初中數(shù)學(xué)閱讀理解-含答案

2021-2022學(xué)年度初中數(shù)學(xué)閱讀理解專(zhuān)題

1.對(duì)于任意一個(gè)自然數(shù)M將其各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字相加得到一個(gè)數(shù)，我們把這一過(guò)程稱(chēng)為一次操作，把

這個(gè)得到的數(shù)進(jìn)行同樣的操作，不斷進(jìn)行下去，最終會(huì)得到一個(gè)一位數(shù)K,我們把N稱(chēng)作“K的友誼數(shù)”.例

如：346T3+4+6=13-1+3=4,所以346是“4的友誼數(shù)”.

（1）請(qǐng)分別判斷1357和859是否是“4的友誼數(shù)”，并說(shuō)明理由;

（2）若一個(gè)三位自然數(shù)M=100a+108+8（l<a<9,1<ZT<9,a,人均為整數(shù)）是“4的友誼數(shù)”，且滿足a-

b+3能被7整除，請(qǐng)求出所有符合條件的三位自然數(shù)M.

2.若一個(gè)正整數(shù)，它的各位數(shù)字是左右對(duì)稱(chēng)的，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)是對(duì)稱(chēng)數(shù).如22是兩位對(duì)稱(chēng)數(shù)，797是三位

對(duì)稱(chēng)數(shù)，12321是五位對(duì)稱(chēng)數(shù)…，最小的對(duì)稱(chēng)數(shù)是11,但沒(méi)有最大的對(duì)稱(chēng)數(shù)，因?yàn)閿?shù)位是無(wú)窮的.

（1）直接寫(xiě)出：最小的四位對(duì)稱(chēng)數(shù)與最大的兩位對(duì)稱(chēng)數(shù)的和為.

（2）若將任意一個(gè)四位對(duì)稱(chēng)數(shù)分解為前兩位數(shù)表示的數(shù)和后兩位數(shù)表示的數(shù)，請(qǐng)你證明：這兩個(gè)數(shù)的差

一定能被9整除；

（3）設(shè)一個(gè)三位對(duì)稱(chēng)數(shù)為而（a+匕<10）,該對(duì)稱(chēng)數(shù)與11相乘后得到一個(gè)四位數(shù)，該四位數(shù)前兩位所表

示的數(shù)和后兩位所表示的數(shù)相等,且該四位數(shù)各位數(shù)字之和是3的整數(shù)倍，求所有滿足條件的三位對(duì)稱(chēng)數(shù).

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3.閱讀理解:

把兩個(gè)相同的數(shù)連接在一起就得到一個(gè)新數(shù)，我們把它稱(chēng)為“連接數(shù)”，例如：234234,3939…等，都是連

接數(shù)，其中，234234稱(chēng)為六位連接數(shù)，3939稱(chēng)為四位連接數(shù).

(1)請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)六位連接數(shù),它(填“能”或“不能”)被13整除.

(2)是否任意六位連接數(shù)，都能被13整除，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)若一個(gè)四位連接數(shù)記為它的各位數(shù)字之和的3倍記為N,的結(jié)果能被13整除，這樣的四位連

接數(shù)有幾個(gè)？并說(shuō)明理由.

4.一個(gè)自然數(shù)能分解成其中4,B均為兩位數(shù)，A的十位數(shù)字比B的十位數(shù)字大1,且A,B的個(gè)

位數(shù)字之和為10,則稱(chēng)這個(gè)自然數(shù)為“分解數(shù)

例如：?.?4819=79x61,7比6大1,1+9=10,二4819是“分解數(shù)”；

又如：V1496=44x34,4比3大1,4+4*10,工1496不是“分解數(shù)”.

(1)判斷325,851是否是“分解數(shù)”，并說(shuō)明理由;

(2)自然數(shù)M=AxB為“分解數(shù)”，若A的十位數(shù)字與8的個(gè)位數(shù)字的和為P(M),A的個(gè)位數(shù)字與B的十

位數(shù)字的和尸(加)，令G(M)=/器，當(dāng)G(M)為整數(shù)時(shí)，則稱(chēng)M為“整分解數(shù)”.若B的十位數(shù)字能被

2整除，求所有滿足條件的“整分解數(shù)”M.

