2025版新教材高中數(shù)學(xué)同步練習(xí)53兩角和與差的正弦余弦公式新人教A版必修第一冊

同步練習(xí)53兩角和與差的正弦、余弦公式必備學(xué)問基礎(chǔ)練一、選擇題(每小題5分，共45分)1．[2024·江蘇連云港高一期末]coseq\f(5π,12)＝()A．eq\f(\r(6)－\r(2),4)B．eq\f(\r(6)＋\r(2),4)C．eq\f(\r(3)＋\r(2),4)D．eq\f(\r(2)－\r(6),4)2．[2024·河南新鄉(xiāng)高一期末]sin25°cos20°＋sin65°cos70°＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(2),2)D．－eq\f(1,2)3.eq\f(2sin50°－cos20°,sin20°)＝()A．－1B．1C．－eq\r(3)D．eq\r(3)4．已知角θ的終邊經(jīng)過點P(eq\r(2)，－eq\r(7))，則cos(θ＋eq\f(π,3))＝()A．eq\f(\r(6)＋\r(7),6)B．eq\f(\r(6)－\r(7),6)C．eq\f(\r(2)－\r(21),6)D．eq\f(\r(2)＋\r(21),6)5．若cosαcosβ＝1，則sin(α＋β)＝()A．－1B．0C．1D．±16．[2024·山東萊陽一中高一期末]在△ABC中，cosA＝eq\f(3,5)且cosB＝eq\f(5,13)，則cosC＝()A．－eq\f(33,65)B．eq\f(33,65)C．－eq\f(63,65)D．eq\f(63,65)7．[2024·遼寧沈陽高一期末]已知α，β均為銳角，且sinα＝2sinβ，cosα＝eq\f(1,2)cosβ，則sin(α－β)＝()A．eq\f(3,5)B．eq\f(4,5)C．eq\f(2\r(2),3)D．eq\f(2,3)8．[2024·陜西西安高一期末](多選)下面各式化簡正確的是()A．cos80°cos20°＋sin80°sin20°＝cos60°B．cos45°cos30°－sin45°sin30°＝cos15°C．sin(α＋45°)sinα＋cos(α＋45°)cosα＝cos45°D．cos(α－eq\f(π,6))＝eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα9．[2024·黑龍江雙鴨山高一期末](多選)已知sin(α－β)·cosα－cos(α－β)sinα＝eq\f(3,5)，則cos(β＋eq\f(π,4))的可能值為()A．－eq\f(7\r(2),10)B．－eq\f(\r(2),10)C．eq\f(\r(2),10)D．eq\f(7\r(2),10)二、填空題(每小題5分，共15分)10．[2024·廣東廣州高一期末]已知sin(α－3π)＝eq\f(4,5)，且α是第三象限角，則sin(α＋eq\f(π,4))＝________.11.eq\f(cos12°－cos18°sin60°,sin18°)＝________.12．已知α∈(0，eq\f(π,2))，β∈(eq\f(π,2)，π)，sinα＝eq\f(3,5)，sinβ＝eq\f(12,13)，則sin(α－β)＝________.三、解答題(共20分)13．(10分)已知sinα＝－eq\f(3,5)，cosβ＝eq\f(5,13)，且α，β均為第四象限角，求下列各式的值：(1)cos(α＋β)；(2)sin(α－β).14．(10分)[2024·廣東東莞高一期末]已知α，β∈(0，eq\f(π,2))，cosα＝eq\f(3,5)，cosβ＝eq\f(5,13).(1)求eq\f(sin（\f(π,2)－α）＋cos（\f(3π,2)－α）,sin（3π＋α）＋cos（π－α）)的值；(2)求sin(α＋β)的值．關(guān)鍵實力提升練15．(5分)已知0<α<eq\f(π,2)<β<π，sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(4,5)，則sinβ的值為()A．eq\f(24,25)或0B．0C．eq\f(33,65)D．eq\f(24,25)[答題區(qū)]題號12345678915答案16.(5分)[2024·廣東廣州高一期末]若α∈(0，π)，且cos(α＋eq\f(π,3))＝eq\f(1,5)，則sinα＝________.17．(10分)在①tan(π＋α)＝3；②sin(π－α)－2sin(eq\f(π,2)－α)＝cos(－α)；③3sin(eq\f(π,2)＋α)＝cos(eq\f(3π,2)＋α)中任選一個條件，補充在下面問題中，并解決問題．已知0<β<α<eq\f(π,2)，________，cos(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5).(1)求sin(α－eq\f(π,4))的值；(2)求β的值．同步練習(xí)53兩角和與差的正弦、余弦公式必備學(xué)問基礎(chǔ)練1．答案：A解析：coseq\f(5π,12)＝cos(eq\f(π,6)＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).故選A.2．