2025屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專(zhuān)練09解析幾何學(xué)生版

熱點(diǎn)09解析幾何從新高考的考查狀況來(lái)看，解析幾何是高考必考內(nèi)容，考查重點(diǎn)：①直線與圓的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)問(wèn)題、切線問(wèn)題、圓與圓的位置關(guān)系；②橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，其中離心率與漸近線、通徑等是考試的熱點(diǎn)；③求曲線的軌跡方程，多在解答題第（1）問(wèn)中出現(xiàn)；④直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系，常與向量、圓、三角形等學(xué)問(wèn)綜合考查，多以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等偏上。主要考查考生數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理、轉(zhuǎn)化與化歸思想等核心素養(yǎng)。1、解析幾何中的弦長(zhǎng)問(wèn)題：（1）當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可干脆利用兩點(diǎn)間的距離公式求解；（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長(zhǎng).（3）當(dāng)弦過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長(zhǎng).2、解析幾何中的定值、定點(diǎn)問(wèn)題：定點(diǎn)、定值問(wèn)題多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等學(xué)問(wèn)交匯，形成了過(guò)定點(diǎn)、定值等問(wèn)題的證明.解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是引進(jìn)參變量表示所求問(wèn)題，依據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等找尋不受參數(shù)影響的量.3、解析幾何中的最值（范圍）問(wèn)題：1）處理圓錐曲線最值問(wèn)題的求解方法圓錐曲線中的最值問(wèn)題類(lèi)型較多，解法敏捷多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過(guò)利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.2）解決圓錐曲線中的取值范圍問(wèn)題應(yīng)考慮的五個(gè)方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍．(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系．(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．4、解析幾何中的軌跡方程問(wèn)題：1）干脆法求軌跡方程的應(yīng)用條件和步驟：若曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)意的條件是一些幾何量的等量關(guān)系，則可用干脆法，其一般步驟是：設(shè)點(diǎn)→列式→化簡(jiǎn)→檢驗(yàn)．2）定義法求軌跡方程的適用條件及關(guān)鍵點(diǎn)：求軌跡方程時(shí)，若動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線間的等量關(guān)系滿(mǎn)意圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可干脆依據(jù)定義先確定軌跡類(lèi)型，再寫(xiě)出其方程.留意：利用定義法求軌跡方程時(shí)，還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，假如不是完整的曲線，則應(yīng)對(duì)其中的變量x或y進(jìn)行限制．3）相關(guān)點(diǎn)法（代入法）求軌跡方程的四步驟：熱點(diǎn)1.求離心率（范圍）離心率在圓錐曲線問(wèn)題中有著重要應(yīng)用，它的改變會(huì)干脆導(dǎo)致曲線類(lèi)型和形態(tài)的改變，同時(shí)它又是圓錐曲線統(tǒng)肯定義中的三要素之一．有關(guān)求解圓錐曲線離心率的試題在歷年高考試卷中均有出現(xiàn)．關(guān)于圓錐曲線離心率（范圍）問(wèn)題處理的主體思想是：建立關(guān)于一個(gè)的方程（或不等式），然后再解方程或不等式，要留意的是建立的方程或不等式應(yīng)當(dāng)是齊次式．一般建立方程有兩種方法：eq\o\ac(○,1)利用圓錐曲線的定義解決；eq\o\ac(○,2)利用題中的幾何關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題。另外，不能忽視了圓錐曲線離心率的自身限制條件(橢圓、雙曲線離心率的取值范圍不一樣)，否則很簡(jiǎn)單產(chǎn)生增根或者擴(kuò)大所求離心率的取值范圍．熱點(diǎn)2.求軌跡方程應(yīng)用圓錐曲線的定義或由已知條件求曲線方程或軌跡方程是本節(jié)的命題熱點(diǎn)，題型以解答題為主，難度中等偏上，考查學(xué)問(wèn)點(diǎn)較多，實(shí)力要求較高．熱點(diǎn)3.直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問(wèn)題直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問(wèn)題（特殊是一些經(jīng)典問(wèn)題，如：定值與定點(diǎn)、最值與取值范圍、探究性問(wèn)題）始終是高考熱點(diǎn)問(wèn)題．經(jīng)常與向量、圓等學(xué)問(wèn)交匯在一起命題，多以解答題形式出現(xiàn)，難度較大．A卷（建議用時(shí)90分鐘）一、單選題1．（2024·福建·三模）如圖，拋物線型太陽(yáng)灶是利用太陽(yáng)能輻射，通過(guò)聚光獲得熱量進(jìn)行炊事烹飪食物的一種裝置.由于太陽(yáng)光基本上屬于平行光線，所以當(dāng)太陽(yáng)灶(旋轉(zhuǎn)拋物面)的主光軸指向太陽(yáng)的時(shí)候，平行的太陽(yáng)光線入射到旋轉(zhuǎn)拋物面表面，經(jīng)過(guò)反光材料的反射，這些反射光線都從它的焦點(diǎn)處通過(guò)，在這里形成太陽(yáng)光線的高密集區(qū)，拋物面的焦點(diǎn)就在它的主光軸上.現(xiàn)有一拋物線型太陽(yáng)灶，灶口直徑為，灶深為，則焦點(diǎn)到灶底(拋物線的頂點(diǎn))的距離為（）A． B． C． D．2．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知橢圓和雙曲線在軸上具有相同的焦點(diǎn)，，設(shè)雙曲線與橢圓的上半部分交于A，兩點(diǎn)，線段與雙曲線交于點(diǎn).若，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．3．（2024·河南·南陽(yáng)中學(xué)高三階段練習(xí)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn).我國(guó)首先研制勝利的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，如圖②，其方程為，為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后，滿(mǎn)意，，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．4．（2024·天津市試驗(yàn)中學(xué)濱海學(xué)校高三期中）“直線與相互垂直”是“”的（）A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．