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5.對(duì)任意一個(gè)四位數(shù)如若皿滿足各數(shù)位上的數(shù)字都不為0,且千位與百位上的數(shù)字不相等，十位與個(gè)位

上的數(shù)字不相等，那么稱(chēng)這個(gè)數(shù)為數(shù)”，將一個(gè)“M數(shù)”機(jī)的任意一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字去掉后可以得到四個(gè)

新三位數(shù)，把這四個(gè)新三位數(shù)的和與3的商記為F(加).例如，“M數(shù)”加=1234,去掉千位上的數(shù)字得到

234,去掉百位上的數(shù)字得到134,去掉十位上的數(shù)字得到124,去掉個(gè)位上的數(shù)字得到123,這四個(gè)新三

位數(shù)的和為234+134+124+123=615,615+3=205,所以尸(1234)=205.

⑴計(jì)算：尸(1213),尸(8567)；

(2)若數(shù)"〃=8900+10x+y(l<x<9,l<y<9,x,y都是正整數(shù))，尸(〃)也是數(shù)”，且尸(〃)能被8

整除.求尸［尸(〃)］的值.

6.對(duì)于任意一個(gè)四位數(shù)N,如果N滿足各個(gè)位上的數(shù)字互不相同，且個(gè)位數(shù)字不為0,N的百位上的數(shù)

字與十位上的數(shù)字之差是千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之差的2倍，則稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)N為“雙減數(shù)”.對(duì)于

一個(gè)“雙減數(shù)”N=旃，將它的千位和百位構(gòu)成的兩位數(shù)為瓦，個(gè)位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)為五，規(guī)定：

尸(N)=或薩.例如：N=7028.因?yàn)?x(7-8)=0-2,故7028是一個(gè)“雙減數(shù)”,則F(7028)=與2=-1,

(1)判斷9527,6713是否是“雙減數(shù)”，并說(shuō)明理由，如果是，并求出F(N)的值；

(2)若自然數(shù)A為“雙減數(shù)”，尸(A)是3的倍數(shù)，且A各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被13整除，求A的值.

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7.對(duì)任意一個(gè)四位正整數(shù)加，如果〃，的百位數(shù)字等于個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和，〃，的千位數(shù)字等于十位

數(shù)字的2倍與個(gè)位數(shù)字之和，那么稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“筋斗數(shù)”.例如：〃?=5321,滿足1+2=3,2x2+l=5所

以5321是“筋斗數(shù)”.例如：%=8523,滿足2+3=5,但2x2+3=7/8所以8523不是“筋斗數(shù)”.

⑴判斷5413和9582是不是“筋斗數(shù)”，并說(shuō)明理由；

(2)若"是“筋斗數(shù)”，且加與25的和能被11整除，求滿足條件的所有“筋斗數(shù)”.

8.在數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們總會(huì)對(duì)其中一些具有某種特性的數(shù)充滿好奇，如學(xué)習(xí)自然數(shù)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)一

種特殊的自然數(shù)——“博雅數(shù)

定義：對(duì)于三位自然數(shù)M各位數(shù)字都不為0,且它的百位數(shù)字的2倍與十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字之和恰好能

被7整除，則稱(chēng)這個(gè)自然數(shù)N為“博雅數(shù)”.例如：415是“博雅數(shù)”，因?yàn)?,1,5都不為0,且4x2+1

+5=14,14能被7整除；412不是“博雅數(shù)”,因?yàn)?x2+1+2=11,11不能被7整除.

⑴判斷513,427是否是“博雅數(shù)”?并說(shuō)明理由：

(2)求出百位數(shù)字比十位數(shù)字大6的所有“博雅數(shù)”的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

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參考答案：

1.(1)1357不是4的“友誼數(shù)”，859是4的“友誼數(shù)”,理由見(jiàn)解析；(2)148或958

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)“友誼數(shù)”的定義即可判斷；

(2)先由M是“4的友誼數(shù)”得出。和b的關(guān)系式，再由a-H3能被7整除得出。和匕所有

可能的結(jié)果，即可得出答案.

