高考數(shù)學(xué)解析幾何專(zhuān)題講義第8講 齊次化與點(diǎn)乘雙根法

第8講齊次化與點(diǎn)乘雙根法一、問(wèn)題綜述（1）齊次化1．齊次化原理：若直線與二次曲線相交于，，如圖所示，設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則，．現(xiàn)將二次曲線方程齊次化的方法如下：首先將直線化出“”：將直線化為截距式；其次利用“”構(gòu)建關(guān)于、的齊次方程，操作方法是對(duì)二次曲線方程二次方項(xiàng)保持不變，一次方項(xiàng)同乘以“”，常數(shù)項(xiàng)同乘以“”的平方，則可把二次曲線方程變?yōu)椋海瑢⑵浠?jiǎn)得：，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，記，，，則方程可化為：；最后我們對(duì)該齊次式兩邊同時(shí)除以可得：，因?yàn)椋侵本€與二次曲線的交點(diǎn)，所以點(diǎn)，點(diǎn)滿足方程，因此，是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可得（）．2．齊次化適用范圍：由原理可知齊次化適應(yīng)于處理解決曲線上的點(diǎn)與坐標(biāo)系原點(diǎn)連線有關(guān)的斜率運(yùn)算問(wèn)題，常見(jiàn)類(lèi)型如：，，，，，，前面兩個(gè)考題相對(duì)比較常見(jiàn)，后面的則需要變形才能使用，變形如下：，，．這個(gè)需要根據(jù)韋達(dá)定理判斷符號(hào)再變形．在遇到上述關(guān)于斜率運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，采取齊次化處理往往能達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的．二、典例分析類(lèi)型一：定點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的斜率問(wèn)題【例1】已知直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求該直線方程．【解析】法一（齊次化解法）：設(shè)，，步驟1：構(gòu)建關(guān)于、的齊次式：將直線變形為代入進(jìn)行“”的代換得，整理得；步驟2：構(gòu)建關(guān)于斜率的方程：因?yàn)?，方程兩邊同除以，得；步驟3：利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化目標(biāo)：易知和是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得，即，故所求直線方程為．法二（常規(guī)解法）：設(shè)，，聯(lián)立，=1\*GB3①代入=2\*GB3②消去得，設(shè)，，則，，所以，解得，故所求直線方程為．【方法小結(jié)】本題屬于曲線上的兩個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率之和為定值（斜率之積為定值也可以用本法）問(wèn)題，通過(guò)對(duì)直線變形，采取“”的巧用，一般二次方不變，一次方項(xiàng)直接乘以“”，常數(shù)項(xiàng)乘以“”的平方，從而構(gòu)建關(guān)于，的二元二次的齊次方程，再兩邊同時(shí)除以得到一個(gè)是以原點(diǎn)與曲線上連線的斜率為根的一元二次方程，再借助韋達(dá)定理使得問(wèn)題運(yùn)算得到簡(jiǎn)化，我們把這種操作手法稱(chēng)之為“齊次化”．推論1：已知直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該直線的斜率為．推論2：已知直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該直線的斜率為．推論3：已知直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該直線的斜率為．變式訓(xùn)練1：已知拋物線的方程為，若直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，證明直線過(guò)定點(diǎn)．【證明】因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，即．設(shè)，，則，．將直線變形得，記，，則直線可化為，將“”代入拋物線的方程得，整理得，因?yàn)?，方程兩邊同除以，得，易知和是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得，即，代入求直線方程得，即，當(dāng)時(shí)，，故直線恒定過(guò)點(diǎn)．類(lèi)型二：定點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)的斜率問(wèn)題（平移坐標(biāo)系）【例2】已知橢圓過(guò)點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為，．