新人教版高二暑期數(shù)學(xué)銜接第07講空間向量基本定理講義(學(xué)生版+解析)

第07講空間向量基本定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解空間向量基本定理及其意義，2.掌握空間向量的正交分解【基礎(chǔ)知識】一、空間向量基本定理1.如果三個向量a,b,c不共面

,那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc

.我們把{a,b,c}叫做空間的一個基底

,a,b,c都叫做基向量

.空間任意三個不共面

的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底2.基向量的選擇和使用方法用已知向量表示未知向量時,選擇一個恰當(dāng)?shù)幕卓梢允菇忸}過程簡便易行,選擇和使用向

量應(yīng)注意:(1)所選向量必須不共面,可以利用共面向量定理或常見的幾何圖形的幾何性質(zhì)幫助判斷;(2)所選基向量與要表示的向量一般應(yīng)在同一封閉圖形內(nèi),能用基向量的線性運算表示未知

向量;(3)盡可能選擇具有垂直關(guān)系的、從同一起點出發(fā)的三個向量作為基底.【解讀】3.用基底表示向量的步驟(1)定基底:根據(jù)已知條件,確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底.(2)找目標(biāo):用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量,需要根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則,結(jié)合相等向量的代換、向量的運算進(jìn)行變形、化簡,最后求出結(jié)果.(3)下結(jié)論:利用空間向量的一個基底{a,b,c}可以表示出空間所有向量,即結(jié)果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.二空間向量的正交分解如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直

,且長度都為1

,那么這個基底叫做單位正交基底,常用{i,j,k}表示.由空間向量基本定理可知,對空間中的任意向量a,均可以分解為三個向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像這樣,把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量,叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.【考點剖析】考點一：對平面向量基本定理的理解例1．(多選)(2023學(xué)年河北省邯鄲市高二上學(xué)期期末)已知，，是空間的一個基底，則下列說法中正確的是(

)A．若，則B．，，兩兩共面，但，，不共面C．一定存在實數(shù)x，y，使得D．，，一定能構(gòu)成空間的一個基底考點二：對基底的理解例2．設(shè)，，，且是空間的一個基底，給出下列向量組：①；②；③；④，則其中可以作為空間的基底的向量組有(

)A．1 B．2 C．3 D．4考點三：選擇基底表示某一向量例3．(2023學(xué)年河南省鄭州市高二上學(xué)期期末)已知三棱錐O—ABC，點M，N分別為線段AB，OC的中點，且，，，用，，表示，則等于(

)A． B． C． D．考點四：選擇基底求解向量的模或線段長度例4．(2023學(xué)年江蘇省常州市金壇區(qū)高二下學(xué)期期中)如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為(

)A． B． C． D．考點五：選擇基底求解角度問題例6．(2023學(xué)年重慶市四川外語學(xué)院高二上學(xué)期10月月考)二面角的棱上有兩個點、，線段與分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且垂直于棱，若，，，，則平面與平面的夾角為_________.考點六：選擇基底求解數(shù)量積問題例7．(2023學(xué)年江蘇省南通市海安市實驗中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知四面體，所有棱長均為2，點E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則(

)A．1 B．2 C．-1 D．-2【真題演練】1.(2023學(xué)年四川省綿陽南山中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知O，A，B，C為空間四點，且向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底，則一定有(

)A．，，共線 B．O，A，B，C中至少有三點共線C．與共線 D．O，A，B，C四點共面2.(2023學(xué)年福建省福安市第一中學(xué)高二下學(xué)期第三次月考)如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則(

)A． B．C． D．3.(2023學(xué)年安徽省六安中學(xué)高二上學(xué)期期中)如圖，已知空間四邊形，其對角線為，分別為的中點，點在線段上，，若，則(

)A． B． C． D．4.(2023學(xué)年福建省福州市八縣(市)一中高二上學(xué)期期中)若是空間的一個基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個基底的是(

)A． B．C． D．5.(多選)(2023學(xué)年福建省福州市高二下學(xué)期期中)如圖，在平行六面體中，，，．若，，則(

)A． B．C．A，P，三點共線 D．A，P，M，D四點共面6.(多選)(2023學(xué)年上海市控江中學(xué)高二下學(xué)期期中)如圖，在四面體中，是的中點，設(shè)，，，請用??的線性組合表示___________.7.(2023學(xué)年河北省邯鄲市高二上學(xué)期期末)已知平行六面體的棱長均為4，，E為棱的中點，則___________.8.(2023學(xué)年江蘇省徐州市王杰中學(xué)高二下學(xué)期3月階段性測試)如圖，在空間四邊形中，已知是線段的中點，在上，且．(1)試用，，表示向量；(2)若，，，，，求的值．【過關(guān)檢測】1.(2023學(xué)年江蘇省蘇州市昆山市七校高二上學(xué)期12月聯(lián)考)如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形．若，且，則的長為(