【詳解】

解：⑴V1+3+5+7=16,1+6=7,

.*.1357不是4的“友誼數(shù)”，

8+5+9=22,2+2=4,

.?.859是4的“友誼數(shù)”；

(2)100a+10b+8是“4的友誼數(shù)”，

又?；1土區(qū)9,1W區(qū)9,

/.10<a+/>+8<26,

在10到26之間是“4的友誼數(shù)”的有13,22,

.?.“+人+8=13或22,

①若“+6+8=13,則a—5-b,

'.a-6+3=5-b-6+3=8-2b,

'：l<b<9,

：,-10<8-2b<6,

在-10到6之間能被7整除的有-7,0,

/.8-2b=-7或0,

：.b=7.5(舍)或匕=4,

".a=5-4=1,

，M=148,

②若a+b+8=22,則a=14-6,

：.a-6+3=14-b-b+3=17-2b,

■：l<b<9,

：.-1<17-2后15,

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在-1到15之間能被7整除的有0,7,14,

二17-26=0或7或14,

???6=8.5(舍)或匕=5或6=1.5(舍)，

'.a=14-5=9,

，M=958,

綜上歷的值為148或958.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是新定義運(yùn)算，同時(shí)考查二元一次方程的正整數(shù)解，不等式的基本性質(zhì)，解本題

的關(guān)鍵是由M是“4的友誼數(shù)”得出〃和b的關(guān)系式.

2.(1)1100；(2)見(jiàn)詳解；(3)303或606或909

【解析】

【分析】

(1)直接寫(xiě)出最小的四位對(duì)稱(chēng)數(shù)與最大的兩位對(duì)稱(chēng)數(shù)，即可求解；

(2)設(shè)四位對(duì)稱(chēng)數(shù)分解為前兩位數(shù)所表示的數(shù)為：10“+b,和后兩位數(shù)所表示的數(shù)為10/7

+“，用“、b的代數(shù)式表示這兩個(gè)數(shù)的差即可解決問(wèn)題；

(3)設(shè)這個(gè)三位對(duì)稱(chēng)數(shù)為：100a+106+a,則11(100a+10b+a)=1000?+100(a+b)

+10(a+b)+小根據(jù)。+匕＜10,該四位數(shù)各位數(shù)字之和是3的整數(shù)倍，該四位數(shù)前兩位

所表示的數(shù)和后兩位所表示的數(shù)相等，列出方程即可解決問(wèn)題.

【詳解】

解：(1)???最小的四位對(duì)稱(chēng)數(shù)與最大的兩位對(duì)稱(chēng)數(shù)分別是：1001和99,

-?.1001+99=1100,

故答案是：1100;

(2)設(shè)四位對(duì)稱(chēng)數(shù)分解為前兩位數(shù)所表示的數(shù)為：10“+4

和后兩位數(shù)所表示的數(shù)為10匕+”,

由題意(10a+/?)-(10/?+a)=9?-%=9(a-b),

?.%、6為整數(shù)，

A(a-b)是整數(shù)，

.?.9(a-b)一定能被9整除，

.?.這兩個(gè)數(shù)的差一定能被9整除；

(3)設(shè)這個(gè)三位對(duì)稱(chēng)數(shù)為：100“+10b+a,

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則11(100a+10/?+a)=1000a+100(a+6)+10(a+b)+a,

'：a+b<\0,該四位數(shù)各位數(shù)字之和是3的整數(shù)倍，該四位數(shù)前兩位所表示的數(shù)和后兩位所

表示的數(shù)相等，

.,.4a+2b=3k(%為整數(shù))，10a+a+h=10(a+h)+a,

；.b=0,

為整數(shù),且1W把9,

.'.a—3,6=0或a=6,6=0或a=9,b=0,

故這個(gè)三位對(duì)稱(chēng)數(shù)是303或606或909.

【點(diǎn)睛】

本題考查因式分解的應(yīng)用、數(shù)字問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)

題，屬于中考創(chuàng)新題目.

3.(1)123123,能

(2)任意六位連接數(shù)都能被13整除，理由見(jiàn)解析

(3)滿足條件的四位連接數(shù)的3131,2525,6262,9393,8787,5656,1919共7個(gè)，理由見(jiàn)

解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)六位連接數(shù)的定義可知123123為六位連接數(shù)，再將123123進(jìn)行因數(shù)分解，判斷

得出它能被13整除；

(2)設(shè)人而為六位連接數(shù)，將友赤進(jìn)行因數(shù)分解，判斷得出它能被13整除；

(3)設(shè)冷，移為四位連接數(shù)，用含x、y的代數(shù)式表示M與N,再計(jì)算M-N,然后將上?