答案：C解析：由題sin25°cos20°＋sin65°cos70°＝sin25°cos20°＋cos25°sin20°＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).故選C.3．答案：D解析：eq\f(2sin50°－cos20°,sin20°)＝eq\f(2sin（20°＋30°）－cos20°,sin20°)＝eq\f(2sin20°cos30°＋2cos20°sin30°－cos20°,sin20°)＝eq\f(\r(3)sin20°＋cos20°－cos20°,sin20°)＝eq\f(\r(3)sin20°,sin20°)＝eq\r(3).故選D.4．答案：D解析：∵角θ的終邊經(jīng)過點P(eq\r(2)，－eq\r(7))，則P到原點距離為eq\r(（\r(2)）2＋（－\r(7)）2)＝3，∴cosθ＝eq\f(\r(2),3)，sinθ＝－eq\f(\r(7),3)，∴cos(θ＋eq\f(π,3))＝eq\f(1,2)cosθ－eq\f(\r(3),2)sinθ＝eq\f(\r(2)＋\r(21),6).故選D.5．答案：B解析：∵cosαcosβ＝1，∴cosα＝1，cosβ＝1或cosα＝－1，cosβ＝－1，∴sinα＝0，sinβ＝0，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝0.故選B.6．答案：B解析：∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴C＝π－(A＋B)，又cosA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，∴sinA＝eq\f(4,5)，sinB＝eq\f(12,13)，∴cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝(－eq\f(3,5))·eq\f(5,13)＋eq\f(4,5)·eq\f(12,13)＝eq\f(33,65).故選B.7．答案：A解析：因為sinα＝2sinβ，cosα＝eq\f(1,2)cosβ，所以sin2α＋cos2α＝4sin2β＋eq\f(1,4)cos2β＝1，則eq\f(15,4)sin2β＝eq\f(3,4)，又α，β均為銳角，所以sinβ＝eq\f(\r(5),5)，所以cosβ＝eq\f(2\r(5),5)，所以sinα＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(\r(5),5)，所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(3,5).故選A.8．答案：AC解析：cos80°cos20°＋sin80°sin20°＝cos(80°－20°)＝cos60°，A正確；cos45°cos30°－sin45°sin30°＝cos(45°＋30°)＝cos75°≠cos15°，B錯誤；sin(α＋45°)sinα＋cos(α＋45°)cosα＝cos(α＋45°)cosα＋sin(α＋45°)sinα＝cos[(α＋45°)－α]＝cos45°，C正確；cos(α－eq\f(π,6))＝cosαcoseq\f(π,6)＋sinαsineq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(1,2)sinα，D錯誤．故選AC.9．答案：BD解析：因為sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝eq\f(3,5)，所以sin(α－β－α)＝eq\f(3,5)?sin(－β)＝eq\f(3,5)?sinβ＝－eq\f(3,5)，所以當(dāng)β在第三象限時，有cosβ＝－eq\r(1－sin2β)＝－eq\r(1－\f(9,25))＝－eq\f(4,5)，所以cos(β＋eq\f(π,4))＝cosβcoseq\f(π,4)－sinβsineq\f(π,4)＝－eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(\r(2),10)；當(dāng)β在第四象限時，有cosβ＝eq\r(1－sin2β)＝eq\r(1－\f(9,25))＝eq\f(4,5)，所以cos(β＋eq\f(π,4))＝cosβcoseq\f(π,4)－sinβsineq\f(π,4)＝eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7\r(2),10).故選BD.10．答案：－eq\f(7\r(2),10)解析：因為sin(α－3π)＝－sinα＝eq\f(4,5)，所以sinα＝－eq\f(4,5)，又α是第三象限角，所以cosα＝－eq\f(3,5)，所以sin(α＋eq\f(π,4))＝－eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10).11．答案：eq\f(1,2)解析：eq\f(cos12°－cos18°sin60°,sin18°)＝eq\f(sin78°－cos18°sin60°,sin18°)＝eq\f(sin（18°＋60°）－cos18°sin60°,sin18°)＝eq\f(sin18°cos60°＋cos18°sin60°－cos18°sin60°,sin18°)＝eq\f(sin18°cos60°,sin18°)＝cos60°＝eq\f(1,2).12．