新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8-3-1棱柱棱錐棱臺(tái)的表面積和體積素養(yǎng)課件新人教A版必修第二冊(cè)

8.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積【情境探究】1.觀察棱柱、棱錐、棱臺(tái)(以三棱柱、三棱錐、三棱臺(tái)為例)的表面展開圖,各幾何體的表面積與展開圖中的各部分平面圖形的面積有何關(guān)系?提示:各幾何體的表面積等于展開圖中各部分平面圖形的面積之和.必備知識(shí)生成2.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的高分別指什么?提示:棱柱的高是指兩底面之間的距離;棱錐的高是指從頂點(diǎn)向底面作垂線,頂點(diǎn)與垂足之間的距離;棱臺(tái)的高是指兩底面之間的距離.3.一個(gè)幾何體的平面展開圖一定相同嗎?其表面積是否確定?提示:不同的展開方式,幾何體的平面展開圖不一定相同;表面積是各個(gè)面的面積和,幾何體的平面展開方法可能不同,但其表面積唯一確定.4.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積與這些幾何體的哪些量有關(guān)?提示:它們的體積與這些幾何體的底面積和高有關(guān).【知識(shí)生成】1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積多面體的表面積就是_____________________面積的和.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是___________________面積的和.圍成多面體的各個(gè)面的圍成它們的各個(gè)面的2.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積幾何體體積說(shuō)明棱柱V棱柱=___S為棱柱的底面積,h為棱柱的高棱錐V棱錐=______S為棱錐的底面積,h為棱錐的高棱臺(tái)V棱臺(tái)=______________S′,S分別為棱臺(tái)的上、下底面面積,h為棱臺(tái)的高Sh關(guān)鍵能力探究探究點(diǎn)一求棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積【典例1】已知正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4,高與斜高夾角為30°.求它的側(cè)面積和表面積.【思維導(dǎo)引】根據(jù)多面體的側(cè)面積公式,可以先求出相應(yīng)多面體的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)面的斜高,進(jìn)而由公式求解.【解析】如圖所示,設(shè)正四棱錐的高為PO,斜高為PE,底面邊心距為OE,它們組成一個(gè)直角三角形POE.因?yàn)镺E==2,∠OPE=30°,所以PE==4.所以S正四棱錐側(cè)=ch′=×(4×4)×4=32,S表面積=42+32=48.即該正四棱錐的側(cè)面積是32,表面積是48.【解析】如圖所示,設(shè)正四棱錐的高為PO,斜高為PE,底面邊心距為OE,它們組成一個(gè)直角三角形POE.因?yàn)镺E==2,∠OPE=30°,所以PE==4.所以S正四棱錐側(cè)=ch′=×(4×4)×4=32,S表面積=42+32=48.即該正四棱錐的側(cè)面積是32,表面積是48.【類題通法】棱錐的表面積求法(1)要求錐體的側(cè)面積及表面積,要利用已知條件尋求公式中所需的條件,一般用錐體的高、斜高、底面邊心距等量組成的直角三角形求解相應(yīng)的量.(2)空間幾何體的表面積運(yùn)算,一般是轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形的運(yùn)算,往往通過(guò)解三角形來(lái)完成.提醒:(1)多面體的側(cè)面積是各個(gè)側(cè)面的面積之和.(2)組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.【定向訓(xùn)練】1.正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a,高為a,則此棱錐的側(cè)面積等于 (

)【解析】選A.如圖,在三棱錐S-ABC中,AB=a,SO=a,于是OD=·AB·sin60°=a,從而SD=故三棱錐的側(cè)面積為S=2.一個(gè)正四棱柱的體對(duì)角線的長(zhǎng)是9cm,全面積等于144cm2,則這個(gè)棱柱的側(cè)面積為________cm2.

