證明不等式的常見技巧-學(xué)會(huì)解題之高三數(shù)學(xué)萬能解題模板【2022版】（解析版）

專題28證明不等式的常見技巧

【高考地位】

證明數(shù)列不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的證明技巧。這類問題的求解策略往往是：

通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)剡x擇不等式的證明技巧.在

高考中常常以解答題出現(xiàn)，其試題難度屬中高檔題.

方法一比較法

萬能模板內(nèi)容

使用場(chǎng)景一般不等式證明

解題模板笫?步通過兩個(gè)實(shí)數(shù)a與。的差或商的符號(hào)(范圍)確定a與b大小關(guān)系；

第二步得出結(jié)論.

例1設(shè)實(shí)數(shù)滿足aw。，求證：a4+b4>ab(a2+b2).

【答案】詳見解析.

【解析】第一步，通過兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的差或商的符號(hào)(范圍)確定〃與。大小關(guān)系:

作差得J+64—ab(金+i*)=a^(a—b)+b^(.b—d)

22

=(a--XJ-分)=(a-bp(a+ab+b)

=(a-b)2[(a+^2+h2].

因?yàn)閍wb,所以a力不同時(shí)為0,故(。+2)2+=必>o,(a-b)2>0,

第二步，得出結(jié)論：

所以(a-獷3+2)2+L2]>0,即有J+/>易(/十方2).

24

考點(diǎn)：不等式的證明.

【點(diǎn)評(píng)】?jī)蓚€(gè)多項(xiàng)式的大小比較常用的兩種方法是作差法和作商法.

【變式演練1】【2020年全國普通高等學(xué)校統(tǒng)一招生考試試驗(yàn)檢測(cè)卷】設(shè)不等式-2<k-1|-k+2|<0的解

集為M且。，beM.

、、十口ab1

(1)證明：；十三<7；

364

(2)比較|1-4閨與21a一2的大小.

【答案】(1)證明見解析；(2)\l-4ab\>2\a-t\.

【分析】

(1)先將,一1|一次+2|變成分段函數(shù)形式，即可求得集合M,則可得跳網(wǎng)的范圍，利用絕對(duì)值的三角不

等式，即可進(jìn)行證明；

(2)將兩式分別平方，利用作差法比較大小即可.

【詳解】

3(x<-2)

(1)證明：一卜+2|=?—2元一1(-2v><]),不等式等價(jià)為｛cc,

-2<-2x-l

-3(x>l)

解得—，從而M=(|,

22122J

,:a、beM,

同<：且M,

乙乙

ab,

—+-<為+為iJxLLL!

3631161132624

（2）?.[1-4聞>0,2k-4>0,

：.\l-4abf-4\a-bf=（l-Sab+l6a2b2）-4（a2-2ab+^=（4a2-1）（4Z>2-1）,

由（1）知/<，,h2<-,即4/一1<?？?4/一1<0，

44

（4?2-1）（4/?2-l）>0,叫1—4ahf>4\a-bf,

故|1-4明>2卜一4.

方法二.分析法

萬能模板內(nèi)容

使用場(chǎng)景一般不等式證明

解題模板第一步從求證的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的充分條件；

第二步把證明這個(gè)不等式的問題轉(zhuǎn)化為證明這些條件是否具備的問題；

第三步如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立.

例2設(shè)a,0,ceR+,ab+bc+ca23,證明：a5+b5+c5+a3(b2+c2)+b3(c2+a2)+c3(a2+b2)>9?

【答案】原命題等價(jià)于(4+/+C3)32+〃+C2)N9,利用分析法。

【解析】第一步，從求證的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的充分條件：

原命題等價(jià)于(/+/+1)(/+/+1?9,又(d+/+cy29c+1)3,

第二步，把證明這個(gè)不等式的問題轉(zhuǎn)化為證明這些條件是否具備的問題：

故只需要證明/+/+1之3成立。

第三步，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立：

利用已知條件，這是顯然的。

【變式演練2】吉林省通化市梅河口五中2020屆高三高考數(shù)學(xué)(文科)七?！吭O(shè)函數(shù)/(x)=|2分+4.