（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II），是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（1）如果直線的斜率與的斜率之和為，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)；（2）如果直線的斜率與的斜率之積為，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)．【分析】本題定點(diǎn)不再是坐標(biāo)原點(diǎn)，若坐標(biāo)系原點(diǎn)平移到與重合，則問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的類(lèi)型，則可以采取類(lèi)型一的齊次化解法．【解析】（I）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，過(guò)程略；（II）法一：（平移構(gòu)造+齊次化）平移坐標(biāo)系．【解析】平移坐標(biāo)系，使得坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)重合，則，得新坐標(biāo)系中，在新坐標(biāo)系中，橢圓方程為，化簡(jiǎn)得=1\*GB3①，直線平移后變?yōu)?，其方程不妨設(shè)為，代入=1\*GB3①構(gòu)建齊次式得，整理得，兩邊同除以得=2\*GB3②，易知和是方程=2\*GB3②的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得，化簡(jiǎn)得，代入直線得，整理得，直線恒過(guò)和直線的交點(diǎn)，則直線恒定過(guò)點(diǎn)．(2)，即，直線的方程為，直線恒過(guò)和直線的交點(diǎn)，則直線恒定過(guò)點(diǎn)．法二：（平移構(gòu)造+齊次化）平移直線和平移橢圓．【解析】設(shè)直線的方程為，即，變形得，將橢圓變形為展開(kāi)整理得，將直線進(jìn)行“”的代換得，去分母化簡(jiǎn)得，等式同除以得，因此是方程的實(shí)數(shù)根，設(shè)，，則和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，=1\*GB3①由韋達(dá)定理得：，即，即，代入直線的方程得，所以直線恒定過(guò)定點(diǎn)．=2\*GB3②由韋達(dá)定理得，所以，代入直線的方程為，所以直線恒定過(guò)定點(diǎn)．法三：（常規(guī)解法）．【解析】設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立得，由韋達(dá)定理得，．由題意知，，即，去分母得，整理得，代入韋達(dá)定理得，去分母整理得，即，即，即，故，或．當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線的方程為恒過(guò)定點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意，舍去．綜上：直線恒過(guò)定點(diǎn)．【方法小結(jié)】解法三是常規(guī)方法，需要較強(qiáng)代數(shù)恒等變形能力；解法一和解法二通過(guò)平移構(gòu)造二元二次齊次式，使得運(yùn)算難度大大降低，及時(shí)處理的過(guò)程有所不同．對(duì)于曲線上兩個(gè)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率問(wèn)題，當(dāng)定點(diǎn)不在作用原點(diǎn)時(shí)，往往可以像解法一一樣把坐標(biāo)系原點(diǎn)平到定點(diǎn)處，然后按照定點(diǎn)為原點(diǎn)的處理方法求解，但是最后一定記得把求解結(jié)果平移回去；當(dāng)然也可以按照解法二的方法來(lái)處理，但是這個(gè)計(jì)算往往沒(méi)有解法一那么簡(jiǎn)潔．解法二的操作方法如下:一般地，構(gòu)造齊次方程的方法為：設(shè)定點(diǎn)，直線與曲線的交點(diǎn)為，，將圓錐曲線的方程及直線方程都轉(zhuǎn)化為關(guān)于，的方程，使直線方程具有的形式，在圓錐曲線的方程中，二次項(xiàng)不變，一次項(xiàng)乘以，常數(shù)項(xiàng)乘以，即構(gòu)造成為關(guān)于，的齊次方程，然后等式兩邊同乘以，從而使得所研究直線的斜率為該方程的兩個(gè)根，達(dá)到簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的目的．