)A． B． C． D．22.(2023學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)高二下學(xué)期第二次段考)四面體中，，，，點在上，且，是的中點，則(

)A． B．C． D．3.(2023學(xué)年廣東省揭陽市揭西縣高二上學(xué)期期末)若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量能構(gòu)成空間的一個基底的是(

)A．，， B．，，C．，， D．，，4.(2023學(xué)年四川省綿陽南山中學(xué)高二下學(xué)期3月月考)已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點Р在正方體表面上運動，正方體的棱長是2，則的取值范圍為(

)A． B． C． D．5.(多選)(2023學(xué)年江蘇省徐州市沛縣高二下學(xué)期第一次學(xué)情調(diào)研)若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是(

)A．，， B．，， C．，， D．，，6.(多選)(2023學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高二下學(xué)期期中)如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點，若，則下列正確的是(

)A． B．C．的長為 D．7．(多選)(2023學(xué)年浙江省金華市曙光學(xué)校高二上學(xué)期10月月考)已知點為三棱錐的底面所在平面內(nèi)的一點，且(，)，則，的值可能為(

)A．， B．， C．， D．，8.(2023學(xué)年陜西省寶雞市渭濱區(qū)高二上學(xué)期期末)已知向量，，不共線，點在平面內(nèi)，若存在實數(shù)，，，使得，那么的值為________.9.(2023學(xué)年河南省名校聯(lián)盟高二上學(xué)期期末)在平行六面體中，底面ABCD為正方形，，，，若，則___________.10.如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱AM的長為3，且，N是CM的中點，設(shè)，，，用、、表示向量，并求BN的長．第07講空間向量基本定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解空間向量基本定理及其意義，2.掌握空間向量的正交分解【基礎(chǔ)知識】一、空間向量基本定理1.如果三個向量a,b,c不共面

,那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc

.我們把{a,b,c}叫做空間的一個基底

,a,b,c都叫做基向量

.空間任意三個不共面

的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底2.基向量的選擇和使用方法用已知向量表示未知向量時,選擇一個恰當(dāng)?shù)幕卓梢允菇忸}過程簡便易行,選擇和使用向

量應(yīng)注意:(1)所選向量必須不共面,可以利用共面向量定理或常見的幾何圖形的幾何性質(zhì)幫助判斷;(2)所選基向量與要表示的向量一般應(yīng)在同一封閉圖形內(nèi),能用基向量的線性運算表示未知

向量;(3)盡可能選擇具有垂直關(guān)系的、從同一起點出發(fā)的三個向量作為基底.【解讀】3.用基底表示向量的步驟(1)定基底:根據(jù)已知條件,確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底.(2)找目標(biāo):用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量,需要根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則,結(jié)合相等向量的代換、向量的運算進(jìn)行變形、化簡,最后求出結(jié)果.(3)下結(jié)論:利用空間向量的一個基底{a,b,c}可以表示出空間所有向量,即結(jié)果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.二空間向量的正交分解如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直

,且長度都為1

,那么這個基底叫做單位正交基底,常用{i,j,k}表示.由空間向量基本定理可知,對空間中的任意向量a,均可以分解為三個向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像這樣,把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量,叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.【考點剖析】考點一：對平面向量基本定理的理解例1．(多選)(2023學(xué)年河北省邯鄲市高二上學(xué)期期末)已知，，是空間的一個基底，則下列說法中正確的是(

)A．若，則B．，，兩兩共面，但，，不共面C．一定存在實數(shù)x，y，使得D．，，一定能構(gòu)成空間的一個基底答案:ABD解析：∵，，是空間的一個基底，則，，不共面，且兩兩共面?不共線，∴若，則，A正確，B正確；若存在x，y使得，則，，共面，與已知矛盾，C錯誤；設(shè)，則，此方程組無解，∴，，不共面，D正確.故選ABD.考點二：對基底的理解例2．設(shè)，，，且是空間的一個基底，給出下列向量組：①；②；③；④，則其中可以作為空間的基底的向量組有(

)A．1 B．2 C．3 D．4答案:C解析：如圖，作平行六面體，，，，則，，，，由平行六面體知，共面，不共面，不共面，不共面，因此可以作為空間的基底的有3組．故選C．考點三：選擇基底表示某一向量例3．(2023學(xué)年河南省鄭州市高二上學(xué)期期末)已知三棱錐O—ABC，點M，N分別為線段AB，OC的中點，且，，，用，，表示，則等于(

)A． B． C． D．答案:A解析：.故選A考點四：選擇基底求解向量的模或線段長度例4．(2023學(xué)年江蘇省常州市金壇區(qū)高二下學(xué)期期中)如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為(

