第03講解一元二次方程-公式法和因式分解(知識解讀)(原卷版+解析)

第3講解一元二次方程-公式法和因式分解1.理解并掌握用因式分解法解一元二次方程；2.理解并掌握用因式分解法解一元二次方程；知識點1：解一元二次方程-公式法用公式法求一元二次方程的一般步驟：（1）把方程化成一般形式，（2）求出判別式知識點2：解一元二次方程-因式分解因式分解法解一元二次方程的一般步驟如下：（1）移項，使方程的右邊化為零；（2）將方程的左邊轉(zhuǎn)化為兩個一元一次多項式的乘積；（3）令每個因式分別為零；（4）兩個因式分別為零的解就都是原方程的解?！绢}型1解一元二次方程-公式法】【典例1】(2023秋?大田縣期中）用公式法解方程x2﹣2x＝3時，求根公式中的a，b，c的值分別是（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝3 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝﹣3 C．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3 D．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝﹣3【變式1-1】(2023秋?泉州期末）用求根公式解一元二次方程5x2﹣1﹣4x＝0時a，b，c的值是（）A．a(chǎn)＝5，b＝﹣1，c＝﹣4 B．a(chǎn)＝5，b＝﹣4，c＝1 C．a(chǎn)＝5，b＝﹣4，c＝﹣1 D．a(chǎn)＝5，b＝4，c＝1【變式1-2】(2023秋?梁山縣期末）用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8時，化方程為一般式，當(dāng)中的a，b，c依次為（）A．3，﹣4，8 B．3，4，8 C．3，4，﹣8 D．3，﹣4，﹣8【變式1-3】(2023秋?大田縣期中）用公式法解方程x2﹣2x＝3時，求根公式中的a，b，c的值分別是（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝3 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝﹣3 C．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3 D．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝﹣3【典例2】用公式法解下列方程：（1）2x2+5x﹣1＝0（2）6x（x+1）＝5x﹣1【變式2-1】(2023秋?船山區(qū)校級期末）用公式法解方程：2x2﹣1＝4x．【變式2-2】(2023秋?豐滿區(qū)校級期末）用公式法解方程：x2+2x﹣6＝0．【變式2-3】(2023秋?普寧市校級期中）用公式法解方程：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1）．【題型2解一元二次方程-因式分解法】【典例3】一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的根為（）A．x＝1 B．x＝5 C．x＝﹣1或x＝5 D．x＝1或x＝﹣5【變式3-1】(2023秋?花垣縣月考）一元二次方程（x﹣1）x＝0的解是（）A．0或﹣1 B．0或1 C．1 D．0【變式3-2】（2023?臨安區(qū)一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（）A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1【變式3-3】(2023秋?中山市期末）方程（x﹣3）（x+2）＝0的根是（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣2 B．x1＝﹣3，x2＝2 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝3，x2＝2【典例4】用因式分解法解下列方程．（1）x2﹣x﹣56＝0．（2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）．【變式4-1】(2023秋?潮陽區(qū)期末）用因式分解解方程：x（x﹣5）＝8（5﹣x）．【變式4-2】(2023春?義烏市月考）解方程：（1）x2+6x﹣7＝0；（2）（x﹣5）2＝8（x﹣5）．1．(2023?路北區(qū)校級一模）定義[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，則方程2[x]＝x2的解為（）A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或22．(2023?東營）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（）A．x1＝2+2，x2＝2﹣2 B．x1＝2+2，x2＝2﹣2 C．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 D．