⑴若/(元)43的解集為[1,4],求實(shí)數(shù)。，(的值;

(2)當(dāng)”=1,〃=2時(shí)，若存在x°eR，使得/小)+|2/一1|45+加一>成立的根的最大值為加，且

實(shí)數(shù)P,q滿足p3+/=M,證明：0<p+qW2.

a-\\a--\

【答案】(1)成，(2)證明見解析.

b=-51》=5

【分析】

(1)就。=0、。<0、a>0分類求解后結(jié)合已知的解集可得的值;

(2)利用絕對(duì)值不等式求得|2x+2|+|2x-l|最小值為3,解不等式3W5+/n—后可得加=2,最后利

用綜合法和分析法可證0<〃+“W2.

【詳解】

(1)/(x)W3即為|2?+4<3,所以一342辦+匕43.

若a=0,/(%)=網(wǎng)，〃x)43的解集不可能為[1,4],舍.

?+a3—A

當(dāng)〃>0時(shí)，/(x)<3的解為一^一<%<--,

2a2a

[3+匕，

所以3.f「解得，a=1

h=-5

---二3L

、2a

當(dāng)"0時(shí)，/(x)W3的解為」」，

2a2a

\....3..+...h-4-A---------

rQ——1

所以3d「解得

h=5

----=ii

.2a

a—\

綜上，\,「或<

b=-5b=5

(2)當(dāng)a=l,/?=2B,t,y(x^+|2x—1|=|2x+2|+|2x—1|>|2x+2—2x+l|=3,

當(dāng)且僅當(dāng)(2%+2乂2%—1)<0時(shí)等號(hào)成立，

故5+〃?—6223即加2—加一240，故一lW/n42,所以Af=2.

故〃、媾=2.

因?yàn)?+彳3=2>0,故p3>(_g)3,所以〃>一4即〃+9>0.

要證：p+q<2,即證：P<2-q,

即證：p3?(2-q)3,也就是即證：〃3《8—I2g+6q2一

即證：2M8—12q+6q2,也就是即證：l—Zq+q^NO,

因?yàn)?1—q)2NO恒成立，故l—2q+q2?0必成立，

故p+qW2.

綜上，0<p+qW2.

方法三.綜合法

萬能模板內(nèi)容

使用場(chǎng)景一般不等式證明

解題模板第一步從己知或證明過的不等式出發(fā)，逐步推出其必要條件；

第二步根據(jù)不等式的性質(zhì)及公理推導(dǎo)出欲證的不等式；

第三步得出結(jié)論.

1125

例3已知ci+b—1,求證：（ad—）~+（。-1—）'>—

ab2

【答案】詳見解析.

【解析】第一步，從已知或證明過的不等式出發(fā)，逐步推出其必要條件：

【解析】；a+b=l：.l=(a+b)1=a2+b2+2ab<2(a2+62),『+/之1

又f+不=(4+6)'(F+K)NX2.J-二8?

a'b'cTb、a,b

第二步，根據(jù)不等式的性質(zhì)及公理推導(dǎo)出欲證的不等式：

/.(a+l)2+(Z?+^)2=(a2+62)+4+(4+X)>^+4+8=^.

第三步，得出結(jié)論：

(a+—)2+(6+-)2>—

ab2

【點(diǎn)評(píng)】其證明過程最關(guān)鍵的一步是連續(xù)利用兩次基本不等式放縮得到所證的結(jié)果，但要特別注意的是兩

次不等式的放縮能否均取得到等號(hào)，需進(jìn)行驗(yàn)證.

【變式演練3】【四川省巴中市2021屆高三零診考試】已知/(x)=|x-l|+|x+3].

(1)若存在X。使得/(%)+加2<〃?+6,求，”的取值范圍；

(2)記乃是(D中的最大值且。3+尸=加0,證明0<。+匕W2.

【答案】(1)-1<W<2；(2)證明見解析.

【分析】

(1)先求出7(x)24,再解不等式4+加24根+6即得解：

(2)先證明a+h>0，再結(jié)合基本不等式證明a+bW2即得證.

【詳解】

(1)由題得=|x-l|+|x+3|>|x—1—x—31=4,

所以4+根2<m+6,：.tn2-m-2<0,.,.+<0，

所以一1

(2)由題得/+63=2，

t2

所以2=3+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a--)2+-b2],

24

b、3o

因?yàn)?a——)2+-b2>Q,所以a+人>0.

24

3I

2=(。+力(a?-ab+b?)=(a+b)[(a+b)2-3ab]>(a+/?)[(a+h)2——(tz+/?)2]=—(tz+Z?)3,(當(dāng)且僅當(dāng)

44

a=6時(shí)取等)

所以(a+b)3<8,/.tz+/?<2.

