十年（2015-2024）高考真題數學分項匯編（全國）專題16 導數及其應用小題綜合（教師卷）

專題16導數及其應用小題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1導數的基本計算及其應用（10年4考）2020·全國卷、2018·天津卷2016·天津卷、2015·天津卷1.掌握基本函數的導數求解，會導數的基本計算，會求切線方程，會公切線的拓展，切線內容是新高考的命題熱點，要熟練掌握2.會利用導數判斷函數的單調性及會求極值最值，會根據極值點拓展求參數及其他內容，極值點也是新高考的命題熱點，要熟練掌握3.會用導數研究函數的零點和方程的根，會拓展函數零點的應用，會導數與函數性質的結合，該內容也是新高考的命題熱點，要熟練掌握會構建函數利用導數判斷函數單調性比較函數值大小關系，該內容也是新高考的命題熱點，要熟練掌握要會導數及其性質的綜合應用，加強復習考點2求切線方程及其應用（10年10考）2024·全國甲卷、2023·全國甲卷、2022·全國新Ⅱ卷2022·全國新Ⅰ卷、2021·全國甲卷、2021·全國新Ⅱ卷2021·全國新Ⅰ卷、2020·全國卷、2020·全國卷2020·全國卷、2019·江蘇卷、2019·全國卷2019·天津卷、2019·全國卷、2019·全國卷2018·全國卷、2018·全國卷、2018·全國卷2018·全國卷、2017·全國卷、2016·全國卷2016·全國卷、2015·全國卷、2015·陜西卷2015·陜西卷考點3公切線問題（10年3考）2024·全國新Ⅰ卷、2016·全國卷、2015·全國卷考點4利用導數判斷函數單調性及其應用（10年6考）2024·全國新Ⅰ卷、2023·全國新Ⅱ卷、2023·全國乙卷2019·北京卷、2017·山東卷、2016·全國卷2015·陜西卷、2015·福建卷、2015·全國卷考點5求極值與最值及其應用（10年5考）2024·上海卷、2023·全國新Ⅱ卷、2022·全國乙卷2022·全國甲卷、2021·全國新Ⅰ卷、2018·全國卷2018·江蘇卷考點6利用導數研究函數的極值點及其應用（10年5考）2022·全國新Ⅰ卷、2022·全國乙卷、2021·全國乙卷、2017·全國卷、2016·四川卷考點7導數與函數的基本性質結合問題（10年6考）2024·全國新Ⅰ卷、2023·全國新Ⅰ卷、2022·全國新Ⅰ卷2021·全國新Ⅱ卷、2017·山東卷、2015·四川卷考點8利用導數研究函數的零點及其應用（10年6考）2024·全國新Ⅱ卷、2023·全國乙卷、2021·北京卷、2018·江蘇卷、2017·全國卷、2015·陜西卷考點9利用導數研究方程的根及其應用（10年3考）2024·全國甲卷、2021·北京卷、2015·安徽卷2015·全國卷、2015·安徽卷考點10構建函數利用導數判斷函數單調性比較函數值大小關系（10年3考）2022·全國甲卷、2022·全國新Ⅰ卷、2021·全國乙卷考點01導數的基本計算及其應用1．（2020·全國·高考真題）設函數．若，則a=．【答案】1【分析】由題意首先求得導函數的解析式，然后得到關于實數a的方程，解方程即可確定實數a的值【詳解】由函數的解析式可得：，則：，據此可得：，整理可得：，解得：.故答案為：.【點睛】本題主要考查導數的運算法則，導數的計算，方程的數學思想等知識，屬于中等題.2．（2018·天津·高考真題）已知函數f(x)=exlnx，為f(x)的導函數，則的值為．【答案】e【分析】首先求導函數，然后結合導函數的運算法則整理計算即可求得最終結果.【詳解】由函數的解析式可得：，則，即的值為e，故答案為.點睛：本題主要考查導數的運算法則，基本初等函數的導數公式等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.3．（2016·天津·高考真題）已知函數為的導函數，則的值為.【答案】3【詳解】試題分析：【考點】導數【名師點睛】求函數的導數的方法：（1）連乘積的形式：先展開化為多項式的形式，再求導；（2）根式形式：先化為分數指數冪，再求導；（3）復雜公式：通過分子上湊分母，化為簡單分式的和、差，再求導；（4）復合函數：確定復合關系，由外向內逐層求導；（5）不能直接求導：適當恒等變形，轉化為能求導的形式再求導．4．（2015·天津·高考真題）已知函數，其中為實數，為的導函數，若，則的值為．【答案】3【詳解】試題分析：，所以．考點：導數的運算．【名師點睛】(1)在解答過程中常見的錯誤有：①商的求導中，符號判定錯誤．②不能正確運用求導公式和求導法則．(2)求函數的導數應注意：①求導之前利用代數或三角變換先進行化簡，減少運算量．②根式形式，先化為分數指數冪，再求導．③復合函數求導先確定復合關系，由外向內逐層求導，必要時可換元處理．考點02求切線方程及其應用1．（2024·全國甲卷·高考真題）設函數，則曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助導數的幾何意義計算可得其在點處的切線方程，即可得其與坐標軸的交點坐標，即可得其面積.【詳解】，則，即該切線方程為，即，令，則，令，則，故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積.故選：A.2．（2023·全國甲卷·高考真題）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由切點設切線方程，再求函數的導數，把切點的橫坐標代入導數得到切線的斜率，代入所設方程即可求解.【詳解】設曲線在點處的切線方程為，因為，所以，所以所以所以曲線在點處的切線方程為.故選：C3．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為，．【答案】【分析】分和兩種情況，當時設切點為，求出函數的導函數，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；【詳解】[方法一]：化為分段函數，分段求分和兩種情況，當時設切點為，求出函數導函數，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；解：因為，當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；[方法二]：根據函數的對稱性，數形結合當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；因為是偶函數，圖象為：所以當時的切線，只需找到關于y軸的對稱直線即可.