(qū)間；時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.8．（2021·全國甲卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又，因為，故，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.9．（2021·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析；(2)和.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，導(dǎo)函數(shù)的判別式，當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時，的解為：，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；綜上可得：當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.10．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【分析】(1)首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，由導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】(1)的定義域為．由得，，當(dāng)時，；當(dāng)時；當(dāng)時，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，11．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；（2）設(shè)a>0時，討論函數(shù)g（x）=的單調(diào)性．【答案】（1）；（2）在區(qū)間和上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間【分析】（1）[方法三]不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出新函數(shù)的最大值，進而進行求解即可；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，把導(dǎo)函數(shù)的分子構(gòu)成一個新函數(shù)，再求導(dǎo)得到，根據(jù)的正負，判斷的單調(diào)性，進而確定的正負性，最后求出函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1）[方法一]【最優(yōu)解】：等價于．設(shè)，則．當(dāng)時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．故，所以，即，所以c的取值范圍是．[方法二]：切線放縮若，即，即當(dāng)時恒成立，而在點處的切線為，從而有，當(dāng)時恒成立，即，則．所以c的取值范圍為．[方法三]：利用最值求取值范圍函數(shù)的定義域為：，設(shè)，則有，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)有最大值，即，要想不等式在上恒成立，只需；所以c的取值范圍為．（2）且因此，設(shè)，則有，當(dāng)時，，所以，單調(diào)遞減，因此有，即，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以，單調(diào)遞增，因此有，即，所以單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間.【整體點評】(1)方法一：分類參數(shù)之后構(gòu)造函數(shù)是處理恒成立問題的最常用方法，它體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，同時是的導(dǎo)數(shù)的工具也得到了充分利用；方法二：切線放縮體現(xiàn)了解題的靈活性，將數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用到了解題過程之中，掌握常用的不等式是使用切線放縮的基礎(chǔ).方法二：利用最值確定參數(shù)取值范圍也是一種常用的方法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.12．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；【答案】（1）當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)函數(shù)的零點確定其在各個區(qū)間上的符號，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可；【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，則：，在上的根為：，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.13．（2018·天津·高考真題）已知函數(shù)，，其中a>1.（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【答案】(Ⅰ)單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為【分析】（I）由題意可得，由以及即可解出；【詳解】（I）由已知，，有.令，解得x=0.由a>1，可知當(dāng)x變化時，，的變化情況如下表：x00+極小值所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.14．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；【答案】（1）答案見解析；【分析】（1）首先確定函數(shù)的定義域，函數(shù)求導(dǎo)，再對進行分類討論，從而確定出導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】（1）的定義域為，.（i）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，所以在單調(diào)遞減.（ii）若，令得，或.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.15．（2017·全國·高考真題）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；【答案】（1）見解析；試題解析：（1）的定義域為，，（ⅰ）若，則，所以在單調(diào)遞減.（ⅱ）若，則由得.當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.16．（2017·天津·高考真題）設(shè)，.已知函數(shù)，.（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；【答案】（I）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.試題解析：（I）由，可得，令，解得，或.由，得.當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.17．（2017·天津·高考真題）設(shè)，已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個零點，為的導(dǎo)函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；【答案】（Ⅰ）增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是.試題解析：（Ⅰ）解：由，可得，進而可得.令，解得，或.當(dāng)x變化時，的變化情況如下表：x+-+↗↘↗所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是.18．（2017·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；【答案】（1）見解析；【詳解】（1）的定義域為（0，+），.若a≥0，則當(dāng)x∈（0，+）時，，故f（x）在（0，+）單調(diào)遞增.若a＜0，則當(dāng)時，時；當(dāng)x∈時，.