所以0<〃+。42得證.

方法四放縮法

萬能模板內(nèi)容

使用場(chǎng)景一般不等式證明

解題模板第一步根據(jù)已知找出其通項(xiàng)公式4=/(");

第二步然后運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆趴s法對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行放縮：

第三步利用數(shù)列求和公式即可得出結(jié)論.

例4設(shè)S“=+7^3+…++1).求證"(〃；D<S“<

【答案】詳見解析.

【解析】第一步，根據(jù)已知找出其通項(xiàng)公式4=/(?)：

此數(shù)列的通項(xiàng)為對(duì)=阿百承=12…出

第二步，然后運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆趴s法對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行放縮；

vk<Jk(左+1)<無一11=4,；，

第三步，利用數(shù)列求和公式即可得出結(jié)論：

二力TVS.<*/+；)，即華3<鏟片喈

【點(diǎn)評(píng)】①應(yīng)注意把握放縮的“度”：卜一述不等式右邊放縮用的是均值不等式J茄v生叱，若放成

2

阿而<%+1則得s“<f(k+1)=("+D(〃+">("I)?,就放過“度，，了?、诟鶕?jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來

y22

選取所需要的重要不等式，這里nI---------,?+???+%<忖+…+」，其中〃=2,3等的各式及

j—-《％…an-

+???+nVn

%an

其變式公式均可供選用。

115

-<++

【變式演練4】求證：----出---4-9-3-

(n+l)(2n+l)

【答案】見解析.

【解析】一方面：因?yàn)椤?lt;二

所以經(jīng)<1+咕115

-+---+------

52n-l3

另一方面:14—+—I----1——>1+------H-------+…4--------------1------=------

49rr2x33x4w(〃+1)〃+1〃+1

當(dāng)心時(shí)羔

所以綜上有正嬴產(chǎn)+%在…春港科網(wǎng)

考點(diǎn)：放縮法；不等式的證明.

【變式演練5】設(shè).、b、c是三角形的邊長，求證---+―-—+—-—>3.

b+c—aC+Q—ba+b-c

【答案】見解析.學(xué)&科網(wǎng)

【解析】由不等式的對(duì)稱性，不妨設(shè)aNbNc,^\b+c-a<c^a-b<a+b-c^2c-a-b<0,

2a-b-c>0

.ab.c、a4bqe&

b+c-ac+a-ba^b-cb+c-ac+a-ba+b-c

2a—b-c2b-a-c2c-a-b2a-b-cIb-c-a2c-a-b.

----------------1---------------1------------->-----------+----------+-----------=0

b+c—ac+a-ba-Vb-cc+a-bc+a-bc+a-b

7）+「一〃「+〃一/）〃+/1—二

考點(diǎn)：放縮法；不等式的證明..

n+l

【變式演練6】【四川省巴中市2021屆高三零診考試】已知數(shù)列｛%｝滿足q=2,an+l=2an+2.

a

（1）證明：數(shù)列n為等差數(shù)列;

2"

a111c

⑵設(shè)d=才,證明：至+國+…+爐＜2?

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【分析】

（1）根據(jù)盤"-2=1，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證結(jié)論；

22

111

（2）由（1）知，"=1+5—1）x1=〃，根據(jù)--一一522）放大后裂項(xiàng)求和，川一正不等代成M..

b：幾一1n

【詳解】

因?yàn)楹嵞?24+2h

(1)2=%+1_4=1

2"i2"2"2"

a

所以數(shù)列n是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.

2"

(2)由(1)知，/,,=1+(?-1)x1=n,

1111111

所以R=F當(dāng)”22時(shí),---=----<----------=-----------

*〃b；n2(n-l)nn-1n

所以4+2+…+4<]+l一!+!」+...+11c1c

-----=2---<2

mb；區(qū)b：223n-lnn

方法五數(shù)學(xué)歸納法

萬能模板內(nèi)容

使用場(chǎng)景對(duì)于含有〃(〃GN)的不等式類型

解題模板第一步驗(yàn)證當(dāng)"取第一個(gè)值時(shí)不等式成立：

第二步.當(dāng)“取笫一個(gè)值時(shí)不等式成立，如果使不等式在〃=攵5eN)時(shí)成立的假設(shè)

卜，還能證明不等式在〃=攵+1時(shí)也成立；

第三步這個(gè)不等式對(duì)“取第一個(gè)值以后的自然數(shù)都能成立得出結(jié)論.