[方法三]：因為，當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；.4．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是．【答案】【分析】設出切點橫坐標，利用導數的幾何意義求得切線方程，根據切線經過原點得到關于的方程，根據此方程應有兩個不同的實數根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設切點為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：5．（2021·全國甲卷·高考真題）曲線在點處的切線方程為．【答案】【分析】先驗證點在曲線上，再求導，代入切線方程公式即可．【詳解】由題，當時，，故點在曲線上．求導得：，所以．故切線方程為．故答案為：．6．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知函數，函數的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是．【答案】【分析】結合導數的幾何意義可得，結合直線方程及兩點間距離公式可得，，化簡即可得解.【詳解】由題意，，則，所以點和點，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用導數的幾何意義轉化條件，消去一個變量后，運算即可得解.7．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：根據導數幾何意義求得切線方程，再構造函數，利用導數研究函數圖象，結合圖形確定結果；解法二：畫出曲線的圖象，根據直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點，對函數求導得，所以，曲線在點處的切線方程為，即，由題意可知，點在直線上，可得，令，則.當時，，此時函數單調遞增，當時，，此時函數單調遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，當時，，當時，，作出函數的圖象如下圖所示：

由圖可知，當時，直線與曲線的圖象有兩個交點.故選：D.解法二：畫出函數曲線的圖象如圖所示，根據直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.【點睛】解法一是嚴格的證明求解方法，其中的極限處理在中學知識范圍內需要用到指數函數的增長特性進行估計，解法二是根據基于對指數函數的圖象的清晰的理解與認識的基礎上，直觀解決問題的有效方法.8．（2020·全國·高考真題）若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【分析】根據導數的幾何意義設出直線的方程，再由直線與圓相切的性質，即可得出答案.【詳解】設直線在曲線上的切點為，則，函數的導數為，則直線的斜率，設直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.【點睛】本題主要考查了導數的幾何意義的應用以及直線與圓的位置的應用，屬于中檔題.9．（2020·全國·高考真題）函數的圖像在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求得函數的導數，計算出和的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡即可.【詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.【點睛】本題考查利用導數求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎題10．（2020·全國·高考真題）曲線的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為.【答案】【分析】設切線的切點坐標為，對函數求導，利用，求出，代入曲線方程求出，得到切線的點斜式方程，化簡即可.【詳解】設切線的切點坐標為，，所以切點坐標為，所求的切線方程為，即.故答案為：.【點睛】本題考查導數的幾何意義，屬于基礎題.11．（2019·江蘇·高考真題）在平面直角坐標系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經過點（-e，-1)(e為自然對數的底數），則點A的坐標是.【答案】.【分析】設出切點坐標，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標的值可得切點坐標.【詳解】設點，則.又，當時，，點A在曲線上的切線為，即，代入點，得，即，考查函數，當時，，當時，，且，當時，單調遞增，注意到，故存在唯一的實數根，此時，故點的坐標為.【點睛】導數運算及切線的理解應注意的問題：一是利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．二是直線與曲線公共點的個數不是切線的本質，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點．12．（2019·全國·高考真題）已知曲線在點處的切線方程為，則A． B． C． D．【答案】D【解析】通過求導數，確定得到切線斜率的表達式，求得，將點的坐標代入直線方程，求得．【詳解】詳解：，將代入得，故選D．【點睛】本題關鍵得到含有a，b的等式，利用導數幾何意義和點在曲線上得到方程關系．13．（2019·天津·高考真題）曲線在點處的切線方程為.【答案】【分析】利用導數值確定切線斜率，再用點斜式寫出切線方程．【詳解】，當時其值為，故所求的切線方程為，即．【點睛】曲線切線方程的求法：(1)以曲線上的點(x0，f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：①求出函數f(x)的導數f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡．(2)如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設出切點(x0，y0)，解方程組得切點(x0，y0)，進而確定切線方程．14．（2019·全國·高考真題）曲線在點處的切線方程為．【答案】.【分析】本題根據導數的幾何意義，通過求導數，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點斜式求得切線方程【詳解】詳解：所以，所以，曲線在點處的切線方程為，即．