故f（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.19．（2017·全國·高考真題）設(shè)函數(shù).（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】（I）函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.試題解析：解（1）f’(x)=(1-2x-x2)ex令f’(x)=0得x=-1-，x=-1+當(dāng)x∈（-∞，-1-）時，f’(x)<0；當(dāng)x∈（-1-，-1+）時，f’(x)>0；當(dāng)x∈（-1+，+∞）時，f’(x)<0所以f(x)在（-∞，-1-），（-1+，+∞）單調(diào)遞減，在（-1-，-1+）單調(diào)遞增20．（2016·山東·高考真題）設(shè)f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，aR.（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；【答案】（Ⅰ）當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；試題解析：（Ⅰ）由可得，則，當(dāng)時，時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.21．（2016·四川·高考真題）設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.（I）討論f(x)的單調(diào)性；【答案】（I）見解析試題解析：（Ⅰ）<0，在內(nèi)單調(diào)遞減.由=0，有.此時，當(dāng)時，<0，單調(diào)遞減；當(dāng)時，>0，單調(diào)遞增.22．（2016·全國·高考真題）已知函數(shù).（Ⅰ）討論的單調(diào)性；【答案】（Ⅰ）見解析；【詳解】（Ⅰ）當(dāng)，則當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以f（x）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.當(dāng)，由得x=1或x=ln（-2a）.①若，則，所以在單調(diào)遞增.②若，則ln（-2a）＜1,故當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.③若，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.23．（2016·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，（1）求，的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間.【答案】（Ⅰ），；（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為.【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意求出，根據(jù)求a,b的值即可；（Ⅱ）由題意判斷的符號，即判斷的單調(diào)性，知g(x)>0，即>0，由此求得f(x)的單調(diào)區(qū)間.試題解析：（Ⅰ）因為，所以.依題設(shè)，即解得.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.由及知，與同號.令，則.所以，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增.故是在區(qū)間上的最小值，從而.綜上可知，，.故的單調(diào)遞增區(qū)間為.【考點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；運算求解能力【名師點睛】用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時，首先應(yīng)確定函數(shù)的定義域，然后在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號，來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，除必須確定使導(dǎo)數(shù)等于0的點外，還要注意定義區(qū)間內(nèi)的間斷點．24．（2016·山東·高考真題）已知．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；試題解析：（Ⅰ）的定義域為；.當(dāng)，時，，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減.當(dāng)時，.（1），，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；25．（2016·四川·高考真題）設(shè)函數(shù)f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=，其中a∈R，e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討論f(x)的單調(diào)性；試題解析：（Ⅰ）＜0，在內(nèi)單調(diào)遞減.由=0，有.當(dāng)時，＜0，單調(diào)遞減；當(dāng)時，＞0，單調(diào)遞增.26．（2016·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)，的定義域為，，令，解得.當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.27．（2015·江蘇·高考真題）已知函數(shù).（1）試討論的單調(diào)性；試題解析：（1），令，解得，．當(dāng)時，因為（），所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，時，，時，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，時，，時，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．28．（2015·重慶·高考真題）設(shè)函數(shù)（1）若在處取得極值，確定的值，并求此時曲線在點處的切線方程；（2）若在上為減函數(shù)，求的取值范圍．【答案】（1），切線方程為；（2）.【詳解】試題解析：本題考查求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系，由求導(dǎo)法則可得，由已知得，可得，于是有，，，由點斜式可得切線方程；（2）由題意在上恒成立，即在上恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可很快得結(jié)論，由得．試題解析：（1）對求導(dǎo)得因為在處取得極值，所以，即.當(dāng)時，,故,從而在點處的切線方程為,化簡得（2）由（1）得，,令由，解得.當(dāng)時，,故為減函數(shù)；當(dāng)時，,故為增函數(shù)；當(dāng)時，,故為減函數(shù)；由在上為減函數(shù)，知，解得故a的取值范圍為.考點：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的極值，切線，單調(diào)性．考查綜合運用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題的能力．29．（2015·天津·高考真題）已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）討論的單調(diào)性；【詳解】（Ⅰ）由，可得，其中且，下面分兩種情況討論：（1）當(dāng)為奇數(shù)時：令，解得或，當(dāng)變化時，的變化情況如下表：所以，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.（2）當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.30．（2015·四川·高考真題）已知函數(shù)f（x）＝－2xlnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.