例5若七>0(i=1,2,3,…,〃)，觀察下列不等式:

。+吟+f*(X|+%2+*3)(---1----1---)-9,…，

x}x2x3

請(qǐng)你猜測(cè)(玉+4+…+乙)(1-+2?+…+'-)將滿足的不等式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。

尤Ix2X”

【答案】(X1+X2+…+Xn)(。+…+工)>n2(n>2),證明見解析

X]X2Xn

【解析】笫一步，驗(yàn)證當(dāng)〃取第一個(gè)值時(shí)不等式成立：

證明如下:

1°當(dāng)〃=2時(shí),結(jié)論成立;

第：步，當(dāng)〃取第一個(gè)值時(shí)不等式成立，如果使不等式在〃=Z(〃eN)時(shí)成立的假設(shè)下，還能證明不等式

在〃=左+1時(shí)也成立：

2°假設(shè)”=左時(shí)，結(jié)論成立，即(演+X2H----l-X^X—+—+??+—)

毛X)xk

那么，當(dāng)〃=2+1時(shí)，，(X]+/+,??++S+1)(---1----F…H----1----)==

玉x?xk

(x,+x2+---+xj(—+—+???+—)+(X)+x2+---+xj--+x,+1(—+—+???

再n2XkmX2

2

+-)+1>k+2(xt+x2+---+xk)(—+—+??-+—)+1N攵2+2攵+1=(%+1)2

xkVMXk

顯然，當(dāng)〃=%+l時(shí)，結(jié)論成立。

第三步，這個(gè)不等式對(duì)〃取第一個(gè)值以后的自然數(shù)都能成立得出結(jié)論：

由1°,2°知對(duì)于大于2的整數(shù)〃，(陽+馬+…+/)(」?+」-+…+」-)2〃2成立。(12分)

王￡￡

考點(diǎn)：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.

【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法最關(guān)鍵的一步是當(dāng)假設(shè)使不等式在〃=Z(“eN)時(shí)成立的假設(shè)下，如何證明不等

式在〃=%+1時(shí)也成立.學(xué)&科網(wǎng)

考點(diǎn)：放縮法；不等式的證明.

【變式演練7】已知數(shù)列｛%｝滿足ai=2,an+1+2a?=(-1)"(n0Af).

(1)求證：數(shù)列｛%-(-1)”｝是等比數(shù)列;

(2)比較與"的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；

(3)設(shè)2=±二，數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為%,若Tn<m對(duì)任意應(yīng)N*恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

44+1

【來源】2021年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)(浙江專用))

【答案】(1)證明詳見解析；(2)同2券；證明詳見解析；(3).

【分析】

a-(-Dn+l

(1)由+24=(-1)"得遞推式上一匕“,-2,可得證明;

(2)由(1)求出lq,l,再用數(shù)學(xué)歸納法證明;

(3)求得｛d｝,用裂項(xiàng)相消可求得答案.

【詳解】

4川-(一1嚴(yán)-2q+(-1)"一(一1嚴(yán)-2q,+2(T)"

(1)證明：由+2““=(-1)"得

?！耙?一1)"??-(-1)"

且首項(xiàng)ai+l—3*0,

團(tuán)數(shù)歹(){%-(-1)"}是公比為-2,首項(xiàng)為3的等比數(shù)列.

(2)由(1)知：??-(-1)"=3x(-2)"-',

04=3x(-2)"'+(-1)“=(-1)"T(3X2"T-1),

a|aj=3x2n-|-l,

下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：同2怨.

(。"=1時(shí)，|ai|=|3-1|=2,=2,01ai|>.

弘+1

(//)假設(shè)/=如",|或但2一.

vi3(A+1

貝ljn=k+l,|a*+i|=|3x2*-1|=|2(3x2-l)+l|>2x^t!+1>.

綜上可得："=k+l時(shí)成立.

綜上可得：假設(shè)成立.