【點睛】準確求導數是進一步計算的基礎，本題易因為導數的運算法則掌握不熟，二導致計算錯誤．求導要“慢”，計算要準，是解答此類問題的基本要求．15．（2019·全國·高考真題）曲線y=2sinx+cosx在點(π，–1)處的切線方程為A． B．C． D．【答案】C【分析】先判定點是否為切點，再利用導數的幾何意義求解.【詳解】當時，，即點在曲線上．則在點處的切線方程為，即．故選C．【點睛】本題考查利用導數工具研究曲線的切線方程，滲透了直觀想象、邏輯推理和數學運算素養(yǎng)．采取導數法，利用函數與方程思想解題．學生易在非切點處直接求導數而出錯，首先證明已知點是否為切點，若是切點，可以直接利用導數求解；若不是切點，設出切點，再求導，然后列出切線方程．16．（2018·全國·高考真題）設函數．若為奇函數，則曲線在點處的切線方程為()A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：利用奇函數偶次項系數為零求得，進而得到的解析式，再對求導得出切線的斜率，進而求得切線方程.詳解：因為函數是奇函數，所以，解得，所以，，所以，所以曲線在點處的切線方程為，化簡可得，故選D.點睛：該題考查的是有關曲線在某個點處的切線方程的問題，在求解的過程中，首先需要確定函數解析式，此時利用到結論多項式函數中，奇函數不存在偶次項，偶函數不存在奇次項，從而求得相應的參數值，之后利用求導公式求得，借助于導數的幾何意義，結合直線方程的點斜式求得結果.17．（2018·全國·高考真題）曲線在點處的切線的斜率為，則．【答案】【分析】求導，利用導數的幾何意義計算即可．【詳解】解：則所以故答案為-3.【點睛】本題主要考查導數的計算和導數的幾何意義，屬于基礎題．18．（2018·全國·高考真題）曲線在點處的切線方程為．【答案】【分析】求導，可得斜率，進而得出切線的點斜式方程.【詳解】由，得，則曲線在點處的切線的斜率為，則所求切線方程為，即.【點睛】求曲線在某點處的切線方程的步驟：①求出函數在該點處的導數值即為切線斜率；②寫出切線的點斜式方程；③化簡整理.19．（2018·全國·高考真題）曲線在點處的切線方程為．【答案】【分析】先求導數，再根據導數幾何意義得切線斜率，最后根據點斜式求切線方程.【詳解】【點睛】求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點.20．（2017·全國·高考真題）曲線在點（1，2）處的切線方程為．【答案】【詳解】設，則，所以，所以曲線在點處的切線方程為，即．點睛:求曲線的切線方程是導數的重要應用之一，用導數求切線方程的關鍵在于求出斜率，其求法為：設是曲線上的一點，則以為切點的切線方程是．若曲線在點處的切線平行于軸（即導數不存在）時，由切線定義知，切線方程為．21．（2016·全國·高考真題）已知為偶函數，當時，，則曲線在點處的切線方程是.【答案】【詳解】試題分析：當時，，則．又因為為偶函數，所以，所以，則，所以切線方程為，即．【考點】函數的奇偶性、解析式及導數的幾何意義【知識拓展】本題題型可歸納為“已知當時，函數，則當時，求函數的解析式”．有如下結論：若函數為偶函數，則當時，函數的解析式為；若為奇函數，則函數的解析式為．22．（2016·全國·高考真題）已知為偶函數，當時，，則曲線在點處的切線方程是．【答案】【詳解】試題分析：當時，，則．又因為為偶函數，所以，所以，則切線斜率為，所以切線方程為，即．【考點】函數的奇偶性與解析式，導數的幾何意義．【知識拓展】本題題型可歸納為“已知當時，函數，則當時，求函數的解析式”．有如下結論：若函數為偶函數，則當時，函數的解析式為；若為奇函數，則函數的解析式為．23．（2015·全國·高考真題）已知函數的圖像在點的處的切線過點，則.【答案】1【詳解】試題分析：.考點：1、導數的幾何意義；2、直線方程.【方法點晴】本題考查導數的幾何意義、直線方程，涉及分特殊與一般思想、數形結合思想和轉化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于較難題型.首先求導可得.24．（2015·陜西·高考真題）設曲線在點（0,1）處的切線與曲線上點處的切線垂直，則的坐標為．【答案】【詳解】設.對y＝ex求導得y′＝ex，令x＝0，得曲線y＝ex在點(0，1)處的切線斜率為1，故曲線上點P處的切線斜率為－1，由，得，則，所以P的坐標為(1，1)．考點：導數的幾何意義．25．（2015·陜西·高考真題）函數在其極值點處的切線方程為.【答案】【詳解】，令，此時函數在其極值點處的切線方程為考點：：導數的幾何意義.考點03公切線問題1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則.【答案】【分析】先求出曲線在的切線方程，再設曲線的切點為，求出，利用公切線斜率相等求出，表示出切線方程，結合兩切線方程相同即可求解.【詳解】由得，，故曲線在處的切線方程為；由得，設切線與曲線相切的切點為，由兩曲線有公切線得，解得，則切點為，切線方程為，根據兩切線重合,所以，解得.故答案為：2．（2016·全國·高考真題）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則．【答案】【詳解】試題分析：對函數求導得，對求導得，設直線與曲線相切于點，與曲線相切于點，則，由點在切線上得，由點在切線上得，這兩條直線表示同一條直線，所以，解得.【考點】導數的幾何意義【名師點睛】函數f（x）在點x0處的導數f′（x0）的幾何意義是曲線y＝f（x）在點P（x0，y0）處的切線的斜率．相應地，切線方程為y?y0＝f′（x0）（x?x0）．注意：求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過點P的切線的不同．3．（2015·全國·高考真題）已知曲線在點處的切線與曲線相切,則a=．【答案】8【詳解】試題分析：函數在處的導數為，所以切線方程為；曲線的導函數的為，因與該曲線相切，可令，當時，曲線為直線，與直線平行，不符合題意；當時，代入曲線方程可求得切點，代入切線方程即可求得.考點：導函數的運用.【方法點睛】求曲線在某一點的切線，可先求得曲線在該點的導函數值，也即該點切線的斜率值，再由點斜式得到切線的方程，當已知切線方程而求函數中的參數時，可先求得函數的導函數，令導函數的值等于切線的斜率，這樣便能確定切點的橫坐標，再將橫坐標代入曲線（切線）得到縱坐標得到切點坐標，并代入切線（曲線）方程便可求得參數．考點04利用導數判斷函數單調性及其應用1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）（多選）設函數，則（