現(xiàn)把一些常見(jiàn)的曲線定點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)的結(jié)論歸納如下：命題1：過(guò)橢圓上一定點(diǎn)（不是橢圓頂點(diǎn)）作兩條直線分別交橢圓于，兩點(diǎn)，使這兩條直線的斜率之和等于（為常數(shù)），則（1）當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，且定點(diǎn)為；（2）當(dāng)時(shí)，直線的斜率為定值．命題2：過(guò)橢圓上一定點(diǎn)（不是橢圓頂點(diǎn)）作兩條直線分別交橢圓于，兩點(diǎn)，使這兩條直線的斜率之積等于（為常數(shù)），則（1）當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，且定點(diǎn)為；（2）當(dāng)時(shí)，直線的斜率為定值．命題3：過(guò)雙曲線上一定點(diǎn)（不是雙曲線頂點(diǎn)）作兩條直線分別交雙曲線于，兩點(diǎn)，使這兩條直線的斜率之和等于（為常數(shù)），則（1）當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，且定點(diǎn)為；（2）當(dāng)時(shí)，直線的斜率為定值．命題4：過(guò)雙曲線上一定點(diǎn)（不是雙曲線頂點(diǎn)）作兩條直線分別交雙曲線于，兩點(diǎn)，使這兩條直線的斜率之積等于（為常數(shù)），則（1）當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，且定點(diǎn)為；（2）當(dāng)時(shí)，直線的斜率為定值．命題5：若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)引直線和與拋物線相交于，兩點(diǎn)．（1）若時(shí)，則；（2）若時(shí)，則直線恒定過(guò)點(diǎn)；（3）若時(shí)，則直線恒定過(guò)點(diǎn)．變式訓(xùn)練2：若，為拋物線：上兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【證明】因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)點(diǎn)，所以，即．設(shè)，，則，．令，代入拋物線方程得：，整理得：，不妨設(shè)直線的方程為：，將其代入式得：，化簡(jiǎn)得：，因?yàn)椋匠虄蛇呁?，?1\*GB3①，易知和是方程=1\*GB3①的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得，即，代入求直線方程得，所以直線過(guò)和的交點(diǎn)，即，利用變換將其平移回原坐標(biāo)系得，故直線恒定過(guò)點(diǎn)．類(lèi)型三：齊次化方法在等角問(wèn)題中的應(yīng)用【例3】設(shè)橢圓：的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，求直線的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．【解析】（1），過(guò)程略．（2）法一:（平移構(gòu)造+齊次化）方法識(shí)別：等價(jià)于，故可以用平移構(gòu)造和齊次化來(lái)處理．將橢圓：和直線：按照平移至以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，得和，即，將代入構(gòu)造齊次化得，整理得．設(shè)平移后設(shè)，，則，．易知和是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得，根據(jù)平移角度不變知，，故有．法二:（常規(guī)解法）設(shè)，，直線：，與聯(lián)立得：，由韋達(dá)定理得，，要證，即證，即證，用消去得：，代入韋達(dá)定理得：，命題得證．【方法小結(jié)】1．本例中為橢圓的右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)：即本來(lái)結(jié)論是：設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，則軸平分角，即，或者說(shuō)直線和直線的傾斜角互補(bǔ)（即斜率之和為零）．2．本題結(jié)論還可以推廣到拋物線：設(shè)為拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，則軸平分角，即，或者說(shuō)直線和直線的傾斜角互補(bǔ)（即斜率之和為零）．等角問(wèn)題的推廣：結(jié)論1：過(guò)拋物線線外一點(diǎn)作拋物線的切線，，則．結(jié)論2：過(guò)橢圓外一點(diǎn)作橢圓的切線，，則．變式訓(xùn)練1：（2018年高考課標(biāo)卷1文科第20題）設(shè)拋物線：，點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)．（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；（2）證明：．