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣23．(2023?鼓樓區(qū)校級二模）一元二次方程3x﹣1﹣2x2＝0在用求根公式x＝求解時，a，b，c的值是（）A．3，﹣1，﹣2 B．﹣2，﹣1，3 C．﹣2，3，1 D．﹣2，3，﹣14．（2023?河北區(qū)一模）方程x2+7x+12＝0的兩個根為（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣4 B．x1＝﹣3，x2＝4 C．x1＝3，x2＝﹣4 D．x1＝3，x2＝45．（2023?林州市模擬）已知等腰△ABC的邊是方程x2﹣7x+10＝0的根，則△ABC的周長為（）A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或156．（2023?綏寧縣模擬）方程x2＝2023x的解是（）A．x＝2023 B．x＝﹣2023 C．x＝0或2023 D．x＝2023或﹣20237．（2023?泉州一模）一元二次方程x（x﹣3）＝x的解是（）A．x＝0 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝48．（2023?裕華區(qū)校級模擬）老師設(shè)計了一個接力游戲，用合作的方式解一元二次方程，規(guī)則是：每人只能看到前一人計算的結(jié)果，并進行一步計算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后得到方程的解．部分過程如圖所示，接力中，誰負(fù)責(zé)的一步開始出現(xiàn)錯誤（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁9．（2023?衡山縣二模）我們解一元二次方程（x﹣3）2﹣4（x﹣3）＝0時，可以運用因式分解法將此方程化為（x﹣3）（x﹣3﹣4）＝0．從而得到兩個一元一次方程：x﹣3＝0或x﹣7＝0．進而得到原方程的解為x1＝3，x2＝7．這種解法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）A．函數(shù)思想 B．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 C．轉(zhuǎn)化思想 D．公理化思想10．（2023?宜興市一模）方程x2﹣3x＝1的解是．11．（2023?碑林區(qū)校級三模）關(guān)于x的方程x2﹣x+＝9的解是．12．（2023?小店區(qū)校級模擬）用配方法解下列關(guān)于x的方程：（1）x2+12x+25＝0．（2）2x2+4x﹣1998＝0．13．（2023?三明模擬）解方程：x2+3x﹣1＝0．1．（2023?湘潭開學(xué)）用求根公式解一元二次方程3x2﹣2＝4x時a，b，c的值是（）A．a(chǎn)＝3，b＝﹣2，c＝4 B．a(chǎn)＝3，b＝﹣4，c＝2 C．a(chǎn)＝3，b＝﹣4，c＝﹣2 D．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝﹣22．(2023秋?船營區(qū)校級期末）一元二次方程x2﹣7x＝0的解是（）A．x1＝x2＝7 B．x1＝x2＝﹣7 C．x1＝0，x2＝7 D．x1＝0，x2＝﹣73．(2023秋?濱?？h期中）解方程x（x﹣2）+3（x﹣2）＝0，最適當(dāng)?shù)慕夥ㄊ牵ǎ〢．直接開平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法4．(2023秋?德城區(qū)期末）用公式法解方程2x2﹣1＝0，其中b2﹣4ac＝．5．(2023秋?大豐區(qū)期末）解下列方程（1）x2﹣6x﹣16＝0（配方法）；（2）（公式法）．6．(2023秋?長壽區(qū)期末）解下列方程：（1）x2﹣2x＝8x﹣9；（2）4x2+4x+9＝0．7．(2023秋?寧強縣期末）用公式法解方程：4x2+x﹣3＝0．8．(2023秋?秦都區(qū)期末）用公式法解方程：2x2﹣x﹣5＝0．9．(2023秋?鐵東區(qū)期中）解方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）2x2+5x+3＝0．10．(2023秋?普寧市校級期中）用公式法解方程：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1）．第3講解一元二次方程-公式法和因式分解1.理解并掌握用因式分解法解一元二次方程；2.理解并掌握用因式分解法解一元二次方程；知識點1：解一元二次方程-公式法用公式法求一元二次方程的一般步驟：（1）把方程化成一般形式，（2）求出判別式知識點2：解一元二次方程-因式分解因式分解法解一元二次方程的一般步驟如下：（1）移項，使方程的右邊化為零；（2）將方程的左邊轉(zhuǎn)化為兩個一元一次多項式的乘積；（3）令每個因式分別為零；（4）兩個因式分別為零的解就都是原方程的解?！绢}型1解一元二次方程-公式法】【典例1】(2023秋?