）A．是的極小值點 B．當時，C．當時， D．當時，【答案】ACD【分析】求出函數的導數，得到極值點，即可判斷A；利用函數的單調性可判斷B；根據函數在上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.【詳解】對A，因為函數的定義域為R，而，易知當時，，當或時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，故是函數的極小值點，正確；對B，當時，，所以，而由上可知，函數在上單調遞增，所以，錯誤；對C，當時，，而由上可知，函數在上單調遞減，所以，即，正確；對D，當時，，所以，正確；故選：ACD.2．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知函數在區(qū)間上單調遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．【答案】C【分析】根據在上恒成立，再根據分參求最值即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設，所以，所以在上單調遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．3．（2023·全國乙卷·高考真題）設，若函數在上單調遞增，則a的取值范圍是.【答案】【分析】原問題等價于恒成立，據此將所得的不等式進行恒等變形，可得，由右側函數的單調性可得實數的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數的取值范圍.【詳解】由函數的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結合題意可得實數的取值范圍是.故答案為：.4．（2019·北京·高考真題）設函數f（x）=ex+ae?x（a為常數）．若f（x）為奇函數，則a=；若f（x）是R上的增函數，則a的取值范圍是．【答案】-1;.【分析】首先由奇函數的定義得到關于的恒等式，據此可得的值，然后利用導函數的解析式可得a的取值范圍.【詳解】若函數為奇函數,則，對任意的恒成立.若函數是上的增函數,則恒成立,.即實數的取值范圍是【點睛】本題考查函數的奇偶性?單調性?利用單調性確定參數的范圍.解答過程中,需利用轉化與化歸思想,轉化成恒成立問題.注重重點知識?基礎知識?基本運算能力的考查.5．（2017·山東·高考真題）若函數(e=2.71828,是自然對數的底數)在的定義域上單調遞增,則稱函數具有M性質,下列函數中具有M性質的是A． B． C． D．【答案】A【詳解】對于A,令,,則在R上單調遞增,故具有M性質,故選A.【名師點睛】(1)確定函數單調區(qū)間的步驟：①確定函數f(x)的定義域；②求f′(x)；③解不等式f′(x)>0,解集在定義域內的部分為單調遞增區(qū)間；④解不等式f′(x)<0,解集在定義域內的部分為單調遞減區(qū)間．(2)根據函數單調性確定參數范圍的方法：①利用集合間的包含關系處理：y＝f(x)在(a,b)上單調,則區(qū)間(a,b)是相應單調區(qū)間的子集．②轉化為不等式的恒成立問題,即轉化為“若函數單調遞增,則f′(x)≥0；若函數單調遞減,則f′(x)≤0”來求解．6．（2016·全國·高考真題）若函數在上單調遞增，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：對恒成立，故，即恒成立，即對恒成立，構造，開口向下的二次函數的最小值的可能值為端點值，故只需保證，解得．故選C．【考點】三角變換及導數的應用【名師點睛】本題把導數與三角函數結合在一起進行考查,有所創(chuàng)新,求解的關鍵是把函數單調性轉化為不等式恒成立,再進一步轉化為二次函數在閉區(qū)間上的最值問題,注意與三角函數值域或最值有關的問題,即注意正、余弦函數的有界性.7．（2015·陜西·高考真題）設，則A．既是奇函數又是減函數 B．既是奇函數又是增函數C．是有零點的減函數 D．是沒有零點的奇函數【答案】B【詳解】試題分析：函數的定義域為，關于原點對稱，，因此函數是奇函數，不恒等于0，函數是增函數，故答案為B．考點：函數的奇偶性和單調性．8．（2015·福建·高考真題）若定義在上的函數滿足，其導函數滿足，則下列結論中一定錯誤的是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】試題分析：令，則，因此，所以選C.考點：利用導數研究不等式【方法點睛】利用導數解抽象函數不等式，實質是利用導數研究對應函數單調性，而對應函數需要構造.構造輔助函數常根據導數法則進行：如構造，構造，構造，構造等9．（2015·全國·高考真題）設函數是奇函數（）的導函數，，當時，，則使得成立的的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【詳解】構造新函數,，當時.所以在上單減，又，即.所以可得,此時，又為奇函數，所以在上的解集為：.故選A.點睛：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，需要構造函數，例如，想到構造.一般：（1）條件含有，就構造,（2）若，就構造，（3），就構造，（4）就構造，等便于給出導數時聯(lián)想構造函數.考點05求極值與最值及其應用1．（2024·上海·高考真題）已知函數的定義域為R，定義集合，在使得的所有中，下列成立的是（