（Ⅰ）設(shè)g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，討論g（x）的單調(diào)性；【詳解】（Ⅰ）由已知，函數(shù)f（x）的定義域為（0，＋∞）g（x）＝f'（x）＝2（x－1－lnx－a）所以g'（x）＝2－當(dāng)x∈（0，1）時，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減當(dāng)x∈（1，＋∞）時，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增31．（2015·四川·高考真題）已知函數(shù)，其中.（1）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，討論的單調(diào)性；【詳解】（1）由已知，函數(shù)的定義域為，，所以.當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增.32．（2015·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；試題解析：（Ⅰ）由，（）得.由解得.與在區(qū)間上的情況如下：-+所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；在處取得極小值.考點04極值最值及其應(yīng)用1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）解法一：求導(dǎo)，分析和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可；解法二：求導(dǎo)，可知有零點，可得，進而利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時，則，，可得，，即切點坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即.（2）解法一：因為的定義域為，且，若，則對任意恒成立，可知在上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無極大值，由題意可得：，即，構(gòu)建，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價于，解得，所以a的取值范圍為；解法二：因為的定義域為，且，若有極小值，則有零點，令，可得，可知與有交點，則，若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無極大值，符合題意，由題意可得：，即，構(gòu)建，因為則在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價于，解得，所以a的取值范圍為.2．（2024·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的極值；(2)當(dāng)時，，求的取值范圍．【答案】(1)極小值為，無極大值.(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和零點可求函數(shù)的極值.（2）求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，就、、分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，故，因為在上為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，而，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在處取極小值且極小值為，無極大值.（2），設(shè)，則，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，故，即，所以在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，故在上，即在上即為減函數(shù)，故在上，不合題意，舍.當(dāng)，此時在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合題意，舍；綜上，.【點睛】思路點睛：導(dǎo)數(shù)背景下不等式恒成立問題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，有時還需要對導(dǎo)數(shù)進一步利用導(dǎo)數(shù)研究其符號特征，處理此類問題時注意利用范圍端點的性質(zhì)來確定如何分類.3．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點個數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析(3)3個【分析】（1）先對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可；（2）由（1）得的解析式，從而求得，利用數(shù)軸穿根法求得與的解，由此求得的單調(diào)區(qū)間；（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用零點存在定理，依次分類討論區(qū)間，，與上的零點的情況，從而利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點的關(guān)系求得的極值點個數(shù).【詳解】（1）因為，所以，因為在處的切線方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設(shè)，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，即所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個極小值點；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；所以在上有一個極大值點；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個極小值點；當(dāng)時，，所以，則單調(diào)遞增，所以在上無極值點；綜上：在和上各有一個極小值點，在上有一個極大值點，共有個極值點.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第3小題的解題關(guān)鍵是判斷與的正負情況，充分利用的單調(diào)性，尋找特殊點判斷即可得解.4．（2023·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)存在滿足題意，理由見解析.(3).【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實數(shù)的值，進一步結(jié)合函數(shù)的對稱性利用特殊值法可得關(guān)于實數(shù)的方程，解方程可得實數(shù)的值，最后檢驗所得的是否正確即可；(3)原問題等價于導(dǎo)函數(shù)有變號的零點，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)，然后對函數(shù)求導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，和三中情況即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，據(jù)此可得，函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）令，函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于直線對稱，由題意可得，由對稱性可知，取可得，即，則，解得，經(jīng)檢驗滿足題意，故.即存在滿足題意.（3）由函數(shù)的解析式可得，由在區(qū)間存在極值點，則在區(qū)間上存在變號零點;令，則，令，在區(qū)間存在極值點，等價于在區(qū)間上存在變號零點，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，在區(qū)間上無零點，不合題意;當(dāng)，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以在區(qū)間上無零點，不符合題意；當(dāng)時，由可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故的最小值為，令，則，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，據(jù)此可得恒成立，則，由一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時，，且注意到，根據(jù)零點存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點.