大田縣期中）用公式法解方程x2﹣2x＝3時，求根公式中的a，b，c的值分別是（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝3 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝﹣3 C．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3 D．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝﹣3答案:D【解答】解：x2﹣2x＝3，x2﹣2x﹣3＝0，∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，故選：D．【變式1-1】(2023秋?泉州期末）用求根公式解一元二次方程5x2﹣1﹣4x＝0時a，b，c的值是（）A．a(chǎn)＝5，b＝﹣1，c＝﹣4 B．a(chǎn)＝5，b＝﹣4，c＝1 C．a(chǎn)＝5，b＝﹣4，c＝﹣1 D．a(chǎn)＝5，b＝4，c＝1答案:C【解答】解：∵5x2﹣1﹣4x＝0，∴5x2﹣4x﹣1＝0，則a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，故選：C．【變式1-2】(2023秋?梁山縣期末）用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8時，化方程為一般式，當(dāng)中的a，b，c依次為（）A．3，﹣4，8 B．3，4，8 C．3，4，﹣8 D．3，﹣4，﹣8答案:D【解答】解：∵3x2﹣4x＝8，∴3x2﹣4x﹣8＝0，則a＝3，b＝﹣4，c＝﹣8．故選：D．【變式1-3】(2023秋?大田縣期中）用公式法解方程x2﹣2x＝3時，求根公式中的a，b，c的值分別是（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝3 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝﹣3 C．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3 D．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝﹣3答案:D【解答】解：x2﹣2x＝3，x2﹣2x﹣3＝0，∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，故選：D．【典例2】用公式法解下列方程：（1）2x2+5x﹣1＝0（2）6x（x+1）＝5x﹣1答案:（1）x1＝，x2＝（2）沒有實數(shù)解【解答】解：（1）2x2+5x﹣1＝0，∵a＝2，b＝5，c＝﹣1，∴Δ＝52﹣4×2×（﹣1）＝33＞0，∴x＝＝，所以x1＝，x2＝；（2）6x（x+1）＝5x﹣1，整理得6x2+x+1＝0，∵a＝6，b＝1，c＝1，∴Δ＝12﹣4×6×1＝﹣23＜0，方程沒有實數(shù)解．【變式2-1】(2023秋?船山區(qū)校級期末）用公式法解方程：2x2﹣1＝4x．答案:．【解答】解：整理，得：2x2﹣4x﹣1＝0，∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，∴，∴．【變式2-2】(2023秋?豐滿區(qū)校級期末）用公式法解方程：x2+2x﹣6＝0．【解答】解：這里a＝1，b＝2，c＝﹣6，∵Δ＝22﹣4×1×（﹣6）＝28＞0，∴x＝＝﹣1±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．【變式2-3】(2023秋?普寧市校級期中）用公式法解方程：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1）．【解答】解：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1），化簡為x2﹣6x+1＝0，∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4＝32＞0，∴，∴，．【題型2解一元二次方程-因式分解法】【典例3】一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的根為（）A．x＝1 B．x＝5 C．x＝﹣1或x＝5 D．x＝1或x＝﹣5答案:C【解答】解：x2﹣4x﹣5＝0，（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0或x+1＝0，x1＝5，x2＝﹣1，故選：C【變式3-1】(2023秋?花垣縣月考）一元二次方程（x﹣1）x＝0的解是（）A．0或﹣1 B．0或1 C．1 D．0答案:B【解答】解：∵（x﹣1）x＝0，∴x﹣1＝0或x＝0，則x＝1或x＝0，故選：B．【變式3-2】（2023?臨安區(qū)一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（）A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1答案:B【解答】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0，x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，所以x1＝2，x2＝﹣2．