（2024·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)料）設(shè)直線與圓交于，兩點(diǎn)，若圓的圓心在線段上，且圓與圓相切，切點(diǎn)在圓的劣弧上，則圓的半徑的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2024·遼寧·模擬預(yù)料）已知點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)意：直線的斜率與直線的斜率之積為，則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．（2024·河南·鄭州市高三期中）已知拋物線，過(guò)內(nèi)一點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，的拋物線的兩條切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A． B． C． D．8．（2024·天津市第四十七中學(xué)高三期中）過(guò)原點(diǎn)的直線交雙曲線于于兩點(diǎn)，在第一象限，分別為的左?右焦點(diǎn)，連接交雙曲線右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．（2024·湖北武漢·高三期中）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且斜率為的直線與雙曲線在其次象限的交點(diǎn)為A，若，則此雙曲線的漸近線為（）A． B． C． D．二、多選題10．（2024·河北邯鄲·高三期末）已知A，B是拋物線上兩點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，拋物線上存在一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．若，則直線AB恒過(guò)定點(diǎn)C．若外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則該圓半徑為D．若，則直線AB的斜率為11．（2024·江蘇·南京市中華中學(xué)高三期中）已知曲線：，則（）A．時(shí)，則的焦點(diǎn)是，B．當(dāng)時(shí)，則的漸近線方程為C．當(dāng)表示雙曲線時(shí)，則的取值范圍為D．存在，使表示圓12．（2024·河北·衡水市冀州區(qū)第一中學(xué)高三期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在圓上，且圓上的全部點(diǎn)均在橢圓外，若的最小值為，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)恰與圓的直徑長(zhǎng)相等，則下列說(shuō)法正確的是（）A．橢圓的焦距為2B．橢圓的短軸長(zhǎng)為C．的最小值為D．過(guò)點(diǎn)的圓的切線斜率為13．（2024·江蘇徐州·高三期中）已知圓，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A．圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)B．直線與圓相交所得弦長(zhǎng)為C．的最大值為D．的最小值為三、填空題14．（2024·山東費(fèi)縣·高三期末）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______；經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則______．15．（2024·江蘇徐州·高三期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，若，則的最大值為_(kāi)_______．16．（2024·浙江省三門(mén)中學(xué)高三期中）設(shè)橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為?，是橢圓上一點(diǎn)，，，，則橢圓離心率的取值范圍為_(kāi)__________.17．（2024·湖北武漢·高三期中）已知橢圓的方程為，，為橢圓的左右焦點(diǎn)，P為橢圓上在第一象限的一點(diǎn)，I為的內(nèi)心，直線PI與x軸交于點(diǎn)Q，橢圓的離心率為，若，則的值為_(kāi)__________.18．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）P是雙曲線右支在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，，分別為其左、右焦點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，如圖圓C是的內(nèi)切圓，設(shè)圓與，分別切于點(diǎn)D，E，當(dāng)圓C的面積為時(shí)，直線的斜率為_(kāi)_____.四、解答題19．（2024·四川南充·一模））已知橢圓C：的離心率為，橢圓C的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，，且，過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，求△OMN的面積；（3）求證：直線與直線的交點(diǎn)T恒在一條定直線上．20．（2024·上海金山·一模）已知為橢圓C：內(nèi)肯定點(diǎn)，Q為直線l：上一動(dòng)點(diǎn)，直線PQ與橢圓C交于A?B兩點(diǎn)（點(diǎn)B位于P?Q兩點(diǎn)之間），O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）當(dāng)直線PQ的傾斜角為時(shí)，求直線OQ的斜率；（2）當(dāng)AOB的面積為時(shí)，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；（3）設(shè)，，試問(wèn)是否為定值？若是，懇求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（2024·江蘇連云港·高三期中）已知離心率為的橢圓與直線x+2y-4=0有且只有一個(gè)公共點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，-2）的動(dòng)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)O位于以AB為直徑的圓外時(shí)，求直線l斜率的取值范圍.22．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)料）已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在C上.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，為橢圓C的左，右焦點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若內(nèi)切圓的半徑為，求直線l的方程.23．（2024·北京市第三十五中學(xué)高三期中）已知橢圓．（1）若橢圓E的焦距為2，求實(shí)數(shù)a的值；（2）點(diǎn)A，B，C位于橢圓E上，且A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．若橢圓E上存在等邊，求a的取值范圍．24．（2024·浙江·臺(tái)州一中高三期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)位于第一象限），設(shè)點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)意，連接，.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；（2）記，的面積分別為，，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).B卷（建議用時(shí)90分鐘）一、單選題1．