表示為77x+7y+\詈,根據(jù)M-N的結(jié)果能被13整除以及“與N都是1?9之間的整數(shù)，

求得x與y的值，即可求解.

(1)

(1)123123為六位連接數(shù)：

V123123=123x1001=123x13x77,

A123123能被13整除;

(2)

任意六位連接數(shù)都能被13整除，理由如下：

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設(shè)McHc為六位連接數(shù).

,**abcabc-abcx1001=ahcx13x77,

abcabc能被13整除;

(3)

設(shè)X)呼為四位連接數(shù)，則M=1000x+100y+10x+y=1010%+101y,N=3(I+y+x+y)=6x+6y,

/.M-N=(lOlOx+lOly)-(6x+6y)=1004x+95y,

.M-N1004x4-95y”3x+4y

??---------=----------------=77x+7y+----------.

1313」13

IM-N的結(jié)果能被13整除,

二筆里是整數(shù).

Vl<x<9,0<><9,x,y都是整數(shù)，

，3x+4y取值范圍大于3小于63,

能被13整除的數(shù)有13,26,39,52,

；.x=l,y=9；戶2,尸5；戶3,y=l；x=8,y=7；x=9,產(chǎn)3；45,)=6；x=6,)=2；

滿足條件的四位連接數(shù)的3131,2525,6262,9393,8787,5656,1919共7個(gè).

【點(diǎn)睛】

本題考查了因式分解的應(yīng)用，整式的運(yùn)算，理解“連接數(shù)”的定義是解題的關(guān)鍵.

4.(1)325不是“分解數(shù)”，851是“分解數(shù)”，理由見(jiàn)解析

⑵899,891,8099

【解析】

【分析】

(1)325=25x13,851=37x23,根據(jù)定義進(jìn)行求解判斷即可；

(2)令8=10x+y,A=10(x+l)+10-y,(l<x<8,1<>-<9,且方y(tǒng)為整數(shù))，可得

P(M)=x+y+\,F(m)=x-y+］0,G(M)=；；：［：,由］為整數(shù)，可知x=2,4,6,8,

然后分情況，求出符合題意的的值，計(jì)算加即可.

(1)

解:V325=25x13,2比1大1,5+3工10,二325不是“分解數(shù)”;

V851=37x23,3比2大1,7+3=10,二851是“分解數(shù)”.

⑵

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解：令3=10x+y,A=10（x+l）+10-y,（l<x<8,14y49,且x,y為整數(shù)）

VP（M）=x+y+l,F（M）=x-y+lO

x+y+1

；.G(M)=

x-y+10

「I■為整數(shù)

x=2,4,6,8

當(dāng)x=2時(shí)，G（M）=±W=T+」^為整數(shù)

-y+12-y+12

???-y+12的值為3或5

，解得)=9或7

JM】=31x29=899

M2=33x27=891

???x=4或x=6時(shí)，不存在G(M)為整數(shù)

.??舍去

v+9?7

當(dāng)x=8時(shí)，G=-1+——q為整數(shù)

-y+18-y+18

.?.一》+18=9

，解得尸9

.?.M3=91x89=8099

綜上所述，M的值為899,891,8099.

【點(diǎn)睛】

本題考查了新定義下的是實(shí)數(shù)運(yùn)算.解題的關(guān)鍵與難點(diǎn)在于理解題意并根據(jù)要求進(jìn)行求解.

5.(1)190,1049.

(2)195或198.

【解析】

【分析】

(1)直接根據(jù)閱讀部分提供的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可；

⑵先求解尸(")=1160+7x+y,結(jié)合尸(〃)能被8整除，可得7x+y能夠被8整除，而

14x49,14y49,x,y都是正整數(shù)，再分類(lèi)討論即可.

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(1)

解：F(1213)=(213+l13+123+⑵)+3=19O,

下(8567)=(567+867+857+856)+3=1049.