故選：B．【變式3-3】(2023秋?中山市期末）方程（x﹣3）（x+2）＝0的根是（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣2 B．x1＝﹣3，x2＝2 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝3，x2＝2答案:C【解答】解：∵（x﹣3）（x+2）＝0，∴x﹣3＝0或x+2＝0，解得x1＝3，x2＝﹣2，故選：C【典例4】用因式分解法解下列方程．（1）x2﹣x﹣56＝0．（2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）．【解答】解：（1）x2﹣x﹣56＝0，∴（x﹣8）（x+7）＝0，∴x﹣8＝0或x+7＝0，∴x1＝8；x2＝﹣7；（2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2），移項，得3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（3x﹣2）＝0，∴x﹣2＝0或3x﹣2＝0，∴x1＝2；x2＝．【變式4-1】(2023秋?潮陽區(qū)期末）用因式分解解方程：x（x﹣5）＝8（5﹣x）．【解答】解：移項得，x（x﹣5）﹣8（5﹣x）＝0，提取公因式得，（x﹣5）（x+8）＝0．故x+8＝0或x﹣5＝0，解得x1＝﹣8，x2＝5．【變式4-2】(2023春?義烏市月考）解方程：（1）x2+6x﹣7＝0；（2）（x﹣5）2＝8（x﹣5）．答案:（1）x1＝1，x2＝﹣7（2）x1＝5，x2＝13．【解答】解：（1）x2+6x﹣7＝0，分解因式得：（x﹣1）（x+7）＝0，所以x﹣1＝0或x+7＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣7；（2）（x﹣5）2＝8（x﹣5），移項得：（x﹣5）2﹣8（x﹣5）＝0，分解因式得：（x﹣5）[（x﹣5）﹣8]＝0，所以x﹣5＝0或x﹣13＝0，解得：x1＝5，x2＝131．(2023?路北區(qū)校級一模）定義[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，則方程2[x]＝x2的解為（）A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2答案:D【解答】解：∵x2≥0，∴x≥0，①0≤x＜1時，x2＝0，解得x＝0；②1≤x＜2時，x2＝2，解得x＝或x＝﹣（舍）；③2≤x＜3時，x2＝4，解得x＝2或x＝﹣2（舍）；④x≥3時，方程無解；綜上所述：方程的解為x＝0或x＝2或x＝，故選：D．2．(2023?東營）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（）A．x1＝2+2，x2＝2﹣2 B．x1＝2+2，x2＝2﹣2 C．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 D．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2答案:D【解答】解：∵a＝1，b＝4，c＝﹣8，∴Δ＝42﹣4×1×（﹣8）＝48＞0，則x＝＝＝﹣2±2，∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2，故選：D．3．(2023?鼓樓區(qū)校級二模）一元二次方程3x﹣1﹣2x2＝0在用求根公式x＝求解時，a，b，c的值是（）A．3，﹣1，﹣2 B．﹣2，﹣1，3 C．﹣2，3，1 D．﹣2，3，﹣1答案:D【解答】解：∵3x﹣1﹣2x2＝0，∴﹣2x2+3x﹣1＝0，則a＝﹣2，b＝3，c＝﹣1，故選：D．4．（2023?河北區(qū)一模）方程x2+7x+12＝0的兩個根為（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣4 B．x1＝﹣3，x2＝4 C．x1＝3，x2＝﹣4 D．x1＝3，x2＝4答案:A【解答】解：x2+7x+12＝0，（x+3）（x+4）＝0，x+3＝0或x+4＝0，所以x1＝﹣3，x2＝﹣4．故選：A．5．（2023?林州市模擬）已知等腰△ABC的邊是方程x2﹣7x+10＝0的根，則△ABC的周長為（）A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15答案:D【解答】解：x2﹣7x+10＝0，（x﹣5）（x﹣2）＝0，x﹣5＝0或x﹣2＝0，所以x1＝5，x2＝2，當(dāng)?shù)妊鰽BC的邊長分別為5、5、2時，△ABC的周長為5+5+2＝12；當(dāng)?shù)妊鰽BC的邊長分別為5、5、5時，△ABC的周長為5+5+5＝15；當(dāng)?shù)妊鰽BC的邊長分別為2、2、2時，△ABC的周長為2+2+2＝6，綜上所述，△ABC的周長為6或12或15．故選：D．6．（2023?綏寧縣模擬）方程x2＝2023x的解是（）A．x＝2023 B．