）A．存在是偶函數 B．存在在處取最大值C．存在是嚴格增函數 D．存在在處取到極小值【答案】B【分析】對于ACD利用反證法并結合函數奇偶性、單調性以及極小值的概念即可判斷，對于B，構造函數即可判斷.【詳解】對于A，若存在是偶函數,取,則對于任意,而,矛盾,故A錯誤；對于B，可構造函數滿足集合，當時，則，當時，，當時，，則該函數的最大值是，則B正確；對C，假設存在，使得嚴格遞增，則，與已知矛盾，則C錯誤；對D，假設存在，使得在處取極小值，則在的左側附近存在，使得，這與已知集合的定義矛盾，故D錯誤；故選：B.2．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）若函數既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．【答案】BCD【分析】求出函數的導數，由已知可得在上有兩個變號零點，轉化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.【詳解】函數的定義域為，求導得，因為函數既有極大值也有極小值，則函數在上有兩個變號零點，而，因此方程有兩個不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.故選：BCD3．（2022·全國乙卷·高考真題）函數在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導數求得的單調區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.【詳解】，所以在區(qū)間和上，即單調遞增；在區(qū)間上，即單調遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D4．（2022·全國甲卷·高考真題）當時，函數取得最大值，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據題意可知，即可解得，再根據即可解出．【詳解】因為函數定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．故選：B.5．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）函數的最小值為.【答案】1【分析】由解析式知定義域為，討論、、，并結合導數研究的單調性，即可求最小值.【詳解】由題設知：定義域為，∴當時，，此時單調遞減；當時，，有，此時單調遞減；當時，，有，此時單調遞增；又在各分段的界點處連續(xù)，∴綜上有：時，單調遞減，時，單調遞增；∴故答案為：1.6．（2018·全國·高考真題）已知函數，則的最小值是．【答案】【分析】方法一：由，確定出函數的單調區(qū)間，減區(qū)間，從而確定出函數的最小值點，代入求得函數的最小值.【詳解】［方法一］：【通性通法】導數法．令，得，即在區(qū)間內單調遞增；令，得，即在區(qū)間內單調遞減．則．故答案為：.［方法二］：三元基本不等式的應用因為，所以．當且僅當，即時，取等號．根據可知，是奇函數，于是，此時．故答案為：.［方法三］：升冪公式＋多元基本不等式，，當且僅當，即時，．根據可知，是奇函數，于是．故答案為：.［方法四］：化同角＋多元基本不等式+放縮，當且僅當時等號成立．故答案為：.［方法五］：萬能公式＋換元+導數求最值設，則可化為，當時，；當時，，對分母求導后易知，當時，有最小值．故答案為：.［方法六］：配方法，當且僅當即時，取最小值．故答案為：.［方法七］：【最優(yōu)解】周期性應用＋導數法因為，所以，即函數的一個周期為，因此時，的最小值即為函數的最小值．當時，，當時，因為，令，解得或，由，，，所以的最小值為．故答案為：.【整體點評】方法一：直接利用導數判斷函數的單調性，得出極值點，從而求出最小值，是求最值的通性通法；方法二：通過對函數平方，創(chuàng)造三元基本不等式的使用條件，從而解出；方法三：基本原理同方法三，通過化同角利用多元基本不等式求解，難度較高；方法四：通過化同角以及化同名函數，放縮，再結合多元基本不等式求解，難度較高；方法五：通過萬能公式化簡換元，再利用導數求出最值，該法也較為常規(guī)；方法六：通過配方，將函數轉化成平方和的形式，構思巧妙；方法七：利用函數的周期性，縮小函數的研究范圍，再利用閉區(qū)間上的最值求法解出，解法常規(guī)，是該題的最優(yōu)解．7．（2018·江蘇·高考真題）若函數在內有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為．【答案】【分析】方法一：利用導數判斷函數在上的單調性，確定零點位置，求出參數,再根據函數在上的單調性確定函數最值，即可解出.【詳解】［方法一］：【通性通法】單調性法求導得，當時，函數在區(qū)間內單調遞增，且，所以函數在內無零點；當時，函數在區(qū)間內單調遞減，在區(qū)間內單調遞增．當時，；當時，．要使函數在區(qū)間內有且僅有一個零點，只需，解得．于是函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，，所以最大值與最小值之和為．故答案為：．［方法二］：等價轉化由條件知有唯一的正實根，于是．令，則，所以在區(qū)間內單調遞減，在區(qū)間內單調遞增，且，當時，；當時，．只需直線與的圖像有一個交點，故，下同方法一．［方法三］：【最優(yōu)解】三元基本不等式同方法二得，，當且僅當時取等號，要滿足條件只需，下同方法一．［方法四］：等價轉化由條件知有唯一的正實根，即方程有唯一的正實根，整理得，即函數與直線在第一象限內有唯一的交點．于是平移直線與曲線相切時，滿足題意，如圖．設切點，因為，于是，解得，下同方法一．【整體點評】方法一：利用導數得出函數在上的單調性，確定零點位置，求出參數，進而問題轉化為閉區(qū)間上的最值問題，從而解出，是該類型題的通性通法；方法二：利用等價轉化思想，函數在上有唯一零點轉化為兩函數圖象有唯一交點，從而求出參數，使問題得解；方法三：通過三元基本不等式確定取最值條件，從而求出參數，使問題得解，是該題的最優(yōu)解；方法四：將函數在上有唯一零點轉化為直線與曲線相切，從而求出參數，使問題得解．考點06利用導數研究函數的極值點及其應用1．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）（多選）已知函數，則（

）A．有兩個極值點 B．有三個零點C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線【答案】AC【分析】利用極值點的定義可判斷A，結合的單調性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導數的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調遞增，上單調遞減，所以是極值點，故A正確；因，，，所以，函數在上有一個零點，當時，，即函數在上無零點，綜上所述，函數有一個零點，故B錯誤；令，該函數的定義域為，，則是奇函數，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：AC.2．（2022·全國乙卷·高考真題）已知和分別是函數（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是．