因此團(tuán)碓W*,㈤之昔土

—2"-2n

(3)b=-----=-----：------：----------------

n(—1)1(3x21—1)(—I)〃(3x2”—1)

2”211、

=------------------——(-Z-----------------)

(3x2/,-,-l)(3x2N-l)33x2'i-l3x2〃一1

,2,111111211、1

07?.=-(-----1-------1------：------------)x=-(----------)v-，

“3255113x2n''-l3x2"—l323x2"-l3

1

0>—.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列遞推式、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列的求和，要有好的運(yùn)算能力、推理能力.

方法六換元法

萬能模板內(nèi)容

使用場(chǎng)景對(duì)于一般的不等式證明

解題模板第一步恰當(dāng)?shù)膿Q元，適當(dāng)?shù)囊雲(yún)?shù)；

第二步利用已知求出新元的取值范圍；

第三步根據(jù)現(xiàn)有的不等式放縮法得出結(jié)論.

例7求證1<后<1+N*,"22).

V77-1

【答案】見解析.

【解析】第一步，恰當(dāng)?shù)膿Q元，適當(dāng)?shù)囊雲(yún)?shù):

令4=班i=1+4，這里hn>0(?>1),

笫二步，利用已知求出新元的取值范圍：

則有〃=(1+4)”>與2片=°<4<偌

第三步，根據(jù)現(xiàn)有的不等式放縮法得出結(jié)論:

從而有1<&=1+兒<

【點(diǎn)評(píng)】通過換元化為累的形式，為成功運(yùn)用二項(xiàng)展開式進(jìn)行部分放縮起到了關(guān)鍵性的作用.

【變式演練8】已知：a+h+c=\,求證：ab+bc+ca<-.

3

【答案】見解析.

【解析】設(shè)-f,b=^-at(t&R),貝i]c=g+(l+a)f,

+Q+

=——(1+<1+.

所以，ab+be+ca<—

3

考點(diǎn)：換元法；不等式的證明.

【高考再現(xiàn)】

I.【2016高考浙江理數(shù)】已知實(shí)數(shù)a,b,c()

A.^|a2+/?+c|+|a+fe2+c|<l,貝ij42+/+/<100

B.^\a2+b+c\+\a2+b-c\<l,貝Iq2+/+c2<」()o

C.若|a+b+0+|a+上心區(qū)1,則a2+/+cyoo

D.^\a2+h+c\+\a+h2-c\<\,貝!)672+Z?2+c2<100

【答案】D

【解析】

試題分析：舉反例排除法：

A.令。=6=10,c=-L10,排除此選項(xiàng),

B.令a=104=-100,c=0,排除此選項(xiàng)，

C.令4=100)=-100,c=0,排除此選項(xiàng)，故選D.

考點(diǎn)：不等式的性質(zhì).

【方法點(diǎn)睛】對(duì)于判斷不等式恒成立問題，一般采用舉反例排除法.解答本題時(shí)能夠?qū)λ膫€(gè)選項(xiàng)逐個(gè)利用

賦值的方式進(jìn)行排除，確認(rèn)成立的不等式.

2.【2015年陜西卷】設(shè)/'(%)=lnx,0<a<b,若p=/(、須)，q=f(笠與，r=|(/(a)+/(&)).則下列關(guān)

系式中正確的是

A.q=r<pB.q=r>p

C.p=r<qD.p=r>q

【答案】c

【解析】p=fC.Vab)=InVab,q=f(半)=In?,r=+f(b))=jlnab=InVab,函數(shù)/(x)=Inx

在(0,+8)匕單調(diào)遞增，因?yàn)樘?hào)所以/(手)>所以q>p=r,故選C.

【考點(diǎn)定位】1、基本不等式；2、基本初等函數(shù)的單調(diào)性.

3.【2014年四川卷】若a>b>0,c<d<0,則一定有()

AA.->匕-「B.a-—<-匕"C.a-、>-。-D.a-<-

dccccdcd

【答案】B

【解析】

因?yàn)閏<d<0,所以—c>-d>0,0<—■<——Za>b>0,所以三>—■>0,變形得：<之選D.

-c-d-d-cac

4.【2014年四川卷】若a>/?>O,cvdvO,則一定有()

abababah

A.—>—B.—<—C.—>—D.—<—

cdcddcdc

【答案】D

【解析】本題主要考查不等關(guān)系。已知a>人>0,c<4<0,所以一L>一工>0,所以一色>一2,故,

dcdcdc

故選。

5.【2011年上海市文科數(shù)學(xué)】若a,b6R,且ab>0,則下列不等式中，恒成立的是

A.a24-&2>2abB.a4-h>2y/abC.--4->-7=D..+三之2

abyjabab

【答案】D

【解析】

試題分析：滿皂始繁*空富前，所以A錯(cuò)；：盜釉影，只能說明兩實(shí)數(shù)同號(hào)，同為正數(shù)，或同為負(fù)數(shù)，所以當(dāng)

領(lǐng),自顓向.