x＝﹣2023 C．x＝0或2023 D．x＝2023或﹣2023答案:C【解答】解：∵x2＝2023x，∴x2﹣2023x＝0，∴x（x﹣2023）＝0，∴x＝0或2023．故選：C．7．（2023?泉州一模）一元二次方程x（x﹣3）＝x的解是（）A．x＝0 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝4答案:D【解答】解：x（x﹣3）＝x，x（x﹣3）﹣x＝0，x（x﹣3﹣1）＝0，x＝0或x﹣3﹣1＝0，所以x1＝0，x2＝4．故選：D．8．（2023?裕華區(qū)校級模擬）老師設(shè)計了一個接力游戲，用合作的方式解一元二次方程，規(guī)則是：每人只能看到前一人計算的結(jié)果，并進行一步計算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后得到方程的解．部分過程如圖所示，接力中，誰負(fù)責(zé)的一步開始出現(xiàn)錯誤（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁答案:A【解答】解：甲在解方程時，方程兩邊同除（2x﹣1），導(dǎo)致少了一個解，所以從甲開始就錯了．正確的解法為：移項得（2x﹣1）2﹣3（2x﹣1）＝0，分解因式得（2x﹣1）（2x﹣1﹣3）＝0，解之得或x＝2，故選：A．9．（2023?衡山縣二模）我們解一元二次方程（x﹣3）2﹣4（x﹣3）＝0時，可以運用因式分解法將此方程化為（x﹣3）（x﹣3﹣4）＝0．從而得到兩個一元一次方程：x﹣3＝0或x﹣7＝0．進而得到原方程的解為x1＝3，x2＝7．這種解法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）A．函數(shù)思想 B．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 C．轉(zhuǎn)化思想 D．公理化思想答案:C【解答】解：我們解一元二次方程（x﹣3）2﹣4（x﹣3）＝0時，可以運用因式分解法將此方程化為（x﹣3）（x﹣3﹣4）＝0．從而得到兩個一元一次方程：x﹣3＝0或x﹣7＝0．進而得到原方程的解為x1＝3，x2＝7．這種解法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，故選：C10．（2023?宜興市一模）方程x2﹣3x＝1的解是．答案:x1＝，x2＝．【解答】解：方程化為一般式為x2﹣3x﹣1＝0，a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，x＝＝，所以x1＝，x2＝．故答案為：x1＝，x2＝．11．（2023?碑林區(qū)校級三模）關(guān)于x的方程x2﹣x+＝9的解是．答案:x1＝，x2＝﹣．【解答】解：x2﹣x+＝9，x2﹣x﹣＝0，Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣）＝36＞0，x＝＝，所以x1＝，x2＝﹣．故答案為：x1＝，x2＝﹣．12．（2023?小店區(qū)校級模擬）用配方法解下列關(guān)于x的方程：（1）x2+12x+25＝0．（2）2x2+4x﹣1998＝0．答案:（1），；（2），．【解答】解：（1）x2+12x+25＝0，x2+12x＝﹣25，x2+12x+36＝﹣25+36，（x+6）2＝11，x+6＝±，x+6＝或x+6＝﹣，，；（2）2x2+4x﹣1998＝0，x2+2x﹣999＝0，x2+2x＝999，x2+2x+1＝999+1，（x+1）2＝1000，x+1＝±10，x+1＝10或x+1＝﹣10，，．13．（2023?三明模擬）解方程：x2+3x﹣1＝0．答案:見試題解答內(nèi)容【解答】解：這里a＝1，b＝3，c＝﹣1，∵△＝9+4＝13＞0，∴x＝，則x1＝，x2＝．1．（2023?湘潭開學(xué)）用求根公式解一元二次方程3x2﹣2＝4x時a，b，c的值是（）A．a(chǎn)＝3，b＝﹣2，c＝4 B．a(chǎn)＝3，b＝﹣4，c＝2 C．a(chǎn)＝3，b＝﹣4，c＝﹣2 D．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝﹣2答案:C【解答】解：∵3x2﹣2＝4x，∴3x2﹣4x﹣2＝0，∴a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2，故選：C．2．(2023秋?船營區(qū)校級期末）一元二次方程x2﹣7x＝0的解是（）A．x1＝x2＝7 B．x1＝x2＝﹣7 C．x1＝0，x2＝7 D．x1＝0，x2＝﹣7答案:C【解答】解：x2﹣7x＝0，x（x﹣7）＝0，∴x＝0或x﹣7＝0，解得x1＝0，x2＝7，故選：C．3．(2023秋?濱?？h期中）解方程x（x﹣2）+3（x﹣2）＝0，最適當(dāng)?shù)慕夥ㄊ牵ǎ〢．直接開平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法答案:B【解答】解：由于方程左邊能夠提取公因式分解因式，所以，解方程x（x﹣2）+3（x﹣2）＝0，最適當(dāng)?shù)慕夥ㄊ且蚴椒纸夥?，故選：B．4．(2023秋?