【答案】【分析】法一：依題可知，方程的兩個根為，即函數與函數的圖象有兩個不同的交點，構造函數，利用指數函數的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導數的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據幾何意義可得出答案.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉化法，零點的問題轉為函數圖象的交點因為，所以方程的兩個根為，即方程的兩個根為，即函數與函數的圖象有兩個不同的交點，因為分別是函數的極小值點和極大值點，所以函數在和上遞減，在上遞增，所以當時，，即圖象在上方當時，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設過原點且與函數的圖象相切的直線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因為函數與函數的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構造新函數，二次求導=0的兩個根為因為分別是函數的極小值點和極大值點，所以函數在和上遞減，在上遞增，設函數，則，若，則在上單調遞增，此時若，則在上單調遞減，在上單調遞增，此時若有和分別是函數且的極小值點和極大值點，則，不符合題意；若，則在上單調遞減，此時若，則在上單調遞增，在上單調遞減，令，則，此時若有和分別是函數且的極小值點和極大值點，且，則需滿足，，即故，所以.【整體點評】法一：利用函數的零點與兩函數圖象交點的關系，由數形結合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；法二：通過構造新函數，多次求導判斷單調性，根據極值點的大小關系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．3．（2021·全國乙卷·高考真題）設，若為函數的極大值點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先考慮函數的零點情況，注意零點左右附近函數值是否變號，結合極大值點的性質，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關系，由此確定正確選項.【詳解】若，則為單調函數，無極值點，不符合題意，故.有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，a為函數的極大值點，在左右附近都是小于零的.當時，由，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.當時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D【點睛】本小題主要考查三次函數的圖象與性質，利用數形結合的數學思想方法可以快速解答.4．（2017·全國·高考真題）若是函數的極值點，則的極小值為．A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題可得，因為，所以，，故，令，解得或，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以的極小值為，故選A．【名師點睛】（1）可導函數y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側與右側f′(x)的符號不同；（2）若f(x)在(a，b)內有極值，那么f(x)在(a，b)內絕不是單調函數，即在某區(qū)間上單調增或減的函數沒有極值．5．（2016·四川·高考真題）已知a為函數f（x）=x3–12x的極小值點，則a=A．–4 B．–2 C．4 D．2【答案】D【詳解】試題分析：，令得或，易得在上單調遞減，在上單調遞增，故的極小值點為2，即，故選D.【考點】函數的導數與極值點【名師點睛】本題考查函數的極值點．在可導函數中，函數的極值點是方程的解，但是極大值點還是極小值點，需要通過這個點兩邊的導數的正負性來判斷，在附近，如果時，，時，則是極小值點，如果時，，時，，則是極大值點.考點07導數與函數的基本性質結合問題1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）（多選）設函數，則（

）A．是的極小值點 B．當時，C．當時， D．當時，【答案】ACD【分析】求出函數的導數，得到極值點，即可判斷A；利用函數的單調性可判斷B；根據函數在上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.【詳解】對A，因為函數的定義域為R，而，易知當時，，當或時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，故是函數的極小值點，正確；對B，當時，，所以，而由上可知，函數在上單調遞增，所以，錯誤；對C，當時，，而由上可知，函數在上單調遞減，所以，即，正確；對D，當時，，所以，正確；故選：ACD.2．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）（多選）已知函數的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數 D．為的極小值點【答案】ABC【分析】方法一：利用賦值法，結合函數奇偶性的判斷方法可判斷選項ABC，舉反例即可排除選項D.方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D，可構造特殊函數進行判斷即可.【詳解】方法一：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，對于D，不妨令，顯然符合題設條件，此時無極值，故錯誤.方法二：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，對于D，當時，對兩邊同時除以，得到，故可以設，則，當肘，，則，令，得；令，得；故在上單調遞減，在上單調遞增，因為為偶函數，所以在上單調遞增，在上單調遞減，