答案：－eq\f(63,65)解析：∵α∈(0，eq\f(π,2))，β∈(eq\f(π,2)，π)，sinα＝eq\f(3,5)，sinβ＝eq\f(12,13)，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(4,5)，cosβ＝－eq\r(1－sin2β)＝－eq\f(5,13)，∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(3,5)×(－eq\f(5,13))－eq\f(4,5)×eq\f(12,13)＝－eq\f(63,65).13．解析：(1)因為α，β均為第四象限角，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(4,5)，sinβ＝－eq\r(1－cos2β)＝－eq\f(12,13)，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(4,5)×eq\f(5,13)－(－eq\f(3,5))×(－eq\f(12,13))＝eq\f(20,65)－eq\f(36,65)＝－eq\f(16,65).(2)由第一問知：cosα＝eq\f(4,5)，sinβ＝－eq\f(12,13)，所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝(－eq\f(3,5))×eq\f(5,13)－eq\f(4,5)×(－eq\f(12,13))＝－eq\f(15,65)＋eq\f(48,65)＝eq\f(33,65).14．解析：(1)因為cosα＝eq\f(3,5)，α∈(0，eq\f(π,2))，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4,5)，所以eq\f(sin（\f(π,2)－α）＋cos（\f(3π,2)－α）,sin（3π＋α）＋cos（π－α）)＝eq\f(cosα－sinα,－sinα－cosα)＝eq\f(\f(3,5)－\f(4,5),－\f(4,5)－\f(3,5))＝eq\f(1,7).(2)因為β∈(0，eq\f(π,2))，cosβ＝eq\f(5,13)，所以sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\f(12,13)，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＋eq\f(3,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(56,65).關(guān)鍵實力提升練15．答案：D解析：∵0<α<eq\f(π,2)<β<π，∴eq\f(π,2)<α＋β<eq\f(3π,2)，∵sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(4,5)，∴cosα＝eq\f(4,5)，sin(α＋β)＝±eq\f(3,5).則sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝eq\f(24,25)或0.∵eq\f(π,2)<β<π，∴sinβ＝eq\f(24,25).故選D.16．答案：eq\f(2\r(6)－\r(3),10)解析：因為α∈(0，π)，所以α＋eq\f(π,3)∈(eq\f(π,3)，eq\f(4π,3))，又cos(α＋eq\f(π,3))＝eq\f(1,5)>0，故α＋eq\f(π,3)∈(eq\f(π,3)，eq\f(π,2))，所以sin(α＋eq\f(π,3))＝eq\r(1－cos2（α＋\f(π,3)）)＝eq\f(2\r(6),5)，所以sinα＝sin[(α＋eq\f(π,3))－eq\f(π,3)]＝sin(α＋eq\f(π,3))coseq\f(π,3)－cos(α＋eq\f(π,3))sineq\f(π,3)＝eq\f(2\r(6),5)×eq\f(1,2)－eq\f(1,5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2\r(6)－\r(3),10).17．解析：(1)若選①，tan(π＋α)＝tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝3，又因為sin2α＋cos2α＝1，0<α<eq\f(π,2)，解得sinα＝eq\f(3\r(10),10)，cosα＝eq\f(\r(10),10)，所以sin(α－eq\f(π,4))＝sinαcoseq\f(π,4)－cosαsineq\f(π,4)＝eq\f(3\r(10),10)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(10),10)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(5),5).若選②，因為sin(π－α)－2sin(eq\f(π,2)－α)＝cos(－α)，化簡得sinα