1￡5s晟4st.

__-?一堂鬟J一第一二鬟

瀏/丹曲?,::顏時(shí)，B錯(cuò)；同時(shí)C錯(cuò)；，股或蠲都是正數(shù)，根據(jù)基本不等式求最值，晶滿[能痛，故

D正確.

考點(diǎn)：不等式的性質(zhì)

6.12015高考浙江，理20]已知數(shù)列｛《,｝滿足q=g且%M=(〃eN*)

(1)證明：—(〃eN*)；

—

1c1

(2)設(shè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S“，證明------<^<-~~-(〃€*).

(">"2(〃+2)n2(n+l)

【答案】(D詳見解析；(2)詳見解析.學(xué)&科網(wǎng)

試題分析：(1)首先根據(jù)遞推公式可得再由遞推公式變形可知

——=------=------G[1,2],從而得證；(2)由--------=——1<_JW2得,

aaaaaa

?+\?~n1-nn+\,i。"+1%+1

1<---<2,從而可得計(jì)二即可得證.

-an2(”+1)n+2

試題解析：(1)由題意得，anA-aK=-a^<0,BPanA<an,an<^,由=Q-

得4=(1-4_1乂1一。1)--(1-q)%>0,由?得，

區(qū)=—=J-HL2],即14當(dāng)-42；(2)由題意得a/=4-a/i，

。八一。八1-44+1

.二Su=q①，由?1--工==""'和1K2得,1K1——_L42,

，鵬1。咒1。n-i。朽14

.e.n<——<2w,因此"......-an^i-.........(〃wN)②,由①②得

限42(〃+1)〃+2

_J_<^<_2_.

2(n+2)n2(n+1)

【考點(diǎn)定位】數(shù)列與不等式結(jié)合綜合題.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式，不等式的證明等知識(shí)點(diǎn)，屬于較難題，第一小問易證，利

用條件中的遞推公式作等價(jià)變形，即可得到型」=再結(jié)合已知條件即可得證，第二小

《川a“-a；\-an

問具有較強(qiáng)的技巧性，苜先根據(jù)遞推公式將S.轉(zhuǎn)化為只與a-有關(guān)的表達(dá)式，再結(jié)合已知條件得到的

取值范圍即可得證，此次數(shù)列自2008年之后作為解答題壓軸題重出江湖，算是一個(gè)不大不小的冷門(之

前浙江各地的?？冀獯痤}壓軸題基本都是以二次函數(shù)為背景的函數(shù)綜合題)，由于數(shù)列綜合題常與不等式，

函數(shù)的最值，歸納猜想，分類討論等數(shù)學(xué)思想相結(jié)合，技巧性比較強(qiáng)，需要平時(shí)一定量的訓(xùn)練與積累，在

后續(xù)復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注.

7.12015高考廣東，理21]數(shù)列.｛4｝滿足q+2%+…〃?！?4—空(〃wN*),

(1)求生?的值；

(2),求數(shù)列｛。,｝前〃項(xiàng)和《；

(3)令瓦=%,2=勺+,+^+,+…+:)4(〃22),證明：數(shù)列他,｝的前〃項(xiàng)和S,滿足

<2+2In及.

〃一|

【答案】（1）—；（2）2—（耳）I;（3）見解析.

3

【解析】(1)依題3%=(q+2%+3a3)-(q+2%)=4-

4

￡

4

=(a+2a+---na)-[a-b2a+---(n-l)a_J=4-^^-

（2）依題當(dāng)時(shí)，nanl2K12n1

又q=4-9=1也適合此式,

數(shù)列｛&｝是苜項(xiàng)為1,公比為;的等比數(shù)列，故4

+l+L…+,+1+；%

（3）依題由包=-~=.......-%知〃=%，打吟

n2n

+】+；+加,

1+L..JI11

S=h+b2T----\-b=(q++,,,+〃〃1+—十???+—

n}n2n2n

1<2xli...l

1+-+...++++

2n2n

—?jiǎng)t/(x)=U=?