（2024·浙江·臺(tái)州一中高三期中）如圖，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線與圓在其次象限的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2．（2024·河北邯鄲·高三期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，A，B是雙曲線右支上兩點(diǎn)，且，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，的內(nèi)切圓圓心為，直線與線段交于點(diǎn)P，且，則雙曲線C的離心率為（）A．B．C．D．3．（2024·福建·福州三中模擬預(yù)料）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，實(shí)軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在的左支上，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，則當(dāng)取最小值時(shí)，該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．4．（2024·浙江·慈溪中學(xué)高三期中）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)．點(diǎn)滿(mǎn)意，且．若，則雙曲線的離心率是（）A． B． C．2 D．5．（2024·浙江·模擬預(yù)料）已知橢圓右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，該橢圓上一點(diǎn)與的連線的斜率，的中點(diǎn)為，記的斜率為，且滿(mǎn)意，若分別是軸?軸負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且四邊形的面積為2，則三角形面積的最大值是（）A． B． C． D．6．（2024·浙江·模擬預(yù)料）如圖，已知橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，，短軸端點(diǎn)為，，焦點(diǎn)為，.現(xiàn)將左邊半個(gè)橢圓沿短軸進(jìn)行翻折，則在翻折過(guò)程中（不共面），以下說(shuō)法不正確的是（）A．存在某個(gè)位置,使B．存在某個(gè)位置,使二面角的平面角為C．對(duì)隨意位置，都有平面D．異面直線與所成角的取值范圍是7．（2024·浙江·高二期中）已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q在圓O：上，PQ的垂直平分線交直線OQ于M點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線，則m的值可以是（）A．2 B．3 C．4 D．58．（2024·遼寧·凌源市試驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)且傾斜角為的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，，過(guò)兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，交于點(diǎn).下列說(shuō)法不正確的是（）A．B．(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為C．D．若是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為二、多選題9．（2024·江蘇·高三期中）設(shè)m∈R，直線與直線相交于點(diǎn)P（x，y），線段AB是圓C：的一條動(dòng)弦，Q為弦AB的中點(diǎn)，，下列說(shuō)法正確的是（）A．點(diǎn)P在定圓 B．點(diǎn)P在圓C外C．線段PQ長(zhǎng)的最大值為 D．的最小值為10．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，傾斜角為的直線過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，且，則（）A．雙曲線的離心率為 B．與內(nèi)切圓半徑比為C．與周長(zhǎng)之比為 D．與面積之比為11．（2024·山東省青島第十七中學(xué)高三期中）瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同始終線上，這條直線被后人稱(chēng)為三角形的“歐拉線”．若滿(mǎn)意，頂點(diǎn)、，且其“歐拉線”與圓相切，則下列結(jié)論正確的是（）A．圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為B．圓上存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為C．若點(diǎn)在圓上，則的最小值是D．若圓與圓有公共點(diǎn)，則12．（2024·江蘇·高三開(kāi)學(xué)考試）古希臘聞名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)覺(jué)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱(chēng)為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿(mǎn)意．設(shè)點(diǎn)的軌跡為，則（）．A．軌跡的方程為B．在軸上存在異于，的兩點(diǎn)，，使得C．當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的角平分線D．在上存在點(diǎn)，使得三、填空題13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)料）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，在拋物線：上，且直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則直線的斜率為_(kāi)__________；若直線在y軸上的截距為正數(shù)，則面積的最大值為_(kāi)__________.14．（2024·浙江省杭州其次中學(xué)高三期中）已知圓：與圓：相交于，兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____；若圓上存在點(diǎn)，使得為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______.15．（2024·浙江省杭州其次中學(xué)高三期中）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別是、，直線與雙曲線的左、右支分別交于P，Q（P，Q均在x軸上方）.若直線、的斜率為，且四邊形的面積為.則雙曲線的離心率為_(kāi)_______.16．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，斜率大于0的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)與的右支交于，兩點(diǎn)，若與的內(nèi)切圓面積之比為9，則直線的斜率為_(kāi)_____．17．（2024·河南·正陽(yáng)縣高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)料）已知，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn)，且，，則雙曲線的離心率為_(kāi)__________.四、解答題18．（2024·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)料）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，焦點(diǎn)分別為，．短軸端點(diǎn)分別為，，．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)線段的中點(diǎn)落在四邊