解析：（1）當(dāng)與x軸垂直時(shí)，的方程為，可得的坐標(biāo)為或．所以直線的方程為或．（2）法一：（齊次化解法）要證，只需證．當(dāng)與軸垂直時(shí)，為的垂直平分線，所以．當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，將坐標(biāo)系原點(diǎn)按平移至點(diǎn)，則在新坐標(biāo)系中得到拋物線方程和直線方程分別為，，將直線化為，整理得:，將直線代入構(gòu)建齊次方程得，化簡(jiǎn)得：，設(shè)平移后，，則和是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得，因?yàn)槠揭平嵌炔蛔儯裕首C．法二：（常規(guī)方法）當(dāng)與軸垂直時(shí)，為的垂直平分線，所以．當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，，，則，．由，得，可知，．直線，的斜率之和為．①將，及，的表達(dá)式代入①式分子，可得．所以．可知，的傾斜角互補(bǔ)，所以．綜上，．法三：（常規(guī)方法）設(shè)，，直線：，與聯(lián)立，由韋達(dá)定理得，．，代入消去得:，代入韋達(dá)定理得，命題得證．變式訓(xùn)練2：（2013年數(shù)學(xué)高考陜西卷理科）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且在軸上截得弦長(zhǎng)的長(zhǎng)為．（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）已知點(diǎn)，設(shè)不垂直于軸的直線與軌跡交于不同的兩個(gè)點(diǎn)，，若軸是的角平分線，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．（1）動(dòng)圓圓心軌跡方程為：；（2）【證明】將坐標(biāo)系原點(diǎn)按照平移到點(diǎn)，則在新坐標(biāo)系中，的軌跡方程為，即，設(shè)平移后直線的方程為，將其代入式化為齊次式得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，兩邊同除以得?1\*GB3①，設(shè)平移后，，則，．和是方程=1\*GB3①的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得，又因?yàn)檩S是的角平分線，所以，即，所以，所以，即，所以直線過(guò)定點(diǎn)，將定點(diǎn)按照平移原坐標(biāo)系得，所以過(guò)定點(diǎn)，即直線過(guò)定點(diǎn)．二、點(diǎn)乘雙根法及其應(yīng)用1、點(diǎn)乘雙根法的含義與原理：何謂點(diǎn)乘雙根法呢？在大學(xué)數(shù)學(xué)中，把向量，的數(shù)量積叫做向量點(diǎn)乘向量，因此點(diǎn)乘得名；所謂雙根是由初中的一元二次方程知識(shí)可知：若和是一元二次方程的兩個(gè)根，則，我們把叫做二次方程的雙根式，所謂的點(diǎn)乘雙根法就是構(gòu)建雙根式是去解決含和或者可轉(zhuǎn)化為含含和的計(jì)算問(wèn)題，其中以向量的數(shù)量積有關(guān)的問(wèn)題為最常見(jiàn)．點(diǎn)乘雙根法的原理：點(diǎn)乘雙根法是通過(guò)對(duì)雙根式進(jìn)行賦值和，直接計(jì)算和的含參表達(dá)式，然后整體代入目標(biāo)，從而構(gòu)建出關(guān)于參數(shù)的等式關(guān)系式，避免繁雜的計(jì)算，達(dá)到快速解題的目的（其中，點(diǎn)坐標(biāo)為已知定點(diǎn)，，為直線與圓錐曲線的交點(diǎn)）．2、點(diǎn)乘雙根法適用題型:在圓錐曲線中，遇到如（其中為常數(shù)）的形式，其中點(diǎn)是已知的點(diǎn)，，為直線與圓錐曲線的交點(diǎn)的問(wèn)題時(shí)，可用點(diǎn)乘雙根法以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算，快速解題的目的．3、點(diǎn)乘雙根法解題范式：下來(lái)以一個(gè)例題來(lái)講解一下點(diǎn)乘雙根法應(yīng)用范式．【例題】橢圓：，若直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)（，不是左右頂點(diǎn)），且以直線為直徑的圓恒過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)．求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)．步驟1：聯(lián)立方程，構(gòu)建雙根式設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，，，所以，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得：，又因?yàn)?