當(dāng)時，，單調(diào)減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以.令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號零點，符合題意.綜合上面可知:實數(shù)得取值范圍是.【點睛】(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進行換元.(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)的兩個要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗證:求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數(shù)值之后也需要進行驗證.5．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）（1）證明：當(dāng)時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見詳解（2）【分析】（1）分別構(gòu)建，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進而可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性，求導(dǎo)，分類討論和，結(jié)合（1）中的結(jié)論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.【詳解】（1）構(gòu)建，則對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，即對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域為，若，則，因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點，不合題意，所以.當(dāng)時，令因為，且，所以函數(shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題意可得：，（i）當(dāng)時，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞減，所以是的極小值點，不合題意；（ⅱ）當(dāng)時，取，則，由（1）可得，構(gòu)建，則，且，則對恒成立，可知在上單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一的零點，當(dāng)時，則，且，則，即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點睛：1.當(dāng)時，利用，換元放縮；2.當(dāng)時，利用，換元放縮.6．（2022·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當(dāng)時，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點，符合題意；當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時，由（1）得當(dāng)時，，，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.7．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.（2）根據(jù)（1）可得當(dāng)時，的解的個數(shù)、的解的個數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個零點且可得的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線與曲線、有三個不同的交點可得的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.【詳解】（1）的定義域為，而，若，則，此時無最小值，故.的定義域為，而.當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，故.因為和有相同的最小值，故，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值為.當(dāng)時，考慮的解的個數(shù)、的解的個數(shù).設(shè)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個不同的零點，即的解的個數(shù)為2.設(shè)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個不同的零點即的解的個數(shù)為2.當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個解，當(dāng)時，由（1）討論可得、均無根，故若存在直線與曲線、有三個不同的交點，則.設(shè)，其中，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故上有且只有一個零點，且：當(dāng)時，即即，當(dāng)時，即即，因此若存在直線與曲線、有三個不同的交點，故，此時有兩個不同的根，此時有兩個不同的根，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.[方法二]：由知，，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且①時，此時，顯然與兩條曲線和共有0個交點，不符合題意；②時，此時，故與兩條曲線和共有2個交點，交點的橫坐標(biāo)分別為0和1；③時，首先，證明與曲線有2個交點，即證明有2個零點，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，，，令，則，所以在上存在且只存在1個零點，設(shè)為，在上存在且只存在1個零點，設(shè)為其次，證明與曲線和有2個交點，即證明有2個零點，，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，，，令，則，所以在上存在且只存在1個零點，設(shè)為，在上存在且只存在1個零點，設(shè)為再次，證明存在b，使得因為，所以，若，則，即，所以只需證明在上有解即可，即在上有零點，因為，，所以在上存在零點，取一零點為，令即可，此時取則此時存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，最后證明，即從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，因為所以，又因為在上單調(diào)遞減，，即，所以，同理，因為，又因為在上單調(diào)遞增，即，，所以，又因為，所以，即直線與兩條曲線和從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.【點睛】思路點睛：函數(shù)的最值問題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時注意對參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質(zhì)，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關(guān)系.8．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.【分析】（1）求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，，，此時，曲線在點處的切線方程為，即；（2）因為，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，，.9．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．