顯然，此時是的極大值，故D錯誤.故選：.3．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）（多選）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】方法一：轉化題設條件為函數的對稱性，結合原函數與導函數圖象的關系，根據函數的性質逐項判斷即可得解.【詳解】[方法一]：對稱性和周期性的關系研究對于，因為為偶函數，所以即①，所以，所以關于對稱，則，故C正確；對于，因為為偶函數，，，所以關于對稱，由①求導，和，得，所以，所以關于對稱，因為其定義域為R，所以，結合關于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；若函數滿足題設條件，則函數（C為常數）也滿足題設條件，所以無法確定的函數值，故A錯誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構造函數法.由方法一知周期為2，關于對稱，故可設，則，顯然A，D錯誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因為，均為偶函數，所以即，，所以，，則，故C正確；函數，的圖象分別關于直線對稱，又，且函數可導，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯誤；若函數滿足題設條件，則函數（C為常數）也滿足題設條件，所以無法確定的函數值，故A錯誤.故選：BC.【點評】方法一：根據題意賦值變換得到函數的性質，即可判斷各選項的真假，轉化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據題意得出的性質構造特殊函數，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．4．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）寫出一個同時具有下列性質①②③的函數．①；②當時，；③是奇函數．【答案】（答案不唯一，均滿足）【分析】根據冪函數的性質可得所求的.【詳解】取，則，滿足①，，時有，滿足②，的定義域為，又，故是奇函數，滿足③.故答案為：（答案不唯一，均滿足）5．（2017·山東·高考真題）若函數是自然對數的底數在的定義域上單調遞增，則稱函數具有M性質，下列函數中所有具有M性質的函數的序號為①

②

③

④【答案】①④【詳解】①在上單調遞增，故具有性質；②在上單調遞減，故不具有性質；③，令，則，當時，，當時，，在上單調遞減，在上單調遞增，故不具有性質；④，令，則，在上單調遞增，故具有性質．【名師點睛】1.本題考查新定義問題，屬于創(chuàng)新題，符合新高考的走向．它考查學生的閱讀理解能力，接受新思維的能力，考查學生分析問題與解決問題的能力，新定義的概念實質上只是一個載體，解決新問題時，只要通過這個載體把問題轉化為我們已經熟悉的知識即可．2.求可導函數單調區(qū)間的一般步驟(1)確定函數f(x)的定義域(定義域優(yōu)先)；(2)求導函數f′(x)；(3)在函數f(x)的定義域內求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集確定函數f(x)的單調增(減)區(qū)間．若遇不等式中帶有參數時，可分類討論求得單調區(qū)間．3.由函數f(x)在(a，b)上的單調性，求參數范圍問題，可轉化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，要注意“＝”是否可以取到．6．（2015·四川·高考真題）已知函數f（x）＝2x，g（x）＝x2＋ax（其中a∈R）.對于不相等的實數x1，x2，設m＝，n＝，現(xiàn)有如下命題：①對于任意不相等的實數x1，x2，都有m＞0；②對于任意的a及任意不相等的實數x1，x2，都有n＞0；③對于任意的a，存在不相等的實數x1，x2，使得m＝n；④對于任意的a，存在不相等的實數x1，x2，使得m＝－n.其中真命題有（寫出所有真命題的序號）.【答案】①④【詳解】對于①，因為f'（x）＝2xln2＞0恒成立，故①正確對于②，取a＝－8，即g'（x）＝2x－8，當x1，x2＜4時n＜0，②錯誤對于③，令f'（x）＝g'（x），即2xln2＝2x＋a記h（x）＝2xln2－2x，則h'（x）＝2x（ln2）2－2存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，可知函數h（x）先減后增，有最小值.因此，對任意的a，m＝n不一定成立.③錯誤對于④，由f'（x）＝－g'（x），即2xln2＝－2x－a令h（x）＝2xln2＋2x，則h'（x）＝2x（ln2）2＋2＞0恒成立，即h（x）是單調遞增函數，當x→＋∞時，h（x）→＋∞當x→－∞時，h（x）→－∞因此對任意的a，存在y＝a與函數h（x）有交點.④正確考點：本題主要考查函數的性質、函數的單調性、導數的運算等基礎知識，考查函數與方程的思想和數形結合的思想，考查分析問題和解決能提的能力.考點08利用導數研究函數的零點及其應用1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）（多選）設函數，則（

）A．當時，有三個零點B．當時，是的極大值點C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點為曲線的對稱中心【答案】AD【分析】A選項，先分析出函數的極值點為，根據零點存在定理和極值的符號判斷出在上各有一個零點；B選項，根據極值和導函數符號的關系進行分析；C選項，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，則為恒等式，據此計算判斷；D選項，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，據此進行計算判斷，亦可利用拐點結論直接求解.【詳解】A選項，，由于，故時，故在上單調遞增，時，，單調遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據零點存在定理在上有一個零點，又，，則，則在上各有一個零點，于是時，有三個零點，A選項正確；B選項，，時，，單調遞減，時，單調遞增，此時在處取到極小值，B選項錯誤；C選項，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，于是等式左右兩邊的系數都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項錯誤；D選項，方法一：利用對稱中心的表達式化簡，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實上，，于是即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.