，是方程的兩個(gè)根，所以=1\*GB3①步驟2：賦值點(diǎn)乘雙根法賦值目的是為了對(duì)目標(biāo)中的和進(jìn)行整體代換以達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的，故對(duì)雙根式=1\*GB3①中的進(jìn)行賦值得，整體求出=2\*GB3②．接下來(lái)先求出，，只需對(duì)雙根是進(jìn)行賦值，并兩邊同時(shí)乘以可得=3\*GB3③．步驟3：變形代入將=2\*GB3②和=3\*GB3③整體代入，可得，即，分解因式得，或，當(dāng)時(shí)，直線，故直線恒過(guò)定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，直線，故直線恒過(guò)定點(diǎn)，舍去．4、典型例題【例1】(2012年重慶理科第20題)設(shè)橢圓中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，上頂點(diǎn)為，左右頂點(diǎn)分別為，，線段，中點(diǎn)分別為，，且是面積為的直角三角形．（1）求其橢圓的方程（2）過(guò)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，使，求直線的方程．【解析】（1），過(guò)程略．（2）法一：(點(diǎn)乘雙根)易知：直線不與軸垂直，則設(shè)直線方程為：，，，因?yàn)?，則，所以，=1\*GB3①現(xiàn)聯(lián)立則方程可以等價(jià)轉(zhuǎn)化即令，令，結(jié)合化簡(jiǎn)可得：，，所以直線方程為：．法二：（點(diǎn)乘雙根）若的斜率為，則，所以的斜率不會(huì)為．設(shè)：，，，則，，所以=1\*GB3①，將，代入=1\*GB3①得=2\*GB3②．當(dāng)時(shí)，：，經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意；當(dāng)時(shí)，=2\*GB3②式變形得=3\*GB3③，聯(lián)立得，令，則，即=4\*GB3④；令，則，即=5\*GB3⑤，將=4\*GB3④=5\*GB3⑤代入=3\*GB3③得，解得，所以：．【方法小結(jié)】由，得，故而按照點(diǎn)乘雙根法的步驟去求解即可，方法一和方法二都是于點(diǎn)乘雙根法，題目不同在于消去的元不一樣，并無(wú)本質(zhì)上的區(qū)別，都是用點(diǎn)乘雙根法去簡(jiǎn)化有關(guān)雙根的和與乘積有關(guān)的式子的計(jì)算問(wèn)題．【例2】(2018年全國(guó)課標(biāo)卷3理科16題)已知點(diǎn)和拋物線：，過(guò)的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)．若，則．【解析】法一：（點(diǎn)乘雙根法）設(shè)，，直線：(其中)，因?yàn)椋?，?1\*GB3①聯(lián)立消去可得：，又因?yàn)椋欠匠痰膬筛?，所?2\*GB3②．令，得，所以=3\*GB3③；令，得，所以=4\*GB3④將=3\*GB3③=4\*GB3④式代入=1\*GB3①，得，解得，，所以．法二:(常規(guī)方法)拋物線：的焦點(diǎn)，過(guò)，兩點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立，可得，設(shè)，，則，，，，，，，，，整理可得，，，即，．故答案為．法三:(中點(diǎn)弦法)設(shè)，，則，所以，則，如圖，取的中點(diǎn)，分別過(guò)，作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，，在中，，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且平行于軸，則，從而有，代入，故填．練習(xí)鞏固：1．設(shè)，為橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，過(guò)原點(diǎn)作直線的垂線，求的軌跡方程．解析：法一：（常規(guī)方法）設(shè)，，,設(shè)直線方程為，聯(lián)立化簡(jiǎn)可得:，所以，，因?yàn)?，所以?1\*GB3①又因?yàn)橹本€方程等價(jià)于為，即，對(duì)比于，則代入=1\*GB3①中，化簡(jiǎn)可得：．法二：（齊次化解法）設(shè)直線方程為，聯(lián)立，可得，所以，化簡(jiǎn)可得，整理成關(guān)于，的齊次式：，進(jìn)而兩邊同時(shí)除以，則，記，的斜率分別為，，則，為方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得，因?yàn)椋裕?1\*GB3①又因?yàn)橹本€方程等價(jià)于為，即，對(duì)比于，則，代入=1\*GB3①中，化簡(jiǎn)可得：．2．