【答案】（I）；（II）證明見解析；（III）【分析】（I）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個交點，利用導(dǎo)數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；（III）令，題目等價于存在，使得，即，利用導(dǎo)數(shù)即可求出的最小值.【詳解】（I），則，又，則切線方程為；（II）令，則，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，畫出大致圖像如下：所以當(dāng)時，與僅有一個交點，令，則，且，當(dāng)時，，則，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則，單調(diào)遞減，為的極大值點，故存在唯一的極值點；（III）由（II）知，此時，所以，令，若存在a，使得對任意成立，等價于存在，使得，即，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，故，所以實數(shù)b的取值范圍.【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明與僅有一個交點；第三問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為存在，使得，即.10．（2021·全國乙卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．【答案】（1）；（2）證明見詳解【分析】（1）由題意求出，由極值點處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解【詳解】（1）由，，又是函數(shù)的極值點，所以，解得；（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)由（Ⅰ）知，，其定義域為．要證，即證，即證．（?。┊?dāng)時，，，即證．令，因為，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．（ⅱ）當(dāng)時，，，即證，由（?。┓治鲋趨^(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．綜合（ⅰ）（ⅱ）有．[方法二]【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無分母函數(shù)由（1）得，，且，當(dāng)時，要證，，，即證，化簡得；同理，當(dāng)時，要證，，，即證，化簡得；令，再令，則，，令，，當(dāng)時，，單減，故；當(dāng)時，，單增，故；綜上所述，在恒成立.[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見結(jié)論證明令，因為，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．故當(dāng)且時，且，，即，所以．（ⅰ）當(dāng)時，，所以，即，所以．（ⅱ）當(dāng)時，，同理可證得．綜合（ⅰ）（ⅱ）得，當(dāng)且時，，即．【整體點評】（2）方法一利用不等式的性質(zhì)分類轉(zhuǎn)化分式不等式：當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為證明，當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進而證得；方法二利用不等式的性質(zhì)分類討論分別轉(zhuǎn)化為整式不等式：當(dāng)時，成立和當(dāng)時，成立，然后換元構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性進而證得，通性通法，運算簡潔，為最優(yōu)解；方法三先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，證得常見常用結(jié)論（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．然后換元得到，分類討論，利用不等式的基本性質(zhì)證得要證得不等式，有一定的巧合性.11．（2020·北京·高考真題）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；（Ⅱ）設(shè)曲線在點處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點的坐標(biāo)，然后由點斜式可得結(jié)果；（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再得到切線在坐標(biāo)軸上的截距，進一步得到三角形的面積，最后利用導(dǎo)數(shù)可求得最值.【詳解】（Ⅰ）因為，所以，設(shè)切點為，則，即，所以切點為，由點斜式可得切線方程為：，即.（Ⅱ）[方法一]：導(dǎo)數(shù)法顯然，因為在點處的切線方程為：，令，得，令，得，所以，不妨設(shè)時，結(jié)果一樣，則，所以，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以時，取得極小值，也是最小值為.[方法二]【最優(yōu)解】：換元加導(dǎo)數(shù)法

．因為為偶函數(shù)，不妨設(shè)，，令，則．令，則面積為，只需求出的最小值．．因為，所以令，得．隨著a的變化，的變化情況如下表：a0減極小值增所以．所以當(dāng)，即時，．因為為偶函數(shù)，當(dāng)時，．綜上，當(dāng)時，的最小值為32．[方法三]：多元均值不等式法同方法二，只需求出的最小值．令，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．所以當(dāng)，即時，．因為為偶函數(shù)，當(dāng)時，．綜上，當(dāng)時，的最小值為32．[方法四]：兩次使用基本不等式法同方法一得到,下同方法一.【整體點評】（Ⅱ）的方法一直接對面積函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，方法二利用換元方法，簡化了運算，確定為最優(yōu)解；方法三在方法二換元的基礎(chǔ)上，利用多元均值不等式求得最小值，運算較為簡潔；方法四兩次使用基本不等式，所有知識最少，配湊巧妙，技巧性較高.12．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù).證明：（1）存在唯一的極值點；（2）有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到存在唯一，使得，進而可得判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可確定其極值點個數(shù)，證明出結(jié)論成立；（2）先由（1）的結(jié)果，得到，，得到在內(nèi)存在唯一實根，記作，再求出，即可結(jié)合題意，說明結(jié)論成立.【詳解】（1）由題意可得，的定義域為，由，得，顯然單調(diào)遞增；又，，故存在唯一，使得；又當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；因此，存在唯一的極值點；（2）[方法一]【利用對稱性轉(zhuǎn)化為研究兩個函數(shù)根的問題】的根的情況問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖像在區(qū)間內(nèi)的交點情況．．當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；又因為，所以當(dāng)時，，則時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則當(dāng)時，單調(diào)遞增．又，所以函數(shù)與的圖像，如圖所示，只有兩個交點，橫坐標(biāo)分別為和，且，即和為的兩個實根．