【解析】設(shè)底面邊長(zhǎng),側(cè)棱長(zhǎng)分別為acm,lcm,所以S側(cè)=4×4×7=112(cm2)或S側(cè)=4×6×3=72(cm2).答案:112或72【補(bǔ)償訓(xùn)練】

1.現(xiàn)有一個(gè)底面是菱形的直四棱柱,它的體對(duì)角線長(zhǎng)為9和15,高是5,求該直四棱柱的側(cè)面積.【補(bǔ)償訓(xùn)練】

1.現(xiàn)有一個(gè)底面是菱形的直四棱柱,它的體對(duì)角線長(zhǎng)為9和15,高是5,求該直四棱柱的側(cè)面積.【解析】如圖,設(shè)底面對(duì)角線AC=a,BD=b,交點(diǎn)為O,

對(duì)角線A1C=15,B1D=9,所以a2+52=152,b2+52=92,所以a2=200,b2=56.因?yàn)樵撝彼睦庵牡酌媸橇庑?所以AB2=所以AB=8.所以直四棱柱的側(cè)面積S=4×8×5=160.2.若正方體的棱長(zhǎng)為,則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的表面積為 (

)【解析】選B.所求凸多面體的表面積是兩個(gè)底面邊長(zhǎng)為1,高為的四棱錐的側(cè)面積之和,如圖,四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)l==1,所以以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的表面積:S=8××1×1×sin60°=2.探究點(diǎn)二棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【典例2】如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中,用截面截下一個(gè)棱錐C-A′DD′,求棱錐C-A′DD′的體積與剩余部分的體積之比.【思維導(dǎo)引】先求出棱錐的體積,再求得剩余部分的體積,最后求得體積之比.【解析】方法一:設(shè)AB=a,AD=b,DD′=c,則長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′的體積V=abc,又S△A′DD′=bc且三棱錐C-A′DD′的高為CD=a.所以V三棱錐C-A′DD′=S△A′D′D·CD=abc.則剩余部分的幾何體體積V剩=abc-abc=abc.故V棱錐C-A′DD′∶V剩=abc∶abc=1∶5.方法二:已知長(zhǎng)方體可以看成側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′-BCC′B′,設(shè)它的底面ADD′A′面積為S,高為h,則它的體積為V=Sh.而棱錐C-A′DD′的底面面積為S,高為h,因此棱錐C-A′DD′的體積VC-A′DD′=×Sh=Sh.剩余部分的體積是Sh-Sh=Sh.所以棱錐C-A′DD′的體積與剩余部分的體積之比為Sh∶Sh=1∶5.【類題通法】求幾何體體積的常用方法:【知識(shí)延拓】如圖,三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,求三棱錐A1-ABC,三棱錐B-A1B1C,三棱錐C-A1B1C1的體積之比.【思路探究】【解析】設(shè)棱臺(tái)的高為h,S△ABC=S,則=4S.【規(guī)律方法】三棱柱、三棱臺(tái)可以分割成三個(gè)三棱錐,分割后可求錐體的體積和柱體或臺(tái)體的體積關(guān)系,割補(bǔ)法在立體幾何中是一種重要的方法.【定向訓(xùn)練】1.正方體的表面積為96,則正方體的體積為 (

)A.48

B.64

C.16

D.96【解析】選B.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則6a2=96,所以a=4.所以其體積V=a3=43=64.2.如圖,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求A到平面A1BD的距離d.【解析】在三棱錐A1-ABD中,AA1⊥平面ABD,AB=AD=AA1=a,A1B=BD=A1D=a,

探究點(diǎn)三簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積【典例3】如圖,在多面體ABCDEF中,已知平面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,EF∥AB,EF=2,EF上任意一點(diǎn)到平面ABCD的距離均為3,求該多面體的體積.【思維導(dǎo)引】將幾何體分割成兩個(gè)棱錐求解.【解析】如圖,連接EB,EC,AC.=×42×3=16.因?yàn)锳B=2EF,EF∥AB,所以S△EAB=2S△BEF.