已知橢圓，設(shè)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若直線，的斜率之和為，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)．2．解：(1)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立新的直角坐標(biāo)系，如圖所示：舊坐標(biāo)新坐標(biāo) 即所以，則，即，在新坐標(biāo)中轉(zhuǎn)換為：，即．設(shè)直線方程為：．原方程：則轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)就成為：．展開(kāi)得：構(gòu)造齊次式：整理為：兩邊同時(shí)除以，則所以，所以代入，整理得，對(duì)于任意都成立．則，解之得，故原理坐標(biāo)系地應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，所以過(guò)定點(diǎn)；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)：，則，，所以，直線：，過(guò)定點(diǎn)．綜上，直線恒過(guò)定點(diǎn)．3．已知橢圓，過(guò)其上一定點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別交于橢圓于，兩點(diǎn)，證明：直線斜率為定值．3．解析：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立新的直角坐標(biāo)系，如圖所示：舊坐標(biāo)新坐標(biāo)即所以，原來(lái)，則轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)為：，即．設(shè)直線方程為：．原方程：則轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)就成為：．展開(kāi)得：構(gòu)造齊次式：整理為：兩邊同時(shí)除以，則，所以，所以而．所以．平移變換，斜率不變，所以直線斜率為定值．4．已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn),且離心率等于．（1）求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線,交橢圓于，兩點(diǎn)，且滿足，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)．4．解析：(Ⅰ)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且離心率等于,

橢圓的方程為;

(Ⅱ)方法一：（常規(guī)方法）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立橢圓方程得,則,．,

由,得,代入得，(舍去),,直線的方程為,所以過(guò)定點(diǎn)．方法二：（平移坐標(biāo)＋齊次化）把橢圓向左平移2個(gè)單位，（是為了平移到原點(diǎn)）則方程變成（左加右減，上減下加）設(shè)直線為；下面對(duì)橢圓方程進(jìn)行化簡(jiǎn)；我們需要的形式是不出現(xiàn)一次項(xiàng)，都是二次項(xiàng)，此時(shí)將乘上一個(gè)，也就是即可，此時(shí)橢圓方程變成，兩邊同時(shí)除以，令，則化簡(jiǎn)為，又因?yàn)?，則恒過(guò)，再向右平移個(gè)單位，則恒過(guò)．5．已知橢圓與雙曲線有共同焦點(diǎn)，且離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為橢圓的下頂點(diǎn)，，為橢圓上異于的不同兩點(diǎn)，且直線與的斜率之積為．=1\*GB3①試問(wèn)，所在直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由;=2\*GB3②若點(diǎn)為橢圓上異于，的一點(diǎn)，且，求的面積的最小值．5．解析：(1)依題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為雙曲線的焦點(diǎn)為，，解得，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)=1\*GB3①由題意可知設(shè)，直線的解析式為則有即有(*)聯(lián)立整理得將此代入(*)式可得，當(dāng)直線過(guò)故此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)，=2\*GB3②由=1\*GB3①知，由知直線的解析式為，聯(lián)立可得，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，為最?。