又因為，當(dāng)時，，由于，所以，即，所以兩個實根互為倒數(shù)．[方法二]【分類討論】由（1）知，．又，所以有且僅有兩個實根，可令．下面證明，由，得，顯然有，．（*）（1）當(dāng)時，，（*）式不成立；（2）當(dāng)時，，（*）式不成立；（3）當(dāng)時，，（*）式成立．綜上，有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù)．[方法三]【利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點存在定理】的定義域為，顯然不是方程的根，所以有兩個實根等價于有兩個零點，且定義域為．而，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．當(dāng)時，，，所以在區(qū)間內(nèi)有唯一零點，即，所以．結(jié)合單調(diào)性知在區(qū)間內(nèi)有唯一零點，所以有且僅有兩個零點，且兩個零點互為倒數(shù)，即有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù)．【整體點評】(2)方法一：對稱性是函數(shù)的重要性質(zhì)，利用函數(shù)的對稱性研究函數(shù)體現(xiàn)了整體思想；方法二：分類討論是最常規(guī)的思想，是處理導(dǎo)數(shù)問題最常規(guī)的手段；方法三：函數(shù)的單調(diào)性和零點存在定理的綜合運用使得問題簡單化.13．（2019·江蘇·高考真題）設(shè)函數(shù)，為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點均在集合中，求f（x）的極小值；（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．【答案】（1）；（2）的極小值為（3）見解析.【分析】（1）由題意得到關(guān)于a的方程，解方程即可確定a的值；（2）由題意首先確定a,b,c的值從而確定函數(shù)的解析式，然后求解其導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)即可確定函數(shù)的極小值.（3）由題意首先確定函數(shù)的極大值M的表達式，然后可用如下方法證明題中的不等式：解法一：由函數(shù)的解析式結(jié)合不等式的性質(zhì)進行放縮即可證得題中的不等式；解法二：由題意構(gòu)造函數(shù)，求得函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值，因為，所以．當(dāng)時，．令，則．令，得．列表如下：+0–極大值所以當(dāng)時，取得極大值，且是最大值，故．所以當(dāng)時，，因此．【詳解】（1）因為，所以．因為，所以，解得．（2）因為，所以，從而．令，得或．因為，都在集合中，且，所以．此時，．令，得或．列表如下：1+0–0+極大值極小值所以的極小值為．（3）因為，所以，．因為，所以，則有2個不同的零點，設(shè)為．由，得．列表如下：+0–0+極大值極小值所以的極大值．解法一：．因此．解法二：因為，所以．當(dāng)時，．令，則．令，得．列表如下：+0–極大值所以當(dāng)時，取得極大值，且是最大值，故．所以當(dāng)時，，因此．【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力．14．（2018·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)=[]．（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．【答案】(1)1

(2)（，）【詳解】分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)得a；（2）先求導(dǎo)數(shù)的零點：，2；再分類討論，根據(jù)是否滿足在x=2處取得極小值，進行取舍，最后可得a的取值范圍．詳解：解：（Ⅰ）因為=[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由題設(shè)知f′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．此時f(1)=3e≠0．所以a的值為1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．若a>，則當(dāng)x∈(，2)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(2，+∞)時，f′(x)>0．所以f(x)<0在x=2處取得極小值．若a≤，則當(dāng)x∈(0，2)時，x–2<0，ax–1≤x–1<0，所以f′(x)>0．所以2不是f(x)的極小值點．綜上可知，a的取值范圍是（，+∞）．點睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來進行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來求解.15．（2018·北京·高考真題）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點處的切線斜率為0，求a；（Ⅱ）若在處取得極小值，求a的取值范圍.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【詳解】分析：（1）求導(dǎo)，構(gòu)建等量關(guān)系，解方程可得參數(shù)的值；（2）對分及兩種情況進行分類討論，通過研究的變化情況可得取得極值的可能，進而可求參數(shù)的取值范圍.詳解：解：（Ⅰ）因為，所以.，由題設(shè)知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，則當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在x=1處取得極小值.若，則當(dāng)時，，所以.所以1不是的極小值點.綜上可知，a的取值范圍是.方法二：.（1）當(dāng)a=0時，令得x=1.隨x的變化情況如下表：x1+0?↗極大值↘∴在x=1處取得極大值，不合題意.（2）當(dāng)a>0時，令得.①當(dāng)，即a=1時，，∴在上單調(diào)遞增，∴無極值，不合題意.②當(dāng)，即0<a<1時，隨x的變化情況如下表：x1+0?0+↗極大值↘極小值↗∴在x=1處取得極大值，不合題意.③當(dāng)，即a>1時，隨x的變化情況如下表：x+0?0+↗極大值↘極小值↗∴在x=1處取得極小值，即a>1滿足題意.（3）當(dāng)a<0時，令得.隨x的變化情況如下表：x?0+0?↘極小值↗極大值↘∴在x=1處取得極大值，不合題意.綜上所述，a的取值范圍為.點睛：導(dǎo)數(shù)類問題是高考數(shù)學(xué)中的必考題，也是壓軸題，主要考查的形式有以下四個：①考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，涉及求曲線切線方程的問題；②利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間問題；③利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值最值問題；④關(guān)于不等式的恒成立問題.解題時需要注意的有以下兩個方面：①在求切線方程問題時，注意區(qū)別在某一點和過某一點解題步驟的不同；②在研究單調(diào)性及極值最值問題時常常會涉及到分類討論的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立問題屬于高考中的難點，要注意問題轉(zhuǎn)換的等價性.16．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，；（2）若是的極大值點，求．【答案】（1）見解析（2）【詳解】分析：（1）求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性證明即可．（2）分類討論和,構(gòu)造函數(shù),討論的性質(zhì)即可得到a的范圍．詳解：（1）當(dāng)時，，.設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，.故當(dāng)時，，且僅當(dāng)時，，從而，且僅當(dāng)時，.所以在單調(diào)遞增.又，故當(dāng)時，；當(dāng)時，.（2）（i）若，由（1）知，當(dāng)時，，這與是的極大值點矛盾.（ii）若，設(shè)函數(shù).由于當(dāng)時，，故與符號相同.又，故是的極大值點當(dāng)且僅當(dāng)是的極大值點..如果，則當(dāng)，且時，，故不是的極大值點.如果，則存在根，故當(dāng)，且時，，所以不是的極大值點.如果，則.則當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以是的極大值點，從而是的極大值點綜上，.