記/(X)=lnx+—>0,

???，⑺在（l,+oo）上是增函數(shù),又"1）=0即〃力〉0,

又左22且上wN.時(shí)，—>：1,

k-1

k-k1k

???f\=In------n——-l>Ognin—>-

fc-1k-lkk-lk

k—1

i<ln~,…,-<In—^―,艮［1有L-l…+L<ln：_ln」+…+ln-=ln〃,

2132nM-123n12w-1

2x1+11

?-li一+?.?+-<2—21n〃,SPS<2+21nw.

3nn

【考點(diǎn)定位】前〃項(xiàng)和關(guān)系求項(xiàng)值及通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前”項(xiàng)和，不等式放縮.

【名師點(diǎn)、睛】本題主要考查前”項(xiàng)和關(guān)系求項(xiàng)值及通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前”項(xiàng)和，不等式放縮等，轉(zhuǎn)化與化

歸思想的應(yīng)用和運(yùn)算求解能力，屬于高檔題，此題(1)(2)問難度不大，但第(3)問難度較大，苜先應(yīng)

能求得邑=；1+；+…+-擊；，并由2-擊＜2得到邑＜2x,+；+-+?；,再用構(gòu)造函數(shù)

(f(x)=lnx+L-l(x＞l))結(jié)合不等(In白＞1)放縮方法或用數(shù)學(xué)歸納法證明

X/C~~1rC

1,+1-1-r-+???+1—＜11-1ln〃.

23n

8.12015高考湖南，文21】f(x)=ae2cosx(xe[0,+oo),記x〃為/(%)的從小到大的第〃(〃wN*)個(gè)

極值點(diǎn)。

(I)證明：數(shù)列｛/(%)｝是等比數(shù)列；

(II)若對(duì)一切〃wN*,x〃恒成立，求。的取值范圍。

yf^TF--

【答案】(I)略；(II)[----e2,+00)

【解析】

試題分析：(D由題，(x)=JIa/cos(x+.),令廣(力=0,求出函數(shù)的極值點(diǎn)，根據(jù)等比數(shù)列定義

4

即可得到結(jié)果；(H)由題意問題等價(jià)于史￡?！付愠闪栴}，設(shè)€(。=M">0),然后運(yùn)用導(dǎo)項(xiàng)知識(shí)

a—J乃t

得到[g?)]mE=min[g(?g(w)]=min[g(3g(當(dāng)]=g(勺=-e1,所以—<-e*,求得

44471a71

3,得到。的取值范圍;

4

試題解析：(I)fr(x)=aexcosx-aexsinx=\/2aexcos(x+—)

jrjrRrr

r

令/'(力=。，由xNO,得4+二=加1——>gpx=m7i--zmeA*,

424

而對(duì)于cos(x+馬，當(dāng)左eZ時(shí)，

4

若2k兀一三<x+三<2k7T+三)即2左；r一三二vx<2左；T+工,貝ijcos(x+更)>0；

242444

若2上乃+/<%+二<2左；r+三士，即2左笈+2<xv2k;r+二,貝i_|cos(x+±)<0；

242444

因此，在區(qū)間((加-1)兀加萬-乂)與(加乃-氾，加%+工)上，/'(X)的符號(hào)總相反，于是當(dāng)

444

34TT37

7

x=m7T---swe2V*B^,f(x)取得極值，所以xn=n7T---,neA*,此時(shí)，

44

m--3兀1>72rus-^L.

f(x“)=ae4cos(?7^--~)=(-1)—ae4,易知/0)H0,而

(_y

/(%)

=-eK是常數(shù),

1ZU)4T

(—嚴(yán)

2

5?

故數(shù)列｛/(%)｝是首噴為了(再)=一a。'，公比為一產(chǎn)的等比數(shù)列。

(ID對(duì)一切/可/(“恒成立，即“乃-蘭4當(dāng)qjT恒成立，亦即

42

也w二4?恒成立，

a?3萬

nit——

4

設(shè)g⑺=一">0)，則g'⑺=一^'，令g'(f)=O得：=1,

tt

當(dāng)0<f<1時(shí),g⑺<0,所以g(f)在區(qū)間(01)上單調(diào)遞曲

當(dāng)時(shí)，gr(t)>0,所以g(f)在區(qū)間(L+O。)上單調(diào)遞增：

因?yàn)閤*e(O])，且當(dāng)〃之2時(shí)，/e(L+<?),X“<XN，所以

[g?)K=min[g(?g&]=min[g令吟)]=吟="