椒ǘ糊R次化+平移構(gòu)造：把點(diǎn)平移到原點(diǎn)，需向上平移個(gè)單位，設(shè)直線為此時(shí)橢圓方程變成，為了讓結(jié)果都是二次項(xiàng)，則讓乘上一個(gè)1，即，即，化簡(jiǎn)得：，同時(shí)除以，并令，則方程變成，此時(shí)；直線為，恒過(guò)，再平移回去，則原題直線恒過(guò)．6．（2017新課標(biāo)Ⅰ卷理科第20題）已知橢圓：，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上．(1)求的方程；(2)設(shè)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與相交于，兩點(diǎn)．若直線與直線的斜率的和為，證明：過(guò)定點(diǎn)．6．解析：（1）由于兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故由題設(shè)知經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．又由知，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以點(diǎn)在上，因此，解得，故的方程為．（2）法一：（常規(guī)方法）設(shè)直線與直線的斜率分別為，，如果與軸垂直，設(shè)，由題設(shè)知，且，可得，的坐標(biāo)分別為，．則，得，不符合題設(shè)．從而可設(shè)，將代入得：，由題設(shè)可知，設(shè)，，則，，而，由題設(shè)，故，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，則，即，所以過(guò)定點(diǎn)．法二：齊次化+平移構(gòu)造步驟1：平移坐標(biāo)系，當(dāng)定點(diǎn)不是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，要坐標(biāo)系原點(diǎn)平移到與定點(diǎn)重合．令，在新坐標(biāo)系中，曲線：的方程為，化簡(jiǎn)得．步驟2：聯(lián)立方程構(gòu)建齊次式聯(lián)立曲線方程和直線方程，進(jìn)行“”的代換構(gòu)造齊次式，化簡(jiǎn)得：，兩邊同除以得．步驟3：構(gòu)建目標(biāo)條件本題目標(biāo)條件是研究直線與直線的斜率之和時(shí)，易知和是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可得：，化簡(jiǎn)可得，即，將其代入直線方程得，整理得，令，解得，故平移后的直線過(guò)定點(diǎn)．步驟4：平移回去將平移后的直線過(guò)的定點(diǎn)，將其代入得，故原直線過(guò)定點(diǎn)．7．已知拋物線，過(guò)原點(diǎn)且相互垂直的直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．7．解析：方法識(shí)別：，適合用齊次化來(lái)處理．法一：（齊次化）設(shè)：=1\*GB3①，，，，，將直線變形為，代入到中得，兩邊同除以，整理可得，注意到，，所以和方程的兩個(gè)根，所以，又因?yàn)椋?，所以，代?1\*GB3①可得，所以直線恒定過(guò)定點(diǎn)．類(lèi)型識(shí)別：因?yàn)橹本€，互相垂直，所以，適合用點(diǎn)乘雙根法．方法二：（點(diǎn)乘雙根法）設(shè)：=1\*GB3①，，，則，，=1\*GB3①．聯(lián)立，，又因?yàn)楹褪欠匠?，所以，令，則=2\*GB3②；令，則=3\*GB3③．將=2\*GB3②=3\*GB3③代入=1\*GB3①得，即，代入可得，所以直線恒定過(guò)定點(diǎn)．8．過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)且斜率為的直線交雙曲線于，，若且，求雙曲線的方程．方法識(shí)別：因?yàn)?，所以，適合用齊次化來(lái)處理．8．解析：法一：（齊次化）設(shè)雙曲線方程為，直線：，其中．將直線變形為，代入雙曲線方程得，整理得，兩邊同除以，，注意到，，所以和方程的兩個(gè)根，所以，又因?yàn)椋裕?，可得，化?jiǎn)可得，即，，故雙曲線方程為，聯(lián)立，消去得，設(shè)，，則，，由弦長(zhǎng)公式得，計(jì)算可得，，所以雙曲線方程為．法二：（點(diǎn)乘雙根法）方法識(shí)別：由，得，適合用點(diǎn)乘雙根法．設(shè):=1\*GB3①，，，則，，=1\*GB3①．聯(lián)立，，又因?yàn)楹褪欠匠?，所以．令?2\*GB3②；令得=3\*GB3③．將=2\*GB3②=3\*GB3③代入=1\*GB3①得，化簡(jiǎn)可得，即，，故雙曲線方程為，聯(lián)立，消去得，設(shè)，，則，，由弦長(zhǎng)公式得，計(jì)算可得，，所以雙曲線方程為．9．直線與圓相交于，，且，求的值．類(lèi)型識(shí)別：，所以，適合用齊次化來(lái)處理．9．解析：設(shè)，，將直線變形為，代入圓得，化簡(jiǎn)得，等式兩邊同除以得，注意到，，所以和方程的兩個(gè)根，所以，計(jì)算可得．