點睛：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值證明不等式，第二問分類討論和,當(dāng)時構(gòu)造函數(shù)時關(guān)鍵，討論函數(shù)的性質(zhì)，本題難度較大．17．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）設(shè)是的極值點．求，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時，．【答案】(1)a=；增區(qū)間為，減區(qū)間為．(2)證明見解析.【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域，利用，求得a=，從而確定出函數(shù)的解析式，再解不等式即可求出單調(diào)區(qū)間；（2）方法一：結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域，可以確定當(dāng)時，，之后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得，利用不等式的傳遞性，證得結(jié)果.【詳解】（1）的定義域為，，則，解得：，故．易知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，由解得：；由解得：，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）［方法一］：【最優(yōu)解】放縮法當(dāng)時，.設(shè)，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以是的最小值點.故當(dāng)時，.因此，當(dāng)時，.［方法二］：【通性通法】隱零點討論因為，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．設(shè)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以．設(shè)，則．所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故，即成立．［方法三］：分離參數(shù)求最值要證時，即，則證成立．令，則．令，則，由知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，從而在內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．所以，而，所以恒成立，原命題得證．［方法四］：隱零點討論＋基本不等式，結(jié)合與的圖像，可知有唯一實數(shù)解，不妨設(shè)，則．易知在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)．所以．由，得．．當(dāng)且僅當(dāng)，即時，，所以．［方法五］：異構(gòu)要證明，即證，即證明，再證明即可．令，．設(shè)，則．若時，在上恒成立，所以；若時，當(dāng)時；當(dāng)時，．所以為的極小值點，則．因為，所以，所以．令．當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以為的極小值點．則，所以，即．所以．［方法六］：高階函數(shù)借位構(gòu)建有界函數(shù)．令，則．令．顯然為定義域上的增函數(shù)．又，故當(dāng)時，，得；當(dāng)時，，得．即在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，故．即恒成立，而恒成立．【整體點評】（2）方法一：利用的范圍放縮，轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最值，是該題的最優(yōu)解；方法二：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性討論，求最值，是該類型題的通性通法；方法三：原不等式可以通過分參轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最值，也是不錯的解法；方法四：同方法二，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性討論，利用基本不等式求最值，區(qū)別在于最后求最值使用的方式不一樣；方法五：利用常見的對數(shù)切線不等式異構(gòu)證明，也是很好的解決方法，不過在本題中使用過程稍顯繁瑣；方法六：基本類似于方法三．18．（2017·山東·高考真題）已知函數(shù).(I)當(dāng)a=2時,求曲線在點處的切線方程；(II)設(shè)函數(shù),討論的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析．【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率,再用點斜式寫出切線方程；（Ⅱ）由,通過討論確定的單調(diào)性,再由單調(diào)性確定極值.試題解析：（Ⅰ）由題意，所以，當(dāng)時，，，所以，因此，曲線在點處的切線方程是，即.（Ⅱ）因為，所以，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，.（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時取到極大值，極大值是，當(dāng)時取到極小值，極小值是.（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以在上單調(diào)遞增，無極大值也無極小值.（3）當(dāng)時，，當(dāng)時，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時取到極大值，極大值是；當(dāng)時取到極小值，極小值是.綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是.【考點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【名師點睛】(1)求函數(shù)f(x)極值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；④檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號,如果左正右負,那么f(x)在x0處取極大值,如果左負右正,那么f(x)在x0處取極小值．(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有極值,那么y＝f(x)在(a,b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù),即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值．19．（2017·江蘇·高考真題）已知函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點是的零點．（極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值）（1）求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（2）證明：b2>3a;（3）若，這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于，求a的取值范圍．【答案】（1），定義域為.（2）見解析（3）.【詳解】試題分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)的極值：，再代入原函數(shù)得，化簡可得，根據(jù)極值存在條件可得；（2）由（1）得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，可得，即；（3）先求證的兩個極值之和為零，利用根與系數(shù)關(guān)系代入化簡即得，再研究導(dǎo)函數(shù)極值不小于，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，在上單調(diào)遞減．而，故可得的取值范圍．試題解析：解：（1）由，得.當(dāng)時，有極小值.因為的極值點是的零點.所以，又，故.因為有極值，故有實根，從而，即.時，，故在R上是增函數(shù)，沒有極值；時，有