)A． B． C． D．答案:C解析：由題意得，，因為,所以，所以，故選C考點五：選擇基底求解角度問題例6．(2023學(xué)年重慶市四川外語學(xué)院高二上學(xué)期10月月考)二面角的棱上有兩個點、，線段與分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且垂直于棱，若，，，，則平面與平面的夾角為_________.答案:解析：設(shè)平面與平面的夾角為，因為，，所以，由題意得，所以所以，所以，所以，即平面與平面的夾角為.考點六：選擇基底求解數(shù)量積問題例7．(2023學(xué)年江蘇省南通市海安市實驗中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知四面體，所有棱長均為2，點E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則(

)A．1 B．2 C．-1 D．-2答案:D解析：四面體的所有棱長均為2，則向量不共面，兩兩夾角都為，則，因點E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則，，，所以.故選D【真題演練】1.(2023學(xué)年四川省綿陽南山中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知O，A，B，C為空間四點，且向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底，則一定有(

)A．，，共線 B．O，A，B，C中至少有三點共線C．與共線 D．O，A，B，C四點共面答案:D解析：由于向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底知，，共面，所以O(shè)，A，B，C四點共面，故選D2.(2023學(xué)年福建省福安市第一中學(xué)高二下學(xué)期第三次月考)如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則(

)A． B．C． D．答案:D解析：由題意得，.故選D3.(2023學(xué)年安徽省六安中學(xué)高二上學(xué)期期中)如圖，已知空間四邊形，其對角線為，分別為的中點，點在線段上，，若，則(

)A． B． C． D．答案:C解析：由題意，又，所以，．故選C．4.(2023學(xué)年福建省福州市八縣(市)一中高二上學(xué)期期中)若是空間的一個基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個基底的是(

)A． B．C． D．答案:ABD解析：由于不共面,可A,B,D中三個向量也不共面,可以作為一組基向量.對于C,有，故這三個向量是共面的,不能構(gòu)成基底.故選ABD5.(多選)(2023學(xué)年福建省福州市高二下學(xué)期期中)如圖，在平行六面體中，，，．若，，則(

)A． B．C．A，P，三點共線 D．A，P，M，D四點共面答案:BD解析：，A選項錯誤.，B選項正確.則是的中點，，，則不存在實數(shù)使，所以C選項錯誤.，由于直線，所以四點共面，所以D選項正確.故選BD6.(多選)(2023學(xué)年上海市控江中學(xué)高二下學(xué)期期中)如圖，在四面體中，是的中點，設(shè)，，，請用??的線性組合表示___________.答案:解析：在中，因為是的中點，所以，所以.7.(2023學(xué)年河北省邯鄲市高二上學(xué)期期末)已知平行六面體的棱長均為4，，E為棱的中點，則___________.答案:6解析：設(shè)，，，則，∴，∴.8.(2023學(xué)年江蘇省徐州市王杰中學(xué)高二下學(xué)期3月階段性測試)如圖，在空間四邊形中，已知是線段的中點，在上，且．(1)試用，，表示向量；(2)若，，，，，求的值．解析：(1)解：，，又(2)解：由(1)可得知【過關(guān)檢測】1.(2023學(xué)年江蘇省蘇州市昆山市七校高二上學(xué)期12月聯(lián)考)如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形．若，且，則的長為(

)A． B． C． D．2答案:A解析：，故，故，故選A2.(2023學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)高二下學(xué)期第二次段考)四面體中，，，，點在上，且，是的中點，則(

)A． B．C． D．答案:D解析：由已知，所以，，故選D.3.(2023學(xué)年廣東省揭陽市揭西縣高二上學(xué)期期末)若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量能構(gòu)成空間的一個基底的是(

)A．，， B．，，C．，， D．，，答案:B解析：對于A：，因此A不滿足題意；對于B：根據(jù)題意知道，，不共面，而和顯然位于向量和向量所成平面內(nèi)，與向量不共面，因此B正確；對于C：，故C不滿足題意；對于D：顯然有，選項D不滿足題意．故選B4.(2023學(xué)年四川省綿陽南山中學(xué)高二下學(xué)期3月月考)已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點Р在正方體表面上運動，正方體的棱長是2，則的取值范圍為(

)A． B． C． D．答案:B解析：設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為，則,,因為MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，所以，，所以，又點Р在正方體表面上運動，所以當(dāng)為正方體頂點時，最大，且最大值為；當(dāng)為內(nèi)切球與正方體的切點時，最小，且最小為；所以，所以的取值范圍為，故選B5.(多選)(2023學(xué)年江蘇省徐州市沛縣高二下學(xué)期第一次學(xué)情調(diào)研)若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是(

)A．，， B．，， C．，， D．，，答案:ABD解析：對于A，因為，故，，共面；對于B，因為，故，，共面；對于D，因為，故，，共面；對于C，若，，共面，則存在實數(shù)，使得：，，故共面，這與構(gòu)成空間的一