方法二：直接利用拐點結論任何三次函數都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數的零點，，，，由，于是該三次函數的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.故選：AD【點睛】結論點睛：（1）的對稱軸為；（2）關于對稱；（3）任何三次函數都有對稱中心，對稱中心是三次函數的拐點，對稱中心的橫坐標是的解，即是三次函數的對稱中心2．（2023·全國乙卷·高考真題）函數存在3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫出，并求出極值點，轉化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個零點，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當時，，當，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個零點，則，即，解得，故選：B.3．（2021·北京·高考真題）已知函數，給出下列四個結論：①若，恰有2個零點；②存在負數，使得恰有1個零點；③存在負數，使得恰有3個零點；④存在正數，使得恰有3個零點．其中所有正確結論的序號是．【答案】①②④【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數形結合可判斷各選項的正誤.【詳解】對于①，當時，由，可得或，①正確；對于②，考查直線與曲線相切于點，對函數求導得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個零點，②正確；對于③，當直線過點時，，解得，所以，當時，直線與曲線有兩個交點，若函數有三個零點，則直線與曲線有兩個交點，直線與曲線有一個交點，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數有三個零點，③錯誤；對于④，考查直線與曲線相切于點，對函數求導得，由題意可得，解得，所以，當時，函數有三個零點，④正確.故答案為：①②④.【點睛】思路點睛：已知函數的零點或方程的根的情況，求解參數的取值范圍問題的本質都是研究函數的零點問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉化，即通過構造函數，把問題轉化成所構造函數的零點問題；（2）列式，即根據函數的零點存在定理或結合函數的圖象列出關系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數的取值范圍．4．（2018·江蘇·高考真題）若函數在內有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為．【答案】【分析】方法一：利用導數判斷函數在上的單調性，確定零點位置，求出參數,再根據函數在上的單調性確定函數最值，即可解出.【詳解】［方法一］：【通性通法】單調性法求導得，當時，函數在區(qū)間內單調遞增，且，所以函數在內無零點；當時，函數在區(qū)間內單調遞減，在區(qū)間內單調遞增．當時，；當時，．要使函數在區(qū)間內有且僅有一個零點，只需，解得．于是函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，，所以最大值與最小值之和為．故答案為：．［方法二］：等價轉化由條件知有唯一的正實根，于是．令，則，所以在區(qū)間內單調遞減，在區(qū)間內單調遞增，且，當時，；當時，．只需直線與的圖像有一個交點，故，下同方法一．［方法三］：【最優(yōu)解】三元基本不等式同方法二得，，當且僅當時取等號，要滿足條件只需，下同方法一．［方法四］：等價轉化由條件知有唯一的正實根，即方程有唯一的正實根，整理得，即函數與直線在第一象限內有唯一的交點．于是平移直線與曲線相切時，滿足題意，如圖．設切點，因為，于是，解得，下同方法一．【整體點評】方法一：利用導數得出函數在上的單調性，確定零點位置，求出參數，進而問題轉化為閉區(qū)間上的最值問題，從而解出，是該類型題的通性通法；方法二：利用等價轉化思想，函數在上有唯一零點轉化為兩函數圖象有唯一交點，從而求出參數，使問題得解；方法三：通過三元基本不等式確定取最值條件，從而求出參數，使問題得解，是該題的最優(yōu)解；方法四：將函數在上有唯一零點轉化為直線與曲線相切，從而求出參數，使問題得解．5．（2017·全國·高考真題）已知函數有唯一零點，則A． B． C． D．1【答案】C【詳解】因為，設，則，因為，所以函數為偶函數，若函數有唯一零點，則函數有唯一零點，根據偶函數的性質可知，只有當時，才滿足題意，即是函數的唯一零點，所以，解得.故選：C.【點睛】利用函數零點的情況求參數的值或取值范圍的方法：（1）利用零點存在性定理構建不等式求解.（2）分離參數后轉化為函數的值域(最值)問題求解.（3）轉化為兩個熟悉的函數圖像的上、下關系問題，從而構建不等式求解.6．（2015·陜西·高考真題）對二次函數（為非零整數），四位同學分別給出下列結論，其中有且僅有一個結論是錯誤的，則錯誤的結論是A．是的零點 B．1是的極值點C．3是的極值 D．點在曲線上【答案】A【詳解】若選項A錯誤時，選項B、C、D正確，，因為是的極值點，是的極值，所以，即，解得：，因為點在曲線上，所以，即，解得：，所以，，所以，因為，所以不是的零點，所以選項A錯誤，選項B、C、D正確，故選A．【考點定位】1、函數的零點；2、利用導數研究函數的極值．考點09利用導數研究方程的根及其應用1．（2024·全國甲卷·高考真題）曲線與在上有兩個不同的交點，則的取值范圍為．【答案】【分析】將函數轉化為方程，令，分離參數，構造新函數結合導數求得單調區(qū)間，畫出大致圖形數形結合即可求解.【詳解】令，即，令則，令得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，，因為曲線與在上有兩個不同的交點，所以等價于與有兩個交點，所以.故答案為：2．（2021·北京·高考真題）已知函數，給出下列四個結論：①若，恰有2個零點；②存在負數，使得恰有1個零點；③存在負數，使得恰有3個零點；④存在正數，使得恰有3個零點．其中所有正確結論的序號是．【答案】①②④【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數形結合可判斷各選項的正誤.【詳解】對于