(2)

解：數(shù)””=8900+I0x+y(14x49,1<^<9,尤，y者［5是正整數(shù))，

歹(")=(900+10尤+^+800+1(卜+了+890+y+890+%)+3

=1160+7x+y,

???/(〃)能被8整除，

，7x+y能夠被8整除，而l?x<9,14y49,x,y都是正整數(shù)，xwy,

當(dāng)x=l,y=9,F(〃)=l160+7+9=1176,

此時(shí)尸［/(〃)］=/(1176)=(176+176+116+117)+3=195,

當(dāng)x=9,y=l,F(〃)=1160+63+1=1224,

此時(shí)尸尸(1224)=(224+124+124+122)+3=198.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是閱讀理解，新定義運(yùn)算，數(shù)的整除，二元一次方程的正整數(shù)解問(wèn)題，考查方式

比較新穎，理解數(shù)''的具體特征是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

6.(1)9527不是雙減數(shù)，6713是雙減數(shù)，尸(6713)=3

(2)5602

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)雙減數(shù)的定義判斷并求值即可.

(2)設(shè)A=痂，根據(jù)雙減數(shù)的性質(zhì)可推導(dǎo)得a=d+3,b=6+c,再分兩種情況討論即可：

1)當(dāng)a+匕+c+d=13時(shí)；2)當(dāng)。+匕+。+4=1384.

(1)

解：9527百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之差是3,千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之差是2,

不滿足百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之差是千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之差的2倍，故不

是雙減數(shù)；

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6713百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之差是6,千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之差是3,滿足

百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之差是千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之差的2倍，且滿足各個(gè)

位上的數(shù)字互不相同，且個(gè)位數(shù)字不為0,故6713是雙減數(shù)；

日=3

以6713)=

12

故9527不是雙減數(shù)，6713是雙減數(shù)，尸（6713）=3.

⑵

解：設(shè)4="<?”

由題意可知，尸（A）是3的倍數(shù)，且A各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被13整除且百位數(shù)與十位數(shù)

之差是千位數(shù)與個(gè)位數(shù)之差的兩倍

故可得f（4）=署產(chǎn)=3A①

a+b+c+d=l3n?（〃為正整數(shù)，能被13整除說(shuō)明是13的倍數(shù)）

c=2（a-d）③

由③式可得知，瓦-石的結(jié)果中，個(gè)位數(shù)是十位數(shù)的兩倍，而且/解）="薩=3&①

/.ab-de=3f）k,（說(shuō)明次?-de是36的倍數(shù)）

根據(jù)“雙減數(shù)''各位數(shù)不重復(fù)與dwO的性質(zhì)，石最大為98,瓦最小為10

/.ab—dc最大為88

，茄—瓦=36或72（舍去）（根據(jù)雙減數(shù)百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之差是千位上的數(shù)字

與個(gè)位上的數(shù)字之差的2倍排除）

:.a—d=3,b—c=6

即a=d+3④，Z?=6+c⑤

將④⑤代入②可得

（d+3）+（Z?+c）+c+d=13〃

同理，根據(jù)“雙減數(shù)”的性質(zhì)可得a+8+c+d的最大值為9+8+7+6=30,最小值為

0+1+2+3=6

:.6<a+h^-c+d<30

va+b+c+d是13的倍數(shù)

a-\-b+c+d只能取13或26

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1）當(dāng)a+〃+c+d=13時(shí)

可得d+c=2

."與，的值可能為仁;（舍去），，:（舍去），（根據(jù)雙減數(shù)個(gè)位數(shù)不能為。,

且每位數(shù)不相等排除）

2）當(dāng)a+b+c+d=26時(shí)

可得2（4+c）=17

d+c==17（舍去）（由于d+c不為整數(shù)，與題意不符，故舍去）

2

二a=d+3=2+3=5,Z?=c+6=6

/.A=5602

【點(diǎn)睛】

此題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義的運(yùn)算規(guī)則求解.

7.（1）5413是“筋斗數(shù)”，9582不是“筋斗數(shù)”，理由見(jiàn)解析

（2）5321或9633

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)“筋斗數(shù)”的定義即可判斷；

（2）設(shè)〃?的個(gè)位數(shù)為小十位數(shù)為b,根據(jù)機(jī)是“筋斗數(shù)”，則〃?的百位數(shù)為a+b,千位數(shù)

為2b+a,再根據(jù)加與25的和能被II整除，即可解答.

（1）

解：5413是“筋斗數(shù)”，9582不是“筋斗數(shù)”，理由如下:

：4=1+3,5=2x1+3,

.??5413是“筋斗數(shù)”；

：5x8+2,

；.9582不是“筋斗數(shù)”；

（2）

設(shè)小的個(gè)位數(shù)為a,0<a<9,