10．過(guò)橢圓:上的定點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，求證：．類(lèi)型識(shí)別:因?yàn)閮蓷l直線傾斜角互補(bǔ)，所以，所以可用齊次化+平移構(gòu)造．解析：設(shè):,將橢圓方程變?yōu)楹?，的形式可得：，展開(kāi)得，與直線方程聯(lián)立并齊次化整理得，由韋達(dá)定理可得，即，所以，即，可得．11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)作兩條垂直的直線，，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，求的最小值．11．解析：設(shè)，，：，：，聯(lián)立，得的兩個(gè)根為，，，又，同理以替換可得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即取得最小值．12．已知拋物線方程為，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，，且，求的值．12．解析：設(shè)，，=1\*GB3①聯(lián)立，消得=2\*GB3②，將代入=2\*GB3②式得=3\*GB3③；同理：聯(lián)立，消得=4\*GB3④，將代入=4\*GB3④得=5\*GB3⑤，聯(lián)立=1\*GB3①=3\*GB3③=5\*GB3⑤得：，所以，所以直線方程為．13．（2013年石家莊一模理科20）橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作與軸不重合的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．（1）若為正三角形，求橢圓的離心離；（2）若橢圓的離心離滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：．13．解析：（1），過(guò)程略．（2）（點(diǎn)乘雙根法）由題意有：，，所以，則，要證（因?yàn)椋O(shè)，，=1\*GB3①當(dāng)軸時(shí)，，則，，則，所以．=2\*GB3②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線：，，，所以=1\*GB2⑴．聯(lián)立得，所以，令，則，即=2\*GB3②；令，則，即=3\*GB3③，將=2\*GB3②=3\*GB3③代入=1\*GB3①得，要證，只需證即可，因?yàn)椋瑒t，所以，所以，綜上可得：．14．(2008年遼寧理科第20題)在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩點(diǎn)，的距離之和等于，設(shè)點(diǎn)的軌跡為，直線與交于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）寫(xiě)出的方程；（Ⅱ）若，求的值；（Ⅲ）若點(diǎn)在第一象限，證明：當(dāng)時(shí)，恒有．14．解析：（Ⅰ）設(shè)，由橢圓定義可知，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為的橢圓．它的短半軸，故曲線C的方程為．（Ⅱ）法一：（常規(guī)方法）設(shè),，其坐標(biāo)滿足，消去并整理得，故，．若，即，而，于是，化簡(jiǎn)得，所以．法二：（點(diǎn)乘雙根法）設(shè),，直線：．若，則：，即，，故,．因?yàn)?，所?1\*GB3①，將代入=1\*GB3①得=2\*GB3②．聯(lián)立得，令得=3\*GB3③；令，則，即=4\*GB3④．將=3\*GB3③=4\*GB3④代入=2\*GB3②，即，，所以．法三：（點(diǎn)乘雙根法）設(shè),，直線：．若，則：，即，，故,，故，與矛盾，所以，直線：可變?yōu)椋ㄆ渲校?，故有因?yàn)椋?1\*GB3①．聯(lián)立得，即令得，即=2\*GB3②；令，則，=3\*GB3③．將=2\*GB3②=3\*GB3③代入=1\*GB3①，即，，所以．（Ⅲ）．因?yàn)樵诘谝幌笙?，故．由知，從而．又，故，即在題設(shè)條件下，恒有．15．(2017年高考課標(biāo)1卷第20題)設(shè)，為曲線：上兩點(diǎn)，與的橫坐標(biāo)之和為．（1）求直線的斜率；（2）設(shè)為曲線上一點(diǎn)，在處的切線與直線平行，且，求直線的方程．15．解析：（1）設(shè),，則，，，，于是直線的斜率．（2）法一：（常規(guī)方法）因?yàn)椋?，設(shè)，由題設(shè)知，所以，于是，設(shè)直線的方程:，故線段的中點(diǎn)為，，將代入，得，當(dāng)即時(shí)，，，從而，由題設(shè)知，，即，解得，所以直線的方程:．法二：（點(diǎn)乘雙根法）類(lèi)型識(shí)別:因?yàn)?，所以，故適合使用點(diǎn)乘雙根法．因?yàn)椋?，設(shè)，由題設(shè)知，所以，于是．設(shè)，，，，因?yàn)?，?/p>