【類題通法】割補(bǔ)法是求不規(guī)則幾何體體積的常用求法,解此類題時(shí),分割與補(bǔ)形的原則是分割或補(bǔ)形后的幾何體是簡(jiǎn)單幾何體,且體積易求.【知識(shí)延拓】三棱錐體積公式的推導(dǎo)已知三棱錐A1-ABC的底面積為S,高為h,則=Sh.把三棱錐①以△ABC為底面、AA1為側(cè)棱補(bǔ)成一個(gè)三棱柱,然后把這個(gè)三棱柱分割成三個(gè)三棱錐,就是三棱錐①和另兩個(gè)三棱錐②,③.三棱錐①,②的底△ABA1、△B1A1B的面積相等,高也相等(頂點(diǎn)都是C);三棱錐②,③的底△BCB1、△C1B1C的面積相等,高也相等(頂點(diǎn)都是A1),所以V①=V②=V③,因?yàn)閂三棱柱=Sh.所以V三棱錐=Sh.【方法總結(jié)】求組合體表面積和體積的關(guān)鍵求組合體的表面積與體積的關(guān)鍵是弄清組合體中各簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征及組合形式,對(duì)于與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體問(wèn)題,要根據(jù)條件分清各個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的底面半徑及母線長(zhǎng),再分別代入公式求解.【定向訓(xùn)練】1.如圖,某幾何體下面部分為正方體ABCD-A′B′C′D′,上面部分為正四棱錐S-ABCD,若幾何體高為5,棱AB=2,則該幾何體的體積為______.

【解析】V正方體=23=8,VS-ABCD=×22×(5-2)=4.V=V正方體+VS-ABCD=12.答案:122.(2019·全國(guó)卷Ⅲ)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得幾何體,其中O為長(zhǎng)方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn),AB=BC=6cm,AA1=4cm,3D打印所用原料密度為0.9g/cm3,不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g.

【解析】S四邊形EFGH=4×6-4××2×3=12(cm2),V=6×6×4-×12×3=132(cm3).m=ρV=0.9×132=118.8(g).答案:118.8核心知識(shí)方法總結(jié)易錯(cuò)提醒核心素養(yǎng)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積1.數(shù)學(xué)抽象：棱柱、棱錐、、棱臺(tái)的體積公式；2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求多面體或多面體組合體的表面積和體積；3.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題.棱錐棱臺(tái)棱柱棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積各面面積之和棱柱、棱錐、棱臺(tái)展開圖求多面體表面積1．多面體的表面積轉(zhuǎn)化為各面面積之和．2．解決有關(guān)棱臺(tái)的問(wèn)題時(shí)，常用兩種解題思路：一是把基本量轉(zhuǎn)化到梯形中去解決；二是把棱臺(tái)還原成棱錐，利用棱錐的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決．求幾何體體積的方法①公式法：直接代入公式求解．②等積法：只需選用底面積和高都易求的形式即可．③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積柱、錐、臺(tái)的體積的計(jì)算，一般要找出相應(yīng)的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計(jì)算．課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3cm,4cm,5cm,則長(zhǎng)方體的體積為(

)

A.27cm3 B.60cm3C.64cm3 D.125cm3【解析】選B.V長(zhǎng)方體=3×4×5=60(cm3).2.已知正四棱錐底面邊長(zhǎng)為6,側(cè)棱長(zhǎng)為5,則此棱錐的側(cè)面積為 (

)A.6 B.12 C.24 D.48【解析】選D.正四棱錐的斜高h(yuǎn)′==4,S側(cè)=4××6×4=48.3.若正方體八個(gè)頂點(diǎn)中有四個(gè)恰好是正四面體的頂點(diǎn),則正方體的表面積與正四面體的表面積之比是 (

)【解析】選A.如圖所示,正方體的A′、C′、D、B四個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)正四面體,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則正四面體棱長(zhǎng)為a.所以正方體表面積S1=6a2,正四面體表面積為S2=4.如圖所示,已知一個(gè)多面體的平面展開圖由一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形和4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形組成,則該多面體的體積是______.

【解析】易知該幾何體是正四棱錐.設(shè)正四棱錐為P-ABCD,連接BD,則PD=PB=1,BD=,則PD⊥PB.設(shè)底面中心為O,則四棱錐的高PO=,則其體積是V=答案:5.如圖,已知ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體,E為AA1的中點(diǎn),F為CC1上一點(diǎn),求三棱錐A1-D1EF的體積.【解析】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺(jué).Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛(ài).Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請(qǐng)您欣賞5.如圖,已知ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體,E為AA1的中點(diǎn),F為CC1上一點(diǎn),求三棱錐A1-D1EF的體積.4.如圖所示,已知一個(gè)多面體的平面展開圖由一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形和4個(gè)邊長(zhǎng)