、4-、歷N—

因此，〃wN*,±恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)弓B-工方"，解得當(dāng)一62,

故實(shí)數(shù)°的取值范圍是d/.'+8),

【考點(diǎn)定位】恒成立問題；等比數(shù)列的性質(zhì)

【名師點(diǎn)睛】解決數(shù)列與函數(shù)的綜合問題時(shí)，如果是證明題要根據(jù)等比數(shù)列的定義明確證明的方向，如果

是不等式恒成立問題，要使用不等式恒成立的各種不同解法，如變量分離法、最值法、因式分解法等，總

之解決,這類問題把數(shù)列看做特殊函數(shù)，并把它和不等式的知識(shí)巧妙結(jié)合起來綜合處理就行了.

9.【2015高考陜西，文21]設(shè)/(x)=x+x2d---+x"-1,n&N,n>2.

⑴求力'(2);

力(x)在(。，|1"2丫

(U)證明:內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為%),且0<凡---<——

23⑴

【答案】⑴《'(2)=(〃-1)2"+1；(II)證明略,詳見解析.

【解析】

試題分析：⑴由題設(shè)4(x)=l+2x+…+M”,所以￡；(2)=l+2x2+…+〃2m，此式等價(jià)于數(shù)列

{〃-2宜}的前“項(xiàng)和，由錯(cuò)位相減法求得力(2)=-1)2"+1；

(H)因?yàn)?(0)=T<0,j>l-2xj||>0,所以?(x)在(0,|)內(nèi)至少存在一個(gè)零

22

點(diǎn)，又<'(x)=l+2x+…+叱1>(),所以<(x)在(0.)內(nèi)單調(diào)遞增，因此.{(x)在(0：；)內(nèi)有目只有

3J

一個(gè)零點(diǎn)%,由于力3==二一1,所以0=〃4)=口立一1,由此可得4二+/"“>3故

1—xI-。.222

試題解析：⑴由題設(shè)￡：(x)=l+2x+…+MX"T,

所以￡：(2)=1+2X2+…+〃2”T①

由2/：(2)=lx2+2x22+…+〃2"②

.①一②得一￡。)=1+2+2?+…+2"T_n2"

1-22

-n-2"=(l-n)2n-l,

1-2

所以加2)=(〃-1)2"+1

（n）0^/（o）=-i<o

所以刀（x）在（o,|）內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，

又￡（x）=l+2x+…+亞—＞0

所以/年）在（a§內(nèi)單調(diào)遞熠，

因此，＜（力在（0,|）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)a.,

由于啟力=4-1,

1-X

1-/7門

所以0=力（4）=丁=-1

1-品

由此可得%+

故］＜凡＜,

【考點(diǎn).定位】1.錯(cuò)位相減法；2.零點(diǎn)存在性定理；3.函數(shù)與數(shù)列.

【名師點(diǎn)睛】（1）在函數(shù)出現(xiàn)多項(xiàng)求和形式，可以類比數(shù)列求和的方法進(jìn)行求和；（2）證明零點(diǎn)的唯一可

以從兩點(diǎn)出發(fā)：先使用零點(diǎn)存在性定理證明零點(diǎn)的存在性，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明零點(diǎn)的唯一性；（2）

有關(guān)函數(shù)中的不等式證明，一般是先構(gòu)造函數(shù)，再求出函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的值域即可：（4）本題屬于中

檔題，要求有較高邏輯思維能力和計(jì)算能力.

10.12019新課標(biāo)1］已知a,b,c為正數(shù)，且滿足abc=l.證明：

（1）-+-+-＜a2+b2+c2t

abc

（2）（a+b）3+（Z?+c）3+（c+〃）3224.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】

(1)利用abc=l將所證不等式可變?yōu)樽C明：a2+b2+c2>bc+ac+ab,利用基本不等式可證得

l(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2ac,從而得到結(jié)論；(2)利用基本不等式可得

(a+城+e+c)3+(c+4>3(a+8)e+c)(c+a),再次利用基本不等式可將式轉(zhuǎn)化為

(“+〃)3+("+域+仁+心24耳兒)2,在取等條件一致的情況下，可得結(jié)論.

【詳解】